2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 空间直线、平面的平行（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第33练空间直线、平面的平行(精练)

刷真题明导向

一、解答题

1.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥尸-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2①，PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中点分别为2瓦。，点尸在AC上，BF±AO.

(1)求证：石尸〃平面ADO；

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODE广为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

【详解】(1)连接/，设AP=rAC,贝!]3尸=胡+4/=(1-。&4+12(7,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1-21

贝！JBFAO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-l)BA+-tBC1=4(r-l)+4r=0,

解得f=则尸为AC的中点，由2E,。/分别为M,PABC,AC的中点，

于是DEUAB,DE=-AB,OF//AB,OF=-AB,DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又所.平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

2.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥P-ASC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2拒,PB=PC=®BP,

AP,BC的中点分别为。，E,O,AD=^/5DO,点尸在AC上，BFLAO.

A

⑴证明：EF〃平面ADO；

【答案】⑴证明见解析；

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODE尸为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

【详解】(1)连接。瓦OF,设4尸=幺。，则3尸=84+4尸=(1-。24+/261,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1一21

贝!|BFAO^[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC1=4(z-l)+4r=0,

解得/=；,则尸为AC的中点，由。，瓦O,尸分别为尸员PABC,AC的中点，

于是DE11AB,DE=《AB,0F11ABQF=；AB,即DE//OF,DE=OF,则四边形O£＞所为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又EFu平面ADO,£）Ou平面ADO,

所以所〃平面ADO.

3.（2023・天津•统考高考真题）三棱台ABC-AqG中，若A】A，面ABC,AB，AC,48=AC=A4,=2,AG=1,M,N

分别是BC,BA中点.

(1)求证：AN//平面C|MA；

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)先证明四边形1c是平行四边形，然后用线面平行的判定解决;

【详解】（1）

B

连接MN,C|A.由M,N分别是BC,£4的中点，根据中位线性质，MN//AC,且MN=»=1,

由棱台性质，\CJIAC,于是MN〃AG，由MN=AG=I可知，四边形…G是平行四边形，则AN〃MG,

又AN<Z平面C|MA,MGu平面GMA,于是AN//平面G〃A.

4.（2022・全国•统考高考真题）如图，尸。是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,£是PB的中点.

P

⑴证明：OE〃平面B4C；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）连接8。并延长交AC于点。，连接。4、PD,根据三角形全等得到。4=03,再根据直角三角形的

性质得到AO=DO,即可得到。为的中点从而得到0E//P。，即可得证；

【详解】（1）证明：连接8。并延长交AC于点D,连接。4、PD,

因为P。是三棱锥的高，所以P。1平面A3C,AO,BO^^ABC,

所以「O_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOAMAPOB,即。4=03,所以NQ4B=NO54,

又AB1AC,即/B4C=90。，所以/。45+/040=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NOAD

所以40=00,即40=00=03,所以。为3。的中点，又E为网的中点，所以OE//PD,

又0EU平面PAC,PDu平面PAC,

所以0£7/平面PAC

p

5.（2022•全国•统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD

是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC.GCD,的均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂

直.

⑴证明：EF〃平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

【答案】⑴证明见解析；

640r-

【分析】（1）分别取A8,BC的中点连接MN,由平面知识可知EM，A3,FNL3C,EM=FN,依题从而

可证EM,平面ABCD,RVL平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,即可知四边形£MVF为平行

四边形，于是EF/IMN,最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取中点K,Z,由（1）知，该几何体的体积等于长方体血kWL-EFG//的体积加上四棱锥

体积的4倍，即可解出.

【详解】（1）如图所示：

G

分别取ABIC的中点M,N,连接建V,因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EM，AS,FN，BC,EM=FN,

又平面E45_L平面ABC。，平面E45c平面ABC。=AB,㈤位u平面E4B,所以EH_L平面ABC。，同理可得印_L

平面AfiCD,根据线面垂直的性质定理可知£做〃月V,而EM=FN,所以四边形EM7VF为平行四边形，所以

EF//MN,又ERO平面ABC。，MNu平面ABCD,所以砂//平面ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如图所示：

分别取AROC中点K,Z,由（1）知，EFUMN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,HGUKL,HG=KL,

GF//LN,GF=LN,由平面知识可知，BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于

长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4EM=8sin60=473.点5到平面M2VFE的距离即为点5到直线建V的距离d,

d=2屈，所以该几何体的体积

V-（4V2）2X4A/3+4X1X4A/2X4A/3X2^^128A/3+^P^^^A/3.

