专题12 导数与函数的零点（方程的根）（考点清单）（解析版）

专题12导数与函数的零点（方程的根）（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 2三、典型例题讲与练 3考点清单：01判断（证明、讨论）函数零点（方程的根）的个数 3【考试题型1】判断函数零点（方程的根）的个数 3【考试题型2】证明函数零点（方程的根）的唯一性 5【考试题型3】讨论函数零点（方程的根）的个数 6考点清单：02利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 9【考试题型1】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 9考点清单：03数形结合法研究函数的零点（方程的根） 12【考试题型1】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 12考点清单：04利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 16【考试题型1】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 16一、思维导图二、知识回归知识点01：函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．知识点02：函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点三、典型例题讲与练：01判断（证明、讨论）函数零点（方程的根）的个数【考试题型1】判断函数零点（方程的根）的个数【解题方法】求导+画图【典例1】（2023上·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】的定义域为，由题意可得，因为单调递增且当时，当时，所以存在唯一一点使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，又因为，，所以有2个零点，故选：C【典例2】（2022上·天津南开·高三校考阶段练习）函数的零点个数是．【答案】2【详解】，画出与的图象如下图所示，当时，，，所以在曲线图象上点的切线方程为，即.由图可知与有两个公共点，即有两个零点.故答案为：

【专训1-1】（2023下·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）若函数的零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】的定义域为R，且，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故函数的零点的个数为2.故选：C【专训1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，，，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】当时，，所以不是函数的零点，因为，所以，所以为偶函数，当时，，，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值，所以当时，有唯一零点，又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，综上所述：函数的零点个数为.故选：A【考试题型2】证明函数零点（方程的根）的唯一性【解题方法】零点存在定理+单调性【典例1】（2022·四川·高三统考对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．【答案】(1)，；(2)证明见解析.【详解】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，又，所以函数有唯一零点．【典例2】（2022上·山东·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）因为，且，，所以切线方程为，即所求切线方程为．（2）．因为，所以，，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点．【专训1-1】（2022下·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知函数，．(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；【答案】(1)证明见解析，零点为0【详解】（1）函数的定义域为，，令，而，故在上单调递减，在单调递增．所以，，即．故在上是单调递增的．又因为，因此，函数有唯一的零点，零点为0．【考试题型3】讨论函数零点（方程的根）的个数【解题方法】分类讨论法+图象【典例1】（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)在上有两个零点【详解】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.【典例2】（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的零点的个数.【答案】答案见解析【详解】由得，设，

则，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减，即当时，g(x)取得极大值即，由，单调递增，可得与x轴只有一个交点，由，单调递减，可得与x轴没有交点，画出的大致图象如图，可得m≤0或m=时，有1个零点；当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点；当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.【专训1-1】（2022下·山东菏泽·高二统考期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)2个零点，理由见解析.【详解】（1）由，而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：；（2）函数的定义域为，由（1）可知：，当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点；当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点，所以函数f（x）有个零点.【专训1-2】（2019上·吉林长春·高三校考阶段练习）已知函数,．(1)讨论函数的单调性；(2)当时,判断的零点个数．【答案】(1)见解析；(2)2【详解】(1),故当时,,所以函数在上单调递增,当时,令,得,所以函数在上单调递增,令,得,所以函数在上单调递减,综上,当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(2)设,则,令,解得,当时,；当时,；故最大值为，所以有且只有一个零点.：02利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）【考试题型1】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）【解题方法】极值，最值【典例1】（2022上·贵州遵义·高三统考期中）已知函数在处取得极值2．(1)求的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1），依题意，，解得，经检验，，符合题意，，的值分别为，；（2）由（1）可得，，方程有三个相异实根，即的图象与直线有三个不同的交点，，令，解得或，令，解得，在单调递增，在单调递减，且，，即实数的取值范围为．【典例2】（2023上·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）已知函数，当时，函数取得极值.(1)若在上为增函数，求实数m的取值范围；(2)若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则，因为时，取到极值，所以，解得.又当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极值，符合题意.要使在上为增函数，则或，所以或.即实数的取值范围为.（2）令，由（1）得，且，故，，则，当时，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故，而，，故.要使有两个根，则.即实数的取值范围为.【专训1-1】（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值．(3)设在上有两个零点，求的范围.【答案】(1)；(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为；(3).【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.所以，又，，所以.（3）在上有两个零点，即有两个不等根，由（2）知.【专训1-2】（2023上·西藏林芝·高三校考阶段练习）已知函数(1)当时，求的函数值；(2)若有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)7(2)【详解】（1）当时，,则.（2）,若，则，则函数在上单调递增，此时函数至多有一个零点，不满足题意；若，令，解得或，令，解得，所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，要使函数有三个零点，只需，即，解得，综上，.：03数形结合法研究函数的零点（方程的根）【考试题型1】数形结合法研究函数的零点（方程的根）【解题方法】数形结合【典例1】（2023下·四川乐山·高二期末）已知函数．(1)求的极值；(2)求方程有两个不同的根，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【详解】（1）∵，∴的定义域为，，令，解得．则当时，单调递减，当时，单调递增，∴在单调递减，在单调递增．∴当时，有极小值，没有极大值.（2）∵时，，时，，则的图象如下：

由图象可知，当时，方程有两个不同的根.故的取值范围为．【典例2】（2022上·安徽·高三砀山中学校联考阶段练习）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若x=0为函数的极值点，且函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，故；而，故，又故所求切线方程为；（2）令，则；，.而，解得，经检验成立所以，故函数的定义域为R；令，解得或；故当时，，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；而，，且当时，，当时，，作出的大致图象如图所示，观察可知，实数的取值范围为【专训1-1】（2022上·贵州六盘水·高三校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)极小值，无极大值；(2)【详解】（1）当时，，时，，单调递增，时，，单调递减，故的减区间为，增区间为，所以时，函数取到极小值，无极大值；（2）令，可得，记，原问题等价于的图象与直线有唯一的交点，，在上单调递增，且，∴在上单调递减，在上单调递增，且，，当，做出函数图象：由图可知，当或时，的图象与直线有唯一的交点，故实数a的取值范围为.【专训1-2】（2022下·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间和极值.(2)若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，，极小值为0，极大值为.(2)【详解】（1），由得或，由得，所以的递增区间为，递减区间为，.极小值为，极大值为.（2）方程有唯一的实数根等价于函数与直线有唯一的交点，画出的大致图像如图所示，所以实数的取值范围为.：04利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）【考试题型1】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）【解题方法】同构函数【典例1】（2023·河北保定·统考一模）已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为．【答案】1【详解】在中，，∴，∴∴（c为常数），由，解得：，∴，若在区间内存在零点，整理可得：，设，，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，所以，当时，等号成立，所以当且仅当时，上式取等号即存在，使，设，，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，所以，故m最小值为1,故答案为：1【典例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．故答案为：.【专训1-1】（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知，若关于的方程存在正零点，则实数的取值范围.【答案】【详解】依题意，，令，因此关于的方程存在正零点，即方程有解，设，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是，而，则存在唯一零点，即在有解，即，令，则，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：【专训1-2】（2023下·贵州六盘水·高二统考期末）若有且只有1个零点，则实数．【答案】【详解】设，则，①当时，显然恒成立，无零点；②当时，令，