2023-2024学年广东省湛江市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省湛江市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合/=卜|巾<1},8=卜卜<2},则ZB=()

A.(』2)B.(0,1)C.(0,2)D.(U0)

【正确答案】C

【分析】求出集合4再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】解：J={x|lgx<l}={x[0<x<10),

所以/B=(0,2).

故选：C.

2.已知数列{〃“}为等比数列，若,=2,牝=32,则4的值为()

A.8B.±8C.16D.±16

【正确答案】A

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】因为为等比数列，设{《,}的公比为9,

则02=《5=2,4=°「/=32,

两式相除可得/=16,所以/=4,

所以%=4-3=32+4=8,

q-

故选：A.

3.正方体-44GA中，E是棱CD的中点，若45=2,则点8到平面的距离是

A.亚B.至C.4D.也

555

【正确答案】B

由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可.

【详解】设点B到平面Z/E的距离为“，由等体积法可知：「B-AAE=Ai-ABE，

即:△诋；x(；x2x指)•力=gx(；x2x2)x2,

解得/=[石

本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

4.设i为虚数单位，aeR,“。=1”是“复数2=《-一匚是纯虚数”的（）条件

2]-i

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】先化简z,再根据纯虚数的定义求出。的值，利用充分条件和必要条件得定义即可

判断

2[•21•21•

【详解】复数z=+-;=~r-j--、=-z—y=—r---^是纯虚数，

21-z2（1一根1+。2222

则/一1=0，解得。=±1,

故"〃=1”是"复数z=---是纯虚数”的充分不必要条件，

21-z

故选：A.

对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含

i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共

规复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.

5.已知/（x）=sinxcosx,则/（x）的最小值与最小正周期分别是（）

A.—，兀B.—1，兀C.—>27tD.—2,2兀

22

【正确答案】A

【分析】根据正弦的二倍角公式化简，即可根据周期公式求解出周期，由正弦函数的性质求

出最小值.

【详解】〃x）=sinxcosx=；sin2x,故最小正周期为等=兀，最小值为

故选：A.

体重（单位：kg）

6.目前,国际上常用身体质量指数BMI=来衡量人体胖瘦程度以及是否

身高2（单位：m?）

3

健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为工；女员工中,

肥胖者的占比为2高，已知公司男、女员工的人数比例为2：1,若从该公司中任选一名肥

胖的员工，则该员工为男性的概率为（）

39-3一3

A.---B.---C.-D.一

10020054

【正确答案】D

【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率

计算即可.

【详解】设公司男、女员工的人数分别为2〃和〃,

则男员工中，肥胖者有2〃x志3人3〃，

女员工中，肥胖者有〃2亲n人，

设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件5,

3n3nn

贝％的中=系

1

503

则P(8|/)=P(AB)==

尸⑷一2一4.

75

故选：D.

22

7.P是椭圆]+方=l（a>b>0）上的一点，A为左顶点，尸为右焦点，轴，若

tan/P/F=g,则椭圆的离心率《为（）

A.—B.C.旦D.y

2232

【正确答案】D

L2

【分析】尸产_1》轴得|尸产|=],在直角△尸/尸中由正切的定义可得a/,c的齐次式，从而

得出e的方程，求得结论.

【详解】解：轴，.•.「可=幺，

a

..1\PF1

而同”+a.•.由tan/W=5得.=5,

序1

/.—=—(。+c)，即2(a2-c2)=a2+ac,

a2

2e2+e-l=0,解得e=-l（舍）或6=彳.

2

故选：D.

8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.五角星是一个非常优美的几何

图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中，以4,B,C,D,E为顶点

的多边形为正五边形，且阊=也二L^ES-AP=XBQ(XER),贝以=()

\AT\2

AoV51rV5+1n"下

2222

【正确答案】D

【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到火°=今匚°8,即可求解.

