2023-2024学年河南省信阳高二年级上册月考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河南省信阳高二上册月考数学模拟试题

一、单选题

1.已知等差数列｛q｝中R=I,则4+即=()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算，即可得答案.

【详解】由题意等差数列｛%｝中4=1，

可得4+%=2%=2,

故选：B

2.已知直线/的方向向量α=(-2,3,1),平面ɑ的一个法向量为3=(4,0,8),则直线/与平面

α的位置关系是()

A.平行B.垂直C.在平面内D.平行或在平面内

【正确答案】D

【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.

【详解】根据题意，因为ee=0,所以α,e,所以直线/与平面α的位置关系是平行或在

平面内.

故选：D.

3.若直线4：0x+3y+l=0与32x+(α+l)y+l=0互相平行，则"的值是()

A.—3B.2

C.一3或2D.3或一2

【正确答案】A

【分析】根据直线4：0x+3y+l=0与4：2x+(α+l)y+l=0互相平行，由α(α+l)=2x3求

解.

【详解】因为直线4：0r+3y+l=0与*2x+(α+l)y+l=0互相平行,

所以α(α+l)=2x3,即/+”_6=(),

解得α=-3或α=2,

当a=-3时，直线/"3x-3y+l=0,∕2：2x-2γ+l=0,互相平行;

当4=2时，直线4：2x+3y+l=0,I2：2x+3γ+l=O,重合；

所以α=—3,

故选：A

4.已知过点P(2,l)有且仅有一•条直线与圆+V+20r+qy+2∕+4-I=O相切，则。=

()

A.-1B.-2C.1或2D.-I或-2

【正确答案】A

由f+y2+2aχ+ay+2〃~+。-1=0为圆的方程可得(2α)"+a"-4(2t∕2+a—1)>0,又过点

尸(2,1)有且仅有一条直线与圆C：%2+/+2双+@+2/+。一1=0相切，则点P(2,l)在圆上,

联立即可得解.

【详解】解：过点22,1)有且仅有一条直线与圆C：χ2+y2+2ar+αy+2∕+α-1=。相切，

则点P(2,l)在圆上，

贝吐+产+44+〃+2/+〃一I=0,解得。=-2或Q=-1,

又f+J?+20r+αy+2/+α-l=0为圆的方程，

则(24+4-4(2/+α-l)>0,即-2<α<∣,

即Q=—1,

故选：A

5.已知双曲线C=1(a>O,b>O)的离心率为亚，则C的渐近线方程为

a2b22

A.y=±-xB.y=±LC.y=±LD.y=±x

432

【正确答案】C

【详解】=好，故4=LB[J-≈7,故渐近线方程为y=±2χ=±!x.

a∖a22a24a2a2

本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

6.下列说法正确的是()

A.经过定点P伍,九)的直线都可以用方程y-%=%(χ-Λ0)表示

B.方程x+my-2=0(meR)不能表示平行>轴的直线

C.经过点P(1,1),倾斜角为。的直线方程为y-l=tanθ(x-1)

D.经过两点q(%,y),2(々,%)(百/%)的直线方程为y-y=&•三L(X-XJ

【正确答案】D

【分析】根据点斜式不能表示斜率不存在的直线判断A选项；

特殊值的思路，当，〃=0时直线与y轴平行，即可判断B选项；

根据正切函数的定义域即可判断C选项；

根据斜率公式和点斜式即可判断D选项.

【详解】A选项：当斜率不存在时，直线方程不能用y-%=MX-X。)表示，故A错；

B选项：当M=O时，直线方程为x=2,跟>轴平行，故B错；

C选项：当6=90。时，tan。不存在，故C错；

D选项：经过R,巴两点时，直线斜率为忆=上&,再根据点斜式得到直线方程为

⅞-xι

y-M=逅二M(X-XJ,故D正确.

故选：D.

