2022-2023学年甘肃省顶级名校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省顶级名校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若sina=g,贝kos2a=()

A.1B.（C.一（D.

9999

2.在复平面内，复数z与之对应的点关于实轴对称，贝ijz等于（）

1—1

A.1+iB.-1—iC.—1+iD.1-i

3.设优坂是非零向量，"五•3=|五||石『‘是"2〃石"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知正△4BC的边长为a,那么△力BC的平面直观图△4B'C'的面积为（）

222

A.^aB.^J-aC.?a?D.f^a

5.在ZMBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（＜cosA,则448。为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

6.如图，测量河对岸的塔高4B时可以选与塔底B在同一水平面A

/

内的两个测点C与。，测得NBC。=15°,4BDC=30°,CD=30,，/

/

并在点C测得塔顶4的仰角为60。，则塔高AB等于（）

A.5/7/Rk

B.15C

C.15A/-6

D.Sy[~2

7.C+[=（）

cosl900cos80°

A.—4B.4C.—2D.2

8.在AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且炉+c?—=a?,be=

则角C的大小是（）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题正确的是（）

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转

体是圆台

D,用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

10.已知i为虚数单位，复数z=¥3,则以下为真命题的是()

A.z在复平面内对应的点在第一象限

B.z的虚部是一看

C.|z|=3-s/-5

D.若复数Zi满足|z1-z|=l,则㈤的最大值为1+W

11.如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成火84今角的两条数轴，可，与分别是与x轴，y轴

正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。反射坐标系.在。反射坐标系中，若加=

万前+y孩，则把有序数对(x,y)称为向量丽的反射坐标，记为两=(x,y).在。=:的反射坐

A.(-1,3)B.|五|=「

C.51KD.\b\=>n

12.已知函数/'(x)=sin偿—2x)—2sin(x—》cos(x+与)，则下列关于函数/(x)的描述,

正确的是()

A.“X)在区间［0,刍上单调递增

B.“X)图象的一条对称轴是x=Y

c./(x)图象的一个对称中心是G，0)

D.将f(x)的图象向右平移掾个单位长度后，所得的函数图象关于y轴对称

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.平面向量方与石的夹角为45。，五=(1,1),\b\=2，则|31+可=

14.已知s讥a=q^,sin(a—S)=—彳器，a,0均为锐角，则口=.

15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设4

4BC三个内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=

J1[a2c2(。2+，2-庐)2],若"2"“'=4si"4.(a+C)2=12+i>2,则用“三斜求积"公式求

得^ABC的面积为.

16.已知在ACMB中，。4=。8=2,AB=2/3,动点P位于线段4B上，则当方.而取最

小值时，向量方与方的夹角的余弦值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

(1)已知复数z满足：=、•，求|z|；

⑵计算号+篙潴

18.(本小题12.0分)

学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体2BCD-&B1GD1挖

去四棱锥。-EFGH后所得的几何体.其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中

点、,AB=BC=6cm,=4cm.3。打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，求

制作该模型所需原料的质量.

19.（本小题12.0分）

如图，在四边形力BCD中，^DAB=pAD：AB=2：3,BD=<7,AB1BC.

(1)求sin乙4B0的值;

(2)若NBCD=^,求CD的长.

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2sin2a)x+2y/~3sina)xcosa)x—l(co>0)>且函数f(x)的最小正周期为兀.

(1)求/(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；

(2)将函数〃x)的图象向左平移李个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及

g(x)取得最大值时》的取值集合.

21.(本小题12.0分)

在①而袈菽=告；②*皆篝③2S=C加方这三个条件中任选一个，补充在

下面的横线上，并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,S为△4BC的面积，若.(填条件序号)

(1)求角C的大小；

(2)点。在C4的延长线上，且4为CD的中点，线段BD的长度为2,求△ABC的面积S的最大值.

22.(本小题12.0分)

△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin竽=bstnA.

⑴求B；

(2)若AABC为锐角三角形，且c=l,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

根据cos2a=1-2si?12a能求出结果.

【解答】

解：sina=g,:.cos2a=1—2sin2a=1—2x^=^.

