2022-2023学年江苏省泰州市靖江外国语学校八年级下学期期中考数学试卷含详解

2022-2023学年度第二学期学业质量测试

八年级数学

一.选择题（共6小题）

1.下面四幅作品分别代表二十四节气中“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是

3.防疫指挥部门对某校进行核酸抽检，从全校师生中抽取了100名师生对其核酸检测，在此问题中数目100是

（）

A.样本B.样本容量C.总体D.个体

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（）

5.下列事件：①三条线段能组成一个三角形；②太阳从东方升起；③。是实数，同＜0；④购买一张大乐透彩票,

中大奖500万.其中必然事件是（）.

A.①B.②C.③D.④

6.如图，正方形ABCO和正方形。EFO的顶点A,E,。在同一直线/上，且EF=五，43=3,点A/、N分别

是线段和A3的中点，则MN的长为（）

A.-y/2B.-C,D,

2242

二.填空题（共10小题）

7.用反证法证明“正是无理数”时，第一步应该假设.

8.已知（一3,y）,（3,%）都在函数产》+1图象上，则另，%的大小关系为（用连接）.

9.如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为.

抛掷次数1003005008001000

针尖不着地的频数6418031()488610

针尖不着地频率0.640.600.620.610.61

10.如图，函数y=2x和y=ox+9的图象相交于点A（m,6）,则不等式办+9>2x的解集是

11.在平面直角坐标系x0y中，把点P（。一1,5）向左平移3个单位得到点。（如,5）,则a—28+3的值为

12.如图，YABCD的面积为4,点P在对角线AC上，E、尸分别在AB、ADt,且PE〃3C,PF//CD,连

接所，图中阴影部分的面积为

13.如图，矩形A8C。的对角线交于点。，点E在线段A。上，S.DE=DC,若NEDO=15：则NQEC=

14.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、

4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角

形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水

平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为。,2,5）,点C的坐

标可表示为（2,4,2）,按此方法，则点B的坐标为.

8A0

15.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方

形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1,则图1中菱形的面积为.

16.已知四个点A（4,0）、3（0,3）、C（4a,-3a+l）、。能组成平行四边形，则CO的最小值为

三.解答题（共10小题）

17.(1)计算:

(2)化简：(2x—1)~+(x+6)(x—6)

18.两种品牌方便面销售增长率折线统计图如图:

增长率

100%

年份

(1)88牌方便面的销售量比A4牌多吗？为什么？你认为要做出这样的推断还需要什么信息？

(2)从折线统计图中你能获得哪些信息？

19.某校体育设施向社会免费开放，对一周内到校运动健身的市民人数进行了统计，并将获得的数据进行整理，绘

制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题:

一周内到校运动健身的市民运动项目统计图

(1)一周内到校运动健身的市民总人数为多少？

(2)补全条形统计图与扇形统计图；

(3)为了给运动健身的市民提供更多的便利，你认为学校可以在哪些运动项目的场地加大投入？请结合数据说明

理由.

20.如图，在平行四边形A8CD中，E，尸是对角线上两点，请从①②？CDF这2个条件

中，选择其中1个作为条件来证明。尸=BE.你选择的条件是：(写序号)，并写出证明过程.

21.如图，通过旋转—ABC可以使其与」死尸重合

（1）仅用无刻度直尺确定旋转中心M（保留作图痕迹），并写出旋转使其与，一。石尸重合的过程.

（2）若F、A的坐标分别为（-3,2）,（T,7）,则旋转中心的坐标为

22.《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速

地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STE4M小

组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：

供水时间无（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

浮箭漏示意图

图①图②

（1）（探索发现）：

若以供水时间》为横轴，箭尺读数y为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试判断这些

点是否在同一条直线上.如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明

理由.

（2）（结论应用）应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00,那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？

23.如图1,4，B.,C，2分别是四边形A8CO各边中点，且AC=6,80=10.