7.在三棱锥S-A3C中，SA、SB、SC两两垂直且1S4=S8=SC=2,点M为S-ABC的

外接球上任意一点，则MA.何8的最大值为()

A.4B.2C.2√3D.2√3+2

【正确答案】D

【分析】将三棱锥S-ABC补成正方体，计算出正方体的体对角线长，叩为三棱锥S-A8C

的外接球直径长，设线段AB的中点为E,利用点M、球心、点E三点共线且球心在线段EM

上时，ME最长可求得IMEl的最大值，由此可得出MA∙的最大值.

【详解】因为三棱锥S-ABC中，SA，SB、SC两两垂直且M=SB=SC=2,

将三棱锥S-ABC补成正方体SADB-CPQR,

设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,球心为。，

则2R=+SB'+SC)=2上，；.R=舟

M

取AB的中点E,连接OE、MO,

SA±SB,则AB为4S43的外接圆的一条直径，则E为ASAB的外接圆圆心,

所以，OE_L平面5A8,ABU平面SAS,..OE_LA8,

,小________

AE=—AB=——SA=V2，.∙.OE=>JR2—AE'=1，

22

由球的几何性质可知，当M、。、E三点共线且点。在线段ME上时，

IMEl取得最大值，且WHM=WOI+∣o目=G+I.

MA=ME+EA^MB=ME+EB=ME-EA,

所以，MAMB=(ME+EA)(ME-EA)=ME2-EA2=∣ME∣2-2≤(√3+1)"-2=2√3+2.

当且仅当IMEI=6+1时，等号成立.

因此，仞4.时8的最大值为26+2.

故选：D.

方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方

体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同而均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

8.等差数列｛4｝的前〃项和为S”,且4>0,$=0.设勿=勺%,0+2(〃€”),则当数列也｝

的前”项和Z,取得最大值时，〃的值为

A.23B.25C.23或24D.23或25

【正确答案】D

【分析】先依据条件知等差数列｛qj的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可

以判断他,｝的前23项为正数，&为负数，旗为正数，从第27项起各项都为负数，而

3+3=0,故也｝的前”项和T,取得最大值时，〃的值为23或25.

【详解】a,>0,S50=O,

二等差数列｛%｝的公差d<0,

且%=⅛^J=25（电5+心）=0

则“25>。,。26<°,且|%51=l¾619

由a=4,AI+“+2（〃GM）,知也｝的前23项为正数，3为负数，%为正数，从第27项起

各项都为负数，

而蜀与久是绝对值相等，符号相反，相加为零，

T23=T25,之后7；越来越小，

所以数列他,｝的前”项和1取得最大值时,«的值为23,25,故选D.

本题主要考查等差数列的性质以及求数列前〃项和取最值的判断方法.

二、多选题

9.如图，设直线/,m,”的斜率分别为占，k2,&,则（）

A.k1>k3B.k2<klC.k2<k3D.∣fc2∣>⅛∣

【正确答案】BCD

【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度

判断其绝对值的大小，得出答案.

【详解】由图可知直线/,，”，〃的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，

所以K>Q,k2<O,k3<0

又直线机最陡峭，则网>|勾,网>网=4

所以&<4，&k∣>K∙故选项BCD正确.

故选：BCD

10.在如图所示的棱长为I的正方体ABa）-A旦a。中，点尸在侧面BCGq所在的平面上

运动，则下列命题中正确的（）

A.若点P总满足必"LBD,则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点A的距离为√∑,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆

C.若点尸到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆

D.若点尸到平面BAA内与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹抛物线.