故选:B.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意得答案.

【解答】解：=福为=1+，，

由复数z与二对应的点关于实轴对称，

1—1

­­Z=1—I.

故选：D.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题.

分别讨论充分性和必要性，即可得到答案.

【解答】

解:(1)a-b=\a\\b|cos<a,b>»

••a-b=|五时,cos<a,b>=1，

a,b>=0，

・一五・方=|五||另I"是(ia//b"的充分条件；

(2)方〃加寸，万花的夹角为0或兀，

■-a-b=|a||K|>或一|方||B|，

即日〃方得不到往7=|五||我，

••.ua-b=\a\\b\n不是ua//bn的必要条件，

二综上可得，“五片=|引|可”是“五〃皮’的充分不必要条件.

故选：A.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查斜二测画法，由正△ABC的边长为a,知正△4BC的高为?a，画到平面直观图4AB'C'后,

“高”变成原来的一半，

且与底面夹角45度，故△4B'C'的高为华ax岑a=¥a，由此能求出△4'B'C'的面积.

428

【解答】

解：•.•正AABC的边长为a,.•.正AABC的高为?a，画到平面直观图△4‘B'C'后，"高”变成原来

的一半，且与底面夹角45度，

4BC的高为空aX?=华a，

428

***△4'B'C'的面积S=xax=^-ra2.

Lo16

故选拉.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理，三角形的内角及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题.

由已知结合正弦定理可得sbiC<sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sinQl+B)<

sinBcosA^^-^^sinAcosB+sinBcosA<0从而有si九4cosB<0结合三角形的性质可求.

【解答】

解：・・・4是△4BC的一个内角，0VAV",

・•・sinA>0.

,:7<cosA,

b

由正弦定理可得，sinC<sinBcosA

・••sin(?l+8)<sinBcosA

・••sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA

，sinAcosB<0又sizM>0

・•.cosB<0即B为钝角.

故选A.

6.【答案】C

【解析】解：在^BCD中，乙BCD=15°,乙BDC=30°,则ZCBD=135°,

由正弦定理.2n=.则8。=xsin30°=15<2,

sinz.CBDsinz.BDCsml35

AB=BC-tan44cB=15「xC=15V-6.

故选：C.

在△BC。中由正弦定理求出BC,再在△ABC中求48.

本题考查正弦定理的基本运用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析•】解：「需+』

cos190cos80

口1

-—cosl00+sinlO0

_—\A3sinl0°+cosl00

~sinl00cosl00

2(|cosl0°-^sinl0°)

|sin20°

_2sin(30o-10°)

讥20°

=4.

故选：B.

先运用诱导公式变形，再通分后，运用二倍角公式及辅助角公式可求解.

本题考查诱导公式、二倍角公式、辅助角公式的灵活运用，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,

由坟4-c2-Ube=a2»得/+c2-a2=

由余弦定理得cosA=庐+c2-a2=9=g，

2bc2bc2

因为0V/V7T,所以o

1

X=

由be=及正弦定理得sinBsinC=V3sin2/l=V34-

即4si7i(/r-C-A)sinC=，^,

即4sin(C+A)sinC=4sin(C+^)sinC=V_3,

o

整理得，3cos2C=sin2C，则tcm2C=「，又0<2C<芋,

即2c=黑印即C屋或多

则角C的大小是C屋或与.

故选：A.

根据余弦定理得到4=会再利用正弦定理得到tan2C=C，即可求解.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4根据圆锥的母线的定义，可知A正确;

对于8,把梯形的腰延长后有可能不交于一点，

此时得到几何体就不是棱台，故B错误;

对于C,根据圆台的定义，可知C正确；

对于。，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,

得到的截面不是圆和矩形，故。错误.

故选：AC.

根据圆锥母线的定义可判断4根据棱台的定义可判断B,根据圆台的定义可判断C,根据平面与

圆柱底面的位置关可判断D.

本题主要考查空间几何体的定义与性质，属于基础题.

10.【答案】AD

3+2i_(3+2i)(2+i)_47.