【详解】根据图形的对称性，可得足LRE，AP=QC,

由和向量的运算法则，可得E《l4P=Rd-QC、=RC+CQ=RQ,

又由k°卜|尸丁|，\BQ\=\AT\,故猥=*11温，所以a=上二叵.

故选：D.

二、多选题

9.已知抛物线。：产=2外储＞0)的焦点为尸(4,0),9为C上的一动点,4(5,1),则下列

结论正确的是()

A.p=4B.当尸轴时，点尸的纵坐标为8

C.|尸日的最小值为4D.阳|+俨目的最小值为9

【正确答案】CD

【分析】根据焦点坐标可得P=8,即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自

变量的范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.

【详解】对于A,由抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为尸(4,0)可知与=4np=8,故A错

误，

对于B,当PF_Lx轴时，则点P的横坐标为4,将其代入/=16x中得y=±8,故B错误，

对于C,设尸伍,九)，则1pq=/+5=%+4,由于所以|尸尸|=%+424,故伊日的

最小值为4,故C正确，

对于D,过P作PM垂直于准线于M,过A作AE垂直于准线于E,

J1IJ\PA\+\PF\=\PA\+\PM\>\AM\>\AE\=6,当p,E,A三点共线时等号成立，

故D正确；

10.将函数〃x)=Nsin(ox+s)的图象向左平移g个单位长度后得到y=g(x)的图象如图,

6

A./(x)为奇函数

B./(x)在区间A，')上单调递增

C.方程〃x)=l在(0,2%)内有4个实数根

D./。)的解析式可以是/(x)=2sin(2x-2

【正确答案】BC

【分析】利用图象可求得函数g(x)的解析式，利用函数图象平移可求得函数/(x)的解析式,

可判断D选项；计算/(0)可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；当

xe(O,2万)时，求出方程〃x)=l对应的2x-号可能取值，可判断C选项.

【详解】由图可知，函数g(x)的最小正周期为.•.O=与=2,

/=g(x)a=2,

所以，g(x)=2sin(2x+°),则g)=2$访(个+?)=2,可得sin+“=1,

'nTTTT

所以，——+9=2攵乃+—(女£Z),得*=---(kwZ),

623

因为|夕|《，则g所以，g(x)=2sin(2x-?)

将函数g(x)的图象向右平移1个单位可得到函数/(x)的图象，

故/(x)=2sin2(=2sin2x

对于A选项，因为/(O)=2sin「q-J#O,故函数/(x)不是奇函数，A错；

对于B选项，当会》后时，-9<2x-与<0,故函数仆)在区间仁,9上单调递增,

B对；

可得sin(2x-与

对于C选项,^/(x)=2sinl2x--1=1,

2

当xe(O,2万)时，＜学，所以，小字号号

C对;

3333[66o6

对于D选项，/(x)=2sin12x-弩)w2sin12x-^),D错.

故选：BC.

11.已知数列｛《,｝满足4=1,《向=34,+1,〃eN*,则()

A.121是数列中的项B.an+]-a„=3"

c.”9是等比数列-*1113

D.存在％cN,一+—++—=~

qa2ak2

【正确答案】ABC

【分析】由递推关系式=3%+1可知，通过构造等比数列可求得数列｛%｝的通项公式为

%即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的,

〃2

1113,u

一+—+LT+—<可得D错误.

%4%2

【详解】由％=3(+1可得，+旧=3(*+£，又卬+；=|，

所以「“+；｝是首项为T，公比为3的等比数列，即C正确；

所以，由等比数列通项公式可得。“+；="尸，即

当"=5时，a=—=121,所以121是数列中的第五项，即A正确；

52

,,3"-11•阳3,,+1-13"-13x3"-3"Hnctr*.

由。=----可得，a.-ci=-------------------=-------------=3；即B正确；

"2"In〃222

12

易知一二丁丁，当〃22时，3"—1>3"—3〃T=2X3"T,

an3T

12213

所以广=诃，当"=i时，=1<-；

un3—1ZXjj2.

