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文档简介
河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期中
数学试题
注意事项:
1.答题前考生务必将自己的姓名.考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答
题卡指定位置上
2.回答选择题时,选出每小题工答案】之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑,如需改
动用橡皮擦干净后,再选涂其他K答案》标号.回答非选择题时,将《答案』写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
3.考试结束之后,将本卷和答题卡一并收回.
一、选择题(每题5分共40分)
1.cos3000的值为()
A.4B.--C.显D.--
2222
K答案UB
K解析H
cos3000=cos(8x360+120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=-1,
故选:B.
2.函数=2sin(s+⑼"0,|<p\<?的最小正周期为兀,将f(x)的图象向左平移莹个单
位长度后,得到一个偶函数的图象,则()
7171-71兀
A.0二B.°二C.(p=--D.0二
3636
K答案DB
R解析2由最小正周期7=2m兀=兀,可得。=2,
0)
-兀
/(X)的图象向左平移$个单位长度后为偶函数y=2sin2x+§+°的图象,
6
故§+0=®+],keZ,=far+—,keZ.
,.n7T
\(p\<~(D——
6
故选:B.
12°>0i
K解析。因为y=/(x)=一sinx,则《,,解得x*0且xw土一,
-')lnf+2[lnx2+2^Oe
所以函数的定义域为
2
Inx2—2ln(-x)-2Inx2-2Inx2-2
令g(x)=则g(r)=g(x),即g(x)=为
lnx2+2ln(-x)2+2Inx2+2Inx2+2
偶函数,
又丁=411;(;为奇函数,所以=二2sinx为奇函数,函数图象关于原点对称,故排
')lnx2+2
除D,
lnl2-2
又“1)sinl=-sinl<0>故排除B、C;
InI2+2
故选:A
4.已知某摩天轮的半径为6()m,其中心到地面的距离为7()m,摩天轮启动后按逆时针方向
匀速转动,每30分钟转动一圈.已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段,
则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有()
A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟
K答案》B
R解析)1设游客到地面的距离为叩,设y关于转动时间f(单位:分钟)的函数关系式为
y=Asin(a+e)+/?(A>0,69>0),
则A=60,-A+h=\O,可得6=70,
27rTT
函数y=Asin(&+0)+8的最小正周期为T=3O,则口=亍=不,
TT
当r=o时,游客位于最低点,可取^:一务,
所以,y=60sin+70=-60cos^-+70,
由y>100,BP-60cos—+70>100,可得cos^v—L
15152
yTrt417r
所以,24兀+-^-<百<2左兀+7(〃€1\),解得30Z+10<r<30Z+20(攵eN),
因此,游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.
故选:B.
5.若同=3,网=4,a,。的夹角为135。,则“力等于()
A.-3A/2B.-672c.y/2D.2
R答案》B
R解析D由已知可得,a-£>=|a||&|cosl35°=3x4x---=一6"
(2>
故选:B.
6.在-ABC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA:sin3:sinC=3:4:5,则
下列结论错误的是()
A.a:b:c=3:4:5
B.ABC为直角三角形
C.若b=4,则一ABC外接圆半径为5
D.若P为_ABC内一点,满足PA+2PB+PC=0,则△4P8与△8PC的面积相等
K答案1c
K解析》A选项,由正弦定理得sinA:sin/?:sinC=a:b:c=3:4:5,A正确;
B选项,由A知Q:〃:C=3:4:5,故〃2+/?2=02,故_A8C为直角三角形,B正确;
42R=___=_=5
C选项,由B知,sinB=-,因为6=4,由正弦定理得sinB4'
55
故.ABC外接圆半径为R=』,C错误;
2
D选项,取AC的中点E,则P4+PC=2PE,
因为R4+2P8+PC=0,所以=
即尸点在三角形的中线AC上,故与△BPC的面积相等,D正确.
故选:C
7.在中,NC的角平分线交AB于点。,NBj,BC=3百,AB=3,则CD=
6
()
、3瓜303a
--------uD.C.-----
222
K答案》A
K解析》如图所示,在一ABC中,由余弦定理得
AC2=BC2+AB2-2BC-AB-cosB=(3司+32-2x3V3x3x^=9)
兀7T27r
AC=3=AB,.ABC等腰三角形,NACB=NB=%,ZA=7t—2x^=」,
663
71
又•;C£>为角平分线,NACO=:,
27r7T71
.•.在_ACD中,44。。=兀一一---
3124
ACCD
由正弦定理得得,
sinZADCsinA
a.2兀y/3
3xsin——3x——3A/6
______3_=__2_
sinZADCsif亚F
42
故选:A.