【解析】解:TT=(2-i)(2+t)=5+51

•••Z在复平面内对应的点为在第一象限，故4正确;

Z的虚部是，故B不正确；

忆|=J4)2+《)2=卓,故C不正确；

设Zi=x+yi,x,yeR,由％—z|=1得(x-款+(y—=1,

则点(x,y)在以(()为圆心，以1为半径的圆上，

则(x,y)到(0,0)的距离的最大值为1+J©2+(32=1+萼,即％|的最大值为1+零，故。

正确.

故选：AD.

由复数的除法运算求出z,根据复数的几何意义可判断4CD,根据复数的概念可判断8.

本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：H=(l,2),b=(2,-l)，

则五=国+2名花=2瓦一瓦,

故西一E=Z+2£-2可+孩=一瓦*+3直，

故有一了=(一1,3)，故A正确：

a=(1,2),

则日=瓦+2石，两边同时平方可得，

-1=J(可+2协=J可Z+4可怎+4可、J闻"4闻|.同cos学+4国2

=Jl+4x(-j)+4=V-^>故B错误；

a=(1,2),b-(2,—1)，

则五=百+2宅，3=2百一部，

27r

万•石=(可+2孩)•(2可—孩)=2可+3瓦••瓦—2孩2=2|云/+3|万|•|瓦|cos3-2|名『

=2+3x(-1)-2=-|*0,故乙环垂直，故C错误；

I2TT

@=J(2t一的2=J4可2_4可怎+可2=I4|否『一引不.同|cosm•+同|2

=J4+4x2+1=<7，故D正确.

故选:AD.

4选项，根据条件，可得五一方=-可+3石，得到方-弓=(-1,3)，即可判断；

B选项，根据|引=J画+2的2,求出模即可判断；

C选项，根据4%=®*+2豆),(2区一砌，计算出五•万=一?40，即可判断；

。选项，由日I=J(2/一或)2,计算出|B|=C，即可判断.

本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解:因为/(x)=sin偿-2x)-2sin(x-》cos(x+多)

57157rTin

=(sin-^cos2x—cos-^-sin2x)—2sin(x--j)cos[(x—彳)+兀]

oo44

1V-3nn

=-^cos2xH———sin2x+2sin(%--y)cos(x--r)

LSL44

1n

-sin2x+—cos2x+sin(2x——)

2

1

=sin2x+cos2x—cos2x

1

=V23sin2x——cos2x

对于4当OWxW割寸，-2<2X-2<2

所以，函数/(x)在区间[0,刍上单调递增，A对；

对于B,/(-J)=sin(-2)=-1,故于乃图象的一条对称轴是x=J,B对；

对于C,/⑨=sin(2x卜*=1K0,C错；

对于。，将f(x)的图象向右平移々个单位长度后，

可得到函数y=sin[2(x--^]=sin(2x-曲，

且函数y=sin(2x-由为非奇非偶函数，D错.

故选：AB.

利用三角恒等变换化简函数解析式为/(x)=sin(2x-3),利用正弦型函数的单调性可判断4选项;

利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断

。选项.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，函数丫=4$讥(3%+伊)的图象变换，考查

运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】V34

【解析】解：同=，1,|方|=2,<苍。>=45。，

:.五%=2,a2=2,~b=4，

\3a+b\=J(3五+方)2=J9a2+6a-b+b2=V18+12+4=

故答案为：V34.

根据条件可求出五不=2,五2=2范2=4,然后根据|3k+B|=J(32+9)2,进行数量积的运算

即可求出答案.

考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量长度的求法.

14.【答案】I

【解析】解：因为a为锐角，sina=

所以cosa=

因为一5<a一夕<],sin(a-S)=——

所以cos(a-S)=半患，

所以sin/?=sin[a—(a—/?)]=sinacos(a—S)—sin(a—0)cosa=?xx

2HV~2

—二—-，

52

所以夕=；.

故答案为：I

由己知结合同角平方关系及和差角公式先求出S讥0,进而可求/?.

本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于中档题.