【正确答案】ABD

【分析】根据线面垂直的判定定理可得即2面ACC圈，可得出u面ACClA,进而可得尸

在面ACGA与面BCC内的交线上可判断A；由已知可得动点P的轨迹是以5为圆心，1为

半径的小圆（在平面BCCg内），可判断B；由P8+PC=1=BC可判断C；根据点到平面

的距离以及点到直线的距离结合抛物线的定义可判断D；进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为CC∣，面ABC。，8E>u面ABC。，可得CG_LB。，

因为AClBO,AC∩CC,=C,所以8。/面ACGA，

因为点P总满足R4_L8O,所以B4u面ACGA,点PC面ACGA，

因为尸G面BCG旦，所以点P在面AeGA与面8CGB∣的交线上,

所以动点P的轨迹是一条直线CG,故选项A正确;

对于B：点尸的轨迹是以A为球心，半径为0的球面与平面BCC4的交线，即点P的轨迹

是小圆，设小圆的半径为，因为球心A到平面8CC内的距离为AB=1,所以

r=《可-1=1,交线即以8为圆心，1为半径的小圆(在平面BCeBl内)，所以小圆的周

长为2πr=2兀，

故选项B正确；

对于C：点尸到直线AB的距离即是点P到点8的距离，即平面BCGq内点户满足

PB+PC=∖=BC,所以满足条件的点尸的轨迹是线段3C,而不是椭圆，故选项C不正确;

对于D：点P到平面BAA耳与到直线Co的距离相等，则动点尸的轨迹是以线段BC的中点

为顶点，直线BC为对称轴的抛物线，(在平面BCCS内)，故选项D正确；

11.已知数列也｝满足4=10,%=2,且q,+2—2¾M+q=θ("eN*),则下列结论正确的是

()

A.α,,=12-2”

B.|%|的最小值为O

C.∣41+|%I+∣%∣+…-11”+60

D.当且仅当〃=5时，%+%+«3+…+4取最大值30

【正确答案】AB

【分析】由递推式可知数列｛4｝是等差数列，由4=10,¾=2,可求得公差d,从而可得

数列伍“｝的通项公式，即可判断选项A；当〃=6时，¾=0,可判断B；当为5时，an>0,

当〃..6时，alt,,0,从而可求得lql+31+31+...+kl,即可判断选项C；当〃=6时，UI取

得最小值为0,即可判断选项D.

【详解】由4+2-2a,z+%=0,可得《】+2-an+∖=an+∖~an，所以数列｛《,｝是等差数列,

因为q=10,αs=2,所以公差"=与斗=_2,

所以q=4+5-1）〃=10-2（〃-1）=12-2〃，故A正确；

∣¾∣=∣12-2n∣,当”=6时，同取得最小值为0,故B正确；

当〃=6时，。〃=0,所以当〃V5时∙，¾>0,当几>6时,cιn<O,

以当〃<5时,I<7∣I÷1J+|生|+…+|。〃I=α∣+/+。3+…+4?=-^--------------ɪ=1—A?2,

当M≥6时，∣α,∣+∣02∣+∣¾∣+∙∙∙+∣αJ=01+a2+∙∙∙+α5-06-------an

=—(4+a2+/+,,・+)+2(q+出+••♦+%)=—SU+2S5=—(11/?—/?~)+60=π~—11/?+60,

X7X≥>故C错误;

所以同+同+同+…+同=6

当"=5或〃=6时，巧+%+为+-一+4取最大值30,故D错误.

故选：AB

12.已知尸为椭圆C：土+匕=1的左焦点，直线/：y=履（ZHo）与椭圆C交于A,B两点,

168

AE_LX轴，垂足为£,BE与椭圆C的另一个交点为P,则（）

,,14

A.∣AF∣+∣lBF∣l=8B.府j+前的最小值为2

C.直线BE的斜率为;&D.44B为钝角

【正确答案】AC

【分析】对于A,利用椭圆与y=丘的对称性可证得四边形AFe尸为平行四边形，进而得到

∣AF∣+∣βF∣≈8:

14

对于B,利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到国+画的最小值；

对于C,由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到A⅛=：女；

对于D,先由各点坐标结合椭圆方程可得到心/怎B=-：,从而可证得•心a=T,由此

可知NHB=90°.

