2.2 切线长定理（选学）（分层练习）（解析版）

第2章直线与圆的位置关系2.2切线长定理分层练习1．（2021上·河南漯河·九年级漯河市实验中学校考期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切线长定理。可得到AP=AC，BP=BD，即可求解．【详解】解：∵、、是的切线，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故选：B【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是解题的关键．2．（2022·北京·统考一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．【详解】解：与，，分别相切于点，，，，，的周长为14，故选：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．3．（2022上·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（）A． B． C．5 D．5【答案】C【分析】先利用切线长定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判断△APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△APB为等边三角形，∴AB=PA=5．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，正方形边长为，以正方形一边为直径在正方形内作半圆O，过点A作半圆切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据切线长定理可得，设，则，然后在中，由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积．【详解】解：∵与圆O切于点F，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴．故选D．5．（2022上·天津红桥·九年级统考期末）如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，∴，，，∴的周长是．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．6．（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本题考查切线长定理．利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，∵的周长为4，即，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．7．（2023上·河南濮阳·九年级校考期中）如图，切线、分别与相切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为．【答案】【分析】本题考查的是切线长定理，通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于是解题的关键．【详解】解：∵都是的切线，∴，同理，，∴的周长，∴；故答案为：3．8．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）如图，是的内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为．

【答案】10【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，，再根据三角形周长公式即可求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键．【详解】解：如图：

由切线长定理得：，，，，，，，故答案为：10．9．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，是的切线，切点分别为A，B，，则的值是．【答案】【分析】此题考查切线的性质定理及切线长定理，勾股定理，由切线长定理可知：，利用勾股定理求出，即可得到答案，熟练掌握各定理是解题的关键．【详解】解：∵是的切线，根据切线长定理可知：，∵是的切线，∴，∴，∴．故答案为：．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，、分别切圆于、，并与圆的切线，分别相交于、，已知，则的周长等于．

【答案】14【分析】此题主要考查了切线长定理的应用，由于、、都是的切线，可根据切线长定理，将的周长转换为、的长，然后再进行求解．【详解】解：设与的切点为；、分别是的切线，且切点为、；；同理，可得：，；则的周长；故答案为：14．11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，外一点向引两条切线，与相切于点、，且，线段与相切于点．则的周长是．

【答案】20【分析】本题主要考查了切线长定理，正确理解的周长等于是解决本题的关键．根据切线长定理可以得到的周长等于，据此即可求解．【详解】解：，是圆的切线，，同理，，的周长．故答案为：20．12．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为．

【答案】8【分析】由、分别与相切于点、，根据切线长定理得到，同理得，再根据三角形周长的定义得到的周长，然后利用等相等代换得到的周长．【详解】解：∵、分别与相切于点、，∵过点的切线分别交、于点、，∴的周长故答案为：8．【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．13．（2022上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，圆O是边长为6的正方形的内切圆，切圆O于P点，交、于点E，F，求的周长．【答案】【分析】过O分别作于M，于N，证是正方形，求出正方形边长，根据切线长定理对线段进行转换即可．【详解】解：过O分别作于M，于N，，，是正方形，由题意可知：，圆O是的正方形的内切圆，切圆O于P点，，【点睛】本题考查了正方形的内切圆即切线长定理；熟练运用切线长定理将线段进行转化是解题的关键．14．（2022·天津河东·统考二模）已知是直径，，分别切于点，．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．【答案】(1)64°(2)63°【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO=58°，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；（2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题．【详解】（1）解∶如图，连接OC，∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，∴∠PCO=∠PBO=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=58°，∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；（2）解：如图，连接OP，∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，∵BD=OB，∴PB是OD的垂直平分线，∴PO=PD，∴∠OPB=∠DPB，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，∵∠DPC=81°，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，∴∠D=90°-27°=63°．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．15．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，直线经过上的点，并且．(1)求证：直线是的切线；(2)过点作的切线，点为切点（与点不重合）．若，的半径为5，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，如图，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）根据切线长定理得到，再根据直角三角形的性质求出的长即可．【详解】（1）解：证明：连接，如图，，，，直线是的切线．（2）如图，∵，为切点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，含30度的直角三角形，勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识，根据切线长定理得到．16．（2022上·北京西城·九年级校考阶段练习）如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点，，是的直径．(1)求证：是的切线；(2)当，时，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论；（2）根据切线长定理可得，，然后利用勾股定理求出，再根据，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接，如图：∵，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴，

∴，∵与相切，∴，又∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵是的切线，与相切，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即的半径长为3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．17．（2022·福建·福建省福州外国语学校校考模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．(1)求证：PB与⊙O相切；(2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______．【答案】(1)见解析；(2)12【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论；（2）由切线长定理可得出答案．【详解】（1）证明：连接OB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB与⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案为：12．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．18．（2022下·北京·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求的半径及的长．【答案】(1)见解析(2)的半径为1.5，【分析】（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO==∠F，即可求证；（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接DE，∵，∴AB与相切，∵AD与相切，∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，∴∠BAO=∠BAD，∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，∴∠BAO==∠F；（2）解：∵AB与相切，AD与相切，∴AB=AD=3，∵CD=2，∴AC=5，∴BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1.5，∴的半径为1.5，即OB=1.5，∵DF为直径，DF=3，∴∠DEF=90°，∵，∴，∴EF=2DE，在中，由勾股定理得：，∴，解得：或（舍去）．【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，，切于点，，，切于点，交，于，两点，则的周长是（