［方法二］:分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于O,连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的4

倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍.容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P,连接APQP.则EH垂直平面

APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

V=1.4A/374V2f+4---4A/2--4V2-4^+4—--4^-4^=

31,32323

6.（2022•北京・统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-ABG中，侧面BCC由为正方形，平面88由，平面A典A,

AB=BC=2,M,N分别为人耳，AC的中点.

⑴求证：MV〃平面Bec/；

【答案】（1）见解析

【分析】（1）取A3的中点为K,连接皿&腿，可证平面〃平面8CC由，从而可证〃平面8CG瓦.

【详解】（1）取A3的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-AB©可得四边形ABBtA｝为平行四边形，

而与M二肱^台长二必，则MK//84，

而MK.平面BCQB-平面BCC画,故MK〃平面BCQ瓦，

而CN=NA,BK=KA,则腿//3C,同理可得腔〃平面BCC1耳，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面BCC｛片,而MNu平面MKN,故MNII平面BCC、B1,

【A组在基础中考查功底】

一、解答题

1.如图，ABC。和都是正方形，MeAC,NwFB,且A〃=WV.证明：MN〃平面3CE.

【答案】见详解

【分析】由线面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】

作MG//AB交BC于G,悍NHHEF交BE千H.

连结G”,贝UCM:C4=MG:AB,BN:BF=NH:EF,

又AM=FN,AC=BF

故CM=BN,

于是MG=NH,且,MGIINH.

：.四边形ACVHG为平行四边形，

故AGV//GH.

G/fu平面3CE,睦VU平面3CE,

；.MN〃平面BCE

2.如图所示，尸为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点.求证：〃平面PAD

p

【答案】证明见解析

【分析】取叨的中点E,连接E4,EN,根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】证明：取PZ）的中点E,如图所示，连接E4,EN.

,：E,N分别为尸D,PC的中点，AEN//CD,且EN=gcD.

•四边形A3CD为平行四边形，M为A3的中点，

AAM//CD且AM=|CD,AM,EN平行且相等，

:.四边形AMNE为平行四边形，,MN//AE.

又AEu平面E1D,脑V<Z平面PAD,

二八小〃平面PAD.

【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.

3.如图所示，在三棱柱ABC-A4cl中，。为AC的中点，求证：AB,平面8CQ

【分析】连接8c交BG于。，连接0。，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得0D//A用，然后利用线

面平行的判定定理可证得结论

【详解】证明：如图，连接4C交BG于。，连接

•；四边形8CG耳是平行四边形..•.点。为8c的中点.

,。为AC的中点，二为VAqC的中位线，。。//4月.

'：OD^^BC.D,A4a平面8Cj。，二A片〃平面BCQ.

4.已知四棱锥尸-ABCD中，CD//AB,取上4的中点M,BC的中点N,求证：MN〃平面PDC.

【答案】证明见解析

【分析】如图，连接AN并延长，交DC的延长线于点E,连接尸E,可得N为AE的中点，再由三角形中位线定理

可得MN〃PE,然后由线面平行的判定定理可证得结论

【详解】证明：如图，连接⑷V并延长，交OC的延长线于点E,连接尸E.

因为CD〃AB,N为3C的中点，

所以N为AE的中点.

因为M为44的中点，

所以MN〃PE.

因为平面尸DC,尸Eu平面尸DC,

所以MN〃平面PAC.

5.如图，在长方体ABC。-44GR中，E为AB的中点，F为CG的中点.证明：E尸"平面ACQ.

Di

4

F

C

【答案】证明见解析

【分析】取G。的中点G,连接GF,AG,证明四边形AEFG为平行四边形，进而有AGEF,然后根据线面平

行的判断定理即可证明.