22

2

【详解】由椭圆c：2+2L=l得/=16万=8,则α=44=2√Σ,c=8.c=2√2,

168

对于A,设将圆C的右焦点为百，如图，连接A9，BF',

由椭圆与y=kx的对称性可知AO=BO,OF=OF',则四边形AF1BF为平行四边形，

t^∖AF]+∖BF∖=∖AF∖+∖AF'∖=2a=S,故A正确；

对于B,

ɪ÷AU(∣AF∣÷∣B4ɪ÷ΛLιf5÷M^ɪr麻I研9

∖BF∖8"11l,[∖AF∖∖BF∖}81∖AF∖忸尸∣J/『+2«伺.褐J=G

BF4∖AF∖IIlll...16

当且仅当工开=方寸，且IAFl+∣M∣=8,即忸F∣=2∣AF∣=5时，等号成立,

49

故+

两8-

对于C,设Aa,%),B(-x0,-y0),E(⅞,0),故直线BE的斜率曝==*=；孑=；

ʌo十X。乙ʌo乙

故C正确；

对于D,设p(m,〃)，直线出的斜率为/⅛,直线尸B的斜率为心8，则

2

n-ynn+yan-yp

k,.k

^PΛAPR2

tn-m+x0ιn-xθ

22ɔ2

又点P和点A在椭圆C上，故竺+工=1,五+苑=1,

168168

两式相减得联+式=0'则反T，故心%一，

易知％=脸=权,则％*q,得％=q,

所以&A∙h∕)=(-"1%=T,故N%B=90°,故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13-已知数列｛4｝的前〃项和S“=2〃2-〃+1,则其通项公式q=

2,n=l

【正确答案】

4n-3,n≥2,nsN"

【分析】利用当“≥2时，¾=Sπ-S,,.1,可求出此时的通项公式，验证〃=1时是否适合，可

得答案.

【详解】当“≥2时，a,=S“-S“T=2〃2-"+l-[2（〃-l）2一（"-l）+l]=4"-3,

当〃=1时，4=2-1+1=2不适合上式，

2,n=l

4〃一3,〃≥2,〃∈N*

2,n=1

故答案为:

4〃一3,〃≥2,〃∈N*

14.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不

知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为"，当α∈[l,2022]

时，符合条件的最大的。为.

【正确答案】2018

【分析】由题意可设α=3m+2=5"+3,m,∏∈N,则3m=5α+l,对整除5的余数分情况

讨论，即可求出符合题意的〃的值，再结合αe[l,2022]即可求出符合条件的最大的α.

【详解】由题意可设"=3m+2=5"+3,in,∏∈N,

则3w=5"+l,设％∈N,

当m=5&时，15左=5〃+1,”不存在,

当∕M=5Z+1时，15Z+3=5〃+1,5〃=15k+2,〃不存在,

当"?=5/+2时,l5k+6=5n+∖,:.5n=\5k+5,.∖n=3k+∖,满足题意,

当m=5∕+3时,\5k+9=5n+\,:.5n=15k+8,“不存在,

当机=54+4时,15⅛+12=5n+l,.∙.5/7=15)1+11,〃不存在,

即n=3A+1时满足题意，.∙,α=15⅛+8,

72014

又.αe[l,2022],贝∣J1≤15k+8≤2022,即詈，

故人的最大值为134,.∙.符合条件的最大的“为15x134+8=2018.

故答案为:2018.

15.如图，两条异面直线“，匕所成角为60°,在直线上α,〃分别取点A，，E和点A,F,使

AAua且A4」。.已知A'E=2,AF=3,EF=5.则线段AA'=.

【正确答案】3&或指

【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.

【详解】因为EF=EA'+AN+AF，所以

∣EF∣2=(E4'+A'A+AFy=IEAf+1A'A『+,尸『+2EA,∙A'A+2EA'-AF+2A'AAF,

由于A4'_La,AAYb,贝∣J2EA∙AA=O,2A'A∙AF=0，

又因为两条异面直线0,6所成角为60。，所以(EA',AF)=60或120,

故5?=2?+∣A,A∣2+32+2X2X3XCOS(EA',AF),可得IAH=30或痛.

