2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级第一学期入

学数学试卷

一、单选题（每小题3分，共30分）

I.下列图形中，是中心对称图形的是（)

A.

D.O

2.下列方程是关于n的一元二次方程的是()

——2

A.ar2+/?x+c=0B.x2x-2

C.x2+2x=x2-1D.3(x+1)2=2(x+1)

3.下列反比例函数图象一定在二、四象限的是()

k2+lk-1

A.y=----B.C.y=----------D.y=-------

XXxx

4.用配方法解方程x2-4x+2=0时，配方后所得的方程是（

A.(x-2)』2B.(x+2)2=2C.(x-2)』D.(x-2)2=-2

5.下列各组种的四条线段成比例的是（)

A.3cm、5cm、6cm、9cmB.3cm、5cm、Scm>9cm

C.3cm、9cm、10cm、30cmD.3cm、6cm7cm、9cm

6.如图，A£＞是△ABC的角平分线，DE,OE分别是△A3。和△AC。的高，得到下面四个

结论：@OA=OD；®AD.LEF；③当NA=90°时，四边形AEDF是正方形；④A序+D产

nA/+DE2.上述结论中正确的是（）

o,

BDC

A.②③B.②④C.①②@D.②③④

7.已知一■次函数y=Ax+6（AWO）的图象与y=-2x的图象交于点（机，-4）,则对于不

等式kx-b<-2x,下列说法正确的是（）

A.当《<-2时，x>2B.当A<-2时，x<2

C.当人>-2且AWO时，x>-2D.当k>-2且ZWO时，x<-2

8.如图，反比例函数支工«>0）的图象经过矩形OA8C对角线的交点M,分别于A3、

x

8C交于点。、E,若四边形OOBE的面积为9,则人的值为（）

A.3B.4C.5D.6

9.对于一元二次方程ox2+6x+c=0（a#0）,下列说法：

①若a+6+c=0,则方程必有一根为x=l；

②若方程加+。=0有两个不相等的实根，则方程a^+bx+c^无实根；

③若方程aF+〃x+c=0（。¥0）两根为xi,X2且满足X1WX2WO,则方程"+以+。=0（c

wo）,必有实根;，；；

X1x2

2

④若xo是一元二次方程加+法+。=0的根，则b?-4ac=（2ax0+b）-

其中正确的（）

A.①②B.①④C.②③©D.①③©

二、填空题（每小题3分，共18分）

10.若点、M（3,a-2）,N（b,〃）关于原点对称，则a+6=.

11.关于x的一元二次方程（a+1）f+x+l=0有两个相等的实数根，则a

12.如图，在aABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交8c于点D,DELAB,垂足为E,

若BC=7,DE=3,则BO的长为.

13.如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点O,且AC=8,BD=6,过点。作。”

1AB,垂足为H,则点。到边A8的距离0〃=.

14.已知方程的一个根是1,则，〃的值是,另一根为.

15.如图，矩形0ABe的边OA,OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标

为(12,6),反比例函数),=区(A>0)的图象分别交边BC、AB于点。、E,连接QE,

x

/XDEF与△OEB关于直线DE对称.当点F正好落在边OA上时，则k的值为.

三、解答题(共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、

24、25各10分)

16.反比例函数y=K的图象经过点A(2,3).

x

(1)求这个函数的解析式；

(2)请判断点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

17.解下列方程：

(1)2JT+4X-6=0(用配方法)；

(2)2(x-3)=3x(x-3).

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-3,4),«(-4,1),C(-1,1).

(1)在图中作出AABC关于x轴的轴对称图形B'C；

(2)直接写出A,B关于y轴的对称点A",B"的坐标.

19.如图，已知直线小y=2x与直线，2：、=日+6交于点A(1,2),直线L与x轴交于点

B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求直线/2的解析式；

(2)将线段。4沿直线y=ox折叠，点4恰好落在点尸(2,根)处，求。的值.【提示:

已知A(%],yO,B(xi,力)，则线段A8的中点坐标为(HHl丫产2

)]•

2

20.某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了

抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列

问题:

(1)本次调查一共抽取了名学生，并补全频数分布直方图;

(2)n=；

(3)若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生

人数.