【详解】证明：取的中点G,连接GF,AG,

D\G

4

AEB

因为G为的中点，F为CG的中点，所以GF8且CD=2GF,

又E为AB的中点，AB=CD,ABCD,所以AEG/且AE=GF,

所以四边形AEFG为平行四边形，所以AGEF,

因为AGu平面AC/,EFO平面AG。，

所以访平面ACQ.

6.如图，几何体的底面A8C。为平行四边形，点M为PC中点，证明：PA//平面

P

【答案】证明见解析

【分析】连接AC交BD于点O,连接OM,证明OM〃PA,即可证明PA〃平面BDM.

【详解】证明：连接AC交BD于点O,因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点,

在2kPAC中，又M为PC中点，所以OM〃PA,

又PAC平面BDM,OMu平面BDM,

所以PA〃平面BDM.

7.如图所不，在正方体-A8CZ）中，M,N,P分别是GC,B£,GR的中点.求证：平面MVP〃平

面A肛

【答案】证明见解析

【分析】连接8Q,由三角形中位线定理可得PN〃42,再由正方形的性质可证得耳A〃则PN〃BD,利

用线面平行的判定定理可证得PN〃平面AB。，同理可证得〃平面48。，再利用面面平行的判定定理可证得

结论.

【详解】证明：如图，连接42.

因为尸，N分别是RG，月G的中点，所以PN〃耳R.

因为DD、//BBt,DDl=BB[,

所以四边形B{BDD,为平行四边形，

所以耳DJ/BD,

所以PN〃BD.

因为PN<X平面4台。，BDu平面A?。,

所以PN〃平面480.

同理可证MN〃平面AH。.

又因为MNcPN=N,PN,MNu平面MNP,

所以平面感？〃平面48。.

8.正三棱柱ABC-A与G的底面正三角形的边长为2,。为BC的中点，M=3.

⑴证明：AB//平面AOG；

⑵求该三棱柱的体积.

【答案】⑴证明见解析

⑵3百

【分析】(1)作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行;

(2)求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.

【详解】(1)证明：连接AC,设ACAC1=E,连接DE

•••ACGA是正三棱柱的侧面,

ACGA为矩形,

...E是4c的中点,

:.DE是剧8的中位线,

：.DEH\B,

又A8cz平面AOG，DEU平面AOG，

二AB//平面Ag.

(2)因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2,。为BC的中点

所以8C=2,AD=ABsin60°=^,

故SMC=N»BC=6,

又知_L平面ABC,AAl=3,

所以正三棱柱的体积U=S^-AA,=73x3=35/3-

9.如图，在正方体ABCD-ABGA中，S是8a的中点，耳尸,G分别是的中点，求证:

(1)£67/平面BDD4；

(2)平面EFG//平面BDD.B,.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.

如图，连接S3,,..E,G分别是BC,SC的中点，EG//S3.

又；SB三平面BDRB],EGO平面802百，二直线EG//平面BDD4.

(2)连接SD,•••EG分别是。C,SC的中点，

AFG//SD.又,/SDc平面BDD｝与，FG<Z平面BDD｝与，

二FG〃平面瓦比>由，由(1)知，EG〃平面

且1平面斯G,FGq平面EFG,EGFG=G,二平面EPG〃平面耳.

10.如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC,3D为圆锥底面的两条直径，“为母线尸。上一点，连

接M4，MO,MC.

(1)若M为的中点，证明：尸3〃平面M4C；

(2)若P3〃平面MAC,证明：M为尸£＞的中点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）由中位线得进而可得结论;

（2）由线面平行性质定理可得P3〃MO,由于。为中点，进而可得结论.

【详解】（1）若M为尸。的中点，由3。为圆锥底面的直径，有。为3D的中点.

则在APBD中有MO//PB,

又MOu平面M4C,PBa平面AMC,

则有尸3〃平面MAC；

（2）若P3〃平面MAC,由P3u平面PfiD,平面平面M4C=MO,

有PB//MO,

AdDODM

所以在△P8D中，—

OBMP

又。为BO的中点，则有。0=血尸,

则有M为PZ）的中点.