(1)试判断四边形A|4G2的形状，并证明你的结论；

(2)如图2,依次取4用，B£,CR,。A的中点4，鸟，C2,D2,再依次取AB2,B2c2,C2D2,

2A2的中点4,鸟，G，D3……以此类推，取A,I纥T，纥tQt，C，的中点4,B“,

C”,2,根据信息填空：

①四边形44G2的面积是；

②若四边形A,B£,D”的面积为与，则〃=:

③试用«表示四边形A“B£”D”的面积.

24.如图，RtA^CEF1中，ZC=90°,/CEb和NCEE的外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE，CF

的垂线，点B,。为垂足.

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)若4?=a(a为常数)，求(3£+口)(。/+口)的值.

25.折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动.

实践操作：将矩形ABCD沿对角线AC翻折，使点。落ABCD所在平面内，边BC和AD相交于点E

解决问题：

图1图2备用图

(1)如图1,①求证..年金一SE②连接80'，判断BD和AC的位置关系，并说明理由

(2)如图2,在矩形A3CO中，若AB=36，点尸是对角线4c上一动点，NACB=30°,连接Eb，作点C

关于直线EP的对称点P,直线P£交AC于。,当△AEQ是直角三角形时，直接写出CE的长.

26.如图，平面直角坐标系中，已知点4(0,。)y轴正半轴上，点8(0,3，点C(c,0)在x轴正半轴上，且

a2-2ab+kr-c1=0.

(1)如图1,求证：AB=OC；

(2)如图2,当。=3,8=1时，过点8的直线与AC成45°夹角，试求该直线与AC的交点的横坐标；

(3)如图3,当人＜0时;点。在OC的延长线上，且CZ)=QB，连接A。，射线8c交AD于点E.当点B在

y轴负半轴上运动时，/6石。的度数是否为定值？如果是，请求出/血＞的度数；如果不是，请说明理由.

2022-2023学年度第二学期学业质量测试

八年级数学

一.选择题（共6小题）

1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是

()

【分析】根据轴对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的

图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴；据此回答即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意;

8、不是轴对称图形，本选项不符合题意;

C、不是轴对称图形，本选项不符合题意;

力、是轴对称图形，本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，掌握其定义是解题的关键.

2.下列式子是分式的是（）

1b1D*

A.—B.-C.—

7122a5

【答案】C

A

【分析】利用分式定义，分式的概念：一般地，如果A,8表示两个整式，并且8中含有字母，那么式子万叫做分

式，进行解答即可.

【详解】解：A、上是单项式，是整式，故A不符合题意;

71

B、2是单项式，是整式，故B不符合题意；

2

C、是分式，故C符合题意；

2a

D、犯1是单项式，是整式，故D不符合题意.

5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字

母.

3.防疫指挥部门对某校进行核酸抽检，从全校师生中抽取了100名师生对其核酸检测，在此问题中数目100是

（）

A.样本B.样本容量C.总体D.个体

【答案】B

【分析】样本容量则是指样本中个体的数目，根据定义即可判断.

【详解】解：防疫指挥部门对某校进行核酸抽检，从全校师生中抽取了100名师生对其核酸检测，在此问题中数

目100是样本容量，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了样本容量的定义，关键是明确具体问题中的总体、个体、样本、样本容量，样本容量是

样本中包含的个体的数目，不能带单位.

4.如图，在平面直角坐标系X。），中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（）

A.(2,-5)B.(—2,5)C.(-2,-5)D.(2,5)

【答案】A

【分析】根据平面直角坐标系每一象限点的坐标特征，即可解答.

【详解】解：A.（2,—5）在第四象限，故A符合题意；

B.（—2,5）在第二象限，故B不符合题意；

C.（—2,—5）在第三象限，故C不符合题意；

D.（2,5）在第一象限，故D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键.

5.下列事件：①三条线段能组成一个三角形；②太阳从东方升起；③“是实数，同＜0;④购买一张大乐透彩票,

中大奖500万.其中必然事件是（）.

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】根据必然事件的定义，即可求解.

