2023-2024学年天津市河东区九年级上学期数学月考试卷及答案

2023-2024学年天津市河东区九年级上学期数学月考试卷及

答案

一、选择题

1.下列方程属于一元二次方程的是()

21

A.2x"---=7B.xy=9

x

C.(=4D.x2+y=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据是否为整式方程对A进行判断；根据未知数的个数对B、D进行判断；根据一

元二次方程的定义对C进行判断.

【详解】解：A、2x2-工=7不是整式方程，所以A选项错误；

x

B、xy=8含有两个未知数，所以B选项错误；

C、六=4是一元二次方程，所以C选项正确；

D、x2+y2=0含有两个未知数，所以D选项错误.

故选C.

【点睛】考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整

式方程叫一元二次方程；一元二次方程的一般式为a$+bx+c=0(a、b、c为常数，a70).

2.用配方法解方程f+2x-5=0时，原方程应变形为()

A.(x+l)~=6B.—

C.(x+2)2=9D.(x-2『=9

【答案】A

【解析】

【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1,然后把方程左边利用完全平方公

式表示即可.

【详解】解：/+2工—5=0，

••x~+2,x=5,

即X2+2x+l=6，

（x+1）2=6,

故选：A.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题

的关键.

3.已知x=2是一元二次方程/+加1+2=0的一个解，则m的值为（）

A.3B.-3C.0D.0或3

【答案】B

【解析】

【分析】将x=2代入一元二次方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：由题意得4+2m+2=0,

解方程得a=-3,

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就

是一元二次方程的解是解答本题的关键..

4.关于x的一元二次方程3x「4x+8=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】D

【解析】

【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案.

【详解】解：根据题意得：

△=（-4）2-4X3X8

=16-96

=-80<0,

该方程没有实数根，

故选D.

【点睛】考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.

5.已知函数y=（加—2）x"'2-2+2x—7是二次函数，则m的值为（）

A.±2B.2C.-2D.m为全

体实数

【答案】c

【解析】

【分析】根据二次函数定义列式求解即可.

【详解】解：•.•函数y=(加—2)X〃'2-2+2X—7是二次函数

二•ni—2W0,加2-2二2，解得：m=—2.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如尸ax?+bx+c(a、b、c是常数，aWO)的

函数，叫做二次函数.

6.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线^二万/相同的抛物线为()

1919

A.y=-(^-2)+3B.^=—(X-2)-3

i,i,

C.j=—(x+2)-+3D.y=(x+2)-+3

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可.

【详解】解：•••抛物线的顶点坐标(-2,3),开口方向和大小与抛物线^=5必相同，

这个二次函数的解析式为y=；(x+2)2+3.

故选C.

【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线y=ax，bx+c中，a值确定抛物线的

开口方向和抛物线的形状是解题的关键.

7.抛物线y=-1x2+l的顶点坐标是()

A.(0,1)B.(y,1)C.(--1)D.(2,-

1)

【答案】A

【解析】

【分析】将抛物线解析式写成顶点式即可.

【详解】解：y=-|x2+l

2

1,

=--（x-0）2+l,

顶点坐标是（0,1）.

故选A.

【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标.

8.二次函数y=3（x-1）?+2的最小值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值.

【详解】解：由于（x-1）,NO,

所以当x=l时，函数取得最小值为2,

故选A.

【点睛】考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数

的最小值.

9.二次函数y=g（x-1）的图象可由丫二千六的图象（）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

【答案】D

【解析】

【详解】y=’x?向右平移1个单位得到:y=!（x-l）2,再向上平移2个单位得到:y=L（x->+2.

222

所以选D.

10.抛物线>="2+乐+。与X轴的公共点是（-1,0）,（3,0）,则这条抛物线的对称轴是

直线（）

A.直线x=—1B.直线x=0C.直线x=lD.直线

x=3

【答案】c

【解析】

【分析】因为点A和B的纵坐标都为0,所以可判定A,B是一对对称点，把两点的横坐标

代入公式x=9土包求解即可.

2

【详解】•••抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0),

两交点关于抛物线的对称轴对称，

则此抛物线的对称轴是直线x=至上红=二9=1.

22

故答案选C.

【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握抛物线

与坐标轴的交点的性质.

11.某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当

单价每涨1元时，每天少售出10件.若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少

元？

这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是()

A.涨价后每件玩具的售价是(30+X)元；B.涨价后每天少售出玩具的数量是

10x件C.涨价后每天销售玩具的数量是(300-10x)件D.可列方

程为：(30+x)(300-10x)=3750

【答案】D

【解析】

【详解】A.涨价后每件玩具的售价是(30+X)元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是

10x件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是(300-10x)件，正确；D.可列方程为：

(30+x)(300-10x)=3750,错误，应为(30+X-20)(300-10x)=3750,故选D.

