广西“贵百河”2023-2024学年高二年级上册12月新高考月考测试数学试题

2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试

数学

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4={%]—2＜尤＜4},8={3,4,5},贝乂砥人）B=（）

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}

2.已知复数z满足z（l—i）=3+i,则复数z的虚部为（）

A.—2iB.2iC.—2

3.双曲线2炉—y2=8的渐近线方程是（）

A.y=B.y=±2xC.y=±gx

4.如图，已知三棱锥O—ABC中，点分别为A3,OC的中点，且。4=Q,OB=Z?,OC=C,则=

（）

A.—+c-a)B.++C.—-Z?+c)D.-+b-c

5.在棱长为a的正方体ABC。-AgG2中，向量BA与向量AC所成的角为（）

A.60°B.150°C.120°D.90°

6.已知命题夕：方程」一+」一=l表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题夕成立的充分不必要条件可以是

5—mm—l

（）

A.4<m<5B.3<m<5C.1<m<5D.m>1

7.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系

统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先

进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间/的关系N=Noe-h（No为

最初污染物数量）.如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）

A.2.6小时B.3小时C.4小时D.6小时

8.若曲线C上存在点使M到平面内两点4（—5,0）,3（5,0）距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好

曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是（）

22

A.X2+y2-9B.x+y=5C.—+—=1D.x2=16y

259

二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.对于抛物线/=8y,下列描述正确的是（）

A.开口向上，焦点为（0,2）B.焦点到准线的距离为4

C.开口向上，焦点为（0,,]D.准线方程为y=—4

10.已知函数=gsin2x+#cos2x,则(

)

A.函数的最小正周期为万

jr

B.将函数/（x）的图象向右平移1个单位后的图象关于y轴对称

C.函数/'（x）的一个对称中心为反oj

/、（7171、

D.函数“X）在区间石,耳上单调递减

11.为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作

为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,则样本数据中的最大值可以为（）

A.9B.10C.11D.12

12.已知a=log3e,、=log23,c=ln3,则()

A.a<c<bB.a<b<cC.a+c>bD.a+c<b

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若两条直线依+2y—1=0与3x—6y—1=0互相垂直，则a的值为.

14.圆心为（—1,0）,且过点（1,1）的圆的方程是.

22

15.已知椭圆C:，+[=l（a〉5〉0）的左、右焦点分别为耳,工，过歹2作x轴的垂线，交椭圆于点尸，

ab

3

若直线尸片的斜率为一，则椭圆。的离心率为.

4

16.已知函数定义域为（0,+00）]⑴=6,对任意的%1，%2£（°，+00），当％2>%1时，有

’（不）—>£1—e（e是自然对数的底）.若/（lna）>2e—alna,则实数a的取值范围是.

中2X1X2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD为正方形，Q4J_平面ABCD,QA=AD=2,E

为依的中点，尸为AC与应）的交点.

（1）证明：EF〃平面PCD；

（2）求三棱锥石-AM的体积.

18.（本题12分）已知/XABC的内角ABC所对的边分别为a,。,c,且满足（〃—。了=〃—6c.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2,sinC=2sinB,求ZkABC的面积.

19.（本题12分）已知直线/:x—ay—2=0,aeR.

（1）求证：直线/与圆x2+y2=4恒有公共点；

（2）若直线/与圆心为C的圆（x—a）2+（y—1）2=4相交于A3两点，且“3。为直角三角形，求”的

值.

20.（本题12分）甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小

球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜.若乙猜出的结果

与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）.乙

所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种：

猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；

猜法二：猜”两次取出球的颜色不同”.请回答：

（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由：

（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止.若乙按照（1）

中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率.

21.（本题12分）如图，已知点耳（—1,0）,圆工：（%-1）2+/=16,点。在圆歹2上运动，。耳的垂直平分

线交。马于点P.

（1）求动点尸的轨迹C的方程；

（2）直线/与曲线C交于M、N两点，且肱V中点为（1,1）,求直线/的方程及的面积.

22.（本题12分）如图，在三棱锥P—ABC中，ZkE4c是正三角形，AC，3cAe=3C=2,。是的

中点.

（1）证明：AC±PD；

（2）若二面角尸-AC-£＞为150。，求直线3c与平面所成角的正弦值.

