统计课件高三数学二轮复习

专题三概率与统计玩转小题第9讲统计

考点梳理考情回顾高考预测正态分布的

均值、方差2022新高考Ⅱ卷

第13题2021新高考Ⅱ卷

第6题1.正态分布：重点考查正态分布的对称

性，均值与方差的含义等.2.一元线性回归模型：重点考查数学运

算、一元线性回归模型的中心点、残

差、预测等.3.独立性检验：重点考查统计量χ2结果

的含义，以及由χ2的结果逆向确定样本

数据等.一元线性回

归模型2023天津卷第7

题独立性检验2022新高考Ⅰ卷

第20题

1.（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布

N

（10，

σ2），下列结论中不正确的是（

D

）A.σ越小，该物理量在一次测量中的结果落在（9.9，10.1）上的概率越

大B.该物理量在一次测量中的结果大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中的结果小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中的结果落在（9.9，10.2）上与落在（10，

10.3）上的概率相等D2.（2023·天津卷）调查某种花的花萼长度和花瓣长度，所得数据如图

所示，其中样本相关系数

r

＝0.8245.下列说法中，正确的是（

C

）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度负相关C.花瓣长度和花萼长度正相关D.若从样本中抽取一部分数据，则这部分数据的相关

系数一定是0.8245C3.（多选）（2022·江西模拟改编）千百年来，我国劳动人民在生产实

践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的

“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地

上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落

云里走，雨在半夜后”的准确性，观察了所在地区的100天日落和夜晚

天气，得到如下2×2列联表：单位：天日落云里走夜晚天气合计下雨不下雨出现25530不出现254570合计5050100临界值表α0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.828计算得到χ2≈19.05，则下列说法中，错误的是（

ABC

）A.夜晚下雨的概率约为B.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为C.出现“日落云里走”，有99.9％的把握认为夜晚会下雨D.有99.9％的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下

雨”有关ABC4.（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量

X

服从正态分布

N

（2，σ2），且

P

（2＜

X

≤2.5）＝0.36，则

P

（

X

＞2.5）＝

⁠.0.14

2.样本相关系数

r

的性质（1）

当

r

＞0时，成对样本数据正相关；当

r

＜0时，成对样本数据负相

关；当

r

＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.（2）

样本相关系数

r

的取值范围是[－1，1].当｜

r

｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当｜

r

｜越接

近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型

4.独立性检验（1）

χ2的计算公式：

（2）

临界值的定义：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数

x

α，使得

P

（χ2≥

x

α）＝α成立，我们称

x

α为α的临界值，概率值α越小，临界值

x

α越大.

