甘肃省张掖市2023-2024学年度高二年级上册开学检测数学试题【解析版】

甘肃省张掖市2023-2024学年度高二上学期开学（暑假学

习效果）检测数学试题【解析版】

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知归2=i（i为虚数单位），则复数z=

Z

A.l+iB.\—iC.—1+iD.—1—i

2.sin210。的值为（）

A.yB.--C.—D.-也

2222

3.如图，在AOAB中，P为线段AB上的一点，OP=xQ4+yO8,且BA=4PA，则（）

B.J,修

33

31D.x=L1

C.x=-,J=

4444

4.某校举办文艺汇演，高二（1）班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：SA,

93,19,巡，旭，区2，酷，84,9J,8J,94,则这组数据的（）

A.极差为1B.众数为8.4

C.80%分位数为8.9D.第三四分位数为9.05

5.cos20cos40-sin20cos50的值等于（）

A.—B.0C.gD.—―

222

6.已知随机事件A,B,C中，A与8互斥，8与C对立，且P（A）=0.3,P（C）=0.6,则

P(AB)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

7.已知北〃是两条不同的直线，名尸,？是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.m//a,n//a,则相〃〃

B.m//n,m//a,则〃〃a

C.mLa,mL/3,则a///?

D.a±/,/7±7,贝ija〃尸

8.在，.ABC中，sinA:sin:sinC=4:5:6,则8sC=()

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9.下列命题正确的是（）

A.不共线的三点确定一个平面

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.经过两条平行直线，有且只有一个平面

D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等

10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（）

A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件

B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件

C.事件A=“两个球同色”，则P（A）=]

o

D.事件B=“至少有一个红球”，则P（B）=而

11.已知函数/（x）=Asin（s+9）（其中A>0,>0,附<5）的部分图象如图所示,

则（）

3卜一八

。X

32L

-48

2-

兀

A.（p-----B.co=4

6

JT7T3

c./（X）的图象关于直线X军对称D./（X）在—上的值域为一,3

12.已知平面四边形ABCO,。是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）

A.若AB=OC，则A8C。是平行四边形

B.^\AB+AD\=\AB-AD\,则A8C£＞是矩形

C.^\OA-OB\=\OA+OB-2OC\,贝曙43c为直角三角形

\

D.若动点P满足OP=OA+，〃些—+,d（〃?>0）,则动点P的轨

ABsinABCAQsinZACB

迹一定通过ABC的重心

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.i是虚数单位，已知H=写出一个满足条件的复数。.

14.已知向量a=(2,4),6=(匕6),若a〃人，贝心=.

15.已知球。的体积为36兀，则该球的表面积为.

16.若函数/(x)=4sin5sin2(¥+5)+cos25-lW>0)在-y,y内有且仅有一个

最大值点，则。的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

17.已知向量°,人满足(4+6〉(“-2。)=-6,且忖=1,忖=2.

⑴求a/;

(2)若a与b的夹角为夕，求。的值.

18.某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次,

已知甲每轮射中的概率为乙每轮射中的概率为|.在每轮比赛中，甲和乙射中与否

互不影响，各轮比赛结果也互不影响.

(1)求“少年队''在一轮比赛中恰好射中1次的概率；

(2)求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率.

19.ABC的内角A8,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=hlonA.

(1)求A；

(2)若a=6,b=血，求,ABC的面积.

20.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，己知AB=AA=2,。是AB的中点.

(1)求直线CG与。片所成角的正切值

(2)求证：平面_L平面ABBtAt,并求点B到平面的距离.

21.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优

惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商

平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组［15,25),第2组

［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),得到如下频率分布直方图:

(1)求出频率分布直方图中的。值和这200人的年龄的中位数及平均数；

(2)从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访,

求这两人恰好属于同一组别的概率.

22.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，该四棱锥的底面ABCD是边长为6的菱形，

ZABC=120°,PA=PC,NPBD=NPDB=3。,E为线段AB上靠近B点的三等分点.

