2023-2024学年人教版（五四制）九年级上册数学期中复习试卷

2023-2024学年人教五四新版九年级上册数学期中复习试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=（2x-1）2B.y=（x+1）2-x2

C.y=ax2D.y=2x+3

2.在△ABC中，ZC=90°,下列各式不一定成立的是（）

a

A.a=b*cosAB.a=c*cosBC.c=—---D.b=a*tanB

sinA

3.如图，A,B,。是。0上的三个点，如果乙406=140。，那么NAC8的度数为（）

4.关于函数y=3》2的图象特点，下列说法正确的是（）

A.关于x轴对称的抛物线，开口向上

B.关于y轴对称的抛物线，开口向上

C.关于x轴对称的抛物线，开口向下

D.关于y轴对称的抛物线，开口向下

5.把函数）'=x2-2x+3的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y=x2+2B.y=（x-1）2+1C.（x-2）2+2D.y=（x-1）2-3

6.如图，PA,PB分别与。。相切于点A,B,C为O。上一点，ZACB=124°,则NP的

度数为（）

7.如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,ZVIBC的顶点都在这些小

正方形的顶点上，那么cosNACB值为()

A.B.2Z1Z_C.—D.—

5555

8.如图，在平行四边形ABC。中，点E是C。上的点，AE交8。于点F,交BC延长线于

点

G,若QE：CE=3：1,贝UAF：FG=()

9.如图，C£＞是©0的直径，弦A8，C£＞于点E,若OE=3,BE=4,则下列说法正确的是

()

A.CE的长为3B.A。的长为10C.CD的长为12D.AC的长为2&

10.如图是抛物线yi=ar2+bx+c(a#0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3),

与x轴的一个交点3(4,0),直线丫2=3+"(相#0)与抛物线交于A,8两点，下列

结论：①2a+b=0；②m+〃=3；③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)；④方程

有两个相等的实数根；⑤当1WXW4时，有以＜力，其中正确的是()

A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤

填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

H.如图，网格中的每一个正方形的边长都是1,AABC的每一个顶点都在网格的交点

处，则sin4=.

12.抛物线产卷（X+1）2的顶点坐标为

13.如图，QE交AABC边AC、BC的延长线分别于。、E两点，且£>E〃AB,若@=2,

AC3

则△CDE与4487的面积比为.

14.抛物线y=》2-2x+c（c>0）与x轴相交于点4（可，0）、B（汹，0），点A在点B左

侧，若用<“?<》2,则当x=m+2时，y0（填"=”或号）

15.已知弓形的半径为13,高为1,那么弓形的弦长为.

16.如图，A8是。。的直径，BC是。。的切线，AB=BC=\2,连接AC,与。。交于点

E,连接8E,点。是窟上的任意一点（不与A,E重合），连接8£>,与4c交于点F,

ED与BA的延长线交于点M.

①若点。是标的中点，则箍的长为；（用含n的代数式表示）

②无论点。在窟上的位置怎样变化，ED・EM=.

17.如图，在aABC中，ZB=45°,AC=2,cosC--1-BC的垂直平分线交AB于点E,

5

那么。氏AE的值是

A

18.如图，直线/与。。相切于点A,M是。。上的一个动点，设点M与点A间的距离为a,

点M到直线/的距离为b.若。0的半径为1,则«-b的最大值

19.如图，。。的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点H,A4=4,B〃=10,CD=

4A/17-则。。的半径为.

C

20.直角三角形斜边上的高CO=3,延长OC到P使得CP=2,过8作8FLAP交CO

于E,交AP于F,则DE=.

三.解答题（共7小题，满分60分）

21.先化简，再求值：（a-3+阻?）2a2-2a+l,其中a=2sin60°+1.

a-2a-2

22.图①、图②、图③均为3X5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方

形的顶点称为格点，按下列要求作图：

B

图①图②图③

（1）在图①中画出RtZ\A8C,使三个顶点均在格点上且AC=A8,ZBAC=90°；

（2）在图②中画出Rt^ABC,使三个顶点均在格点上且4c=BC,ZACB=90°；

（3）在图③中画出△ABC,使三个顶点均在格点上且AC=BC,N4CB¥90°.

23.如图所示，在四边形ABCQ中，AC与8。交于。，AB=AD,CB=CD.BEJ_C。于E,

BE与AC交于F.CF=2B0.