【详解】解：①三条线段能组成一个三角形，是随机事件；

②太阳从东方升起，是必然事件；

③。是实数，时＜0,是不可能事件；

④购买一张大乐透彩票，中大奖500万，是随机事件；

故选：B

【点睛】本题主要考查的是必然事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件是解题的关

键.

6.如图，正方形A8C0和正方形QEFO的顶点A,E,。在同一直线/上，且£歹=夜，回=3,点M、N分别

是线段80和A3的中点，则MN的长为（）

'E"I。・冬D.野

【答案】D

【分析】根据正方形的性质求得£＞G=1,AG=4,根据勾股定理求得AO=J万，再根据三角形的中位线定理即

可求解.

【详解】解：连接A。，DF,交直线/于点G,

:•DG=GF=、DF=2EF=1，OE1DF,

22

,/正方形ABCO的边长AB=3,

在RteAGO中，DG=1,AG=4,

45=4+42=屈,

•.•点M、N分别是线段BD和AB的中点，

MN是的中位线，

：.MN=-AD=^-,

22

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题.

二.填空题（共10小题）

7.用反证法证明”正是无理数”时，第一步应该假设.

【答案】0不是无理数，是有理数

【分析】利用反证法应先假设所证的结论错误，命题的反面正确，据此即可解答.

【详解】解：第一步应该假设：夜不是无理数，是有理数.

故答案为：夜不是无理数，是有理数.

【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.

8.已知（—3,yj,（3,旷2）都在函数）'=》+1图象上，则X，%的大小关系为（用“〈”连接）.

【答案】M<%

【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解.

【详解】解：x=-3时，乂=-3+1=-2,

x=3时，%=3+1=4,

所以，%＜力•

故答案为：乂＜%•

【点睛】此题主要考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特点，掌握一次函数的性质是关键.

9.如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为.

抛掷次数1003005008001000

针尖不着地的频数64180310488610

针尖不着地的频率0.640.600.620.610.61

【答案】0.61

【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳

定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近，所以可估计“钉尖不着

地”的概率为0.61.

故答案为：0.61

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生

的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

10.如图，函数y=2x和＞=以+9的图象相交于点A（租,6）,则不等式以+9＞2x的解集是.

【分析】先将点A（m,6）代入y=2x,求出m的值，再根据一次函数的图象即可确定不等式的解集.

【详解】解：将点A（〃?,6）代入y=2x,

得2m=6,

解得加=3,

，点A坐标为（3,6）,

根据图象，可知不等式以+9>2x的解集为x<3,

故答案为：x<3.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键.

11.在平面直角坐标系xOy中，把点尸（。一1,5）向左平移3个单位得到点。（»,5）,则。一2/?+3的值为

【答案】7

【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案.

【详解】•••把点尸（。一1,5）向左平移3个单位得到点Q（2瓦5）,

a—1—3=28.

；♦a-26=4.

a—2/?+3=4+3=7.

故答案是7.

【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，

下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键.

12.如图，YABCD的面积为4,点P在对角线AC上，E、尸分别在A6、A。上，且PE〃BC,PF//CD,连

接所，图中阴影部分的面积为.

【答案】2

【分析】由庄〃3C,尸尸〃CD可得四边形他。尸是平行四边形，故SAEF=S"P，进一步得到

S阴影=SACD=5SABCD=2•

【详解】PE//BC,PF//CD

••・四边形是平行四边形

1

SSS

A-F=2-

EF/\EPF

A88的面积为4

=x4=2

••・SACD=-Sabcd2

S阴影=SAEF+s四边形c。。=SAPF+s四边形CDFP=$ACD-2

故答案为：2

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解平行四边形的对角线将平行四边形分成两个

全等的三角形，这两个三角形的面积相等.

13.如图，矩形ABC。对角线交于点。，点E在线段A。上，KDE=DC,若/EZ)0=15°,贝ijNQEC=

【答案】55

【分析】设由£>E=Z)C可得/OCE=x,根据四边形A8C。为平行四边形，AC、3。为对角线，则

NODC=NDCE=x,进而得至lJ/OOE=NOC£)+NOCC=2x,再有NE£)0=15。，△£>(?£内角和为180。，建立等式解x

即可.