21.如图，已知△4BC的面积为3,S.AB=AC,现将AABC沿CA方向平移C4长度得到

△EE4.

(1)判断四边形AEFB的形状并求它的面积；

(2)试判断A尸与8E的位置关系，并说明理由；

(3)若NBEC=15°,求AC的长.

22.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快

减少库存，商场决定降价促销.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率;

(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的

利润，每件应降价多少元？

23.如图，直线y=-x+2与反比例函数y=K(k¥0)的图象交于A(a,3),B(3,b)

x

两点，过点A作ACLx轴于点C,过点B作3£>J_x轴于点D.

(1)求小b的值及反比例函数的解析式；

(2)若点P在直线y=-x+2上，且SAACP=SABDP,请求出此时点P的坐标；

(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得为等腰三角形？若存在，请直接写出

24.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZA=90°,AB=2,AD=5,P是上一动

点（不与月、。重合），PE±BP,P为垂足，PE交DC于点、E.

（1）ZVIBP和是否相似？请说明理由；

（2）设AP=x,DE=y,求了与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）请你探索在点尸运动的过程中，四边形43EO能否构成矩形？如果能，求出AP的

长；如果不能，请说明理由；

（4）请你探索在点P的运动过程中，aBPE能否构成等腰三角形？如果能.求出AP的

长；如果不能，请说明理由.

参考答案

一、单选题(每小题3分，共30分)

1.下列图形中，是中心对称图形的是(

O

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

解：A.是中心对称图形；

B.不是中心对称图形；

C.不是中心对称图形；

D.不是中心对称图形；

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是()

B.吃4=2

A.axP+bx+c—O

XK

C.x^lx—x2-1D.3(x+1)2=2(x+1)

【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最

高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数.由这四个条件对四个选

项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

解：A、〈川+6龙+c=o当。=0时，不是一元二次方程，故4错误；

B、吃+工=2不是整式方程，故B错误；

C、/+2x=/-1是一元一次方程，故C错误；

D、3Q+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故£>正确；

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

3.下列反比例函数图象一定在二、四象限的是()

Ak口k+1ck2+1ck~l

A.y=--B.y=-----C.y=----—D.y=-----

XXXX

【分析】根据反比例函数的图象和性质解答即可.

解：A.反比例函数y=*中不一定小于零，故A选项不符合题意；

X

B.反比例函数丫=上1中-(k+1)不一定小于零，故8选项不符合题意；

X

C.反比例函数中-(公+1)一定小于零，故C选项符合题意；

X

D.反比例函数了=上1中-a-1)不一定小于零，故。选项不符合题意；

X

故选：C.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y=K,当k>0时，

x

图象分别位于第一、三象限；当《<0时，图象分别位于第二、四象限.

4.用配方法解方程x2-4x+2=0时，配方后所得的方程是()

A.(X-2)2=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=1D.(x-2)2=-2

【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

解：方程/-4X+Zn。，

变形得：^-4x=-2,

配方得：x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2,

故选：A.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

5.下列各组种的四条线段成比例的是()

A.3cm5cm、6cm、9cmB.3cm>5cm、8cmy9cm

C.3cmy9cm、10a“、30C/MD.3cm、6cm、1cm、9cm

【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个

数之积是否相等进行判断.

解：A.3X9A5X6,所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；

8.3X9片5X8,所以四条线段不成比例，故8选项不符合题意；

€.3X30=9X10,所以四条线段成比例，故C选项符合题意；

D3X9W6X7,所以四条线段不成比例，故。选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等

于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.

6.如图，40是△ABC的角平分线，DE,OF分别是△A8O和△48的高，得到下面四个

结论：①。4=0力；©ADLEF；③当NA=90°时，四边形AEZ）尸是正方形；④A/+。/

=AF2+DE2.上述结论中正确的是（）

【分析】只要证明△4QE四△AOF,推出AE=EF,DE=DF,推出AD垂直平分线段EF,

即可判定②③正确，利用勾股定理即可判定④正确，①不一定成立故错误.