12.二次函数y二ax?+bx+c(aWO)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2V0；②4a+c

<2b；③3b+2cV0；®m(am+b)+b<a(mW-1),其中正确结论的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【详解】解：：抛物线和x轴有两个交点，

.'.b2-4ac>0,

.".4ac-b2<0,，①正确;

:对称轴是直线x-1,和x轴的一个交点在点（0,0）和点（1,0）之间，

，抛物线和x轴的另一个交点在（-3,0）和（-2,0）之间，

二把（-2,0）代入抛物线得：y=4a-2b+c>0,

.•.4a+c>2b,...②错误；

:把（1,0）代入抛物线得：y=a+b+c<0,

2a+2b+2c<0,

Vb=2a,

.•.3b,2c<0,...③正确；

:抛物线的对称轴是直线x=-1,

y=a-b+c的值最大,

即把（m,0）（m#0）代入得：y=am2+bm+c<a-b+c,

.".amJ+bm+b<a,

即m（am+b）+b<a,...④正确；

即正确的有3个，

故选B.

考点：二次函数图象与系数的关系

二、填空题

13.若关于x的方程（m+1）x2+2mx-7=0是一元二次方程，则m的取值范围是.

【答案】mW-1

【解析】

【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不

为0.

【详解】解：由题意，得m+lWO.

解得m#-1.

故答案是：mW-1.

【点睛】利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫

做•元二次方程，■般形式是a/+bx+c=O（且aWO）.特别要注意aNO的条件.这是在做

题过程中容易忽视的知识点.

14.如果抛物线y=-/+（加-+2的对称轴是y轴，那么m的值是.

【答案】1

【解析】

b

【分析】根据对称轴公式1=-=0可得加-1=0,即可求解.

2a

【详解】解：二•抛物线y=-x?+（加一1）%一加+2的对称轴是y轴，

：.x=--=0,

2a

m—1=0,

m=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

15.已矢口一元二次方程21—3x+1=0，贝］「再+工2=

31

【答案】

22

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.

【详解】解：：2x2—3x+l=0中，a=2,b=-3,

b-33

••小+/=丁一了=5

3

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若再,马是一元二次方程

bc

奴2+&+。=0(。彳0)的两根，项+迎=——，X1M=—，掌握一元二次方程根与系数的

aa

关系是解题的关键.

16.若实数a满足a?-2a=3,贝U3a?-6a-8的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】先对已知进行变形，所求代数式化成己知的形式，再利用整体代入法即可求解.

【详解】解：•••£-2a=3,

.".3a2-6a-8=3(a2-2a)-8=3X3-8=1,

.♦.3/-6a-8的值为1.

故答案是：1.

【点睛】考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.要把

a?-2a看作一个整体，整体代入即可求出答案.

17.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一

个人传染了个人.

【答案】12

【解析】

【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流

感，列方程求解

【详解】解：设平均一人传染了x人，

x+l+(x+1)x=169

解得：x=12或x=T4(舍去).

，平均一人传染12人.

故答案为：12.

【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解.

18.如图抛物线y=x?+2x-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴

上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE,DF,则DE+DF的最小值为

【解析】

【分析】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，求解即可.

【详解】连接AC,与对称轴交于点P,

此时DE+DF最小，

•・•点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,

:.DE=-PC,DF=-PB,

22

在二次函数y=x?+2x-3中，当、=0时，y=-3,

当歹=0时，x=—3或x=l.

即4(—3,0),5(1,0),C(0,—3).

OA=OC=3,

AC-A/32+32=3A/2,

点P是抛物线对称轴上任意一点,

则PA=PB,

PA+PC=AC,

PB+PC=3A/2,

DE+DF的最小值为：；（必+尸。）=手.

故答案为豆1.

2

【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点

P的位置是解题的关键.

三、解答题

19.用适当的方法解下列方程：

（1）（x-3）2=24

（2）%2+12x+27=0

（3）x2+6x=4

（4）2（X-3）2=3（X-3）

【答案】（1）再=3+2yJ~6，x2=3-2^/6；

（2）x1=-3,x2=—9；

（3）Xj=—3+y/13）x2=—3—VTs；

（4）xl=3,x2=4.5

【解析】

【分析】（1）方程开方即可求出解；

（2）方程利用因式分解法求出解即可；

（3）方程利用配方法求出解即可；

（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【小问1详解】

解：开方得：x-3=±2&，

解得：西=3+2而，x2=3-276；

【小问2详解】

解：分解因式得：(x+3)(x+9)=0,

解得：项=-3,x2=-9；

【小问3详解】

解：配方得：x2+6x+9=13,

即(x+3)2=13,

开方得：x+3=+y/13>

解得：西=-3+V13)x2=—3—V13；

【小问4详解】

解：方程整理得：2(x—3『—3(x—3)=0,

分解因式得:(x-3)[2(x-3)-3]=0,

解得：占=3,x2=4.5

【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种

解法是解本题的关键.