(2)在线段PO上是否存在一点尸，使得EF〃平面P8C?若存在，求一的值及直线EF

与平面A8CD所成角的大小；若不存在，请说明理由.

1.B

【分析】利用复数除法运算化简已知条件，由此求得z.

【详解】由上些=,•得z=W=丝与D=i".

zIz-(-z)

故选：B

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.

2.B

【详解】由诱导公式可得sin21(F=-s加30。=-1，故选B.

2

3.C

【分析】由己知，点尸是线段胡的一个四等分点，得出与84的关系，再由向量的线性

运算即可求得q>的值.

3

【详解】由BA=4PA可得8P=7物，

4

3331

^VXOP=OB+BP=OB+-BA=OB+-(OA-OB)=-OA+-OB,

4444

31

44

故选：c

4.D

【分析】根据数据的极差、众数、百分位数的定义即可判断ABCD.

【详解】对A,这组数据从小到大排为8.2,8.4,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.8,8.9,9.2,

9.3,9.4,则极差为9.4-8.2=12,故选项A错误；

对B,由于众数为8.4和8.8,故选项B错误；

对C,由于12x80%=9.6,则80%分位数为9.2,故选项C错误；

对D,由于12x75%=9,则第三四分位数为吧广•=9.05,故选项D正确.

2

故选：D.

5.C

【分析】根据两角和的余弦公式以及诱导公式，可将原式化成cos(20+40)即可求得结果.

【详解】利用诱导公式可知cos50=cos(90-40)=sin40,

]_

所以,原式=cos20cos40-sin20sin40=cos（20+40）=cos60

2

即cos20cos40-sin20cos50=：.

故选：C

6.C

【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可..

【详解】因为P(C)=0.6,事件B与C对立，

所以P(B)=O4,

又P(A)=0.3,A与8互斥，

所以尸(A8)=P(A)+P(3)=0.3+04=0.7,

故选：C.

7.C

【分析】根据的关系可判断A,根据直线与平面的关系可判断B,根据线面垂直的性质

判断C,根据面面垂直的概念判断D.

【详解】对A,m//a,n//a,则加〃“，相交，异面和平行都有可能，故A错误；

对B,m//n,m//a,则可能“ua,n//a,故B错误；

对C,根据线面垂直的性质可知4时，a//P,故C正确；

对D,a±r,/3Ly,则可能a,4相交，也可能平行，故D错误.

故选：C

8.A

【分析】由正弦边角关系及已知设a=4x,b=5x,c=6x,应用余弦定理求cosC即可.

【详解】由正弦边角关系知:a:b:c=4:5:6,令a=4x,b=5x,c=6x,

c-r.U-u~+b~—c~16x~+25x2—36x-I

所以cosC=--------------=-------------------------=—.

lab2x4xx5x8

故选：A

9.ABC

【分析】根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案.

【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；

由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；

由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确；

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；

故选:ABC.

10.ACD

【分析】结合互斥事件和对立事件的概念，及古典概型公式进行分析即可.

【详解】对于A,两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还

会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事

件，A正确；

对于B,至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误；

对于C,记3个红球为a,b,c,2个黑球为“，e,

则任取2个球的结果有ac,ad,ae,be,hd,he,cd,ce,de,共10个，

4?

事件A发生的结果有浦，ac,be,de,共4个，所以尸(加=历=1,C正确；

-19

对于D,事件8的对立事件的结果有de,共1个，所以P(B)=而，所以尸(8)=而，D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】对于A,由图象可知A=3J(O)=3sin*=-1，可求出对于B,和

£=靠喝可出。的值，对于C，由8x-L+E(ZeZ)可求出对称轴，对于D,利用正

弦函数的性质可求得结果.

、

【详解】依题意得A=3,/(0)=3sine=_]3,sine=_：1,

因为|同＜]，所以夕=一^,所以A正确.

2o

所以玲。一工=E(ZeZ),解得0=8+48Z(ZwZ).