【详解】解：设/。EC=x,

,:DE=DC,

：.NDCE=x,

•••四边形ABC。为矩形，

/.NODC=NDCE=x,

：.ZDOE=ZOCD+ZODC=2x,

：△OOE内角和为180°,

.•-2x+x+15o=180°,

解得：x=55。，

即NDEC=55°,

故答案：55.

【点睛】本题三角形和四边形综合，主要考查矩形四边形对角线互相平分，等腰三角形等边对等角，三角形外

角等于不相邻两内角之和等知识点.

14.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、

4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角

形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水

平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点C的坐

标可表示为（2,4,2）,按此方法，则点B的坐标为.

第辛\

2k大-x-六一夫一次Z

i/_、*，__、二、

7\/\/\/X/\/X/\/\

u8765432106

<-

【答案】（4,3,1）

【分析】根据点4的坐标可表示为（1,2,5），点C的坐标可表示为（2,4,2）得到经过点的三条直线对应着等边三角形

三边上的三个数，依次为横、上，下，即为该点的坐标，于是得到结论.

【详解】解：根据题意得，点2的坐标可表示为（4,3,1）,

故答案为：（4,3,1）.

【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法.

15.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方

形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1,则图1中菱形的面积为.

【答案】8

【分析】设菱形较长对角线长为2a,较短对角线长为26,根据两种拼图得到等式，计算得出2ab的值，后根据

菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可.

【详解】解：设菱形较长对角线长为加，较短对角线长为2b,

由图2得=%

由图3得=即（Mb）?=1,

，cT+b2-2ah=l，

，2ab=〃+b?—1=8，

所以菱形的面积为：-x2ax2b=2ah=S

29

故答案为：8.

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

16.已知四个点A(4,0)、3(0,3)、C(4a,-3a+l)、。能组成平行四边形，则的最小值为

【答案】3.2

【分析】分两种情况：CO是YABC。的一条边或对角线，当8是YABC。的一条边时，CD=A8=5；当

4。+m_4+0

2-2

CD是YABC。的对角线时，设。(九〃)，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可得＜/,八°解

-3O+1+/10+3

.2~~T

方程组求出。的坐标，然后利用两点间距离公式求出CD2=100(x-0.26)2+10.24,利用偶数次幕的非负性可求

co?的最小值，即可解决问题.

【详解】解：当8是YABCD的一条边时，CD=AB,

•••4(4,0)、8(0,3),

•；OA=4,OB=3,

•*-AB=dOB、O1=5,

，CD=AB=5；

当CO是YABCD的对角线时，

设£)(〃?,“)，

•/C(4a,-3a+l),

4a+m4+0

~2~~~2~

-3ci+1+zi0+3

2__2-

m=4-4a

解得《

〃=3。+2

.・.0(4-4a,3a+2),

CD2=(4«-4+4«)2+(-3a+l-3a-2)2

=100，，-52。+17

=100(x-0.26)2+10.24,

(x-0.26)2>0,

A100(x-0.26)-+10.24>10.24,

...当X=0.26时,C£)2最小,最小值为10.24,

，CD的最小值是5/10.24=3.2.

故答案为：3.2.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，中点坐标公式，两点间距离公式等知识，明确题意，找出

所求问题需要的条件是解题的关键.

三.解答题（共10小题）

17.(I)计算:

(2)化简：(2X-1)2+(X+6)(X-6)

【答案】（1）2+73；（2）5x2-4%-35

【分析】（1）根据负整数指数基和零指数基运算法则，绝对值的意义进行计算即可;

（2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可.

【详解】解：（1）

--------z-+>/3—1—1

=4+6一1一1

=24-6;

(2)(2x—1)~+(x+6)(%—6)

=4x2-4%+1+(犬-36)

—4x?—4x+1+—36

=5x^—4x—35•

【点睛】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数累和零指数累运算法

则，绝对值的意义，完全平方公式和平方差公式，准确计算.

