汽车振动学：基于MATLABSimulink的分析与实现 课件 第4章 汽车多自由度振动系统

CONTENTS目录第4章汽车多自由度振动系统4.1汽车多自由度振动系统建模4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标4.3汽车多自由度无阻尼自由振动系统4.4汽车多自由度有阻尼受迫振动系统4.5汽车多自由度振动系统综合训练4.1汽车多自由度振动系统建模第四章汽车多自由度振动系统整体而言，汽车是一个多自由度的振动系统，汽车悬架系统的关键组件—阻尼减震器—对汽车振动性能的改善起到了至关重要的作用。在静平衡位置（弹簧力与阻尼力的合力抵消了车身的重力），如果将汽车车身和座椅分别简化为两个质量块，其重量各由一个单独的阻尼减震器支撑，其示意图如图4-1所示。图4-1汽车多自由度振动系统其中：m3为汽车座椅质量（kg）；m2为汽车车身质量（kg）；m1为汽车车轮质量（kg）；k2为汽车座椅弹簧刚度（N·m-1）；k1为汽车悬架弹簧刚度（N·m-1）；kt为汽车轮胎弹簧刚度（N·m-1）；c2为汽车座椅阻尼系数（N·s·m-1）；c1为汽车悬架阻尼系数（N·s·m-1）；F为外界施加的力（N）；x3为座椅相对于静平衡位置的时变位移（m）；x2为车身相对于静平衡位置的时变位移（m）；x1为车轮相对于静平衡位置的时变位移（m）；第四章汽车多自由度振动系统假设汽车前后悬架结构相同并且左右对称，汽车四个车轮的受到同样的外界激励，取1/4汽车作为研究对象，如果将汽车整体抽象为三个单独质量块的上下往复振动系统，则可以建立如图4-2所示的动力学模型：图4-2汽车二自由度振动力学模型取车身静平衡位置为坐标原点，分析其受力可得到如图4-3所示的受力图：图4-3座椅、车身和车轮受力图第四章汽车多自由度振动系统或者（4-2）可以看出，该方程是一个二阶非齐次线性微分方程组。根据牛顿第二定律可以得到该振动模型的动力学方程：（4-1）4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统图4-4汽车多自由度无阻尼振动系统以图4-4所示的汽车多自由度无阻尼振动系统为例，多自由度无阻尼振动的微分方程可以表示为：（4-3）将上式表示为矩阵形式如下：（4-4）其中4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统设三自由度系统运动微分方程（4-4）的解为（4-5）即设系统的各坐标做同步谐振动。上式又可表示为（4-6）式中将式（4-6）代入式（4-4），并消去

，可得到（4-7）或（4-8）（4-9）令（4-10）式（4-10）称为特征矩阵。第四章汽车多自由度振动系统由式（4-9）可以看出，要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程（或特征方程）（4-11）式（4-11）是关于

的3次多项式，由它可以求出3个固有圆频率（或称特征值）。因此，3个自由度振动系统具有3个固有圆频率。下面对其取值情况进行讨论。在式（4-8）的两端，前乘

的转置，可得到（4-12）由于系统的质量矩阵

是正定的，刚度矩阵是正定的或半正定的，因此有（4-13）于是，由式（4-12）得到（4-14）第四章汽车多自由度振动系统因此，频率方程（4-11）中所有的固有圆频率值都是实数，并且是正数或为零。进而可求出系统的固有频率。通过刚度矩阵为正定的，称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的，称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的3个固有频率的值互不相等（也有特殊情况）。将各个固有圆频率按照由小到大的顺序排列为（4-15）式中，最低阶固有频率

称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为第二阶、第三阶固有频率。例4-1图4-5是一个三自由度系统，,,,,,,求系统的固有圆频率。图4-5三自由度系统质量块

，和的垂直位移，和是广义坐标。根据式（4-4），系统的质量矩阵和刚度矩阵可以写成（4-16）第四章汽车多自由度振动系统将

，带入公式（4-11）可得（4-17）展开上式，可得（4-18）上述公式的特征值可用matlab求得（4-19）固有圆频率为（4-20）4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统

