2022-2023学年河南省南阳市南召县高一年级下册期中考试数学试题（解析版）

河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期中

数学试题

注意事项:

1.答题前考生务必将自己的姓名.考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答

题卡指定位置上

2.回答选择题时，选出每小题工答案】之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改

动用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案》标号.回答非选择题时，将《答案』写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.

一、选择题(每题5分共40分)

1.cos3000的值为()

A.4B.--C.显D.--

2222

K答案UB

K解析H

cos3000=cos(8x360+120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=-1,

故选：B.

2.函数=2sin(s+⑼"0,|<p\<?的最小正周期为兀,将f(x)的图象向左平移莹个单

位长度后，得到一个偶函数的图象，则()

7171-71兀

A.0二B.°二C.(p=--D.0二

3636

K答案DB

R解析2由最小正周期7=2m兀=兀，可得。=2,

0)

-兀

/(X)的图象向左平移$个单位长度后为偶函数y=2sin2x+§+°的图象,

6

故§+0=®+],keZ,=far+—,keZ.

,.n7T

\(p\<~(D——

6

故选:B.

12°>0i

K解析。因为y=/(x)=一sinx,则《,，解得x*0且xw土一，

-')lnf+2[lnx2+2^Oe

所以函数的定义域为

2

Inx2—2ln(-x)-2Inx2-2Inx2-2

令g(x)=则g(r)=g(x)，即g(x)=为

lnx2+2ln(-x)2+2Inx2+2Inx2+2

偶函数,

又丁=411；(;为奇函数，所以=二2sinx为奇函数，函数图象关于原点对称，故排

')lnx2+2

除D,

lnl2-2

又“1)sinl=-sinl<0>故排除B、C；

InI2+2

故选：A

4.已知某摩天轮的半径为6()m,其中心到地面的距离为7()m,摩天轮启动后按逆时针方向

匀速转动，每30分钟转动一圈.已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，

则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有()

A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟

K答案》B

R解析）1设游客到地面的距离为叩，设y关于转动时间f（单位：分钟）的函数关系式为

y=Asin（a+e）+/?（A>0,69>0）,

则A=60,-A+h=\O,可得6=70,

27rTT

函数y=Asin（&+0）+8的最小正周期为T=3O,则口=亍=不，

TT

当r=o时，游客位于最低点，可取^:一务，

所以，y=60sin+70=-60cos^-+70,

由y>100,BP-60cos—+70>100,可得cos^v—L

15152

yTrt417r

所以，24兀+-^-<百<2左兀+7（〃€1\）,解得30Z+10<r<30Z+20（攵eN）,

因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.

故选：B.

5.若同=3,网=4,a,。的夹角为135。，则“力等于（）

A.-3A/2B.-672c.y/2D.2

R答案》B

R解析D由已知可得，a-£>=|a||&|cosl35°=3x4x---=一6"

（2>

故选：B.

6.在-ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA:sin3:sinC=3:4:5,则

下列结论错误的是（）

A.a:b:c=3:4:5

B.ABC为直角三角形

C.若b=4,则一ABC外接圆半径为5

D.若P为_ABC内一点，满足PA+2PB+PC=0，则△4P8与△8PC的面积相等

K答案1c

K解析》A选项，由正弦定理得sinA:sin/?:sinC=a:b:c=3:4:5,A正确；

B选项，由A知Q：〃：C=3：4:5,故〃2+/?2=02,故_A8C为直角三角形，B正确;

42R=___=_=5

C选项，由B知，sinB=-,因为6=4,由正弦定理得sinB4'

55

故.ABC外接圆半径为R=』，C错误；

2

D选项，取AC的中点E，则P4+PC=2PE，

因为R4+2P8+PC=0，所以=

即尸点在三角形的中线AC上，故与△BPC的面积相等，D正确.

故选：C

7.在中，NC的角平分线交AB于点。，NBj,BC=3百，AB=3,则CD=

6

()

、3瓜303a

--------uD.C.-----

222

K答案》A

K解析》如图所示，在一ABC中，由余弦定理得

AC2=BC2+AB2-2BC-AB-cosB=(3司+32-2x3V3x3x^=9)

兀7T27r

AC=3=AB,.ABC等腰三角形,NACB=NB=%,ZA=7t—2x^=」，

663

71

又•；C£＞为角平分线，NACO=:,

27r7T71

.•.在_ACD中，44。。=兀一一---

3124

ACCD

由正弦定理得得,

sinZADCsinA

a.2兀y/3

3xsin——3x——3A/6

______3_=__2_

sinZADCsif亚F

42

故选：A.