18.两种品牌方便面销售增长率折线统计图如图：

（1）牌方便面的销售量比A4牌多吗？为什么？你认为要做出这样的推断还需要什么信息？

（2）从折线统计图中你能获得哪些信息？

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）根据增长率的意义，折线图中的信息判断即可.

（2）根据折线图中的信息得出结论即可.

【小问I详解】

从增长率折线图上看不出两个品牌销售量的大小.因为根据增长率无法判断产品的数量.

要知道这样的推出，必须已知两个品牌2000年的销售量.

【小问2详解】

从折线图上可以得出：35产品每年的增长率比AA产品的增长率大.各个产品的每年的增长率也是逐年增加.

【点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

19.某校体育设施向社会免费开放，对一周内到校运动健身的市民人数进行了统计，并将获得的数据进行整理，绘

制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

一周内到校运动健身的市民运动项目统计图

球

（1）一周内到校运动健身的市民总人数为多少？

（2）补全条形统计图与扇形统计图；

（3）为了给运动健身的市民提供更多的便利，你认为学校可以在哪些运动项目的场地加大投入？请结合数据说明

理由.

【答案】（1）500（2）见解析

（3）认为应加大跑步和健走的项目的投入（答案不唯一）

【分析】（1）由跑步的人数和所占百分比求出调查总人数；

（2）求出羽毛球的人数及健走的百分比，再补全条形统计图即可;

（3）根据统计图给出的数据，得出结论合理即可

【小问1详解】

解：180-36%=500（人），

一周内到校运动健身的市民总人数为500人；

【小问2详解】

羽毛球的人数为500-180-150-70=100人，

健走的百分比为100%-36%-14%-20%=30%,

补全统计图如下：

一周内到校运动健身的市民运动项目统计图

【小问3详解】

根据统计图给出的数据，得出结论：跑步和健走占比是总体的36%+30%=66%,

所以我认为应加大跑步和健走的项目的投入.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

20.如图，在平行四边形A3CD中，E，b是对角线上两点，请从①AF=CE；②？CDF?A6E这2个条件

中，选择其中1个作为条件来证明OF=.你选择的条件是：（写序号），并写出证明过程.

D

F

【答案】①；证明见解析

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

【详解】解：选择①A/=CE,证明如下：

四边形A8CD是平行四边形，

DC//AB,DC=AB,

:.ZEAB=ZFCD,

AF^CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即AE=CF,

在AAEB与4CFD中，

AE=CF

<NEAB=ZFCD,

AB=DC

AEB^,CFZXSAS）,

：.DF=BE,

故答案为：①.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解

答.

21.如图，通过旋转一ABC可以使其与.。所重合

（1）仅用无刻度直尺确定旋转中心M（保留作图痕迹），并写出旋转ABC,使其与_。石尸重合的过程.

（2）若F、A的坐标分别为（-3,2）,（T,7）,则旋转中心的坐标为

【答案】（1）图见解析，_ABC绕点M顺时针旋转90°与，QEV重合；

(2)(-5,3)

【分析】（1）连接AO,BE,利用网格分别作线段AD,5E的垂直平分线，交点即为旋转中心；由图以及旋转的

性质可得答案；

（2）根据点F和A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案.

【小问1详解】

解：如图，点M即为所求.

绕点M顺时针旋转90°与.£＞石尸重合；

【小问2详解】

解：建立平面直角坐标系如图所示，

则旋转中心的坐标为（-5,3）.

故答案为：（-5,3）.

【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键.

22.《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速

地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小

组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：

供水时间x（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

54M厘米）

48

浮箭漏示意图42

36

30

24

18

12

6

12345678小时）

图①图②

（1）（探索发现）:

若以供水时间x为横轴，箭尺读数y为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试判断这些

点是否在同一条直线上.如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明

理由.