解：•••4。是△A8C的角平分线，

:.NDAE=NDAF,

在△ADE和△ADF中，

，ZDAE=ZDAF

>ZAED=ZAFD=90°>

AD=AD

/\ADE^/\ADF,

：.AE=AF,DE=DF,

...AO垂直平分EA故②正确，

VZ£AF=90°时，NEAF=NAED=NAFD=90°,

四边形AEQF是矩形，

\'AE=AF,

，四边形AEZJF是正方形，故③正确，

'：AE2+DF2=EO2+AO2+OD2+OF2,

DE^+AF2=OE2+OD2+OA2+OF，2,

.•.A/+D产故④正确，

「A。垂直平分EF,EF不一定垂直平分A。，故①错误,

故选：D.

【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段的

垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属

于中考常考题型.

7.已知一次函数丫=依+匕（A#0）的图象与y=-2x的图象交于点（〃?，-4）,则对于不

等式质-6＜-2r,下列说法正确的是（）

A.当人<-2时，x>2B.当人<-2时，x<2

C.当k>-2且20时，x>-2D.当心>-2且�时，x<-2

【分析】先求出根的值，再求出和y=的图象的交点，最后根据左值的取

值范围，分类讨论，结合图象解决问题.

解：由题知,

点(m,4)在y=-2x的图象上,

贝I]-2m--4,m—2.

故交点坐标为（2,-4）.

又、=-2x得图象关于坐标原点中心对称，

且y^kx+h和丫=区-6的图象也关于坐标原点中心对称.

所以〃和），=-2x的图象交点坐标为（-2,4）.

则将点（-2,4）代入y—kx-b得b--2k-4.

所以y=kx+2k+4.

fk<0

(1)当<即-2＜火＜0时,

2k+4>0,

如图所示图象在直线x=-2左侧部分满足不等关系履-hv-2x.

则得出此时x的取值范围是：x<-2.

k<0

(2)当，即k<-2时,

2k+4<0,

如图所示图象在直线x=-2右侧部分满足不等关系kx-b<-2x.

则得出此时x的取值范围是：%>-2.

(3)当%>0时.

则得出此时X的取值范围是：x<-2.

综上所述x的取值范围是：

当k>-2且公£0时，x<-2.

当&V-2时，x>-2.

因此此题的答案为：C.

故答案为：C.

【点评】本题考查了一次函数和一元一次不等式，以及用数形结合、分类的数学思想解

决问题.

8.如图，反比例函数y上（x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点分别于AB、

x

BC交于点D、E,若四边形OQBE的面积为9,则/的值为（）

【分析】本题可从反比例函数图象上的点及M、。入手，分别找出△OCE、△OA。、矩

形OABC的面积与因的关系，列出等式求出％值.

解：由题意得：E、M、。位于反比例函数y上(x>0)的图象上，

X

则见。。£=3川，S^OAD=^\k\.

过点“作MG±y轴于点G,作MN±x轴于点N,则S矩柩0NMG=\k\,

又•；M为矩形ABCO对角线的交点，

'•Sm^ABCO=4S域形ONMG=4|k|,

由于函数图象在第一象限，k>0,则微*1+9=4%,

解得:k=3.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐

标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于I川，本知识点是中考的重要考点，同学们

应高度关注.

9.对于一元二次方程渥+法+c=0(aWO),下列说法：

①若a+b+c—0,则方程必有一根为x—l；

②若方程以2+0=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=Q无实根；

③若方程加+以+。=0(“#0)两根为Xi,X2且满足Xl#X2#0,贝|J方程c/+bx+“=O(c

¥0),必有实根;，-；

X1x2

④若沏是一元二次方程0^+&+。=0的根，贝！Jb'-4ac=(2axo+b)

其中正确的()

A.①②B.①④C.②③©D.①③©

【分析】①由a+b+c—O,可得出x=l是一元二次方程ax2+hx+c—0的解；

②由方程元+。=0有两个不相等的实根，可得出△=-4“c>0,结合偶次方的非负性，

可得出A=护-4«c>0,进而可得出方程加+扇+。=0有两个不相等的实根;

hhX<+X11

③由根与系数的关系，可得为+X2=-R,Q2=rq,变形得出-2=」-2

xx

aacXjx2i2

♦=,」,=；•；，即可得出方程cf+%x+ixO(cWO),必有实根;，；：

CX1x2X1x2X1x2

④利用求根公式，可得出阳:-b±]b2-4ac,变形后即可得出〃-4改=(2*。+6)2.

