中考数学二轮复习类比、拓展探究题(图形形状变化)

类型二图形形状变化引起的探究

1.(2019信阳模拟)(1)观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DB1.BC,EC，8c且/D4E=90。，AD=AE,则

BC、BD、CE之间的数量关系为；

(2)问题解决

如图②，在R3ABC中，乙4BC=90。，CB=4,AB=2,以AC为直角边向夕M乍等腰R3

D4C,连接8。，求即的长；

(3)拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，/ABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接

写出BD的长.

图2

图3

第1题图

2.规定有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，

如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.

(1)问题猜想

如图①，嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时

针旋转150。得到正方形AM'P'N',连接,ON'交于点0,则BM'与DM的数量关系

为，位置关系为；

(2)类比探究

如图②，将⑴中的正方形换成菱形，/AZ)=NM4N=60°,其他条件不变，则⑴中的结

论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；

(3)拓展延伸

如图③，将(1)中的嵌套四边形ABCZ)和AMPN换成是长和宽之比为2：1的矩形，旋转

角换成«(90°<«<180°),其他条件不变，请直接写出BM与OM的数量关系和位置关系.

图

R

W

图3

第2题图

3.发现问题

⑴如图①，两块全等的直角三角板，^AB^DEF,S.ZC=ZF=90°,AB=DE=2,

现如图放置，连接AE,贝(JNABE=°,AE=；

问题探究

(2)如图②，在△ABC中,AH±BC于点"，以A为直角顶点，分别以A8、AC为直角

边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角aACF,过点E、尸作射线HA的垂线,垂足

分别为点M、N,试探究线段EM和尸N之间的数量关系，并说明理由；

拓展延伸

(3)如图③，在△ABC中，AH_L8C于点H，以4为直角顶点，分别以AB、4C为一边，

向aABC夕M乍正方形ABME和正方形ACNF,连接EF交射线HA于点G,若AG=5,请直

接写出EG的长.

第3题图

4.在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且NA8C=ZADE=a，点E在△ABC

的内部，连接EC,EB,EA和BD,并且/ACE+ZABE=90°.

【观察猜想】

⑴如图①，当a=60。时，线段BD与CE的数量关系为,线段EA,EB,EC的

数量关系为；

【探究证明】

(2)如图②，当。=90。时，⑴中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，

请说明理由；

【拓展应用】

(3)在(2)的条件下，当点E在线段C。上时，若BC=2小，请直接写出ABOE的面积.

圉⑵

第4题图

类型二图形形状变化引起的探究答案

1.解：(1)BC=BD+CE；

【解法提示】VZB=90°,NOAE=90。，.2。+ZDAB=ZDAB+ZEAC=90°,/.ZD

=ZEAC,-.ZB=ZC=90°,AD=AE,：.^AD^EAC,：.BD=AC,EC=AB,..BC=AB+

AC=BD+CE.

(2)如解图①，过。作DELAB,交BA的延长线于E,由⑴同理得：ZVlBC丝△OE4,

:.DE=AB=2,AE=8C=4,在RtABOE中,BE=6，由勾月殳定理彳导：8。=■^62^22=2回；

⑶3vl

【解法提示改口解图②过。作OE_LBC于E,作。尸，AB于尸,同理得:△CEO四△AFO,

x+y=4X=I

...CE=AF,E£>=£)F,设A尸=x,DF=y，贝芥，解得<，,BF=2+I=3,£>F=

2+x=y[y=3

3,由勾股定理得：8。=/32+32=3啦.

图①

图②

第I题解图

2.解：(1)83=DN',BM'A-DN'；

【解法提示环艮据“SAS”易证△48”丝△AOM进而可得8M=OM,乙48"=/AZW,

再利用三角形内角和定理可推出/BOO=90。，即

(2)8M=£)M成立，BM'LDN'不成立,BM'与0M相交，目夹角为60°.

理由：设A8,0M交于点E,如解图①,

由旋转的性质可得/8AM，=ADAN'=150°.

,.四边形ABC。，AM'PW都是菱形，

：.AB=AD,AM'=AN',

:QABM'率ADN',

：.BM'=DN',NABM'=ZADN'.

又；NBEO=ZDEA,

：.Z.BOD=NBA。=60。；

故BM与ON相交，且夹角为60°；

第2题解图①

(3)BM'=2DN'，BM'LDN.

【解法提示】设AB,0M交于点£如解图②，由旋转知NBAM=ND4M=a,易知AM

ABAMBM'

2AN1,AB=2AD，•而=^^=2，.4ABMJ&ADN',=2,NA8M'二NADN,又

'：ZBEO=ZDEA,：.Z.BOD=ZBAD=90°.：.BM,.LDNf.

第2题解图②

3.t?：(1)90,2y[2；

【解法提示】:△ABC也△£>££：.NBAC=/EDF,VZC=90°,NBAC+NA8C

=90°,ZEDF+ZABC=90°,ANABE=180°—90°=90°,在RlZ\ABE中,AE=NAB2+BE2

=^/22+22=2A/2.

Q)EM=FNi

理由如下：•・・△”£是等腰直角三角形，

：.EA=BA,ZBAE=9O°,

「.NBA”+NAME=90。，

：AH±BC,EM±AH,

:.AAME=ZAHB=90°,

:,AABH+ZBAH=90°,

"ABH=/MAE,

在△E4M与中,

‘NAME=NBHA

〈NEAM=NABH,

\<AE=BA

.^EAM^ABH(WS),

：.EM=AH,

同理可证0△月VA,「.AH=FN,

..EM=FN；

(3)5.

第3题解图

【解法提示】如解图，过点E作EP1_〃G于点尸，过点尸作尸Q_L"G,交”G的延长

线于点Q,垂足分别为P、Q,由(2)可得EP=FQJEPLHG,FQ±HG"ZEPG=NFQG

(^EPG=/FQG

二90。，在△EPG和△FQG中XNPGE=/QGF,：QEPG2FQG(AAS),:.EG=FG.9：ZEAF

、EP=FQ

=ZBAC=90°,.-.EG=FG=AG=5.

4.角翠：（\）BD=CE；BE2+CE2=EA2；

［解法提示］NABC=ZADE=a=60°,DA=DE,BA=BC,：.^ADE./\ABC是等边

三角形,：.^DAE=ABAC=60°,：.^DAB=ZEAC,'.DA=EA,BA=AC,.-.^DAB^EAC,

：.BD=CE,Z.DBA=ZECA,：.^DBA+NABE=ZECA+ZABE=90°,..BD2+BE2=D必::

△ADE是等边三角形，:.DE=AE,：.BD2+BE2=AE2即EC2+EB2=EA2-

⑵不成立，|CE2+BE2=^AE2；