8.某同学因兴趣爱好,自己绘制了一个迷宫图,其图纸如图所示,该同学为让迷宫图更加美
观,在绘制过程中,按单位长度给迷宫图标记了刻度,该同学发现图中A,B,C三点恰好
共线,则加=()
035m
D.8
K答案》c
K解析U由图可知,A(3,3),B(5,6),C(m,10)
所以A月=(5—3,6—3)=(2,3),BC=(/n-5,10-6)=(/n-5,4),
73
因为AB〃8C,所以3(〃L5)=2X4,解得加=丁尸
故选:C
二、多选题(每题5分共20分)
9.已知函数/(x)=Asin(s+。)A>0,3>0,lel<^的部分图象如图所示,则下列说
A.该图象对应的函数K解析》式为/(x)=2sin2x+。
7兀
B.函数y=fM的图象关于直线x=—对称
12
函数y=/(x)的图象关于点(-工,0)对称
C.
函数y=/(x)在区间-=,-5上单调递减
D.
36
K答案XAB
K解析》由图象可知A*:兀兀*,
—,即7=兀,所以。=
312
71TTTT
又/2,'SJ*得2sin12x——+=2,又因为lek],所以°=§
12
所以/(x)=2sin(2x+W),故A正确;
当Y时”7兀c.(八7兀兀=2sin”2
2sin2x--1—
I123
771
所以函数y=/(x)的图象关于直线x=—对称,故B正确;
12
当一洌,/5兀c.1c5兀71兀
2sin-2x--1—=2sin=—2w0,
五I123
故函数y=/(x)的图象不关于点(一碧,0)对称,故C错误;
当xe-y2,-^时,则2x+16[-71,0],因为y=sinx在[一兀,0]上不单调,
所以函数/(X)在-上不单调递减,故D错误.
36
故选:AB
10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政
全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一
个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为R的圆,设筒车按逆时针方
向每旋转一周用时60秒,当,=0,盛水筒M位于点外(3,-36),经过/秒后运动到点
P(x,y),点P的纵坐标满足〉=/(「)=Rsin(d+°)a?0,<y>0,冏<5),则下
列叙述正确的是()
图1图2
、.兀
A.筒车转动角速度3=玄rad/s
B.当筒车旋转50秒时,盛水筒M对应的点尸的纵坐标为-36
C.当筒车旋转50秒时,盛水筒M和初始点外的水平距离为6石
D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
K答案UABD
K解析UA:因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒,
27r7i
所以口=一=一rad/s,因此A正确;
6030
B:因为当£=0时,盛水筒用位于点兄(3,—36),所以/?=技1百丽=6,
所以有/(0)=6sin°=-36=>sin°=-史•,因为两<$所以。=一:,
22J
即/⑺=6sin修Y),
所以/(50)=6sin倍x50—1)=6sin与=6*1_#)=_36,因此B正确;
C:由B可知:盛水筒M的纵坐标为-36,设它的横坐标为x,
所以有(—36)2=6nx=±3,因为筒车旋转50秒时,所以此时盛水筒M在第三象
限,故x=-3,盛水筒M和初始点稣的水平距离为3-(-3)=6,因此C错误;
D:因为工一二=Cn,=25e(O,6O],所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中,
3032'」
盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25s,因此D正确.
故选:ABD.
11.下列说法错误的是()
A.若他与。力是共线向量,则点A,B,C,。必在同一条直线上
B.若0则一定有;leR使得a
C.若a=a-c,且。#0,则Z?和c在。上的投影向量相等
D.若|〃+6|=|4-6|=2|&忸0,则d+E与《―方的夹角为60°
K答案》ABD
K解析》A.若AB与CQ是共线向量,则AB与CO方向相同或相反,点A,B,C,。不一
定在同一条直线上,故A错误;
B.若a〃/?,/?=0,a/0时,不存在2eR使得a=,故B错误;
C.根据投影向量的定义和公式,可知C正确:
D.由|a+。1=1a—b|,两边平方后得a/=0,且|a—Z?|=21a隹0,两边平方后得,
/、2
(a+bV(a-b\_^-2d2_1
b2=3a2>cos(a+b,a-b)=^——-------p=——r-
、/&+〃”同4同一
所以a+6与。一。的夹角为120,故D错误.
故选:ABD
12.如图甲所示,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,
阳鱼的头部有眼,阴鱼的头部有个阳殿,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳
中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中
的正八边形ABCDEFG”,其中Q4=l,则以下结论正确的是()
甲乙
A.AO与“产的夹角为二B.HFCA=—6
c.OB+OH=-y/2OED.|A1|=,2-五
R答案HBC
R解析』由题意可知,分别以/所在的直线为X轴和y轴,建立平面直角坐标系如
所以ZAOB=ZBOC=乙COD=Z.DOE=/EOF=/FOG=/GOH
2兀71
=ZHOA
84
作AW,//D厕AM=OA/.