（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；

（2）求tan/AC。的值.

24.如图。。的弦AB、QC的延长线相交于点E,/AO£>=150。，弧8c为70°.

求NA5。、NAED的度数.

25.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通

过对5天的试销情况进行统计，得到如表数据：

单价（元/件）3034384042

销量（件）4032242016

（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在

一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20

元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？

（3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得的利润不得低于400

元，请直接写出单价x的取值范围.

26.如图，在AABC中，AB=AC,是AABC的外接圆，直径AE交5c于点H,点。

在弧AC上，过点E作EF〃BC交4。的延长线于点凡延长BC交A尸于点G.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若BC=2,AH=CG=3,求EF的长；

(3)在(2)的条件下，直接写出C。的长.

27.已知抛物线Ci：y^ax2+bx+c(a<0)与x轴的交点为A(-1,0),B(4,0),与y

轴的交点为C,且AB=BC.

(1)求点C的坐标以及抛物线Ci的表达式；

(2)将抛物线G绕坐标平面内的某一点P旋转180°,得到的新抛物线与y轴的交点

为点E,若新抛物线上存在一点F,使得以B,C,E,尸为顶点的四边形是以BC为边的

菱形，求点F的坐标；

(3)将(2)中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为

①直接写出此时旋转中心P的坐标；

②再将C2向右平移至与C1只有一个公共点Q,请直接写出点Q的坐标.

备用图

参考答案与试题解析

选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.解：A、y=(2x-1)2=4X2-4x-1是二次函数，故本选项符合题意；

B、y=(x+1)2-X2=X2+2X+1-x2=2x+l,是一次函数，故本选项不合题意;

C、丫=。兀2当。等于。时，它不是二次函数，故本选项不合题意；

D、y=2x+3是--次函数，故本选项不合题意.

故选：A.

2.解：在△ABC中，ZC=90°,

贝！JtanB=^,

a

：.b=a-tanB9A选项错误，符合题意，。选项正确，不符合题意；

在△ABC中，ZC=90°,

则COSB=—9

C

.\a=ccosB,8选项正确，不符合题意；

在△A3C中，ZC=90°,

则sinA=—,

C

・・・c=T丁，C选项正确，不符合题意；

sinA

故选：A.

3.解：如图，在优弧上上取点。，连接A。、BD,

由圆周角定理得：ZADB=^ZAOB=70°,

VZACB+ZADB=[S0°,

AZACB=1800-ZADB=iiO°,

故选：C.

4.解：I•二次函数y=3/中，攵=3>0,

，此抛物线开口向上，关于y轴对称.

故选：B.

5.解：Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,

...把函数y=『-2x+3的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y=

(x-1-1)2+2,即y—(x-2)2+2.

故选C.

6.解：在优弧AB取一点Q,连接A。、BD、OA、0B,如图，

VZACB+ZADB=\SQ°,

AZA£>B=180°-124°=56°,

；.NAOB=2N4£)B=112°,

-：PA.PB分别与。。相切于A、B,

J.OAVPA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90(,,

.•.NP=180°-/AOB=180°-112°=68°.

故选：D.

7.解：如图，过点A作于从

在RtZXACH中，'：AH=4,CH=3,

;MC=VAH2-K：H2=V42+32=5'

.*.cosZACB=-^-=—,

AC5

故选：c.

8.解：・・,四边形A5CQ是平行四边形,

：.AD//BCfAD=BC.

J.AD//BG.

：.AADEsAGCE.

.ADDE

..----=-----=32.

CGCE

：.AD=BC=3CG.

：.BG=4CG.

FAD//BG,

：.XADFs4GBF.

・AF_AD_3CG_3

•・而一前一同一1

故选：A.

9.解：连接。8,

-------/

VA^ICD,

AZAED=ZAEC=90°,AE=BE=4f

由勾股定理得：。5=而正嬴万==

即0C=0Q=5,

ACD=10,

0E=3,

：.CE=OC-0E=5-3=2,DE=OE+OD=3+5=Sf

AAD==VAE2+DE2=V42+82=4V5>

•■•AC=VCD2-AD2=V102-(4V5)2=2V5,

即只有选项。正确，选项A、选项8、选项C都错误;

故选：D.