8.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美

观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A,B,C三点恰好

共线，则加=()

035m

D.8

K答案》c

K解析U由图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10)

所以A月=(5—3,6—3)=(2,3),BC=(/n-5,10-6)=(/n-5,4),

73

因为AB〃8C，所以3(〃L5)=2X4，解得加=丁尸

故选：C

二、多选题(每题5分共20分)

9.已知函数/(x)=Asin(s+。)A>0,3>0,lel<^的部分图象如图所示，则下列说

A.该图象对应的函数K解析》式为/(x)=2sin2x+。

7兀

B.函数y=fM的图象关于直线x=—对称

12

函数y=/（x）的图象关于点（-工,0）对称

C.

函数y=/（x）在区间-=，-5上单调递减

D.

36

K答案XAB

K解析》由图象可知A*:兀兀*，

—,即7=兀，所以。=

312

71TTTT

又/2,'SJ*得2sin12x——+=2,又因为lek],所以°=§

12

所以/(x)=2sin(2x+W),故A正确;

当Y时”7兀c.(八7兀兀=2sin”2

2sin2x--1—

I123

771

所以函数y=/（x）的图象关于直线x=—对称，故B正确;

12

当一洌,/5兀c.1c5兀71兀

2sin-2x--1—=2sin=—2w0,

五I123

故函数y=/（x）的图象不关于点（一碧,0）对称，故C错误;

当xe-y2,-^时，则2x+16[-71,0],因为y=sinx在[一兀,0]上不单调,

所以函数/（X）在-上不单调递减，故D错误.

36

故选：AB

10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政

全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一

个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方

向每旋转一周用时60秒，当，=0,盛水筒M位于点外（3,-36）,经过/秒后运动到点

P(x,y)，点P的纵坐标满足〉=/(「)=Rsin(d+°)a?0,<y>0，冏<5),则下

列叙述正确的是()

图1图2

、.兀

A.筒车转动角速度3=玄rad/s

B.当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点尸的纵坐标为-36

C.当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点外的水平距离为6石

D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒

K答案UABD

K解析UA：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，

27r7i

所以口=一=一rad/s,因此A正确；

6030

B：因为当£=0时，盛水筒用位于点兄(3,—36)，所以/?=技1百丽=6，

所以有/(0)=6sin°=-36=>sin°=-史•，因为两<$所以。=一：，

22J

即/⑺=6sin修Y),

所以/(50)=6sin倍x50—1)=6sin与=6*1_#)=_36，因此B正确；

C：由B可知：盛水筒M的纵坐标为-36，设它的横坐标为x，

所以有(—36)2=6nx=±3,因为筒车旋转50秒时,所以此时盛水筒M在第三象

限，故x=-3,盛水筒M和初始点稣的水平距离为3-(-3)=6,因此C错误；

D：因为工一二=Cn，=25e(O,6O],所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，

3032'」

盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25s,因此D正确.

故选：ABD.

11.下列说法错误的是（）

A.若他与。力是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上

B.若0则一定有；leR使得a

C.若a=a-c，且。#0，则Z?和c在。上的投影向量相等

D.若|〃+6|=|4-6|=2|&忸0,则d+E与《―方的夹角为60°

K答案》ABD

K解析》A.若AB与CQ是共线向量，则AB与CO方向相同或相反，点A,B,C,。不一

定在同一条直线上，故A错误；

B.若a〃/?,/?=0,a/0时,不存在2eR使得a=，故B错误；

C.根据投影向量的定义和公式，可知C正确：

D.由|a+。1=1a—b|,两边平方后得a/=0,且|a—Z?|=21a隹0,两边平方后得,

/、2

(a+bV(a-b\_^-2d2_1

b2=3a2>cos(a+b,a-b)=^——-------p=——r-

、/&+〃”同4同一

所以a+6与。一。的夹角为120，故D错误.

故选：ABD

12.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼,

阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳

中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中

的正八边形ABCDEFG”,其中Q4=l,则以下结论正确的是（）

甲乙

A.AO与“产的夹角为二B.HFCA=—6

c.OB+OH=-y/2OED.|A1|=,2-五

R答案HBC

R解析』由题意可知，分别以/所在的直线为X轴和y轴，建立平面直角坐标系如

所以ZAOB=ZBOC=乙COD=Z.DOE=/EOF=/FOG=/GOH

2兀71

=ZHOA

84

作AW，//D厕AM=OA/.