因为Q4=l,
所以AV=0M=OA-COS3=N-
42
(V2
所以一--~
AI22J
\/2®
同理可得其余各点坐标:B(O,-I),C2'2),F(0,l),H(-l,0),D(l,0),
对于A,由A。,HF=(1,1),
1+T1X1+也xl
得ADHF22+0,
cos(AD,HF)=।————।-----1-----------
'/|AD||HF|1n2+602
jfncos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30
V2V3721V6+V2
-x-----1-----x—=-----------
22224
所以AD与底的夹角不为专,故A错误
对于B,由印1(I』),C4H-夜⑼得"6。1=1*卜0)+以0=-及,故B正确;
对于C,由。8+。”=(-1,-1),OE=—,—,所以O8+O//=_0OE,故C正确;
y/2,V21.,『④丫(上丫I-.
对于D,由AE=~2~^+~2~,得=J~2~+1+工"=52+及F,故D错误.
故选:BC.
三、填空题(每题5分共20分)
7兀.5兀
cos——sin——
13.计算——64的结果为___________
4兀
tan—
3
K答案]]也
4
/TT/TT7T
K解析]]因为cos—=cos兀+—=-cos—=-
sin:一=sin兀+―=-sin—=--也-:
4I4J42
4兀(兀、71/T
tan——=tan兀+—=tan—=V3,
3I3j3
故工答案》为:立.
14.已知函数/(x)=Asin(<yx+e)(A>0,/>0,lel<5j的部分图象如图所示,若将函数
fM图象上所有的点向右平移四个单位长度得到函数g(x)的图象,则的值为______.
4⑷
R答案w2
2
35Ji37r27r
K解析U由/*)的图象可知A=l,—T=---------=—„-.T=H,:.CO=—=2,
46124兀
TTjr
故/(X)=sin(2x+(p),则/(—)=sin(-+°)=1,
7T7C7T
则一+夕=—+2ht,k£Z,即/=—+2kn,keZ,
623
而故夕=1■,所以/(x)=sin(2x+*1),
TTJTIT
则g(x)=sin[2(x——)+-]=sin(2x—一),
436
故gT=sin(2x^—2)=g,
故K答案》为:立
2
15.已知向量q,/,满足忖=4,忖=1,卜+2百=26,则向量a,/,的夹角为.
971
R答案』—
3
K解析』设Q与b的夹角为依,+2。卜26,
则(。+2〃)=。?+4a・/?+4〃2=16+4x4xlxcos6+4=12,解得cos6=-g,
6>G[O,7I],故。=学
2兀
故R答案H为:—
3
16.设0A,OB-0C-0P为空间中4个单位向量,满足。4J.O6,OAYOC,
03・0C=—g,且则|OP-OA|的最小值为.
K答案』用
5
K解析U设OP=xOA+yO8+zOC,且|。4=1,
因为。4_LO8,Q4J_0C,050C=—g,可得/+9一尸=1,
又由|OPQA卜阳OPOB卜y-^z,\0P-0C\=z-^y
因为|OPOAmOP-OB闫OP-OC],可得凶2y-^z>z—gy
设加=y——z.n-z——y,可得),=_加+_〃*=_根+_〃,
代入上式,可得V+g4+g/?+g机〃=1且国2帆21〃|,
J?riy.1=x2+—m2+—n2+—mn<x2+—x2+—x2+—x2-5x2,所以|了|,
333333IL5
即向•珂的最小值为
故K答案U为:且.
5
四、解答题(共70分)
17.已知向量a=(sinx,l),^=f-cosx,-1,函数/(x)=2a-(a-〃).
(1)求/(x)的最小正周期以及单调递增区间;
⑵将“X)的图象向左平移:单位后得到g(x)的图象,当xe0』,求g(x)的值域.
解:(1)由题意知:/(x)=2«-(a-/?^=2sin2x+2sinxcosx-l
=sin2x-cos2x=0sin(2x-:),
所以T=7l,
7T7T7T7T37r
令2也—<2x—<2kli+—,AEZ,则也——<x<kn+一,keZ
24288
jr37r
所以/(x)的最小正周期为兀,增区间为kn--,kTi+—,ZGZ.
oo
由题意知:g(x)=J^sin|2x+;
所以当T。,胴,2'+3py
所以g(x)e[-1,垃].即g(x)的值域为[-1,及].
18.在锐角..A8C中,角A,B,C的对边分别是。,b,c,若生心=上些
acosA
(1)求角A的大小;
(2)若4=2,求中线A£)长的范围(点。是边8c中点).
2c-bcosB2sinC-sinB_cosB
解:(1)因为-----由正弦定理可得:
cosAsinAcosA
B[J(2sinC-sinB)-cosA=sinAcosB,
所以2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin(?i-C)=sinC,
因为所以sinC>0,所以cos4=;,因为所以A=g.