（2）（结论应用）应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00,那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？

【答案】（1）图象见解析；y=6x+6

（2）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米

（3）当箭尺读数为90厘米时是22点钟

【分析】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；观察上述各点的分布规律，可知它们在

同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为＞=履+"利用待定系数法即可求解；

（2）应用上述发现的规律估算：利用前面求得的函数表达式求出x=12时，），的值即可得出箭尺的读数；

（3）利用前面求得的函数表达式求出y=90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午8：00,即可求解.

【小问1详解】

如图，

观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，

设这条直线所对应函数表达式为卜=履+心

把（2,18）,（4,30）代入,得：

'2左+8=18

‘4女+匕=30'

'k=6

解得：,，

b-6

y=6x+6；

【小问2详解】

x=12时，y=6?126=78,

•••供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；

【小问3详解】

y=90时，6x+6=90,解得：x=14,

供水时间为14小时，

:本次实验记录的开始时间是上午8：00,

8+14=22,

•••当箭尺读数为90厘米时是22点钟.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值.

23.如图1,4，B.,G，A分别是四边形ABC。各边的中点，且AC18。，AC=6,BD=10.

(i)试判断四边形A1，G2的形状，并证明你的结论;

(2)如图2,依次取A片,B£,CQi，AA的中点4，鸟，C2,D2,再依次取4B2，B2C2,C2D2,

Q2A2的中点4,鸟，C3,4……以此类推，取A,I纥T，纥tQt，C“_RT，的中点4,B“,

c“,根据信息填空:

①四边形44G2的面积是

②若四边形A,B£,D”的面积为上,则«=

16

③试用«表示四边形A,,BnC„D„的面积

【答案】(1)矩形，见解析；(2)①15,②5,③匕

2"-1

【分析】(1)根据中位线定理，得出四边形44G2是平行四边形，再根据AC/8。可判断四边形4AGA为

矩形；

(2)①根据题意算出A|B1=3,A|D|=5,可得四边形44GQ的面积；

②根据题意算出A2D2=B2c2=C2D2=B2A2=取，可得四边形为员。?。?为菱形，得出四边形4B2c2&的面积，

以此类推得出S46C也，令S\B„c„D„=»解出n即可；

③由②可得结果；

【详解】解：(1)四边形ABCiA是矩形，

证明：B],G，R分别是四边形A8CD各边的中点，

AAiBl.AC,CtDt/：AC,

.••4与CQ，

同理可得

...四边形481G2是平行四边形，

又,：AC上BD,

易得44,8©,

...四边形4与G2是矩形；

(2)①由题意可知：AiB尸,AC=3,AiDi=yBD=5,

四边形的面积=3x5=15；

图2

②由构图过程可得：A2D2=B2c2=3B|D产gJAB：+AB12=取，C2D2=B2A2=gAlC|=TJA8：+4G2=

回,

可知四边形A282Go2为菱形，

S&Bgo?=54GX刍。2=54月XB}C}=—；

SS

同理可求：A}B,C,D,=y，S4JC45=挤，•一，A„B„C„D„=，

4oZ

故当四边形4纥C,2的面积为与时，£=二，

16216

解得：n=5；

③由②可知：用〃表示四边形4纥GQ的面积为费.

【点睛】本题考查了中位线定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是利用中位线定理求出相应长

度，从而计算面积.

24.如图，R△CE/7中，NC=90。，/CEE和NCFE的外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF

的垂线，点B,。为垂足.

（1）求证：四边形ABC。是正方形；

（2）若A8=a（“为常数），求（6£+。）（。尸+。）的值.

【答案】（1）见解析（2）2/

【分析】（1）作AG，七尸于G,如图所示：则NAGE=NAGF=90°,先证明四边形ABCD是矩形，再由角

平分线的性质得出4?=4），即可得出四边形ABQ9是正方形；

（2）证明Rt.AGE（HL）,得出3E=EG,证明RtAADF也RtZxAG/^HL）,得出。F=G产，从而

得出EF=EG+GF=BE+DF,根据勾股定理得出EF2=CE2+CF~，即

（BE+DF^={a-BE^+{a-DF^,整理得出。（3石+。尸），用多项式乘多项式进行运算

（BE+a/DR+a）并将BE-DF-a1—a（BE+DF）代入即可得出答案.