当“22时，—+—+

qa2

11131113

即对于任意的“eN*,—+—+L+—<-,所以不存在左eN*,—+—++—=彳,

qa2an2qa2ak2

即D错误.

故选：ABC

12.如图，在平行四边形Z8CD中，AB=\,AD=2,NX=60。，沿对角线8。将

折起到△P8。的位置，使得平面平面88,连接尸C,下列说法正确的是()

A.平面PC£>_L平面P8D

B.三棱锥P-BCD外接球的表面积为10元

C.P。与平面P8C所成角的正弦值为且

D.若点M在线段P。上(包含端点)，则△8CM面积的最小值为巨

7

【正确答案】ACD

【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位

置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点

到直线的距离公式检验CO.

【详解】△88中，CD=\,BC=2,ZA=60°,

所以80=6，^LBD2+CD2=BC1,所以8OJ.C0,

因为平面,8。_L平面88,且平面P8。平面88=8。，又BDLCD,CDu平面8co

所以CDJ■平面P8D,CDu平面尸CD,所以平面PC£)1平面8包),故A正确；

取BC的中点为N,PB中点为Q,过N作ON//PB,ON=；PB，由平面PBD1平面BCD，且平

面PBD平面2a)=8。，又平面PB。,故PB_L平面8CZ),因此ONJ_平面

8co，由于△8。为直角三角形，且N为斜边中点，所以O8=OC=OD,又

ON/"8,ON=；P8,所以。8=ON,8。//ON,因此"=08,因此。为三棱锥P-BCD外接

球的球心，且半径为OB=JBQ?+BN?==亭,故球的表面积为4兀‘孑5兀,故B

错误，

以。为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则8(百，0,0),C(0,1,0),P(G,o,

1),

因为8P=(0,0,1),BC=(->/3,1,0),DP=go',

设平面P8C的法向量为％=(x,y,z),

所以收敷，取”百，则〃；［(63,0)

所以cos<L=4煞=37%=半，故与平面p8c所成角的正弦值为丑，故C正

|mIIDP\2X2V344

确,

因为M在线段上，设"ba,0,a）,则屈8=（百-岛，0,-a）,

所以点〃到BC的距离d=储四星把）2=J--^+-=J-（a--）2+-,

V\BC\V424^477

当。=:时，d取得最小值叵，此时AM8C面积取得最小值18cx叵=叵，D正确.

77277

三、填空题

13.写出过点尸（-2,2）且与圆（》+1）2+/=1相切的一条直线的方程.

【正确答案】3x+4y-2=0（答案不唯一）

【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用

圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】当过点2（-2,2）的直线斜率不存在时：方程为：x=-2,此时直线到圆心的距离

d-r,满足题意；

当过点P（-2,2）的直线斜率存在时：设方程为：”以x+2）+2,

BPkx-y+2k+2=0,因为直线与圆（x+l『+为即相切,

所以〃=上半"3=1,解得：k—,所以直线方程为：3x+4y-2=0,

川+公4

所以过点尸（-2,2）且与圆（》+1）2+/=］相切的一条直线的方程*=_2或”+4尸2=0,

故3x+4y-2=0（答案不唯一）.

14.等差数列｛/｝的前〃项之和为S“，若4=6,则S“=.

【正确答案】66

【分析】直接利用等差数列前〃项和公式和等差数列的性质求解即可.

【详解】由已知条件得S"=等=66,

故答案为.66

15.若cU、o方、od为空间三个单位向量，OAVOB^且od与0日、0片所成的角均为

60°,则.

【正确答案】亚

【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.

【详解】由题意可得〃・08:0，OAOC^OCOB=lx\xcos60^=-

FFF1^―f-f——-K■叭—•力~••K■映

04+08+。。=\IOA~+OB~+OC~+2)AOB+DAOC+DCOB

=Jl+l+l+0+2'；+2'；=yj~5,

故有

16.已知椭圆2+4=1的右焦点为尸，点「在椭圆上且在x轴上方.若线段尸尸的中点用

在以原点。为圆心，I。可为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

【正确答案】-272.

