专题10 平面直角坐标系与函数（教师版）

知识点01：坐标确定位置及点的坐标规律【高频考点精讲】1．各个象限内，点P（a，b）的坐标特征（1）第一象限：a＞0，b＞0；（2）第二象限：a＜0，b＞0；（3）第三象限：a＜0，b＜0；（4）第四象限：a＞0，b＜0。2．坐标轴上，点P（a，b）的坐标特征（1）x轴上：a为任意实数，b＝0；（2）y轴上：b为任意实数，a＝0；（3）坐标原点：a＝0，b＝0。3．两坐标轴夹角平分线上，点P（a，b）的坐标特征（1）一、三象限：a＝b；（2）二、四象限：a＝﹣b。知识点02：坐标与图形性质【高频考点精讲】1．“点到坐标轴的距离”与“点的坐标”的区别（1）到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关。（2）“距离”是非负数，但是“坐标”可以是负数，由距离求坐标时，需要加上恰当的符号。2．由图形中已知点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，求出相关线段的长度，是解决此类问题的基本方法和规律。3．如果坐标系内的四边形是不规则四边形，可以借助平行于坐标轴的辅助线，将图形割补成边与坐标轴平行（或垂直）且顶点坐标已经的规则图形，通过规则图形面积的和差来计算不规则图形的面积。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.561．（2分）（2023•盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数，∴点A（1，2）在第一象限．故选：A．2．（2分）（2023•内蒙古）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．又m＜n，∴m＜0，n＞0．∴（m，n）在第二象限．故选：B．3．（2分）（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）解：∵点C为平面内一动点，BD＝，∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，∵OA＝OB＝，∴AD＝OD+OA＝，∴＝，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴＝＝，∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OA＝OB＝，OD＝，∴BD＝＝，∴CD＝BC+BD＝9，∵＝，∴OM＝6，∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴＝，即＝，解得CF＝，同理可得，△AEM∽△AFC，∴＝＝，即＝，解得ME＝，∴OE＝＝，∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），故选D．4．（2分）（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．故选：A．5．（2分）（2023•金昌）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝×4＝2，∴BE＝＝＝2，∴M（4，2），故选：C．6．（2分）（2023•齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．解：0≤x≤4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：设AM＝BN＝x，∴CN＝4﹣x，S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC＝4×4﹣×4x﹣×（4﹣x）x﹣×4×（4﹣x）＝（x﹣2）2+6；∴该二次函数图象开口向上，当x＝2时，二次函数的最小值为6；当x＝0或4时，二次函数的最大值为8；故选：A．7．（2分）（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A． B． C． D．解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，∵AM＝2x，AN＝x，∴，∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABE，∴∠ANM＝∠AEB＝90°，∴＝x，∴y＝x×x＝x2，当2≤x≤4时，点M在BC上，y＝，综上所述，当0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：A．8．（2分）（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6 B．3 C． D．解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．9．（2分）（2023•浙江）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（）A． B． C． D．解：当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．故选：D．10．（2分）（2023•大庆）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（）A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2解：由题意可知：AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC＝，如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，∵PA＝t，则PB＝a﹣t，BQ＝，在Rt△PBE中，∠PBE＝180°﹣∠ABC＝60°，∴PE＝，则y＝，化简得：y＝．由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3，∴＝＝3，∴a2＝16，∵a为正数，∴a＝4，∴AB＝4，则BC＝，如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝＝，∴S▱ABCD＝BC×AF＝＝24（m2）．故答案为：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•西藏）函数中自变量x的取值范围是x≠5．解：由题意可得：x﹣5≠0，即x≠5，故答案为：x≠5．12．（2分）（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．13．（2分）（2023•衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为（1，3）．解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．14．（2分）（2023•巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝1．解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，∴2﹣a＞0，∴a＜2，又a为正整数，∴a＝1．故答案为：1．15．（2分）（2023•广安）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．16．（2分）（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为（4﹣，）．解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，∵OA1⊥AB，∴△OA1B是等腰直角三角形，同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，∴A1（2，2），根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），由此可推出：点A2023的坐标为（4﹣，），故答案为：（4﹣，）．17．（2分）（2022•钢城区）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为（﹣1，﹣1）．解：将点（0，1）经过一次011变换，即先向右平移一个单位得到（1，1），再绕点O顺时针旋转90得到（1，﹣1），再绕点O顺时针旋转90得到（﹣1，﹣1）；如此将点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点（0，1），再将点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．18．（2分）（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为．解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，∴AQ＝，∵S△ABC＝AB×CG＝AQ×BC，∴CG＝．故答案为：．19．（2分）（2023•贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是（9，﹣4）．