专题14 图形的初步认识（教师版）

知识点01：几何体的展开图【高频考点精讲】1．大多数立体图形是由平面图形围成的，沿着棱剪开就能得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图。同一个立体图形按照不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的。2．正方体的平面展开图（1）“1-4-1”型，共6种（2）“1-3-2”型，共3种（3）“3-3”型，共1种（4）“2-2-2”型，共1种3．其他常见几何体的平面展开图

知识点02：展开图还原成几何体【高频考点精讲】1．间隔对应：1对3；2对5；4对6

2．“Z”型两端对应：1对4；2对5；3对6

知识点03：方向角【高频考点精讲】1．方向角是表示方向的角；以正北、正南方向为基准，来描述物体所处的方向。2．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，所以描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西。注意：四个方向的角平分线按日常习惯描述，即东北，东南，西北，西南。知识点04：七巧板【高频考点精讲】1．七巧板是由5块等腰直角三角形（2块小形三角形、1块中形三角形和2块大形三角形），1块正方形和1块平行四边形组成的。2．用七块板可以拼搭成三角形、平行四边形、不规则的多角形等几何图形，也可以拼成各种具体的人物形象，动物，中英文字符号等。3．制作七巧板的方法（1）在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格；（2）从左上角到右下角画一条线；（3）上边的中间与右边的中间连一条线；（4）从左下角到右上角画一条线，碰到（3）中的线停止；（5）从刚才那条线的尾端向下画线，碰到（2）中的线停止；（6）把各个区域涂上不同颜色，沿着线条剪开，皆可以得到一副七巧板。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.50一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•巴中）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（）A．传 B．承 C．文 D．化解：根据图示知：“传”与“文”相对；“承”与“色”相对；“红”与“化”相对．故选：D．2．（2分）（2023•连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是（）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形，故选：B．3．（2分）（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36° B．44° C．54° D．63°解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．4．（2分）（2023•宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（）A．文 B．明 C．典 D．范解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，∴“城”字对面的字是“明”．故选：B．5．（2分）（2023•青岛）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6＝32，故选：B．6．（2分）（2023•娄底）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P＝），则PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1解：设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，则PA＝，PB＝，PC＝，∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，故选：A．7．（2分）（2023•长春）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤．故选：C．8．（2分）（2023•台湾）如图，直角柱ABCDEF的底面为直角三角形，若∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＞AB＞BE，则连接AE后，下列叙述何者正确（）A．∠ACB＜∠FDE，∠AEB＞∠ACB B．∠ACB＜∠FDE，∠AEB＜∠ACB C．∠ACB＞∠FDE，∠AEB＞∠ACB D．∠ACB＞∠FDE，∠AEB＜∠ACB解：如图，连接AE，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＞AB，∴∠ACB＜∠BAC，∵∠BAC＝∠FDE，∴∠ACB＜∠FDE，在△ABC和△ABE中，∠ABC＝∠ABE＝90°，AB＝AB，BC＞BE，∴∠AEB＞∠ACB，故选：A．9．（2分）（2023•威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点K距离最远的顶点是D，故选：D．10．（2分）（2023•聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π解：如图示：由题意得：O1B∥OC，∴△AO1B∽△AOC，∴＝，∴，解得：AO1＝，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴其侧面展开图的面积为：2×2π﹣1×π＝3π，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•龙川县三模）如果一个角是60°，那么这个角的补角是120°．解：60°角的补角是180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．12．（2分）（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为20°．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．13．（2分）（2023•三水区模拟）如图，是一个正方体的展开图，那么写有“青”字面的对面上的字是梦．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，有“青”字一面的对面上的字是：梦．故答案为：梦．14．（2分）（2023•鼓楼区二模）把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是BD或CD（写出所有正确的答案）．解：把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是BD或CD．故答案为：BD或CD．15．