20.已知关于x的方程2——5x+左=0的一个根是L求上的值和方程的另一个根.

【答案】k=3,方程的另一个根为‘3

2

【解析】

【分析】将x=l代入2/—5x+左=0,即可求出k的值，再利用因式分解法解方程即得出

其另一个根.

【详解】将x=1,代入2x?-5x+左=0，得：2—5+左=0,

解得：k=3.

该方程为2x2-5x+3=0

(x-1)(2%-3)=0

.,3

••X]—1?%2—，

3

工方程的另一个根为一.

2

【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程.掌握方程的解就是使等式成立的未

知数的值是解题关键.

21.已知二次函数y=ax?(aNO)的图象经过点(-2,3)

(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式；

(2)求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标.

33

【答案】(1)一，j=-x2(2)(-2,3),(2,3)

4-4

【解析】

【分析】(1)根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点(-2,3)代入解析式得到

关于a的方程，然后解方程即可；

(2)把y=3代入解析式求出x的值即可.

【详解】解：(1)•抛物线丫=2/经过点(-2,3),

4a=3,

.3

・・a=一,

4

3,

二.二次函数的解析式为y=-x-；

(2)•.•抛物线上点的纵坐标为3,

,32

・・3=—x，

4

解得x=±2,

此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为(-2,3),(2,3).

【点睛】考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上

的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上.

1,

22.已知二次函数y=一厂一工一3.

■4

(1)求出函数图象顶点坐标；

(2)写出图象的对称轴；

(3)写出图象的开口方向；

(4)写出当自变量x取何值时，y随x的增大而减小.

【答案】⑴(2,-4)

(2)直线x=2

(3)向上(4)x<2

【解析】

【分析】(1)将解析式化成顶点式求解即可；

(2)根据顶点式求解即可；

(3)根据。=L〉0,判断作答即可；

4

(4)根据二次函数的图象与性质作答即可.

【小问1详解】

11,

解：y=—x"—x—3=—(x—2)—4,

，函数图象顶点坐标为(2,-4)；

【小问2详解】

解：由(1)可知，对称轴为直线x=2；

【小问3详解】

解：由(1)可知，a=—>0,

4

,图象的开口向上；

【小问4详解】

解：由图象开口向上，对称轴为直线x=2,

...当x<2时，y随x的增大而减小.

【点睛】本题考查了二次函数顶点式，二次函数的图象与性质.解题的关键在于对知识的熟

练掌握与灵活运用.

23.已知，抛物线有y=—Y+bx+c经过2(—1,0)、8(5,0)两点，顶点为尸，求：

(1)求b,c的值：

(2)求A/BP的面积;

(3)写出抛物线与y轴交点坐标

【答案】(1)b=4,c=5

(2)27

(3)(0,5)

【解析】

【分析】(1)利用交点式得到>=—(x+l)(x—5),然后展开即可得到6和c的值；

(2)把(1)的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可求得面积;

(3)将x=0代入，即可求解.

【小问1详解】

解：设抛物线的解析式为＞=-(x+l)(x-5),

y=-x+4x+5，

b=4,c=5；

【小问2详解】

角军：,**y=—x2+4x+5=—(x—2)2+9,

则尸点坐标为(2,9),

1,0)、5(5,0),

A£=5-(-l)=6,

当％=0时，y=5

二.抛物线与y轴交点坐标为(0,5)

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求抛物线与坐标轴的交点问题，面积问

题，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

24.某学校计划利用一片空地建一个花面，花面为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12

米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米.设垂直于墙

的边长为x米，根据实际情况回答以下问题

墙

//////////////

（1）平行于墙的边长为一米（用含X代数式填空）

（2）这个花圃的长和宽分别应为多少米？

【答案】（1）（28-2%）

（2）这个花圃的长为10米，宽为8米.

【解析】

【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28-2x）米，

（2）根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于尤的一元二次方程，解得尤的值，再结合

墙的长度为12米，即可得出结论.

【小问1详解】

解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28-2x）米，

故答案为：（28-2”.

【小问2详解】

依题意，得：x（28—2x）=80,

解得：xl=4,x2=10.

当x=4时，28—2x=20>12,不符合题意，舍去；

当x=10时，28—2x=8,符合题意.

答：这个花圃的长为10米，宽为8米.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

25.如图，抛物线y=—/+桁+0与x轴交于/Q,0）,8（—3,0）两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交了轴于。点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得△加。

的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点尸，使APBC的面积最大？若存在,

求出点尸的坐标及APBC的面积最大值；若没有，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3

(2)存在，2(-1,2)

31527

(3)存在，(-—,—),T

【解析】

【分析】(1)根据题意可知，将点A、3代入函数解析式，列得方程组即可求得6、C的值,

求得函数解析式；

(2)根据题意可知，边/C的长是定值，要想△QZC的周长最小，即是/Q+CQ