）A．20 B．36 C．40 D．44【答案】C【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，再求周长即可得结论．【详解】解：、切于点、，，切于点，交、于、两点，，，．则的周长是40．故选：C．2．（2022下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，、是的切线，切点分别为A、B，若，，则的长为(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据切线长定理求得，利用正切函数求得，再求出的度数，再根据弧长公式解答即可．【详解】解：连接，

∵、是的切线，切点分别为、，∴，∵，∴，，∵，∴，∴的长．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理、正切函数、四边形的内角和定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．3．（2022上·天津西青·九年级统考期末）如图，在中，，，若与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答，【详解】∵内切于，∴，，，∵，∴是等边三角形，∴，∵的周长为32，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键．4．（2022上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，，切于A，两点，切于点，交、于、，若的周长等于，则线段的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线长定理进行求解即可．【详解】解：∵，切于A，两点，切于点，∴，，∵的周长等于，∴，即，∴，故选：C【点睛】此题考查了切线长定理，从圆外一点出发的圆的两条切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题的关键．5．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，∵的周长为4，即，∴，∵，∴，故选：B．6．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．【详解】解：连接，，设切于G，

∵，分别是的切线，∴，∵是的切线，∴，，∴，∴周长，∵是的切线，∴，∴，∴，∴当最小时，l最小，当最大时，l最大；根据垂线段最短可得，当时，最小，∵是边长为3的等边三角形，，∴，由勾股定理得：，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，AD最长是解题的关键．7．（2021上·北京·九年级北师大实验中学校考期中）如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为．【答案】3【分析】此题考查切线长定理，由与相切于点、与相切于点，可得，同理得，再由求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．【详解】解：与相切于点、与相切于点，，，，与相切于点、与相切于点，，的长为3，故答案为：3．8．（2023上·北京东城·九年级校考阶段练习）如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据，是的切线，得出，进而得出，即可求证为等边三角形，即可解答．【详解】解：∵，是的切线，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，故答案为：3．9．（2023上·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，分别切于A，B两点，为直径，，若，则的周长为．【答案】6【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理以及等边三角形的判定与性质，由切线的性质得出，由切线长定理得出，判断出是等边三角形，从而得出的周长．【详解】解：∵是切线，∴．∵为直径，∴，∴，∵∴∴是等边三角形，∴的周长．故答案为：6．10．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为．

【答案】24【分析】本题考查了切线长定理，关键是由切线长定理推出AB+CD=AD+BC．由切线长定理推出，，，，然后根据周长公式即可求解．【详解】如图，，，，是切点

四边形各边与相切，，，四边形的周长为故答案为：24．11．（2023上·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是．

【答案】/【分析】本题考查了求扇形面积，正方形的性质与判定，切线长定理，先得出是直角三角形，进而证明四边形是正方形，根据阴影部分面积等于正方形的面积减去个圆的面积，即可求解．【详解】解：∵，，，∴∴，∵的内切圆与、、、分别相切于点、、，∴∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，则，如图所示，连接，，，

∴∵，∴，∴，故答案为：．12．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是，若，则．【答案】/110度【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键．【详解】解：连接，，,∵分别与切于点B，C，∴，，，在中，，∵与相切于P，∴，∴的周长．∵，，∴，∴，∴优弧的度数为，∴，故答案为：，．13．（2023上·九年级课时练习）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．

【答案】见详解【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解．【详解】根据切线长定理可得：，，，，∴，，∴，，∵，，∴．【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出，，，，是解答本题的关键．14．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿、分别相切于点、，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，求的度数．

【答案】【分析】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数；接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答．【详解】解：切于点，是半径，，．，．、分别切于点、，，．，．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．15．（2023下·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）在正方形中，是边上的点．

(1)尺规作图：在图中求作，使得与、均相切；保留作图痕迹，不写作法(2)在（1）的条件下，设与相切于点，连接，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作的平分线与的交点即为点；（2）根据切线长定理及等边对等角求解．【详解】（1）解：如图：即为所求；

（2）在正方形中，平分，，与、均相切，，．【点睛】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质及切线长定理是解题的关键．16．（2023·北京顺义·统考二模）如图，，分别与相切于，两点，是的直径．

(1)求证：(2)连接交于点，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质可得，，，根据等腰三角形三线合一性质可得，可得，，得到，从而得证；（2）根据余弦，正弦的定义及勾股定理可得，从而有，，代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接，交于点．∵、为的切线，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴．

（2）解：∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的长为．

【点睛】本题考