（2分）（2023•兰陵县二模）10个棱长为acm的正方体摆成如图的形状，这个图形的表面积是36a2（cm2）．解：这个组合体的主视图的面积为6a2（cm2），这个组合体的左视图的面积为6a2（cm2），这个组合体的俯视图的面积为6a2（cm2），所以这个组合体的表面积为（6a2+6a2+6a2）×2＝36a2（cm2），故答案为：36a2（cm2）．16．（2分）（2023•余江区二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为3．解：由题意，如图2中，阴影部分的平行四边形的面积＝2×1＝2，阴影部分的三角形的面积＝×2×1＝1，∴阴影部分的面积＝2+1＝3，故答案为：3．17．（2分）（2023•无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为36+2．解：依题意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的边长为2，∴其2个底面积为＝2．∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴其侧面积为6×6＝36，∴该直三棱柱的表面积为36+2．故答案为：36+2．18．（2分）（2023•工业园区一模）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为800cm3．解：20﹣15＝5（cm），15﹣5＝10（cm），26﹣10＝16（cm），16×10×5＝800（cm3）．答：其容积为800cm3．故答案为：800．19．（2分）（2023•开州区校级模拟）如图，已知点O是直线AB上一点，∠1＝50°，OF平分∠BOE，则∠2的度数为65°．解：∵∠1＝50°，∠1+∠EOB＝180°，∴∠EOB＝130°．又∵OD平分∠BOC，∴∠2＝∠EOB＝65°；故答案为：65°．20．（2分）（2023•丹江口市模拟）如图，将长方形纸片ABCD的一角沿EF折叠，使其落在纸片所在的平面内，点A的对应点为A′，再折叠另一角使B点的对应点B′落在射线EA′上，折痕为EG，那么∠FEG的度数为90°.解：∵长方形纸片的一角折叠，顶点A落在A′处，另一角折叠，顶点B落在EA′上的B′点处，∴∠AEF＝∠A′EF，∠BEG＝∠B′EG，而∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG＝180°，∴∠A′EF+∠B′EG＝90°，即∠FEG＝90°．故答案为：90°．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•青县校级模拟）如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°方向，求∠ACB的度数．解：根据题意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+30°＝75°．∵AE∥DB，∴∠DBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣75°＝90°．22．（6分）（2023•阳谷县二模）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多长时间即可到达．（结果保留根号）解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，在Rt△PBQ中，设BQ＝x，∵∠PBQ＝60°，∴PQ＝x，在Rt△PAQ中，∵∠PAQ＝45°，∴PQ＝AQ，即x＝90+x，解得x＝45（+1），∴PQ＝45（3+）海里，在Rt△MBN中，∵∠MBN＝30°，MN＝PQ＝45（3+）海里，∴BM＝2MN＝90（3+）海里，∴从B处到避风港M的时间＝＝（小时）．答：继续航行小时即可到达．23．（8分）（2023•河南二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．【解决问题】（1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系∠AOC+∠BOD＝180°；（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；（3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接写出所有满足条件的t值．解：（1））①如图，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°．②如图，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝180°．综上，∠AOC+∠BOD＝180°．（2）由题意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如图所示，理由如下：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．∴∠BOC＝∠BOD＝45°．∴OB平分∠COD．又∠BOD＝45°＝∠AOB，∴OD平分∠AOB．（3）由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．当∠BOD＝2∠AOC时，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝60°．∴15t＝60，解得t＝4．当2∠BOD＝∠AOC时，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝120°．∴15t＝120，解得t＝8．综上，t＝4或8．24．（8分）（2023•雄县一模）某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，答：景点C，D之间的距离为（3+3m）千米；（2）由题意得5+（6﹣m）＝3+3m，解得m＝2，∴BD＝9+2m＝13，答：景点B，D之间的距离13千米．25．（8分）（2023•沛县三模）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．（1）该盒子的底面的长为3a（用含a的式子表示）．（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值．（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．解：（1）由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为3a﹣a＝2a，∴底面的长为5a﹣2a＝3a，故答案为：3a；（2）∵①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，解得x＝4；（3）如图所示：（答案不唯一）26．（8分）（2020•枣庄）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Fla