故3&或#

2222

16.设%B分别为椭圆G：与+夫=1(4>々>0)与双曲线C：二一∙⅛=l(α,>b,>0)的

axP1④D2

公共焦点，它们在第一象限内交于点〃，NEMg=90。，若椭圆的离心率qe-ɪ,

则双曲线。2的离心率气的取值范围为.

【正确答案】半，3

【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定

义以及二次函数的性质，可得答案.

【详解】由椭圆及双曲线定义得知6+M马=2q,MK-Mg=2/=MfJ=q+%,

MF2=al-a2,

22

因为N月M心=90。，所以(弓+nJ?+(6-%y=4C∙2,a1+a1=2c,4"+4"=2,

eIe2

32√2981916所以92一卜27

因为e∣∈,-屋18'9则

43l6,9匕2eI98

因为α,>b,,%<1,由e2=E=Jl+[2]<√L所以l<e,<也，因此e?e"M五

出见Y^L7

故答案为.当,友)

四、解答题

17.记S”为等差数列｛“"｝的前"项和，已知Sy=一怒.

(1)若的=4,求｛“"｝的通项公式；

(2)若“∕>0,求使得S"≥m的”的取值范围.

【正确答案】(1)¾=-2n+10;

(2)l≤w≤10(n∈N*).

【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于q和d的方程组,

求得4和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果：

(2)根据题意有4=0,根据q>0,可知d<0,根据S“>4，得到关于〃的不等式，从

而求得结果.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的首项为4,公差为d,

,..9a.+d=-(a+4d)

根据题意有'2'l,

ai+2d=4

(4=8

解答]所以4=8+(〃一l)x(-2)=—2〃+l。，

[a=-2

所以等差数列｛4｝的通项公式为¾=-2/7+10；

(2)由条件S9=-45,得9A5=T⅛,即〃5=°，

因为4>0,所以“<0,并且有“5=4+4d=0,所以有α∣=-4”,

2

由Sn>an得nal+“(丁)d≥al+(n-l)d,整理得(n-9n)d≥(2n-10)J,

因为d<0,所以有/-9"≤2"-10,EPn2-lln+10≤0>

解得l≤"<10,

所以〃的取值范围是：l≤"≤10("eN*)

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公

式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

18.已知直线/经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂

直.

(1)求直线/的方程；

(2)若圆C过点(1,0),且圆心在X轴的正半轴上，直线/被该圆所截得的弦长为2夜，求

圆C的标准方程.

【正确答案】(l)y=χ-ι

⑵(I)"-

【分析】(1)先求得直线2x-y-3=0和直线4x-3y-5=0的交点坐标，再用点斜式求得直

线/的方程.

(2)设圆C的标准方程为(x-4)2+>2=严，根据已知条件列方程组，求得由此求得

圆C的标准方程.

[2x-y-3=0(x=2

【详解】(1)彳q<八=

[4x-3y-5=0[γ=l

直线x+y-2=0的斜率为τ,所以直线/的斜率为1,

所以直线/的方程为y-l=lχ(χ-2),y=χ-L

（2）设圆的标准方程为（x—ap+y2=产,

=>a=39r=2t

所以圆的标准方程为（x-3）2+V=4.

19.如图，在四棱锥P-ΛBCf>中，底面ABCO是梯形，AB//CD,ADLAB,

AB=AD=PD=^CD,PD_L平面ABCD,点M是棱PC上的一点.