11.如图，在三棱柱ABC-A与G中，E,尸分别为线段AG，4G的中点.

⑴求证：EF〃平面BCG4.

（2）在线段8G上是否存在一点G,使平面EFG〃平面AB4A?请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，理由见解析

【分析】(1)根据中位线的性质可得砂〃AA,再根据线面平行的判定可得斯//qB即可;

(2)取的中点G,连接GE,G尸，根据中位线的性质判定即可

【详解】(1)证明：因为E,尸分别为线段AGAG的中点所以所〃AA.因为用B//AA,所以斯〃耳B.又因为E/a

平面8CG耳，5|8u平面8CC4，所以跖//平面8CC4.

(2)取BG的中点G,连接GE,GE因为E为AG的中点所以GE//AB.

因为GEZ平面ABg4，ABu平面AB4A，所以GE〃平面AB与耳，

同理可得，砂//平面AB44，又因为石尸门及三以EG,EFu平面跳6,所以平面EFG〃平面4刀44

故在线段BG上存在一点G,使平面EFGH平面ABB.A.

12.如图，在四棱柱ABC。-A/8/C/Q/中，点M是线段B/d上的一个动点，E,E分别是BC,CN的中点.

0、Q

J/C

(1)求证：所〃平面8DQ8/；

⑵设G为棱8上的中点，求证：平面GEP〃平面BOD/氏.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证即可；

(2)根据面面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)证明：在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，连接BM,如图,

AB

因E,F分别是BC,CM的中点，

则有EF〃BM,

又EF<Z平面BDDiBi,BMu平面BDD1B1,

所以EF〃平面BDDiBi.

(2)证明：取CD的中点G,连接EG,FG,如图,

AB

而E是BC的中点,

于是得EG〃BD,

而EG<Z平面BDDiBi,BDu平面BDDiBi,

从而得EG//平面BDDiBi,

由（1）知EF〃平面BDDiBi,

EFEG=E,且EF、EGu平面GEF,

因此，平面GEF〃平面BDDiBi,所以当G是DC的中点时，平面GEF〃平面BDDiBi.

13.如图，四棱锥尸—ABCD的底面是正方形，出，平面E,尸分别为AB,的中点，且B4=AO=2.

⑴求证：AF〃平面PEC；

（2）求三棱锥C-PEF的体积.

【答案】⑴证明见解析；

呜

【分析】（1）取PC的中点G,由题可得AF〃EG,然后根据线面平行的判定定理即得;

（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.

【详解】（1）取PC的中点G,连接EG,FG,

因为F是尸D的中点,

所以GF〃CD,GF=gCD,

因为E是AB的中点，

所以AE//CD,AE=；CD,

所以GF//AE,GF=AE,

所以四边形APGE是平行四边形，

所以AF〃EG,

因为AFe平面PEC,EGu平面PEC,

所以AF〃平面PEC；

(2)因为PA,平面ABCD,F为PD的中点，且PA=AD=2,四边形ABCD是正方形，

所以三棱锥C-PE/的体积为：

匕也=匕一皿-匕皿=gS.8E-PA-g义gSCDE-PA

111ccc2

=—x-x—x2x2x2=—.

2323

__IT

14.在四棱锥尸-ABCD中，上4,底面ABCD,四边形ABCD为边长为1的菱形，ZABC=-,PA=2,M为R4中

点，N为3C的中点.

⑴求证：直线〃平面PCD；

(2)求直线AB与MD所成角大小.

【答案】⑴证明见解析

吗

【分析】(1)作出辅助线，证明出平面脑VE//平面PCD,从而得到线面平行；

(2)作出辅助线，由余弦定理得到AC=F反，找到直线。与MD所成的角NMDC或其补角为直线A3与MD

所成角，由勾股定理求出由余弦定理求出答案.