解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；故答案为：（9，﹣4）．20．（2分）（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是（2023，）．解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，∵△A1A2O是边长为2正三角形，∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，∴点A1横坐标为1，由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，∴点A2023在第一象限，∴点A2023的纵坐标为，即点A2023（2023，），故答案为：（2023，）．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在矩形ABCD中AB＝3，BC＝4．点E为CB中点，动点P从点E出发，沿折线E→C→D→C运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AP，PD．设三角形ADP的面积为y．（1）求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当y＝2时x的值．解：（1）∵在矩形ABCD中，点E是BC的中点，BC＝4，AB＝3；∴EC＝BC＝×4＝2，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3．在矩形ABCD中，点P在EC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝矩形的宽AB＝3；点P在DC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝PD．点P从E到C移动时，即0≤x≤2时，△ADP的面积y＝＝＝6；点P从C到D移动时，即2＜x≤5时，△ADP的面积y＝＝＝10﹣2x；点P从D到C移动时，即5＜x≤8时，△ADP的面积y＝＝＝2x﹣10；∴y＝，在x的取值范围内画出y的函数图象如图．（2）根据图象可知：当0≤x≤2时，y不变；当2＜x＜5时，y随着x的增大而减小；当5≤x≤8时，y随着x的增大而增大．（3）y＝2时，x的值是4或6．22．（6分）（2023•同心县模拟）如图是某片区平面示意图，超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．（1）画出相应的平面直角坐标系；（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；（3）若在（﹣3，﹣2）处建汽车站，在（2，﹣1）处建花坛，请在平面示意图中标出汽车站和花坛的位置．解：（1）如图；（2）由图可知，体育场（﹣4，2）、火车站（﹣1，1），文化宫（0，﹣2）；（3）汽车站和花坛的位置如图所示．23．（8分）（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．（1）点A的坐标是（4，0），△COA的面积是．（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．解：（1）如图1，设PD交OC于点C，从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOC＝；故答案为：（4，0），；（2）S＝S△AOC＝＝AO•yC＝2yC，则yC＝，则点C（，），则m＝，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，则点B（0，2）；由直线AC的表达式知，tan∠BOA＝；当≤t＜4时，则S＝AP×PD＝AP×PA•tan∠BOA＝（4﹣t）2×＝（t﹣4）2；当0≤t＜时，如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPH＝﹣PH•OP＝﹣t2，则S＝．24．（8分）（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：时间t（单位：分钟）12345…总水量y（单位：毫升）712172227…（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；（2）应用：①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，∴，∴，∴y＝5t+2；（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），当t＝0时，y＝2，∴＝144（天），答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．25．（8分）（2023•怀远县校级模拟）如图（1），是边长为1的正方形OBB1C，以对角线OB1为一边作第2个正方形OB1B2C1，再以对角线OB2为一边作第3个正方形OB2B3C2，…依次下去，则：（1）第2个正方形的边长＝，第10个正方形的边长＝（）9，第n个正方形的边长为（）n﹣1．（2）如图（2）所示，若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，则点B3的坐标是（2，﹣2），点B5的坐标是（﹣4，﹣4），点B2014的坐标是（﹣21007，0）．解：（1）∵第1个正方形的边长为1，∴由勾股定理可以得出：第2个正方形的边长为：OB1＝＝，第3个正方形的边长为：2＝（）2，第4个正方形的边长为：2＝（）3，第5个正方形的边长为：4＝（）4，…第10个正方形的边长为：（）9，第n个正方形的边长为：（）n﹣1；故答案为：，，（）n﹣1；（2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从B到B3经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×（）3＝2．∴点B3所在的正方形的边长为2，点B3位置在第四象限．∴点B3的坐标是（2，﹣2）；可得出：B1点坐标为（1，1），B2点坐标为（2，0），B3点坐标为（2，﹣2），B4点坐标为（0，﹣4），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6（﹣8，0），B7（﹣8，8），B8（0，16），B9（16，16），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2014÷8＝251…6，∴从B到B2014与B6都在x轴负半轴上，∴（）2014＝21007，∴点B2014的坐标是（﹣21007，0）．故答案为：（2，﹣2），（﹣4，﹣4），（﹣21007，0）．26．（8分）（2023•靖江市模拟）如图1，已知∠MQN，QA、QB分别从QM、QN同时开始旋转，QA按逆时针方向旋转，旋转到与QN重合时停止旋转，QB按顺时针方向旋转，旋转到与QM重合后，立刻按原速度逆时针返回，与QN重合停止旋转．根据观察，QA、QB最终同时停止旋转，旋转过程中∠AQB的大小记作y（°），旋转时间记作t（s），y与t之间的关系如图2所示．（1）依据图象，请直接填写：∠MQN＝120°；QA旋转的速度是°/s；a+b＝27秒；（2）当∠AQB＝40°时，求旋转时间t的值．解：（1）根据图象，y轴上的点是120°，是最大值，也就是没运动时的角度，所以∠MQN＝120°．观察图象得到运动6秒时，QA，QB两条线重合，所以VQA+VQB＝＝20°/s，因为在最终停止运动，QB运动两个路程，QA运动一个路程，所以VQB＝2VQA，VQA＝（VQB+VQA）＝°/s，当运动a秒时，QB到QM，所以a＝120÷＝9（秒），当运动b秒时，QB运动到QM，又返回到QN，所以b＝（120×2）÷＝18（秒），即a+b＝27（秒）．故答案为：120°，°/s，27秒．（2）当QA、QB未相遇时，t＝（120﹣40）÷20＝4（秒），当QA、QB相遇后，QB没到QM时，t＝（120+40）÷20＝8（秒）当QA、QB相遇后，且QB到达过QM，t﹣（t﹣120）＝40，解得t＝12，所以当AOB＝40时，t＝4s，t＝8s，t＝12s．27．（8分）（2023•庆云县模拟）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质，在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象，利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究．[绘制图象]（1）填写下面的表格，并且在平面直角坐标系中描出各点，画出该函数的图象．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…Y＝（|x|﹣2）2……[观察探究]（2）结合图象，写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3；（4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是b＜﹣4或﹣．[延伸思考]（5）将该函数的图象经过怎样的变换可