⑴若PC=3PM,求证：PA，平面MBD；

（2）若M是PC的中点，求二面角M-BZ）-C的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵远

3

ANAR1

【分析】（1）连接AC交8。于N,连接MN,则可得dANBS∕∖CND,f⅜-

NCDC2

ANPM1

再结合已知可得黑=Er=则必〃MN,然后由线面平行的判定定理可证得结论，

NCMC2

（2）过M作ME_L£>C于E,过E作EFJ_BD于F,连接Λ∕E,可得NMFE是二面角

V-即-C的平面角，从而可求得结果

【详解】（1）证明：连接AC交8。于N,连接MN,

因为A8〃8

所以一ANBSACND,

re、IANABɪ

所以质=灰

2

因为鼠ɪ

2

ZANPM1

所IX以而=荻=5

所以P4〃MN,

因为PAa平面MBD,MNU平面MBD

所以〃平面M8/)

(2)过M作ME_L£>C于£,

因为PD_L平面ABC£),Pr)U平面PDC,

所以平面PDC，平面ABa),

因为平面PDC平面ΛBCD=CZ),

所以MEl.平面ABa),

因为BDu平面A8C7),所以MEJ_8D

过E作EF_L8D于尸，连接M尸，

因为MECET7=E,所以Br)I平面ME户，

因为叱U平面用EF,

所以"FLBD

所以NMFE是二面角M-3£>-C的平面角，

不妨设A8=2,则A8=AO=P£)=?C£>=2,

2

因为AB〃C£),Az)ɪAB,所以BD=2√2,BC=2√2,DC=4,

所以8£>2+8。2=jDC2,所以BDLBC,

所以ME=LPo=1,EF=LBC=血，

22

所以MF=6，

20.已知抛物线V=2px(p>0)∙过动点M(a,0)且斜率为1的直线/与该抛物线交于不同的

两点A、B.

⑴若∣AB∣≤2p,求α的取值范围；

(2)若线段AB的垂直平分线交AB于点。，交X轴于点M试求RtAMNQ的面积.

【正确答案】(1)(苫，/；

⑵P?.

【分析】(1)设直线/的方程为y=χ-α,与抛物线方程联立，根据弦长公式可得

∣AB∣=λ∕8p(p+20),求解O<∣AB∣≤2p即可；

(2)根据中点坐标公式可求Q(α+p,"),根据两点间的距离公式可得IQM2=2/,又

△MNQ是等腰直角三角形，从而可求SMN0.

【详解】(1)直线/的方程为y=x-",

将y=x—α代入V=2pχ(p>0),f⅜x2-2(α+p)x+α2=0.

设Aa方)，8(々,丫2)，

4(α+/?)--4a2>0,

贝∣J<x∣+w=2(α+p),

ɔ

x1x2=a".

所以14却=ʌ/ɪ+12∙J[2(α+P)丁一4〃2=J8p(p+2”).

因为0<∣A8∣≤2p,

所以p+24>0且J8p(p+24)42p,解得-∙^<"≤∕.

故α的取值范围是.

(2)设。(马必)，由中点坐标公式，得匕=弋上="+P,

61

J3=(XI-a)?")=p,故。(4+p,p).

所以IQM「={a+p-a∖+(p-0)2=Ip1.

因为线段AB的垂直平分线交AB于点Q,交X轴于点M且直线/的倾斜角为45。，

所以aMNQ是等腰直角三角形，

所以%优=3。加『=广

21.如图，C是以AB为直径的圆。上异于4,B的点，平面PAC_L平面ABC,一PAC为正三

角形，E,F分别是尸CM上的动点.

(1)求证：BCVAEx

(2)若E,F分别是PC刃?的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为B,记平面AEF与

2

平面ABC的交线为直线/,点Q为直线/上动点，求直线PQ与平面AE尸所成角的取值范围.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵(吟］

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BCl平面PAC,即可证明BCj.AE∙

(2)由已知结合线面平行的判定定理知BC〃平面AEF,结合线面平行的性质定理知

BCHl,建立空间直角坐标系，设Q(2,f,0),求出平面AE尸的一个法向量，利用空间向量

求线面角即可得解.