2a

解：①•.•a+b+c=O,

・••当x=1时，ar2+/?x+c=a+b-^-c=0,

・,.l=1为方程以2+〃x+c=0的一根，故说法①正确；

②,・•方程以2+c=O有两个不相等的实根，

/.-44c>0,

:.a-4«c>0,

・・・方程以2+版+c=()有两个不相等的实根，故说法②错误；

③•.,若方程加+法+。=0(。#0)两根为R,X2且满足为#/2彳0,

.bc

・・X1+X2=---，X\X2=一，

aa

._xl+x2_J_1a__I_____L.J_

••-b—―--------+,———•,

CXjX2XiX2cX1X2XjX2

二方程。炉+法+4=0(cWO),必有实根」J,—,故说法③正确；

X1x2

④；初是一元二次方程ax2+bx+c—O的根，

2

.-.r0=-b±Vb-4acr

2a

，±Jb2-4ac=2aw+6,

.'.b2-4ac=(2axo+b)2,故说法④正确.

正确的结论有①③④.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解,

逐一分析四条结论的正误是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共18分)

10.若点A7(3,a-2),N(b,a)关于原点对称，贝!)a+b=-2.

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

解：由题意，得

b=-3,。-2+〃=0,

解得〃=1,

a+b=-3+1=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标

规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐

标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

11.关于X的一元二次方程(a+1)/+x+l=o有两个相等的实数根，则a=.

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到。+1W0且A=12-4(〃+1)=0,

然后解关于。的方程即可.

解：根据题意得。+1#0且△=卜-4(〃+1)=0,

解得a=--y.

4

故答案为一日.

4

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程加+fev+c=0(月0)的根与△=〃-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了一元二次方程的定义.

12.如图，在AABC中，ZC=90°,AO平分/BAC交BC于点。，DE1AB,垂足为E,

若8c=7,DE=3,则BD的长为4.

【分析】由角平分线的性质可知S=Z)E=3,根据线段的和差即可得到结论.

解：•••/!£>平分/BAC,DELAB,/C=90°,

：.CD=DE,

"：DE=3,

：.CD=3,

:.BD=BC-CD=7-3=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是

解题的关键.

13.如图，菱形ABCD的对角线AC、8。相交于点。，且AC=8,BD=6,过点。作OH

_LAB,垂足为H,则点。到边AB的距离。"=圣.

一5一

【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出。”

的长.

解：VAC=8,BD=6,

：.BO=3,4。=4,

...AB=5.

—AO-BO^—AB'OH,

22

0/7=W.

5

故答案为：

5

【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根

据面积相等，可求出48边上的高

14.已知方程-9x+m=0的一个根是1,则m的值是6,另一根为2.

【分析】欲求〃?，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，

解方程组即可求出，”值.

解：设方程的另一根为X”

又

m=6

解得

Xj=2'

故答案为：6,2.

【点评】本题考查一元二次方程的解，正确列出方程组是解题关键.

15.如图，矩形。4BC的边OA,0C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点8的坐标

为（12,6），反比例函数），=区（4>0）的图象分别交边BC、AB于点力、E,连接。E,

x

△OEF与aOEB关于直线OE对称.当点尸正好落在边0A上时，则"的值为27.

【分析】由于四边形是矩形。ABC,且尸与aOEB关于直线。E对称.当点尸正好

落在边0A上，可得ADGFsAFAE,然后把。和E点坐标表示出来，再由三角形相似

对应边成比例即可求出AF的长.然后利用勾股定理求出％=27.