10.解：由抛物线对称轴为直线工=-?=1，从而人=-2m则2a+Z>=0故①正确；

2a

直线y2=m«+〃过点4把A（1>3）代入得"?+”=3,故②正确；

由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4,0）,则另一个交点坐标为（-2,0）,故

③错误；

方程ax2+bx+c=3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线），=3求交点，从图象可以

知道，抛物线顶点为（1,3）,则抛物线与直线有且只有一个交点

故方程ax2+bx+c^3有两个相等的实数根，因而④正确；

由图象可知，当1WXW4时，有gWyi故当x=l或4时光=力故⑤错误.

故选：B.

填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

11.解：过点8作8OLAC,

,:AB=N]2+22=<y^,BC=3,AC=d22+42=2,

二S^ABC=£X3*2=微义2旄XBO,

解得：

5

DTS3vQ

在RlZXAB。中，sinA=---=5=—，

*vr5

故答案为：4

5

12.解：由a+i）2,根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1,0）,

故答案为（-1,0）.

13.解：VDE//AB,

：./\CDE^/\CAB,

..CD=2

'AC-T

.SACDE_2、2=2

FCAB%）91

故答案为：4：9.

14.解：：抛物线y=『-2x+c（c>0）与x轴相交于点A（内，0）、B（切，0），

对称轴为x=l，

.*.0<xi<l,1<X2<2,

VX]</W<X2»

：.0<m<2f

.\2<w+2<4,

当x=m+2时，y>0,

故答案为：>.

15.解：过圆心。作OO_LAB,交弧与C.则C£>=1,连接OA.

在直角△A。。中，OA=13,OD=\3-CD=\2,

则^D=V0A2-0D2：=V132-122=5>

.\AB=2AD=\0.

故答案为：10.

16.解：①连接OD,OE,

・・,BC是。。的切线，

ZABC=90Q,

♦：AB=BC,

・・・N3AC=NBCA=45°,

TAB是。。的直径，

AZAEB=90°,

：.BE.LACf

：.AE=CE9

：.ZEBA=45°,

AZEOA=2ZEBA=90°,

.•人人

­AD=DE，

：.ZEOD=ZAOD=45°,

VAB=12,

，OA=6,

・公“匕45兀・63兀

,.DE的长=』-=h’

故答案为：3^-；

②•.•NM+NOBJW=NED8=/EAB=45°,

NEBD+NDBM=NEBA=45°,

ZEBD=NM,

'：NEBD=NEAD,

：.ZM=ZEAD,

'：ZDEA^ZAEM,

：./\DEA^/\AEM,

.DE=AE

**AE-EM'

：.DE-EM=AE2,

在RtZ\ABE中，AE=4B・sin/EBA=12・sin45°=6五,

：.DE-EM=12,

故答案为：72.

17.解：过点A作AH,8c于H,作8C的垂直平分线交AB于点E、交BC于尸,

在RtZ\AHC中，cosC=—,AC=2,

AC

则粤Y，

25

解得：CH=^,

5

由勾股定理得：AH=5/AC2-CH2="g?

在RtZVW”中，NB=45°,

则BH=AH^—,

5

14

：.BC=BH+CH=—,

5

・・・EF是BC的垂直平分线,

7

.・.3尸=卷,

5

：.FH=BH-BF=—,

5

VEF±BC,AHLBC,

：.EF//AHf

.BEBF7

EAFH

•.•直线/与00相切于点A,

连接0A交圆。于点C,

则NCAB=90°,

又,.•NMBA=90°,

：.AC//BM,

.♦.N1=N2,

;AC为直径，

；.NCM4=90°.

.AMBMr.

CAAM

・ab

22-i«1

."2=26,b=-2—.a-b=--^-+a，=-y(a-l)加

//乙乙

.•.当a=l时，a-6的最大值为

2

19.解：作。于M,ONLCD干N,得矩形M印V。，连接。。,

"：AM=BM,CN=DN,

：AH=4,BH=10,CD=4A/17,

：.AB=14,

；.4M=7,ON=2J77，

：.MH=AM-AH=1-4=3,

；四边形MOM/是矩形，

：.ON=MH=3,

在RtAODN中，0。=VoN+DN=V32+(2A/17)2=V77，

.••o。的半径为历，

故答案为丁方.