T27rTi

因为-=/所以°v0V24,所以当女=1时，G=8,所以B错误.

44048

因为/(x)=3sin(8x-1,

所以令8》W+E(&eZ),解得x==+”七Z),

62128

则f(x)的图象关于直线X=\对称，C正确.

因为当xj9外时,8x栏J.,图,所以3sinj8x-1]ej-，,3

246」6|_66」I6J2

所以/(X)在尼上的值域为[-1],所以D正确.

24O2

故选：ACD

12.ACD

【分析】由向量相等可判断A；由数量积的性质结合模的运算可判断B和C；由向量的线性

运算结合向量共线可判断D.

【详解】由AB=DC，可得A8//C。，SLAB=CD,故A8C3是平行四边形，所以A正确；

由卜8+44=卜8-4。|,平方可得ABAO=0，即但A8CZ）不一定是矩形，所

以B错误；

由|OA-O3HoA+O3-2OC|,可得网=向一"+03-0。，Bp|CA-Cfi|=|CA+Cfi|,因

此C4LC3,所以AfiC为直角三角形，所以C正确；

作A£_L8C于E,由于卜8卜皿3=|47卜拓。=,耳，所以

/\

OP=OA+m-----------------------------=OA+4（A8+AC）,即

jA.sin/ABC\AC\sinZACBJ|AE|V7

m/\

AP=R@（AB+ACJ,故P的轨迹一定通过ABC的重心，所以D正确.

故选：ACD.

13.G=l+i（答案不唯一，满足69=a+ai（4cR）均可）

【分析】设。=。+历（a,6eR）,根据已知得〃，b关系,然后可得答案.

【详解】设6y=a+6i（a,6eR）,因为同一1|=g-i|,

所以一1+例=|。+3—l）i[,即"1）2$=M+（f2,

整理得a=b,取。=0=1得69=l+i.

故答案为：0=l+i（答案不唯一，满足G=a+ai（awR）均可）

14.3

【分析】直接利用向量平行的坐标运算求解.

【详解】ab,a=（2,4）,b=（左,6）,

/.2x6=4/:,

,\k=3.

故答案为：3

15.36兀

【分析】由球的体积公式求出球的半径R,再由表面积公式计算即可.

【详解】由球的体积公式v=g兀斤可知，：兀内=36兀，解得R=3,

.•.球的表面积5=4nR2=36K.

故答案为：36兀

16.[1,g）

2

【分析】利用三角恒等变换化函数”》）为丫=45皿5+夕）缶＞0,。＞0）的形式，再根据给

定条件及函数性质分析作答.

/、7T

【详解】/(x)=2sin6yx[l-cos(d>x+—)J-2sin2cox=2sina)x(\+sincox)-2sin2cox=2sincox,

h八rni71,,71C07C//①冗

而G>0,则——<X<—,----<CDX<——,

3232

71」(07T57rC/L

—<——<—1<69<59

222

依题意得.，解得92-

(07137rco<—

32z

所以。的取值范围是[1,91).

9

故答案为：[1,Q)

17.(1)-1；

【分析】(1)根据向量的线性运算计算即可；

11

/7•h

(2)由COS6=T^%计算即可.

\a\-\b\

【详解】(1)解：(a+h)-(a-2h)=a2-ab-2b2=-6,

又因为忖=1,忖=2,

,・,a-h,=a2—2h.2+6=1—-8+6,=—1；

ii

Z7.h—1!

(2)解：由题意可得cos，=qL=[=一：,

\a\-\b\22

又因为6e[0,2,

所以e=

18.⑴g

哈

【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可;

（2）根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利

用独立事件的乘法公式和概率的加法即可.

【详解】（1）设4，分别表示甲、乙在第k（k=l,2,3,...）轮射中，

12

则尸（4）=5,P（4）=§.

设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，

则尸（c）=P（A）P（瓦）+尸伍）尸（4）

11121

=—x—+—x—=—,

23232

所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率为;.