解：过点。作。G_LOA垂足为G（如图所示）

由题意知。（4，6）,E（12,叁），DG=6

612

又•••△OE尸与△OEB关于直线OE对称.当点尸正好落在边0A上

：.DF=DB,NB=NDFE=90°

•.,/Z）GF=/E4E=90°,ZDFG+ZEE4=90°

又；ZEFA+ZFEA=90°

：.ZGDF=ZEFA

:.△DGFsXFAE

即kk，

DFEF12T6为

014

解得:A-=3,

VE/^=EA2+AF2

u2k

即（6_X）=（令）2+9

1212

解得：仁27

故答案为：27

【点评】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题.把各

个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决.

三、解答题（共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、

24、25各10分）

16.反比例函数y=K的图象经过点A（2,3）.

x

（1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点8（1,6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

【分析】（1）先把A点的坐标代入反比例函数y=区中，求出即可求出函数解析式;

x

（2）再把8点的横坐标代入反比例函数的解析式，可求出》若〉的值与B点的纵坐标

相等，则说明B在函数的图象上，否则就不在函数图象上.

解：（1）把（2,3）代入y=K中得

X

3号

:・k=6,

.•.函数的解析式是y=g；

X

（2）把X=1代入y=g中得y=6,

X

.•.点B在此函数的图象上.

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特

征.此题比较容易掌握.

17.解下列方程:

(1)2^+4x-6=0(用配方法)；

(2)2(x-3)=3x(x-3).

【分析】(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

解：(1)*+4%-6=0,

/+2x=3,

x2+2x+1=3+1,即(x+1)2=4,

；.x+l=±2,

/.Xl=1,X2=-3.

(2)2(x-3)=3尤(x-3),

2(x-3)-3x(x-3)=0,

(x-3)(2-3x)=0,

Ax-3=0或2-3x=0,

・Q2

・・即=3,X2=一.

3

【点评】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解答此类问题的关键是根据方程的特

点，选取合适的方法解方程.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-3,4),B(-4,1),C(-1,1).

(1)在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形B'C；

(2)直接写出4,8关于y轴的对称点A”，8〃的坐标.

【分析】(1)依据轴对称的性质，即可得到△A8C关于x轴的轴对称图形B'C；

(2)依据轴对称的性质，即可得到48关于y轴的对称点A〃，B”的坐标.

解：(1)如图所示，XNB'C即为所求；

(2)VA(-3,4),B(-4,I),

.♦.A"(3,4),B"(4,1).

【点评】此题主要考查了轴对称图形的作法以及坐标性质点的距离求法和关于坐标轴对

称的点的坐标特点，灵活应用关于坐标轴对称点的性质是解题关键.

19.如图，已知直线小y=2x与直线e交于点A(1,2),直线b与x轴交于点

B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求直线/2的解析式；

(2)将线段。4沿直线y=or折叠，点A恰好落在点尸(2,m)处，求a的值.【提示:

已知A(Xi,力)，B(xi,yi),则线段AB的中点坐标为(3产，)].

【分析】(1)利用待定系数法即可求出直线6的解析式;

(2)连接A尸交折痕所在的直线于点P,连接。尸，由折叠的性质可知：OA=OF,点、P

为AF的中点，由OA=OF可求出机的值，进而可得出点尸，P的坐标，再利用待定系

数法即可求出％值.

解：(1);直线自过点A(1,2),点、B(3,0),

[k+b=2

l3k+b=0

，直线的解析式为b：y=-x+3.

(2)连接AF交折痕所在的直线于点P,连接。凡如图2所示.

y

由折叠的性质，可知：04=0尸，点尸为AF的中点.

，0A2=0产，

TA（1,2）,F（2,m）,

・，.12+2』22+一，

解得：m=±l.

当机=1时，点F的坐标为（2,1），点尸的坐标为厚，与），

22

•.•点P弓，-1）在直线尸船上，

.3,3

''~2k=2'

解得：k=T；

当加=-1时，点尸的坐标为（2,-1）,点尸的坐标为（侪卷）,

•・•点P（-1,在直线尸船上，

解得：％=等.