因为Q4=l,

所以AV=0M=OA-COS3=N-

42

（V2

所以一--~

AI22J

\/2®

同理可得其余各点坐标：B(O,-I),C2'2）,F（0,l）,H（-l,0）,D（l,0）,

对于A,由A。,HF=（1,1）,

1+T1X1+也xl

得ADHF22+0,

cos（AD,HF）=।————।-----1-----------

'/|AD||HF|1n2+602

jfncos15=cos（45-30）=cos45cos30+sin45sin30

V2V3721V6+V2

-x-----1-----x—=-----------

22224

所以AD与底的夹角不为专，故A错误

对于B,由印1(I』)，C4H-夜⑼得"6。1=1*卜0)+以0=-及，故B正确;

对于C,由。8+。”=(-1,-1),OE=—,—，所以O8+O//=_0OE，故C正确;

y/2,V21.,『④丫(上丫I-.

对于D,由AE=~2~^+~2~，得=J~2~+1+工"=52+及F，故D错误.

故选：BC.

三、填空题(每题5分共20分)

7兀.5兀

cos——sin——

13.计算——64的结果为___________

4兀

tan—

3

K答案］］也

4

/TT/TT7T

K解析］］因为cos—=cos兀+—=-cos—=-

sin:一=sin兀+―=-sin—=--也-:

4I4J42

4兀(兀、71/T

tan——=tan兀+—=tan—=V3,

3I3j3

故工答案》为：立.

14.已知函数/(x)=Asin(<yx+e)(A>0,/>0,lel<5j的部分图象如图所示，若将函数

fM图象上所有的点向右平移四个单位长度得到函数g(x)的图象，则的值为______.

4⑷

R答案w2

2

35Ji37r27r

K解析U由/*)的图象可知A=l,—T=---------=—„-.T=H,:.CO=—=2,

46124兀

TTjr

故/(X)=sin(2x+(p),则/(—)=sin(-+°)=1,

7T7C7T

则一+夕=—+2ht,k£Z，即/=—+2kn,keZ,

623

而故夕=1■,所以/(x)=sin(2x+*1),

TTJTIT

则g(x)=sin[2(x——)+-]=sin(2x—一),

436

故gT=sin(2x^—2)=g,

故K答案》为：立

2

15.已知向量q,/,满足忖=4,忖=1,卜+2百=26，则向量a，/,的夹角为.

971

R答案』—

3

K解析』设Q与b的夹角为依,+2。卜26，

则（。+2〃）=。？+4a・/?+4〃2=16+4x4xlxcos6+4=12,解得cos6=-g,

6>G[O,7I],故。=学

2兀

故R答案H为：—

3

16.设0A，OB-0C-0P为空间中4个单位向量，满足。4J.O6，OAYOC，

03・0C=—g,且则|OP-OA|的最小值为.

K答案』用

5

K解析U设OP=xOA+yO8+zOC,且|。4=1,

因为。4_LO8,Q4J_0C,050C=—g,可得/+9一尸=1,

又由|OPQA卜阳OPOB卜y-^z,\0P-0C\=z-^y

因为|OPOAmOP-OB闫OP-OC],可得凶2y-^z>z—gy

设加=y——z.n-z——y,可得)，=_加+_〃*=_根+_〃，

代入上式，可得V+g4+g/?+g机〃=1且国2帆21〃|,

J?riy.1=x2+—m2+—n2+—mn<x2+—x2+—x2+—x2-5x2,所以|了|,

333333IL5

即向•珂的最小值为

故K答案U为：且.

5

四、解答题(共70分)

17.已知向量a=(sinx,l),^=f-cosx,-1,函数/(x)=2a-(a-〃).

(1)求/(x)的最小正周期以及单调递增区间；

⑵将“X)的图象向左平移:单位后得到g(x)的图象，当xe0』，求g(x)的值域.

解：(1)由题意知：/(x)=2«-(a-/?^=2sin2x+2sinxcosx-l

=sin2x-cos2x=0sin(2x-：),

所以T=7l,

7T7T7T7T37r

令2也—<2x—<2kli+—,AEZ,则也——<x<kn+一,keZ

24288

jr37r

所以/(x)的最小正周期为兀，增区间为kn--,kTi+—,ZGZ.

oo

由题意知：g(x)=J^sin|2x+；

所以当T。,胴,2'+3py

所以g（x）e［-1,垃］.即g（x）的值域为［-1,及］.

18.在锐角..A8C中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,若生心=上些

acosA

（1）求角A的大小;

（2）若4=2,求中线A£）长的范围（点。是边8c中点）.

2c-bcosB2sinC-sinB_cosB

解：（1）因为-----由正弦定理可得:

cosAsinAcosA

B[J(2sinC-sinB)-cosA=sinAcosB,

所以2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin(?i-C)=sinC,

因为所以sinC>0,所以cos4=；,因为所以A=g.