将各个固有圆频率（特征值）代入式（4-9），可分别求得相对应A。例如，对应于

可以求得，它满足（4-21）

为对应于

的特征矢量。它表示系统在以的频率做自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为系统的第i阶主振型，也称固有振型或主模态。

由于式（4-21）是线性代数中特征值问题，它相当于是

的齐次线性代数方程组，一般来说，其中只有2个是线性无关的，所以求解主振型矢量时，通常是取其中某个元素的值为1，进而确定其他元素，该过程称为归一化。对于任何一个3自由度振动系统，总可以找到3个固有频率和与之对应的3阶主振型（4-22）对此进行归一化，令

，于是可得第i阶主振型矢量为（4-23）第四章汽车多自由度振动系统主振型矢量

也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。由特征矩阵可得其逆矩阵为（4-24）式（4-24）左右两边前乘

，则得到（4-25）式中，

为单位矩阵。将固有圆频率代入式（4-25），则有（4-26）因为

，于是有（4-27）式中，

和是将之值代入之后的矩阵。现将式（4-26）和式（4-21）进行比较，可以得到主振型矢量与特征矩阵的伴随矩阵中的任何非零式列成比例，所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。例4-2求如图4.5所示的系统的主振型系统的固有圆频率为第四章汽车多自由度振动系统（4-28）将固有频率代入式（4-9）得（4-29）（4-30）令

，将，，带入上式得（4-31）则主振型为（4-32）例4-3求解如图4-6所示系统的振动方程、固有频率和主振型。系统参数为：

，，。第四章汽车多自由度振动系统图4-6根据式（4-4），系统的质量矩阵和刚度矩阵可以写成（4-33）将

，代入式（4-11）,得（4-34）展开上式可得（4-35）通过因式分解可得（4-36）第四章汽车多自由度振动系统系统的固有频率为（4-37）根据式（4-9）可得（4-38）将

，，带入上式并令可得（4-39）则系统的主振型为（4-40）4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统在3自由度振动系统中，具有3个固有圆频率和与之对应的3阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。设

、分别是对应于固有圆频率、的主振型，由式（4-8）得到下列两式（4-41）（4-42）将式（4-41）两边转置，然后右乘

，由于、都是对称矩阵，得到（4-43）将式（4-42）两边左乘

，得（4-44）式（4-43）与式（4-44）相减后得（4-45）如果当

时，有，则由式（4-45）得（4-46）第四章汽车多自由度振动系统将式（4-46）代入式（4-43）得（4-47）当

时，式（4-45）总能成立，令（4-48）（4-49）由式（4-43），令

，可得关系式（4-50）所以，

称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；称为第i阶主质量或第i阶模态质量。4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统以各阶主振型矢量为例，按顺序排列成一个3×3阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即（4-51）根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质（4-52）式中（4-53）分别是主质量矩阵和主刚度矩阵。式（4-52）表明，主振型矩阵

具有如下性质：当、为非对角阵时，如果分别前乘主振型矩阵的转置矩阵，后乘以主振型矩阵，则使质量矩阵和刚度矩阵转变成对角矩阵、。第四章汽车多自由度振动系统主振型

表示系统做主振动时，各坐标幅值的比。在前面的计算中，一般采用将其第一个元素为1从而进行归一化。这种归一化的方法对于缩小计算数字和绘出振型很方便。为了以后计算系统对各种响应的方便，这里将介绍另一种归一化的方法（质量归一化），即使由对角阵变换为单位阵。为此，将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即（4-54）这样得到的振型称为正则振型，

称为第i阶正则振型。正则振型的正交关系是（4-55）（4-56）式中，

为第i阶固有圆频率。以各阶正则振型为例，依次排列成一个3×3阶方阵，称此方阵为正则振型方阵，即（4-57）第四章汽车多自由度振动系统由正交性可导出正则矩阵

的两个性质（4-58）称

为谱矩阵。例4-4求如图4-6所示系统的主质量矩阵、主刚度矩阵、归一化模态矩阵、归一化刚度矩阵。通过例4-3可得（4-59）主振型矩阵为（4-60）第四章汽车多自由度振动系统主质量矩阵为（4-61）主刚度矩阵为（4-62）归一化因子为（4-63）第四章汽车多自由度振动系统归一化模态矩阵为（4-64）归一化刚度矩阵为（4-65）例4-5求如图4.7所示系统的主质量矩阵、主刚度矩阵、归一化模态矩阵、归一化刚度矩阵。参数如下：