【详解】(1)取AD的中点E,连接NE,ME,

因为"为24中点，N为8C的中点，

所以ME〃PD,NE//CD,

因为MEa平面PCD,PDu平面PCD,

所以ME//平面PCD,同理可得NEV/平面PCD,

因为MEcNE=E,ME,NEu平面MNE,

所以平面跖VE//平面PCD,

因为M0u平面MNE,

所以直线〃平面PCD；

(2)连接AC,

-TT

四边形ABCD为边长为1的菱形，ZABC=~,所以/W=3C=1,

4

由余弦定理得：AC=VAB2+BC--2AB-BCcosZABC=^l+l-2x^=小2-亚

因为上4=2,"为F4中点，所以AM=gpA=l,

因为PA_L底面ABCD,AC,ADu平面ABCD,

所以PA_LAC,PA_LAD,

所以MC=VM42+AC2=71+2-72=V3-V2，

MD=y/MA2+AD2=Vl+T=V2>

因为AB//CD,所以直线CD与所成的角NMDC或其补角为直线AB与MD所成的角,

由余弦定理得：cosm"+dj2+l.尸」

2MDDC202

故直线与MD所成角的大小为y.

15.已知正方体ABC。-A耳CR,点E为44中点，直线用G交平面CDE于点R求证：点F为用G中点.

DiC,

【答案】证明见解析

【分析】先证明线面平行，然后利用线面平行的性质得到结合E为中点可证结论.

【详解】在正方体中所以AB"/CD；

因为CDu平面CDE,AM<Z平面CDE,

所以的〃平面CDE；

因为直线Eg交平面CDE于点F,

所以EFu平面4片£〃，且平面ABCQ平面CDE=EF,

因为44〃平面CDE,44<=平面44。］。1，平面A4CQ平面CDE=EF,

所以AB"/EF,

因为点E为AA中点，底面是正方形,

所以F为qG中点.

16.点P是YABCD所在平面外一点，M是PC中点，在D暇上任取点G,过G和AP作平面交平面瓦亚于G4.证

明：AP//GH.

【答案】证明见详解

【分析】连结AC,交BD于点0,连结ON,可推得OM//",进而得到AP〃平面然后根据线面平行的性

质定理可得"〃G”.

【详解】证明：连结AC,交于点。，连结OM.

因为四边形A3CD为平行四边形，所以。是AC的中点.

又M是PC中点，所以OM〃AP.

因为OA/u平面BDA/,平面瓦）A1,

所以AP//平面

又平面GAPI平面BDAf=GH,APu平面G4P,

所以AP〃G8.

17.己知直棱柱ABCO-A4Ga的底面4BCZ）为菱形，^.AB=AD=BD=2,A4,，点E为BQ的中点.

（1）证明：4万//平面8。6；

⑵求三棱锥E-B£）£的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可;

（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】（1）连接AC交BD于点尸，连接C7,

在直四棱柱ABCD-A耳GA中A4〃CG,M=cci，

所以四边形A41cC为平行四边形，即AC〃A£,AC=AG，

又因为底面ABCD为菱形，所以点尸为AC的中点，

点E为BQ的中点，即点E为AG的中点，所以G&/A尸，QE=AF,

即四边形AFGE为平行四边形，所以AE//QF,

因为C/u平面BDG，AEU平面8DG，,所以AE〃平面&DG；

（2）在直棱柱ABC。—A4GA中BBl±平面,AGu平面A|B|GA,

所以8瓦，AG,

又因为上底面A耳GR为菱形，所以与。

因为BQJBB[=u平面BB、D、D,

所以AG，平面BBQD,

因为在△ABD中，AB=AD=BD=2,

且点尸为BD的中点，所以AF=,一=布,即=

所以%.Bg=%.BDE=；SAB0E.GE=gxgx2x6xg=l.

18.如图，在长方体ABC。-A14G。中，AB=BC=2,M=3.

（1）设。、E分别为AC和AB中点，求证：OE平行于平面A。。A；

（2）求异面直线AC与。R所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）首先取4。中点尸，连接。尸、AF,易证四边形AEO尸为平行四边形，所以统〃/3,再利用线面平

行的判定即可得到答案.

【详解】（1）取4。中点尸，连接。尸、AF,如图所示：

因为O为AC中点，所以。尸〃CD,且。P=gco.