乙乙o

综上可知：火的值为1或得.

【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系

数法求一次函数解析式、折叠的性质以及勾股定理的应用等，熟练掌握待定系数法是解

题的关键.

20.某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了

抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列

问题：

人数

（1）本次调查一共抽取了50名学生,并补全频数分布直方图；

（2）n=144；

（3）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生

人数.

【分析】（1）根据0.5小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求得1.5

小时的人数，从而可以将直方图补充完整；

（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，求出1小时的人数所占比例，进而求出所

对的圆心角度数；

（3）根据统计图中的数据可以估计出该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数.

解：（1）104-20%=50,

50-10-20-842,

故答案为：50；

（2）V-^-X360°=144°，

DU

・"=144；

o

（3）1000X-^-=160（人），

答：估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数为160人.

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是

明确题意，利用数形结合的思想解答.

21.如图，已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移C4长度得到

△£FA.

(1)判断四边形AE尸8的形状并求它的面积；

(2)试判断4尸与8E的位置关系，并说明理由；

(3)若NBEC=15°,求AC的长.

【分析】(1)根据平移的性质知CA=AE=8尸且8尸〃C£SAABC=S&EFA,据此证四边

形AEFB是平行四边形得SAABC=SMBF,继而可得答案；

(2)证四边形AEFB是菱形即可得；

(3)作BOJ_AC,由NBEC=15°且A8=AE得/54。=30°,结合4B=AC可得BO

=《AB=5AC,根据《4080=3可得答案.

222

解：(1);•△ABC沿CA方向平移CA长度得到△£：/%,

：.CA=AE=BF,5.BF//CE,

二四边形AEFB是平行四边形，

:.S&ABC-S2ABF=S^EFA=3,

・・・四边形AEF8的面积为6；

(2)由(1)知CA=AE=5F,

U

：AB=AC9

：.AB=AE=BFf

由平移的性质可知

：.EF=AB,

：.AB=AE=BF=EF9

・・・四边形AEF8是菱形，

：.AFLBE；

(3)如图，作8OLAC于点

B

*：ZBEC=\50,S.AB=AE,

：.ZABE=ZAEC=15°,

:・NBAD=30°,

在RtZ\A8£>中，BD^—AB,

2

又：AB=AC,

：.BD=—AC,

2

'：—AC'BD=3,

2

A—AC*—AC=3,

22

则AC="Q.

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形与菱形的判定

与性质及直角三角形的性质.

22.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快

减少库存，商场决定降价促销.

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率;

（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的

利润，每件应降价多少元？

【分析】（1）设每次降价的百分率为x,（1-x）2为两次降价的百分率，40降至32.4

就是方程的平衡条件，列出方程求解即可：

（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由

销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.

解：（1）设每次降价的百分率为北

40X（1-x）2=32.4

x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）

答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%；

(2)设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由

题意，得

(40-30-y)(4X-^-+48)=510,

0.5

解得：)1=1.5,”=2.5,

•.•有利于减少库存，

/•y=2.5.

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品

应降价2.5元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,

这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可.

23.如图，直线y=-x+2与反比例函数y=K(%#0)的图象交于A(a,3),B(3,b)

x

两点，过点4作ACJ_x轴于点C,过点8作轴于点D.

(1)求a,人的值及反比例函数的解析式；

(2)若点P在直线y=-x+2上，且S^CP=S^BDP,请求出此时点P的坐标；

(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△K48为等腰三角形？若存在，请直接写出

【分析】(1)利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a,b,最后

用待定系数法求出反比例函数解析式；

(2)设出点P坐标，用三角形的面积公式求出5皿=93*|”+1|,Sc=/xiX|3

-川，进而建立方程求解即可得出结论；

(3)设出点M坐标，表示出"42=(〃计1)2+9,MB2=(山一3)2+1,A82=32,再三

种情况建立方程求解即可得出结论.

解：(1)..•直线y=-x+2与反比例函数y=—(ZWO)的图象交于A(a,3),B(3,

x

b)两点，

:.-4+2=3,-3+2=b,

.\a=