【小问1详解】

证明：作AG1EF于G,如图所示：

则/46£=446/=90。，

VABA.CE,AD±CF,

ZB=ZD=90°=ZC,

二四边形ABC。是矩形，

,/NCEF、/CFE外角平分线交于点A,

AAB=AG,AD=AG,

AB-AD>

...四边形ABC。是正方形.

【小问2详解】

解：根据解析（1）可知，AB^AG,AE=AE,

：.RtAG£（HL）,

BE=EG,

同理可得：RtAADF^RtAAGF（HL）,

:.DF=GF,

EF=EG+GF=BE+DF,

；四边形ABC。为正方形，

BC=CD=AB=a,

CE=a—BE，CF=a-DF，

根据勾股定理得：EF-=CE2+CF2，

即（BE+£）/『=（iz-S£；）2+（a-DF）2,

整理得：BE-DF=cr—a（BE+DF）,

：.（5E+a）（DF+a）

=BEDF+a（BE+DF）+a2

=a2-a（BE+DF）+a（BE+DF）+a2

=2a2•

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键

是根据正方形的判定、角平分线的性质解答.

25.折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动.

实践操作：将矩形ABC。沿对角线AC翻折，使点。落A8CD所在平面内，边BC和AZ7相交于点E

解决问题：

D'D'D'

图1图2备用图

（1）如图1,①求证年金一CDE②连接5。'，判断80'和AC的位置关系，并说明理由

（2）如图2,在矩形488中，若AB=3jL点尸是对角线AC上一动点，NACB=30°,连接所，作点C

关于直线所的对称点P,直线PE交AC于。，当△AEQ是直角三角形时，直接写出。尸的长.

【答案】（1）①见解析；②6£>'〃AC,理由见解析

（2）2g或3G-3

【分析】（1）①利用矩形和翻折的性质得出4?=C9=C9',=/£>=/£>'=90。，然后利用AAS证明

二/WE乡4aXE即可；

②连接BB'，利用全等的性质得出AE=CE，3E=DE,利用等边对等角得出NE4C=NEC4,NEBZ/=Z£D5,

结合三角形外角的性质可得NEB。=NEC4,最后利用平行线的判定即可得证；

（2）分4场。=90。或ZAQE=90°两种情形讨论即可.

【小问1详解】

①证明：•••将矩形ABCD沿对角线AC翻折，

:.AB=CD=CD'，ZB=Z£>=ZZy=9（r,

又ZAEB=NCED,

：.「ABEACDE；

②连接BD'，

：.ABE&CD'E,

；.AE=CE,BE=D'E,

ZEAC=Z.ECA,ZEBD=ZEDB,

又NA£B=NE4C+NEC4=2NEC4,ZAEB=ZEBU+ZEDB=2ZEBD,

，ZEBD'=ZECA,

BD'//AC；

【小问2详解】

解：B90?,AB=35ZACB=30°,

AC=6G，za4C=60°,

ZEAC=ZECA=30°,

：.NR4E=30°,

:,AE=2BE，

又AB2+BE2=AE2，即（36）+BE2=（2B£）2,

BE=3,AE=6

要△AEQ是直角三角形，则NAEQ=90。或NAQE=90。,

当NAQE=90。时，

D'

ZCAE=30°,

：.ZAEQ=60°,

又NAEB=2ZEC4=60。，

NQEC=180°-ZAEB-ZAEQ=60°,

:翻折,

二NQEF=NCEF=gNQEC=30°=NFCE,

CF=EF

-：ZCAE=30°,=ZAEQ+NQEF=90°,

/.AF=2EF=2FC,

/.AC^3FC,

：.FC=LAC=2瓜