又ABC。-4耳CQ是长方体，E为AB中点,

所以AE〃CD,3.AE=-CD,BPAE//OF,且AE=O/，

2

四边形AEOF为平行四边形，所以OE〃AF.

又AF在平面ADRA内，OE在平面ADRA外，因此，OE〃平面ADRA.

19.如图，在正四面体S-A5C中，AB=4,E,F,R分别是SB,SC,的中点，取SE,M的中点“，N,

点。为平面SBC内一点

(1)求证：平面平面AEF

(2)若RQ/平面AE7L求线段RQ的最小值,

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可;

(2)由面面平行确定点。在线段上，再求建\木在边上的高，即RQ的最小值.

【详解】(1)'：M,N分别为SE,即的中点，EF,

又平面AEW,EFu平面A£F,.,.跖V平面AEV,

,：R,M分别为S4,SE的中点，.IRMAE,

又；平面AEb,AEu平面AEb,ARM平面AEF,

又'：MNcRM=M,MNu平面MNR,RMu平面MNR,

二平面平面AEK

s

由(1)知，平面MM?平面AEF,

二若平面SBC内存在一点Q,使RQ平面AE7L则。在线段MN上，

二线段RQ的最小值为R到直线MN的距离，即MA五在边MN上的高，

■:E,尸分别为SB,SC的中点，M,N分别为SE,防的中点，

：.MN=-EF=-BC=\,

24

XVAS=AB=4,SE=BE=2

：.AEA.SB,AE=yjAB2-BE2=2-]3>

又，：R,M分别为&4,SE的中点，.•.RW=gAE=A,同理RN=A/L

.•.当。为MN中点时，RQ±MN,此时一MM?在边MN上的高，RQ取最小值,

线段RQ的最小值RQmm=^RM2-MQ2=一已]=芈.

【B组在综合中考查能力】

一、解答题

1.如图：在正方体ABCD-中，M■为。2的中点.

⑴求证：8,「平面40C；

(2)在线段CG上是否存在一点N,使得平面AMC「平面BN?,说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在，理由见解析

【分析】（1）连接3。交AC于0,连接M。，通过证明OM8。可证明结论;

（2）CG上的中点N即满足平面AMC平面BNR,通过证明平面AMC结合8，平面AMC可证明结论.

【详解】（1）连接3。交AC于。，连接M0.

•.•ABC。-AAG。为正方体，底面为正方形，二。为3。的中点.

为DR的中点，在中，0M是的中位线，所以OMBDt.

又OMu平面AMC,BDX<z平面AMC,BD{f平面AMC；

（2）CG上的中点N即满足平面A0C平面BAR,

•••N为CG的中点，M为。〃的中点，.•.CN〃MR,且CN=M1

：.四边形CND、M为平行四边形，AD{N//MC,

；MCu平面AMC,RNtZ平面AMC,

二D、N平面AMC,

由（1）知8。平面AMC,

又,：BD\D、N=D1,

：.平面AMC平面BND1.

2.如图所示，三棱柱ABC-A耳G，底面是边长为2的正三角形,侧棱A4J底面ABC,点瓦尸分别是棱CG，BBt

上的点，点又是线段AC的中点，EC=2FB=2.

G

(1)求证8M〃平面AEF；

(2)求BM与EF所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵BM与EF所成角的余弦值为孚.

【分析】(1)取AE的中点。，连接。尸,。暇；证明前7//O尸，根据线面平行判定定理证明8M//平面AEb;

(2)根据异面直线夹角定义证明NEFO为直线8M与E尸所成角，解三角形求其余弦值即可.