15.【答案】\T~3

【解析】解：根据正弦定理：由Q2sinC=4si7h4,可得ac=4,

由于(a+c)2=12+/,可得小+c2一解=4,

打得s=J；[a2c2_(。2+；-与]=Jlx(16-4)=

故答案为

由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2-/=%代入“三斜求积”公式即可计算得解.

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

16.【答案】一手

【解析】【分析】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，属于基础题.

建立平面直角坐标系，利用两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积，两个向量的夹角公式,

求得向量方与刀的夹角的余弦值.

【解答】

解：以48所在的直线为x轴，以力为原点，建立平面直角坐标

系，

则4(0,0)、B(2/3,0)、O(C,1),

设点P(%0),%e[0,2/3].向量或与同的夹角为仇

PA-PO=(-x,0)•(V-3-x.l)

——x(y/~3—x)=x2—

故当％=?时，两方取最小值为一,，

此时，|两|=?,|而|=J1+1=-

3

PAPO-m

yMiIiL]cosOO=-=z-=-==——,

7\PA\-\PO\7

故答案为：—手.

17.【答案】解:(1)由题设得z+l=zi,

(-1+i)(-1-i)2

则|Z|=J(_孑+(-；)2=年

2

(2)原式=[iiyL]6+(<7+Ci)(C+E)_j6+C+2i+3i-G

(<^)2+(<^)2—5

【解析】(1)根据复数的除法运算求出z,再根据模长公式可得结果;

(2)根据复数的乘方运算、除法运算可得结果.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：根据题意可知：挖去的四棱锥的底面是一个

菱形，

B

且该菱形的对角线长分别为6cm和4sn,

又。到底面菱形的距离为3cm,

"%去的四棱锥=gx?x4x6x3=12(cm3).

又，氏方体=6x6x4=144(cm3),

,该模型的体积为娱方体一也去的四棱锥=144-12=132(cm3),

故制作该模型所需原料的质量为132x0.9=118.8(g).

【解析】根据棱锥的体积公式，计算即可得解.

本题考查几何体的体积的求解，属基础题.

19.【答案】解：(1)设40=2%,AB=3%,

由余弦定理得：cos^=警岁娑=事

32x2xx3x2

解得x=l,--AD=2,AB=3,

.n

二由正弦定理得：)山加=萼

2<7

解得sinZ_4BD=

(2)sin(zJ18D+乙CBD)=sin],・•・sinzCBD=cosZ.ABD,

2c

cosZ-ABD—，,sinzCBD=号

由正弦定理得嬴编=旖，解得。。=殍

【解析】(1)设=2x,AB=3%,由余弦定理求出4D=2,48=3,再由正弦定理能求出sin乙48D.

(2)由sin(乙4BD+“BD)=sing,得sin/CBD=cos乙4BD,求出sin/CBD=—,由此利用正弦

z7

定理能求出CD.

本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角

三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与

方程思想，是中档题.

20.【答案】解(1)/(%)=2sin2a)x+2y/~~3sin(ji)xcos(jox-1=1—cos2a)x+yT3sin2a)x—1=

2sin(2a)x—1).

由函数f(x)的最小正周期T=#=兀,

所以3=1,/(x)=2sin(2x-^),

令CTT-J4<2kTC+kWZ,

2/L2X—OL

解得CTTkn+9，kEZ,

/-OD

故/(x)的单调递增区间为MY，k〃+§,kez,k&Z；

(2)5(x)=f(x+：)=2sin(2x+0,

根据正弦函数的性质可知，g(x)的最大值为2,

此时sin(2%+今=1>即2x+,=2/CTT+^,k6Z,kEZ,

解得％=k.7i+—,k&Z,k&Z,

所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为{x|x=k?i+^,keZ}.

【解析】(1)先利用二倍角公式，二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；

(2)先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的最值取得条件可求.

本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质的应用,

属于中档题.

sinAb+c

21.【答案】解:(1)选①:--------------f

sinB-sinCb-a

•••由正弦定理得白=3蛆，

b-cb-a

:.a(b—a)=(b4-c)(b—c),即M+ft2-