【分析】设椭圆得左焦点为尸‘，连接。"产/，根据线段P尸的中点用在以原点。为圆心,

I。尸I为半径的圆上,可得|OM|=|OF|=c,从而可求得|尸尸尸日，在PFF',利用余弦定

理求得NPF尸'的余弦值，从而可得出答案.

【详解】解：设椭圆得左焦点为尸'，连接0M,PF',

由椭圆夫+少=1得，a=5,h=4,c=3,

2516

则产'(—3,0),F(3,0),|FF'|=2c=6,\PF\+\PF'\=2a=\0,

因为点M在以原点。为圆心，I。可为半径的圆上，

所以10M=|0F|=c=3,

因为O,M分别为FF',PF得中点，

所以|PU|=2|O日=6,所以|尸产|=10-|尸尸|=4,

所以cosNPFF=[6：3!-36=：,贝！|sin/PEF'=述，

2x4x633

所以tan/PEF'=2ji，

因为点P在椭圆上且在X轴上方，则直线PF的倾斜角与Z.PFF'互补,

所以直线夕尸的斜率-2JL

故答案为.-2a

四、解答题

/7

17.在△MC中，内角4,B,C所对的边分别为。，6,c,已知a=0,b=4s,co&A=7=~.

（1）求sinB；

（2）若8是钝角，求/C边上的中线长.

【正确答案】（1）立

2

（2）1

【分析】（1）根据同角基本关系可得正弦值，进而根据正弦定理即可求解，

（2）根据余弦定理可求解%利用向量得8O=g（8/+8C）,平方后即可求解.

【详解】（1）由cos/=也，力€（0,兀）,则由必=，1-的二=或,由正弦定理得

5v'5

好

bQ卜.八次皿776,

----=----Dsin5=-----=r^~~——

sinBsiMayJ22

（2）由于8是钝角，故cos8=-4Z,

2

由余弦定理可得cos8=°一+：一一"=2+5=_坐,解得。=1（负值舍去），

2ac2缶2

设4c边上的中线为8。，则8O=5（8/+8C）,

^\^(2BD)2^(BA+BC)2=c2+a2+2accosS=12+(>^)2+2x1x①x卜—fel,

所以T1即NC边上的中线长为gI.

18.设第一象限的点"(*。,九)是双曲线C:1-/=l伍>0)上的一点，己知C的一条渐近

线的方程是y=^x.

(1)求6的值，并证明：-^-x0-^0<—；

2X。

(2)若直线/：y=x-3和曲线C相交于E,F两点，求|所|.

【正确答案】(1)6=0,证明见解析

(2)4近

【分析】(1)根据渐近线方程可得6=&,进而根据分析法即可求解，

(2)联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解.

22L

【详解】(1)=1e>0)的渐近线方程为卜=±£'，故6=0，

双曲线方程为材卜°,九)在双曲线上，所以乎-¥=1，

要证'与一汽〈二，只需证由于%>0,%>0,若"/-二40,显然成

2%2%2x0

立，若当二>0时，只需要证明(今/一」］<%2,即证:/2+乌-

2/<2x0J2x0I4J

9/-99

因此只需要证明［<3.2-2,由%〉2,得［<w，而

——<18=>­+2<3yjl=>—<3-2,故~-2成立，因此2^,、y

1644/2x0

"22

上-匕=1

(2)联立直线与双曲线方程42"=-—］2x+22=0,

y—x—3

设广值,%),E(XQ)，则百+马=12，占次=22,所以由弦长公式得:

|EF|=+%)2-4%受=仄/1爰-4'22=4r7,

19.如图，在棱长为2的正方体/BCD—44GA中，E为中点.