【详解】(1)取AE的中点。，连接。尸,。知，

分别为A£,AC的中点，：.OMHCE,OM=-EC,

2

由BFHCE,且EC=2FB=2,

：.OMUFB,且OM=FB,

二四边形OMBF为平行四边形,故BM//OF,

又而平面AEb,Obu平面AEF,

A〃平面AEF；

(2)因为3河//0尸，

所以ZEFO为直线BM与EF所成角，

RtABF中，AF=yjAB2+FB2=722+12=y[5>

直角梯形3C£F中，EC=2,BC=2,BF=1,ZCBF=ZBCE=9QP,过产作FGLCE,G为垂足，如图所示,

则Bb=CG=l,FG=BC=2,GE=1,EF=JGE?+=布，

AF^EF,所以△AEF为等腰三角形，则bOLAE,

Rt_ACE中，AE=VAC2+CE2=A/22+22=20，

所以AO=EO=&,

Rt.AOb中，FONAP-AO?=J（可—（何1=6,

诉I"/scFO也屈

所以cosZEFO==—r==

EF455

所以BM与E/所成角的余弦值为姮.

5

3.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，E是线段8G上靠近点8的一个三等分点，。是AQ的中点.

⑴证明：4。〃平面4月£；

（2）若例二人台=6,求点儿到平面4月£的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵竽

【分析】（1）取线段GE的中点G,连接AG,OG，AB,记歹，连接E尸，证明DG//AE,EF//AtG,从

而可证得平面AOG〃平面AgE,再根据面面平行的性质即可得证；

（2）取棱BC的中点。，以。为原点，分别以08,A。的方向为x,y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用

向量法求解即可.

【详解】（1）取线段CIE的中点G,连接AGDGAB,记连接政，

因为。，G分别是AQ,EG的中点，所以DG//AE,

因为A£u平面4月£,OGC平面48乃，所以OG〃平面人用石，

由题意可知四边形AB耳A是矩形，则尸是A8的中点，

因为E是3G的中点，所以E///AG,

因为Mu平面4月£,439平面4片石，所以4G〃平面4瓦£,

因为DG，AGu平面AQG,且DGcAG=G,所以平面AQG〃平面,

因为平面AQG,所以AQ〃平面AB|E；

（2）取棱BC的中点。，以。为原点，分别以08,A。的方向为x,丁轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系，

因为A4j=AB=6,所以4（0,—3百,6）,A（0,-3A/3,0）,^（3,0,6）,E（l,0,2）,

则AA=(0,0,-6),做=(3,36,6),用E=(-2,0,-4),

设平面AB[E的法向量为〃=（%,y,z）,

n•AB1=3%+36y+6z=0

令龙=2,则y=O,z=-l,所以”=(2,0,-l),

n•B]E=-2%-42=0

融臼_6_6指

故点4到平面A瓦E的距离a=

\n\A/55

4.如图所示，在直三棱柱ABC-A耳G中，AC1BC,AC=BC=Cq=2,点。、E分别为棱AG、8G的中点,

点尸是线段8月上的点（不包括两个端点）.

（1）设平面。£户与平面A6C相交于直线加，求证：44〃加；

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）证明出DE//平面ABC,DE//A.B,,利用线面平行的性质可证得血/DE,利用平行线的传递型可证得

结论成立;

【详解】（1）证明：因为点。、E分别为棱4G、与G的中点，则DE//A耳，

在三棱柱ABC-44G中，四边形①耳8为平行四边形，所以，\BJIAB,则DE//AB,

因为DE.平面ABC,BCu平面ABC,所以，DE//平面ABC,

因为DEu平面。跖，平面DEFc平面ABC=m，所以，mlIDE,故血M,耳.

5.在四面体中ABC,四边形EFG"是矩形，且AC/3C.

⑴证明：AC〃平面EFG”；

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)证明〃平面ABC,即可证明"〃AC,根据线面平行的判定定理即可证明结论;

【详解】(1)证明：因为四边形瓦6”是矩形，敬EH〃FG,

由于FGu平面ABC,EH<^^^ABC,

故£W〃平面ABC,又E”u平面AOC,平面ADC平面ABC=AC,

故曲///。,又£1"0平面目阳//,470平面跳6”，

故AC〃平面EFGH.

6.在四棱柱ABCD-A[4C]D[中，D,E=kD,A,DlF=kDlB,Dfi=kDiC,DlH=kDlD.

3

⑴当％=1时，试用AB,A£),A4,表示”；

⑵证明：瓦EG,“四点共面；

⑶判断直线AG能否是平面RAB和平面DXDC的交线，并说明理由.