2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试

数学参考答案

一、单选题：1.B2.D3.C4.D5.C6.A7.B8.A

二、多选题：9.AB10.AD11.BC12.AC

三、填空题：

13.414.（%+1）?+y?=515.—16.（l,e）

16.（l,e）解：因为函数/（x）定义域为（0,+oo）,且对任意的项,％2£（°，内），

当％冲时，有人）

Xi%X1X2

所以对任意的％1，为2e（°，+°°），当％2〉》1时，有/（%）+玉6%>/（%2）+%26也，

令/（X）=f（x）+xex,

即为尸a）>尸（/），所以函数R（无）是（o,+。。）上的减函数，

由/（lna）>2e-alna,得/（lna）+alna>2e,且/⑴=e,则歹⑴=2e,

所以尸（lna）>F（l）,

因此由函数歹（%）是（0,+co）上的减函数得0<Ina<1,解得1<a<e,

则实数a的取值范围是（l,e）.故答案为：（l,e）.

四、解答题：

17.（10分）解：（1）证明：四边形A3CD为正方形，方为AC与应）的交点,

.•.歹是应）的中点，

又E是PB的中点，：.EF〃PD,

又EF（Z平面PCD,PDu平面PCD,

〃平面PCD.

（2）Q4L平面A3CD,E是？B的中点，

.,.石到平面A3CD的距离d=^PA=1,

2

四边形ABCD是正方形，AD=2,:.S&BF=gS正方形ABCD=1，

.•.三棱锥石—AM的体积VngSoBF.dngxlxlng.

18.（12分）解：（1）因为（。一c）2="一反可得：b?+c?-a2=be,

72.22i

由余弦定理可得，cosA=——二巳=—,

2bc2

又Aw（0,，所以A=g；

（2）由sinC=2sinB可得。=2〃，

由余弦定理知：a23=b2+c2-2Z?ccosA，

4=b2+4b2-2b-2bx-,

2

解得与

c223323

19.（12分）解：（1）因为圆/+丁=4的圆心为o（o,o）,半径为厂=2,

2

所以圆心。到直线I的距离d=..

又因为&+为＞1,所以一/W2,即d4r.

Vl+tz2

所以直线/与圆k+V=4相交或相切，即恒有公共点.

（2）由圆。：（工一。）2+（丁—1）2=4得，圆心C（a,l）,半径为2.

因为/与圆C相交于A8两点，且人记。是直角三角形，

所以|=yj\CAf+\CBf=272.

所以圆心C到直线I的距离为=I、=^2,解得a=±1.

Jl+a"

20.（12分）解：（1）用。力表示两个红球，用1,2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：

ab,ba,al,la,a2,2a,bl,lb,b2,2Z，,12,21,共12个不同结果，它们等可能，令事件A为“第二次取出的是红

球”，则事件A所含结果有：ab,ba,la,2a,lb,2b,共6个，令事件8为“两次取出球的颜色不同”,则事

件8所含结果有：al,la,a2,2a,bl,lb,b2,2b,共8个，

于是得P（A）=9=：,P（B）=§=£,显然，为了尽可能获胜，应该选择猜法二.

12112r323

2

（2）由（1）知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为尸=—

3

游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一二轮胜的事件第一轮负另外两轮胜的事件知2,第二轮负另

外两轮胜的事件河3的和，它们互斥，

2212221220

于是得尸（加）=尸（陷+“2+此）=尸（收）+尸（河2）+尸（此）=钎.+十尸公+?小公=而

所以乙获得游戏胜利的概率是竺

27

21.（12分）解：（1）圆月：（x—1）2+产=16的圆心鸟（1,0）,半径厂=4,

由Q耳的垂直平分线交于点。，得归耳|=忸以，

叫尸盟+归阊=|尸以+忸局=|。阊=4>闺阊=2，

因此的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，则半焦距,短半轴长22

PFVF22a4a=2,c=16=y/a-c

所以点尸的轨迹C的方程为：工+工=1.

43

3x：+4y；=12

（2）设曲线C3+1-=l上的点M（X［，X）,N（X2，%>即有4

3君+4y；=12

两式相减得%而中点为即玉+々=

=0,（U）,2,%+%=2,

于是:声=—I,即直线/的斜率为一：，直线/的方程为V—1=-：（x—1），即3x+4y—7=0,

显然点（1,1）在椭圆内，即直线3x+4y-7=0与椭圆必相交于两点，符合题意,

所以直线/的方程为3x+4y—7=0；

3x+4y—7=01

由<3242J2消去》得：21%92-42x+l=0,则芯+9=2,%々=五

x|=，(％1+%2)2—=J"g=，

%一2噜

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々匕x；B=k

点F1到直线l的距离d=/02=2，所以4EMN的面积SAF