热点1

正态分布[典例设计]例1（1）

（2023·南通一模）已知随机变量

X

服从正态分布

N

（μ，

σ2），有下列四个命题：甲：

P

（

X

＞

m

＋1）＞

P

（

X

＜

m

－2）；

乙：

P

（

X

＞

m

）＝0.5；丙：

P

（

X

≤

m

）＝0.5；丁：

P

（

m

－1＜

X

＜

m

）＜

P

（

m

＋1＜

X

＜

m

＋2）.如果这四个命题中只有一个假命题，

那么该命题为（

D

）A.甲B.乙C.丙D.丁D解：因为只有一个假命题，又因为乙、丙中只要有一个是假命题，另一

个一定也是假命题，所以乙、丙一定都是真命题.所以μ＝

m

.所以

P

（

X

＞

m

＋1）＝

P

（

X

＜

m

－1）＞

P

（

X

＜

m

－2）.所以甲也是真命题.因

为

P

（

m

－1＜

X

＜

m

）＝

P

（

m

＜

X

＜

m

＋1）＞

P

（

m

＋1＜

X

＜

m

＋

2），所以丁是假命题.（2）

（2023·潍坊联考）设随机变量

X

～

N

（μ，σ2），且

P

（

X

≥

a

）

＝0.5，

P

（

X

＜

b

）＝3

P

（

X

≥

b

），则

P

（

X

≤2

a

－

b

）的值为

（

A

）A.0.25B.0.3C.0.5D.0.75解：因为随机变量

X

～

N

（μ，σ2），所以

P

（

X

＜

b

）＋

P

（

X

≥

b

）＝

1.又因为

P

（

X

＜

b

）＝3

P

（

X

≥

b

），所以

P

（

X

≥

b

）＝0.25.因为

P

（

X

≥

a

）＝0.5，所以

a

＝μ.所以

P

（

X

≤2

a

－

b

）＝

P

（

X

≤2μ－

b

）

＝

P

（

X

≤μ＋μ－

b

）＝

P

（

X

≥μ－μ＋

b

）＝

P

（

X

≥

b

）＝0.25.A

A.P（X＜3）＝B.P（X＜1）＝C.P（X＜5）＝D.P（1＜X＜3）＝ACD123456789101112131415161718192021222324

[典例设计]例2

（多选）（2023·湖南模拟）已知某批零件的质量指标ξ（单位：

毫米）服从正态分布

N

（25.40，σ2），且

P

（ξ≥25.45）＝0.1.现从该批

零件中随机取3件，用

X

表示质量指标ξ不位于区间（25.35，25.45）的

产品件数，则下列式子中，正确的是（

ACD

）A.P（25.35＜ξ＜25.45）＝0.8B.E（X）＝2.4C.D（X）＝0.48D.P（X≥1）＝0.488ACD解：

P

（25.35＜ξ＜25.45）＝1－2

P

（ξ≥25.45）＝1－2×0.1＝0.8.故A

正确.由选项A的分析知，1件产品的质量指标ξ不位于区间（25.35，

25.45）的概率为1－0.8＝0.2，所以

X

～

B

（3，0.2）.所以

E

（

X

）＝

3×0.2＝0.6.故B错误.

D

（

X

）＝3×0.2×0.8＝0.48.故C正确.

P

（

X

≥1）

＝1－

P

（

X

＝0）＝1－0.83＝0.488.故D正确.综上所述，符合题意的是

ACD.[对点训练]2.某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布

N

（25.40，

σ2），且

P

（ξ≥25.45）＝0.1.现从中任取

n

个零件，用

X

表示

n

个零件

中质量指标ξ在（25.35，25.45）之外的个数.若

E

（

X

）＜2，则

n

的最大

值是

⁠.解：由题意，得任取1个零件，质量指标ξ在（25.35，25.45）之外的概

率为

P

（ξ≤25.35）＋

P

（ξ≥25.45）＝2

P

（ξ≥25.45）＝0.2.所以

X

～

B

（

n

，0.2）.所以

E

（

X

）＝0.2

n

＜2，解得

n

＜10.又因为

n

∈N*，所

以

n

的最大值是9.9

总结提炼

（1）

解决正态分布问题有三个关键点：①

均值μ；②

标准差σ；③

分

布区间.（2）

利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征

进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率.热点2

回归分析[典例设计]例3（1）

（多选）（2023·山西一模）某同学用搜集到的六组数据

（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，6），绘制了如下散点图，在这六个点中去

掉点

B

后重新进行回归分析，则下列说法中，正确的是（

BC

）BCA.决定系数R2变小B.相关系数r的绝对值更趋于1C.残差平方和变小D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱解：从题图中可以看出，点

B

与其他点偏离较远，故去掉点

B

后，回归

效果更好.所以决定系数

R

2变大，相关系数

r

的绝对值更趋于1，残差平

方和变小，解释变量

x

与响应变量

y

的相关性变强.综上所述，符合题意

的是BC.

x23456y1925★3844A.看不清的数据★的值为34B.x，y具有正相关关系，相关系数r＝6.3C.样本点（4，★）的残差为2D.据此模型估计产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨答案：ACD

A.由散点图可知，大气压强与海拔负相关B.由方程＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1km，大气压强必定降低

4.0kPaC.由方程＝－4.0x＋68.5可知，样本点（11，22.6）的残差为－1.9D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程＝132.9e－0.163x的预报效

果更好答案：ACD

4.（多选）2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.物价局派人对5

个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价

x

（单位：元）和销售量

y

（单位：件）之间的一组数据如下表：x9095100105110y1110865

A.变量x与y负相关且相关性较强B.＝40C.当x＝85时，y的估计值为13D.样本点（105，6）的残差为－0.4答案：ABD

热点3

独立性检验[典例设计]例4（1）

（多选）某学校为了了解学生对食堂服务的满意度，随机

调查了50名男生和50名女生，每名学生对食堂的服务给出满意或不满意

的评价，得到如下2×2列联表：单位：人性别评价合计满意不满意男生302050女生401050合计7030100α0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.828经计算，χ2≈4.762，则下列说法中，正确的是（

AC

）A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C.有95％的把握认为该学校男、女生对食堂服务的评价有差异D.有99％的把握认为该学校男、女生对食堂服务的评价有差异AC临界值表

A.20人B.30人C.60人D.80人答案：C

总结提炼

分类变量与独立性检验的解题要点（1）

在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足

ad

－

bc

≈0.｜

ad

－

bc

｜越小，说明两个变量之间的关