,。图4-7三盘扭转振动系统根据式（4-4），系统的质量矩阵和刚度矩阵可以写成（4-66）将

，代入式（4-11）可得（4-67）第四章汽车多自由度振动系统展开上式（4-68）特征值为（4-69）根据式（4-9）并令

，系统模态为（4-70）主振型为（4-71）主质量矩阵为第四章汽车多自由度振动系统（4-72）主刚度矩阵为（4-73）归一化模态矩阵为（4-74）归一化刚度矩阵为（4-75）4.2固有频率与主振型4.2.1频率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩阵与正则振型矩阵

4.2.5主坐标和正则坐标第四章汽车多自由度振动系统

1.主坐标

这组坐标变换的物理意义，可由式(4.35)的展开式看出

即

或

（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）（4-80）汽车多自由度振动系统第四章汽车多自由度振动系统即原物理坐标的各位移值，都可以看出是由3个主振型按一定的比例组合而成。将式(4-76)和式(4-78)代入运动微分方程(4.4)，得

由主振型矩阵的两个性质，即式(4-52)，得

由正则振型矩阵的两个性质，即式(4-58)，得

或

2.正则坐标（4-85）（4-81）（4-82）（4-83）（4-84）（4-88）（4-89）（4-87）（4-86）4.3汽车多自由度无阻尼自由振动系统

当忽略汽车悬架系统阻尼对汽车系统振动的影响，则汽车三自由度振动系统可以被简化为一个无阻尼振动系统。汽车二自由度无阻尼自由振动系统将式(4-4)微分方程表示为矩阵形式如下：其中：列写振动方程

当t=0时，系统的初始位移与初始速度为

求系统对初始条件的响应。（4-90）（4-91）第四章汽车多自由度振动系统求解方法先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成3个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出3自由度无阻尼系统对初始条件的响应。将正则坐标变换的表达式

由单自由度系统自由振动的理论，可得到上式对初始条件的响应为

代入式(4-4)中，便得到用正则坐标表示的运动微分方程如(4-88)的形式，即（4-92）（4-93）（4-94）第四章汽车多自由度振动系统(4-98)

(4-95)

(4-96)将式(4-96)代入式(4-95)，得

(4-97)由式(4-48)可得到

第四章汽车多自由度振动系统(4-100)(4-99)将式（4-98）代入式（4-94）中，便得到用正则坐标表示的系统对初始条件的响应；然后，再利用式（4-85）的坐标变换，得到式（4-99）表明，系统的响应是由各阶振型叠加得到的，因而，本方法又称为振型叠加法。对于半正定系统，又固有圆频率

，系统具有刚体运动振型，因此，有上式积分两次得到第四章汽车多自由度振动系统

解：系统的微分方程为

(4-101)第四章汽车多自由度振动系统写成矩阵形式：

可以写出其特征矩阵为

(4-103)(4-104)(4-102)第四章汽车多自由度振动系统

将各个固有圆频率代入，可以求出各阶主振型为

主阵型矩阵为

(4-106)(4-107)(4-105)第四章汽车多自由度振动系统可以求出主质量矩阵为

根据式(4-54)，求出正则振型矩阵为

由式(4-96)得

(4-109)(4-110)(4-108)第四章汽车多自由度振动系统再由式(4-98)，得到

根据式(4-94)可得

由式(4-99)，可求出系统响应(4-111)(4-112)(4-113)(4-114)第四章汽车多自由度振动系统图4-8汽车三自由度无阻尼自由振动系统的位移时程曲线由于三自由度振动系统求解比较困难，可以利用MATLAB计算上述式子。第四章汽车多自由度振动系统图4-9汽车三自由度无阻尼自由振动系统Simulink模型此外，利用的汽车三自由度无阻尼自由振动的微分方程，在Simulink中搭建如图4-9所示的仿真模型，也可以得到相同的位移时程曲线。第四章汽车多自由度振动系统4.4汽车多自由度有阻尼受迫振动系统