（2）设4，D,,2，4分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次,

E。,£2,々分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次,

M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次.

v0722282228

P（£）^）=3x—x—x—=-,P（£>J=—x—x—=-,

v2722281浦2228

P（E.）=—x—x—=-P（E.）=3x—x—x-=—,

'（"33327f'"3339

P（E.）=3x-x-x-=-,P（E）=-x-x-=—,

v3339'”333327

所以尸（M）=P（A）尸（鸟）+尸（力）尸（£2）+P（4）P（G）+P（A）P（绘）

183432117

=—X------F—X--F—X--F—X——=——,

827898982724

7

故“少年队，，在三轮比赛中恰好射中3次的概率为二.

19.（l）j

4

尾

【分析】（l）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得sin（A+C）=sin8=sin/?taM,再由三

角形内角性质得tanA=I,进而确定角的大小；

（2）根据余弦定理求c=3,再应用三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）由acosC+ccosA=〃tarv4结合正弦定理可得sinA8sC+cosAsinC=sinBtanA,整

理得sin（A+C）=sinB=sinBlanA,

sinB>0,/.tanA=1,

Ae（0,7t）,/.A=—.

22222

（2）a=h+c-2hccosA,:.5=2+c-272cx—,BPc-2c-3=0^解得c=3,

2

AfiC的面积为』x3x夜xsin'=』.

242

20.（1）^

（2）证明见解析，点8到平面的距离为竽

【分析】（1）通过平行线转化，从而找到直线与直线所成角，然后通过解三角形知识即可求

解；

（2）利用平面与平面垂直的判定定理即可证明；再作出点到平面的垂线段，然后利用等面

积法即可求解.

【详解】（1）由正三棱柱的结构特征可知：CCJ/BB、,8片，平面ABC,抽。为等边三角

形；

•••直线CC,与DB,所成角即为NDBiB,

Q8£）u平面ABC,平面ABC,与_LB£）,

因为。是AB的中点，所以80=348,

AD

所以在Rt4BO中，tanNQ4B=^=J=L

1叫A4,2

即直线CC,与。片所成角的正切值为g.

(2)因为。是A8的中点，ABC为等边三角形，所以。W,

因为B耳，平面ABC,CDu平面ABC,所以CD,明，

又因为ABu平面ABB|A，

所以CD_L平面ABB|A，

又因为C£>u平面CQB1,所以平面平面ABB|A.

在平面ABB|A内作BE_LBQ,垂足为E,

平面CDS，平面4B4A,平面CD用'平面AB8M=耳。，BEu平面ABB0,BE工BQ,

：.3EJ_平面CDB],点B到平面CDB,的距离即为8E的长,

由(1)知：BBt±BD,.•.4£>=JF+22=石,

阴皿即如蟹凄寻竿

•••点B到平面CDBt的距离为平.

21.(1)。=0.035,中位数为29与5，平均数为41.5

【分析】(1)根据频率和为1的性质可构造方程求得〃；根据频率分布直方图估计中位数和

平均数的方法，直接估算即可;

(2)根据分层抽样可确定5人中分别来自第1,2的人数，利用列举法可得所有基本事件和满

足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】(1)由频率分布直方图性质知：(0.010+0.015+4+0.030+0.010)x10=1,解得：

a—0.035；

(0.010+0.015)x10=0.25,(0.010+0.015+0.035)x10=0.6,

•••中位数位于［35,45),设中位数为垃，

则0.25+35)x0.035=0.5,解得：m二号,即中位数为牛；

平均数为(20x0.010+30x0.015+40x0.035+50*0.030+60*0.010)x10=415

(2)第1,2组的频率之比为0.010:0.015=2:3,

二抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为AB；第2组应抽取3人，记为C,D,E,

则从5人中随机抽取2人,有{AB},{AC},{A。},{AE},{B,C},{B,D},{B,E},

{C,D},{C,E},{D,E},共10个基本事件；