(2)由(1)得A=[,且。=2,由余弦定理知，cosA=~U^=L得到〃+,2=历+4,

32bc2

因为点。是边BC中点，所以24O=A8+AC，两边平方可得：

4|/1£)|2=|AB|2+|AC|2+2ABAC=b2+c2+2bc-cosA，

所以4|AD^=b2+c2+be=hc+4+hc=2bc+4,

cn2f\—。........-2-------4-

因为be=(2/?sinB)■(27?sinC)=4/?2sinBsinC，又sinAsg716，

Sm3

B=--C,

3

诉兀,l-cos2C8.n,4

所以he——sin(-----C)sinC——(—sin2C4------------)——sin(2C)4—,

33322363

又因为.ABC为锐角三角形，所以0<B=--C<四，0<C<J,得到乙<。<四，

32262

7T7TSTT71(1

所以2c—二e(二,^)，由y=sinx的图像与性质知，sin(2C--)G-,1,

6666<2

所以从1e(g,4,所以41A耳=2/?c+4e(g,12,得到=2/?c+4e^-1,3

故|A*(孚6.

19.如图，在直角三角形ABC中，NA=90°,AB=2CA=2.点力,E分别是线段A氏BC

上的点，BD=ABA,CE=ACB,Ae(0,1).

(1)求AE8C的取值范围；

(2)是否存在实数力,使得AELCD?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)在直角三角形ABC中，ZA=9Q°,AB=2CA=2,

AEBC=(AC+CE)(AC-AB^=(AC+ACB)-(AC-AB^=^AC+^AB-AC^^AC-AB),

2，2

=(1-2)AC+(2/l-l)AB-AC-/lAB'=1-2-42=1-52,

>16(0,1),所以1-5入？(4,1)

•­•AEBCe(-4,1)；

(2)AE.CO=(A8+8E).(AO-AC)=[AB+(1-/1)8C)[(1-/1)AB-AC]

=[AB+(I-A)(AC-AB)]-[(I-/1)AB-AC]

=2(1-4)痴-/IAB.4C+(T)2ABAC-[\-X)AC=42(1-2)-(1-A)=-4/l2+52-1=0

所以4储—54+1=0,解得或几=1,由于4«0,1),故4=’,

44

存在实数4=］，使得4£：J_C£）.

4

20.已知函数/。）=$皿8+9）（0>0,|9|<3，x=1•是函数f（x）的对称轴，且/（X）在区间

（712兀）,X

（J母上单调.

（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得/（X）的K解析［式存在，并求出

其K解析U式；

条件①：函数/（力的图象经过点A（0,；）；

条件②：［1,0）是/（X）的对称中心；

条件③：［11，°）是/*）的对称中心.

（2）根据（1）中确定/（X）,若），=〃x）（xe加费］）的值域为一,求加的取值范围.

解：（1）因为/（x）在区间上单调，所以二"N三————,

k63J2362

_271

因为丁=?7，且0>0,解得0<。42；

又因为x=—是函数/（x）的对称轴，所以一x（D+cp=knH—（keZ）；

662

若选条件①：因为函数f（x）的图象经过点所以sin°=g,

因为|初<四，所以。=工，所以2*3+二=防1+乌，（ZeZ）,即0=6A+2（ZeZ）,

26662

当左=0时，6）=2,满足题意，故/（x）=sin（2x+ej.

若选条件②：因为（三,。）是f（x）的对称中心，所以1x3+e=/〃兀（/weZ）,

兀，71

7乂啰+夕=E+万

所以｛0＜。＜2,(Z,〃zeZ),此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数R解

兀

—xa)^-(p=m7i

析X式.

若条件③：因为%,0是/*)的对称中心，所以一XQ+°=MQEZ),

兀，71

—X69+0=E+—

6271

/\(P——

所以|O<GK2(左JeZ),解得「6所以/(x)=sin

5兀a)=2

—XO>4-<i9=/7l

(2)由⑴知/0)=5网2犬+^

,兀~，八兀八兀7兀

因为m,—,所以2x4—G2m4—,—

6L66

TT]

又y=/(x)在九,上的值域为一5」

TT7T7TTT7T兀兀

所以一一＜2m+-＜-,解得一一＜m＜-,即机e——.

66266L66_

21.己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设

(sinB-V3sinC)2=sin2/4-\/3sinBsinC+2sin2C.

(1)求A;

(2)现给出三个条件：①a=2②B=45°③c=标.试从中选出两个可以确定一ABC

的条件，写出你的方案，并以此为依据求ABC的面积(写出一种方案即可)

解：(1)由正弦定理可得，S—0c)2=/一版c+2c2,即〃+/—片=G机,，由余弦

定理cosA=J上上且=正g=走，又Ae(O,7i),故A=g

2bc2bc26

(2)选①②：由正弦定理一色=—纹，可得。=丝巧0=2五,