图4-10

汽车三自由度有阻尼受迫振动系统以图4.4.1所示的汽车三自由度有阻尼受迫振动系统为研究对象，取座椅、车身和车轮的静平衡位置为坐标原点，车身和车轮振动位移沿弹簧形变方向铅直向上为正。假设汽车上作用一简谐激振力

汽车三自由度有阻尼系统受迫振动的微分方程为(4-115)(4-116)第四章汽车多自由度振动系统将上式表示为矩阵形式如下：

(4-117)当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换可对方程(4-117)解耦。即

(4-118）式中则式(4-118)可写成(4.120)(4-119)第四章汽车多自由度振动系统由单自由度受迫振动理论，可得到式(4-120)的稳态响应为式中再由正则坐标变换关系式(4-122)(4-121)(4-125)这种方法称为求有阻尼振动系统的响应的振型叠加法。利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解耦的分析方法，称为正规模态法或实模态分析法。(4-123)

(4-124)得到系统的稳态响应第四章汽车多自由度振动系统

解:

（1）由简化模型列些无阻尼受迫振动方程

式中

(4-126)第四章汽车多自由度振动系统

将各个固有圆频率代入，可以求出各阶主振型为

(4-127)(4-128)(4-129)(4-130)第四章汽车多自由度振动系统主阵型矩阵为

可以求出主质量矩阵为

根据式(4-54)，求出正则振型矩阵为

(4-131)(4-133)(4-132)第四章汽车多自由度振动系统

引入振型阻尼比，则或(4-134)(4-135)(4-136)第四章汽车多自由度振动系统求正则坐标的响应由则(4-137)(4-138)(4-139)第四章汽车多自由度振动系统

图4-11汽车三自由度有阻尼受迫振动稳态响应曲线求系统的响应利用MATLAB程序绘制位移曲线。(4-140)第四章汽车多自由度振动系统图4-12汽车三自由度有阻尼受迫振动系统Simulink模型

第四章汽车多自由度振动系统图4-13汽车三自由度有阻尼受迫振动系统Simulink模型第四章汽车多自由度振动系统4.5工程案例：汽车多自由度系统振动特性仿真分析

汽车三自由度模型如图4-14所示。汽车初始变量如表4-1所示。求：（1）侧偏角时域仿真分析；（2）横摆角速度时域仿真分析；

（3）横摆角时域仿真分析;图4-14三自由度汽车模型符号单位含义值mkg汽车质量1985mskg簧载质量1500hsm质心S到横摆轴的距离0.48FyfN前轮侧向力--FyrN后轮侧向力--δfrad前轮转向角--δrrad后轮转向角0αfrad前轮侧偏角--αrrad后轮侧偏角--rrad/s偏航率--ϕrad车身偏航角--prad/s--S--簧载质量质心--P--非簧载质量质心--CG--汽车质心--Izzkg*m2绕Z轴的转动惯量2450Ixxkg*m2绕X轴的转动惯量660Ixzkg*m2平面的惯性积由车辆关于x轴和z轴的两个方程组成0KfN/rad前轮侧倾刚度12600KrN/rad后轮侧倾刚度16300Rf--前轮侧倾转向系数-0.314Rr--后轮侧倾转向系数0lfm质心与前轮之间的距离1.1lrm质心与后轮之间的距离1.77lm前后轮之间的距离,（l=lf+lr）2.88KϕfN/rad前悬架侧倾刚度--KϕrN/rad后悬架侧倾刚度--KϕN/rad悬架总侧倾刚度,（Kϕ=Kϕf+Kϕr）62000CϕfNm/rad前轮横摆阻尼--CϕrNm/rad后轮横摆阻尼--CϕNm/rad悬架总横摆阻尼，（Cϕ=Cϕf+Cϕr）3800Vm/s汽车速度30gm/s2重力加速度9.8表4-