(2)由(1)得A=[,且。=2,由余弦定理知,cosA=~U^=L得到〃+,2=历+4,
32bc2
因为点。是边BC中点,所以24O=A8+AC,两边平方可得:
4|/1£)|2=|AB|2+|AC|2+2ABAC=b2+c2+2bc-cosA,
所以4|AD^=b2+c2+be=hc+4+hc=2bc+4,
cn2f\—。........-2-------4-
因为be=(2/?sinB)■(27?sinC)=4/?2sinBsinC,又sinAsg716,
Sm3
B=--C,
3
诉兀,l-cos2C8.n,4
所以he——sin(-----C)sinC——(—sin2C4------------)——sin(2C)4—,
33322363
又因为.ABC为锐角三角形,所以0<B=--C<四,0<C<J,得到乙<。<四,
32262
7T7TSTT71(1
所以2c—二e(二,^),由y=sinx的图像与性质知,sin(2C--)G-,1,
6666<2
所以从1e(g,4,所以41A耳=2/?c+4e(g,12,得到=2/?c+4e^-1,3
故|A*(孚6.
19.如图,在直角三角形ABC中,NA=90°,AB=2CA=2.点力,E分别是线段A氏BC
上的点,BD=ABA,CE=ACB,Ae(0,1).
(1)求AE8C的取值范围;
(2)是否存在实数力,使得AELCD?若存在,求出2的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)在直角三角形ABC中,ZA=9Q°,AB=2CA=2,
AEBC=(AC+CE)(AC-AB^=(AC+ACB)-(AC-AB^=^AC+^AB-AC^^AC-AB),
2,2
=(1-2)AC+(2/l-l)AB-AC-/lAB'=1-2-42=1-52,
>16(0,1),所以1-5入?(4,1)
••AEBCe(-4,1);
(2)AE.CO=(A8+8E).(AO-AC)=[AB+(1-/1)8C)[(1-/1)AB-AC]
=[AB+(I-A)(AC-AB)]-[(I-/1)AB-AC]
=2(1-4)痴-/IAB.4C+(T)2ABAC-[\-X)AC=42(1-2)-(1-A)=-4/l2+52-1=0
所以4储—54+1=0,解得或几=1,由于4«0,1),故4=’,
44
存在实数4=],使得4£:J_C£).
4
20.已知函数/。)=$皿8+9)(0>0,|9|<3,x=1•是函数f(x)的对称轴,且/(X)在区间
(712兀),X
(J母上单调.
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知,使得/(X)的K解析[式存在,并求出
其K解析U式;
条件①:函数/(力的图象经过点A(0,;);
条件②:[1,0)是/(X)的对称中心;
条件③:[11,°)是/*)的对称中心.
(2)根据(1)中确定/(X),若),=〃x)(xe加费])的值域为一,求加的取值范围.
解:(1)因为/(x)在区间上单调,所以二"N三————,
k63J2362
_271
因为丁=?7,且0>0,解得0<。42;
又因为x=—是函数/(x)的对称轴,所以一x(D+cp=knH—(keZ);
662
若选条件①:因为函数f(x)的图象经过点所以sin°=g,
因为|初<四,所以。=工,所以2*3+二=防1+乌,(ZeZ),即0=6A+2(ZeZ),
26662
当左=0时,6)=2,满足题意,故/(x)=sin(2x+ej.
若选条件②:因为(三,。)是f(x)的对称中心,所以1x3+e=/〃兀(/weZ),
兀,71
7乂啰+夕=E+万
所以{0<。<2,(Z,〃zeZ),此方程无解,故条件②无法解出满足题意得函数R解
兀
—xa)^-(p=m7i
析X式.
若条件③:因为%,0是/*)的对称中心,所以一XQ+°=MQEZ),
兀,71
—X69+0=E+—
6271
/\(P——
所以|O<GK2(左JeZ),解得「6所以/(x)=sin
5兀a)=2
—XO>4-<i9=/7l
(2)由⑴知/0)=5网2犬+^
,兀~,八兀八兀7兀
因为m,—,所以2x4—G2m4—,—
6L66
TT]
又y=/(x)在九,上的值域为一5」
TT7T7TTT7T兀兀
所以一一<2m+-<-,解得一一<m<-,即机e——.
66266L66_
21.己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设
(sinB-V3sinC)2=sin2/4-\/3sinBsinC+2sin2C.
(1)求A;
(2)现给出三个条件:①a=2②B=45°③c=标.试从中选出两个可以确定一ABC
的条件,写出你的方案,并以此为依据求ABC的面积(写出一种方案即可)
解:(1)由正弦定理可得,S—0c)2=/一版c+2c2,即〃+/—片=G机,,由余弦
定理cosA=J上上且=正g=走,又Ae(O,7i),故A=g
2bc2bc26
(2)选①②:由正弦定理一色=—纹,可得。=丝巧0=2五,
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