(1)求平面DBD、与平面E8"夹角的余弦值；

(2)探究线段8c上是否存在点凡使得。尸〃平面若存在，确定点产的位置；若不存

在，说明理由.

【正确答案】(1

(2)存在，点尸为线段8(上靠近点C的三等分点

见解析

【分析】(1)以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角

坐标系，求出平面的法向量，平面8OQ的一个法向量.利用空间向量的数量积即可求

解

(2)假设在线段8c上存在点F,使得。尸〃平面通过向量共线以及向量的数量积

为0,求解即可.

【详解】(1)如图，以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，J轴，z轴建立空

则/(2,0,0),5(2,2,0),Q0,2,0),。(0,0,0),E(1,0,0),四(2,2,2),0,(0,

0,2).

R理(1,0,-2),EB=(1,2,0),

设平面的法向量〃=(%,y,z),

x八

n•D£=0x-2z=0

X-，即

n•EB-0x4-2y=0'

令x=2,则夕=-1,z=1,n=(2,-l,l),

连接ZC,AC1BD,由于平面力C,NCu平面4C,所以

D】DcBD=D,DQ,BDu平面BD、D,

.•.4C1平面3DQ,4d1(—2,2,0)为平面3。。的一个法向量.

TX_xV3

cos(AC,n)=-任k=二广

\AC\\n\V6x5/82

故平面QBR与平面EBD、夹角的余弦值为也

平面DBD、与平面EBR夹角不超过90，,

2

(2)假设在线段4c上存在点尸，使得。尸//平面8RE.

设CF=e[0,1]),CB'=(2,0,2),DF'=DC+CF=DC+2.CB'=(0,2,0)+2(2,0,2)=(22,2,22),

。"//平面比花，・•.DFA,即。匠〃=0,

.•.(22,2,22)-(2,-1,1)=0,B|J62-2=0,解得2=；€[0,1],

•••在线段8c上存在点尸，使得。尸〃平面BDE，此时点尸为线段8c上靠近点C的三等分

点.

20.甲、乙两人组成“新队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜

对的概率为P,乙每轮猜对的概率为4(。＞4).在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,

各轮结果也互不影响.已知“新队”在一轮活动中都猜错的概率为」，只猜对一个成语的概率

为六

(1)求p，g的值；

(2)求“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率.

2

P=g

【正确答案】(1),

⑵9

【分析】(1)根据相互独立事件发生的概率公式求解：

(2)分情况讨论，根据相互独立事件发生的概率公式计算.

【详解】(1)都猜错的概率为0-2)。-4)=，，^p+q-pq=y,

只猜对一个成语的概率为p(lr)+(1-P)旧，即p+q-2阳=；,

72

p+q=7P=-

所以［解得:.

『哈

(2)“新队”在一轮比赛中猜对2个的概率为-

623

所以“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为gxJ+Lxg+gx1=鸟.

36632236

21.设等比数列｛。“｝的前〃项和为S”，且。,用=2邑+1,(N€N)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)在巴与。用之间插入〃个实数，使这〃+2个数依次组成公差为么的等差数列，设数列

的前"项和为Z,，求证

【正确答案】(l)a,,=3"T

(2)证明见解析

【分析】(1)利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列｛与｝的通项公式；

(2)根据等差数列的性质，可得/=',可得了=；7不h，再利用错位相减法即可

〃+1d”2-3

得出.

【详解】(1)解：•••%+产2s,+1①

〃22时，an=2s“_1+1②

=2ali=>d„+1=3an(n>2)

而出=24+1,由｛%｝为等比数列,，24+1=3。［=>%=1,

3"-3'"'_2-3"-1〃+1

(2)解：d,

〃+1〃+12・3小

」一n〃+1

・r-+3++…H----rH---------①

・・〃2-3°2-312-322.3*22.3“T

23n-\n〃+1

-T”=------T--------7+…+~1-----------7H-----------r「十一一②

32-312-322-3"<2?T2・3〃

21