B

•••CD是高，

AZADC=ZBDC=90°,

・・・N4C+NCAO=90°,

VZACB=90°,

ZACD+ZBC£>=90°,

：.ZCAD=ZBCDf

•••△ACDsACBD,

.AD_CD

•0一丽’

VCD=3,

2

：.AI>BD=CD=9f

VCD±AB,BFLAP,

:.NADP=NBDE=NEFP=90°,

■:NAPD=NEPF,ZADP+ZAPD+ZDAP=180°,NE+NEPF+NEFP=180",

：.NDAP=NE,

VZADP=ZEDB=90°,

JXADPSREDB,

.DP_AD

“证一应‘

:.DP・DE=AD/BD,

•・•£>尸=2,AD・DB=9,

：.2DE=9,

9

：.DE=—,

2

故答案为：g.

2

三.解答题(共7小题，满分60分)

21.解：原式=二⑶(a-2)+3a-3+(a-l)?=a?-2a+3.旷2

a12a-2a-2(a-1)

(a-1)2+2

当a=2X—3+l=J§+l时、原式=与.

23

22.解：(1)如图①中，ZVIBC即为所求；

(2)如图②中，△ABC即为所求;

(3)如图③中，ZiABC即为所求.

图①图②

23.证明：(1),：AB=AD,CB=CD,

垂直平分BD,

：.BD=2B0,

"：CF=2BO,

:.CF=BD,

；NDBE+NBDE=90°,ZBDE+ZDCO=90°,

：.NDBE=NFCE,

又,：NBED=NCEF,

:./\BDE迫/\CFE(AAS),

；.BE=CE,

又；BELCD,

.••△BEC是等腰直角三角形；

(2)如图，连接。F,

:.DE=EF,

:.DF=®EF,

：AC垂直平分2£>,

:.BF=DF=MEF,

；.BE=BF+EF=(料+1)EF,

：.CE=(&+1)EF,

tan/AC£)=理1.

24.解：如图，连接OB,OC,

'：ZABD=—ZAOD,ZAOD=150°,

2

：.ZABD=J5°,

:市的度数为70°,

AZBOC=70°,

：.ZBDC=—ZBOC=35°,

2

,/NABD=NBDC+NAED,

：.ZAED=75°-35°=40°.

25.解：设y关于x的函数关系式为y=H+b,

将(30,40),(34,32)代入得：

[30k+b=40

l34k+b=32T

解得[k=-2,

lb=100

；.y=-2x+100;

(2)设工厂获得利润为卬元，

w=(x-20)(-2x+100)=-2A2+140X-2000=-2(x-35)2+450,

；-2<0,

；.x=35时，w有最大值450,

二为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元;

(3)(3)根据题意得：

,-2x+100>30

，,-2X2+140X-2000>400，

解得：30WxW35,

单价x的取值范围是30WxW35.

26.(1)证明：•.•AB=AC,

••AB=AC>

是直径，

•"BE=CE>

：.ZBAE=ZCAE,

又：AB=AC,

：.AE1BC,

又,：EF//BC,

：.EF1.AE,

是半径，

尸是O。的切线：

(2)解：连接OC,设。。的半径为r,

'：AE1.BC,

:.CH=BH=LBC=\,

2

：.HG=HC+CG=4,

•*-^G=VAH2+CH2=V9+16=5,

在RtAO”C中，0H2+C42=OC2,

/.(3-r)2+1=3,

解得：r=?,

o

•:EF〃BC,

：.XAEFsXAHG,

.AHHG

•・二-t

AEEF

_3__4_

•,巫声

T

(3)解：：AH=3,BH=\,

；•AS=MAH^+BH2=V9+i=VTo，

•.•四边形488内接于o。，

；.NB+/A£)C=180°,

VZADC+ZCDG=180°,

：.ZB=ZCDG,

又,：NDGC=NAGB,

：./\DCG^/\BAG,

.CDCG

••—',

ABAG

.CD_3

-ViTT

・・・CD=W*lCi.

5

27.W：(1)VA(-1,0),B(4,0),

・・・OB=4,AB=5,

■:AB=BC,

:・BC=5,

VZBOC=90°,

AOC=VBC2-0B2=V52-42=：3>

：.C(0,3),

•・•抛物线G与K轴的交点为A(-1,0),B(4,0),

・,•设y=