【详解】(1)证明：因为C是以A3为直径的圆。上异于A,B的点，所以3CLAC,

又平面R4C_L平面A8C,且平面PAC"平面A8C=AC,3Cu平面ABC,

所以8C/平面PAC,AEu平面PAC.

所以8CL4E

(2)由E,尸分别是PC,PB的中点，连结AE,£7"所以BC〃$，由(1)知BCLAE,

所以EFLAE,所以在RJAFE中，-AFE就是异面直线A尸与BC所成的角.

因为异面直线AF与BC所成角的正切值为正，

2

所以tan∕AFE=且，即丝=走

2EF2

又E尸U平面AEF,BC0平面AEF,

所以BC〃平面AEF,又BCu平面ABC,平面防4c平面ABC=/,

所以8C〃/

所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线/.

因为APAC为正三角形所以AE=石，从而EF=2

由已知E,F分别是PCPB的中点，所以BC=2EF=4

(1⑸flJj

则A(2,0,0),8(0,4,0),P(LO,√5),所以E5,O,3尸子2,后

所以AE=（3。6）,EF=（0,2,0）,

〔-于（M

因为BC〃/,所以可设。(2/0),平面AEF的一个法向量为/M=(x,y,z),

3xʌ/ɜz

AE∙m=-—I------=O

则22取2=百，得m=(l,0,6),

EF`m=2y=0

又α.「我，则6〈也，〃〉=湍粉二/€恒

设直线PQ与平面AE尸所成角为凡则sin9=-rXτe(θJ.

√4+rk2」

所以直线尸。与平面AE/所成角的取值范围为(。高.

22.已知斜率为左的直线/与椭圆C：：+［=1交于A,5两点，线段AB的中点为

M(1,∕7∕)(∕7Z>0).

(1)证明：Z<-L;

2

⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且尸P+E4+FB=0∙证明：网，网，网成等

差数列，并求该数列的公差.

【正确答案】(1)%<-：；⑵证明见解析，公差为更红或—酒.

22828

【分析】(1)方法一：设而不求，利用点差法进行证明.

(2)方法一：解出血进而求出点尸的坐标，得到|尸耳,再由两点间距离公式表示出|必|,卜耳

得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.

【详解】(D［方法一］：【最优解】点差法

2222

--

设A(Λpy∣),8(々，%)，则+［=+4=L

两式相减，并由"A=&得五3+吗&/=0,

由题设知衿卫=1,町及=〃?，于是k=①

224m

由题设得0<"<三3,故&<一1一.

22

［方法二］：【通性通法】常规设线

设AB:y=fcr+f,A(^,>∙),β(x2,y2),当k=0时，显然不满足题意;

1+彳勺得，(3+4公卜2+8近χ+4∕2-i2=0,所以，x,+x≈--

⅛-2

y=κx+t

Δ>0,即4公+3—2>0,而Wi=1,所以3+4公=-4灯,

2

ΛL2.3一3

又m=k+1=k-----------=—>0,所以AV0,

4kAk

(4*23V11

4/+3—+>0,即F〉；，解得：k<-.

-4kJ42

［方法三］:直线与椭圆系的应用

对原椭圆作关于M(∖,ni)对称的椭圆为0Ξ立+02二2匚=1.

43

两椭圆方程相减可得X+等y=ι+gm,即为AB的方程，故k=-3∙

334机

又点M(l,w)在椭圆C内部可得』+仁<1,解得：0<"7<=.

432

［方法四］：直线参数方程的应用

X=I+FCOS夕,

设/的参数方程为(6为/倾斜角，f为参数)代入椭圆C中得

y="7+/Sine

(3CoS26+4sin26)r+(6cose+8〃7sine)-9+4"?2=0.设f”是线段中点A，B对应的参数,

3

M(IM)是线段AB中点,知4+%=0得一(685夕+8/豆11。)=0,即(=tan'=一-而点

4/77

M(Lm)在C内得L日<1,解得：机/。，9,所以A=-F-<二.

43I2)4m2

(