11Q

【答案】(l)AF=-AAi+-AD+-AB

(2)证明见解析

(3)答案见解析

13

【分析】(1)直接利用空间向量线性运算可得AF=AE+EF，再根据已知关系AE=-ADt,EF=D.F-RE'AB,

进行化简可得出结果.

(2)可设AC=XA8+〃A£>(2,〃不为0),由题意可化简得到EG=4AC，将AC=XAB+〃A。代入并结合题意可化

简得出EG=/LEF+〃EH,即可证明出瓦£G,X四点共面.

(3)先假设面，48面DQC=DC，根据棱柱的性质，可得出DC〃平面进而得出OC〃AB,反之当

DCHAB,可判断出D£u平面ABD,,D©u平面DCD{,得出平面ABRc平面DCQ=RG，得出当DC//AB时,

直线AG是面AAB和面DQC的交线，反之不行，从而得出结果.

1[33

【详解】(1)AF=AE+EF=-ADl+DlF-DlE=-ADl+-DlB--DlA

13113

=-AD.+-AB^-AA+-AD+-AB；

414444

(2)^AC=AAB+^AD(A,〃不为0),

EG=DtG-DtE=kDxC-kDtA=kAC

=k(AAB+]nAD)=kAAB+kjuAD=kA(D1B-D}A)+/jk{DxD-DXA)

=2(2歹-DE)+"(D\H-DtE)=AEF+/uEH

则E/，EG，EH共面且有公共点E，则E,£G,〃四点共面；

(3)假设面2A8面AOC=AG，在四棱柱ABC。-ABC。中，

DC//RG，Q£u面ABA，OCg面ABR,则DC〃平面

又OCu面ABC。，面ABRc面ABCD=AB,贝！|£>C〃AB；

反过来，当。C//AB时，因为。C//RG，则A8/ADC，

则AB,£)G确定平面ABDC

则D、C\U平面ABD],

又因为Dgu平面DC，，

所以平面ABRc平面DCD产D£,

所以。C//A5是直线AG是面2AB和面DQC的交线的充要条件；

所以，当DCV/AB时，直线QG是面D/B和面RDC的交线；

当OG不平行时，直线。C不是面RAB和面DQC的交线

7.如图所示，三棱台ABC-DEF的体积为7,其上、下底面均为等边三角形，平面ACFD_L平面ABC,AB=2DE=4

且&£>=尸。，棱AC与8C的中点分别为G,H.

⑴证明：平面ABED〃平面FGH；

⑵求点E到平面FGH的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵

【分析】（1）利用面面平行的判断定理，转化为证明线线平行；

（2）首先根据第一问转化为点A到平面歹G”的距离，再根据等体积转化求点A到平面的距离.

【详解】（1）证明：QG,H分别是AC,BC的中点，

:.GH//AB,

ABO平面FGH,GHI平面FGH,

.•.钻//平面人38,

又EF//BH,EF=BH,

：.四边形BHFE为平行四边形，二BE//HF.

3EZ平面PG4,HFu平面以汨，

,防〃平面FGH,

ABu平面ABED,3Eu平面ABED,ABBE=B,

平面ABED//平面FGH.

（2）AEu平面ABED,由（1）知AE〃平面FGH,

点E到平面FGH的距离等于点A到平面FGH的距离，设为d.

由题意得上底面面积为S]=—x22=>/3,下底面面积为$2=—x42=4A/3,

44

设三棱台的高为心贝弓（道+26+4若）/7=7,得h=6.

由AD=FC,得GF=FC,

设CG的中点为I,连接IH,IF,；平面ACFDL平面ABC且交于AC,FIVAC,

D

，77_L平面ABC,Hl=e，FH=&>,GF=FC=2

&_V15

,△FHG-29

S八AHC=—xAGxGHxsinZAGH=6,

Z\An(j2

••y-y•J_爪SGHA_2y

u—

•vA-GHF-yF-GHA，••—~~~一，

、,GHF>

故点E到平面FGH的距离为口叵.

5

8.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，。是AC的中点，求证：A旦〃平面D3C].

【答案】证明见解析

【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为。(。＞