2023-2024学年陕西省宝鸡实验高级中学高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）（含解析）

2023.2024学年陕西省宝鸡实验高级中学高三(上)第一次模拟数学试

卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合力={x|y=eR},B={y|y=>0},则力nB=()

A.0B.[(1,1)}C.(0,+oo)D.R

2."/一%<0”是“e、〉。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在复平面内，。是原点，向量被对应的复数是-1+i,将近绕点。按逆时针方向旋转%则所得向量对应

的复数为()

A.―弋2B.—V2iC.-1D.—i

4.已知/(x)=/念■是奇函数，则Q=()

A.2B.-1C.1D.-2

5.在公比大于1的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,则%2=()

A.96B.64C.72D.48

6.函数/(%)=辿晤尹义的部分图象大致为()

/、/14-v

7.已知点在圆C：%2+y2=m±,过M作圆C的切线贝〃的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.已知sin(a-/?)=5cosasinfi=p则sin(a+0)=()

1551

c

A-B--D-

8669

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同

学抽到不同主题概率为()

10.用模型y=ae"》拟合一组数据组®,%)(i=1,2,...,7),其中与+0+…+%7=7；设z=2ny,得变换后

的线性回归方程为z=x+4，则y，2“-y7=()

A.e70B.70C.e35D.35

11.已知函数f(x)=cos(3x+w)(0<a)<10,0<<p<兀)图象的一个对称中心是4(，0),点B(0,?)在/(x)

的图象上，下列说法错误的是()

A./(%)=cos(2x+9B.直线x=浮是f(x)图象的一条对称轴

c.f(乃在［?，当］上单调递减D./(x+9是奇函数

OOO

12.设A,B为双曲线/一<=1上两点，下列四个点中，可为线段4B中点的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,4)D.(1,3)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/(%)=x4-cos》的图象在x=0处的切线方程为_.

14.设血、几是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，给出下列命题：

(1)若?n_La,n//af则m1九.

(2)若mJL九，n//a,则znJLa.

(3)若mla,a〃B，则ml£.

(4)若?n1a,ml/?,则a〃夕.

其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)

15.函数/(%)=sin(cox+0)(3>0,\(p\<今在一个周期内的部分取值如表：

71717157r77r

X

~121241212

/(X)a1a—a-1

则/(%)的最小正周期为;a=.

16.已知等差数列｛a九｝是递增数列，且满足。4/7=15，a+a=8,令%=("N2),且瓦=:,

38^a°nJ-lan3

则数列｛bn｝的前n项和=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

世界上的能源消耗有3〜:是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废.零件

磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加.现根据相关

统计，得到一组数据如表.

使用时间t/年12345

磨损指数0％4.55.66.46.87.2

(1)求r关于t的线性回归方程；

(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超

过10%,则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理.根据(1)中的回归方程，估计该零件使用多少年后需

要进行报废处理？

参考数据:货=E=30.5,Sf=itirt=98.1.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=飞:消等，)=：；：詈,a=y-bx-

18.(本小题12.0分)

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos4■cosB+bcos2A=—b.

(1)求角4

(2)若△4BC的面积为1,求a的最小值.

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中，D是44］的中点，AC1BC,AC=BC,AB=AAr=4.

(1)证明：AC11平面BCD.

(2)求点D到平面4BG的距离.

B

20.(本小题12.0分)

设抛物线C：y2=2px(p>0),直线x—2y+l=0与C交于A,B两点，且|4B|=4/B.

⑴求p；

(2)若在无轴上存在定点M,使得前了.丽=0,求定点M的坐标.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=ax+x2—xlna—b(a,bER,a>1),e是自然对数的底数.

(1)当。=6,b=4时，求整数k的值，使得函数/(x)在区间(k,k+l)上存在零点；

(2)若36[—1,1],且b=0,求/1(%)=a*+/一xbia—b(a,b6R,a>1)的最小值和最大值.

22.(本小题10.0分)

'_2-2t

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为「一不'«为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

9=用

极坐标系，曲线。2的极坐标方程为p=2COS6.

(1)求出G的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若G与有公共点，求m的取值范围.

23.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=\2x-a|+|x-3al.

(1)当a=l时，求不等式/(x)〈4的解集；

(2)若VxeR,/(x)>|x-I+a2+1,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•・,4=R,B=｛y\y＞0),

AC\B=(0,+8).

故选：C.

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由％2一%＜0得，0＜乂＜1,

由e*＞0得，xeR,

因为｛尤|0＜尤＜1｝呈R,所以“――％＜0”是“靖＞0”的充分不必要条件.

故选:A.

根据充分条件和必要条件的定义判断.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题.

根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】

解：向量次对应的复数是-1+i,将被绕点。按逆时针方向旋转会

则所得向量对应的复数为(一1+i)(cos*+sin/)=(―1+i)(殍+?i)=-^2.

故选:A.

4.【答案】A

【解析】解：・函数是奇函数，.•・满足/(-%)=-/(%),

即工二——,化简为1)"=---^―,得Q-1=1,Q=2,

e⑪-1e^—l1—6以e"—1

此时/(x)=潟A，函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),成立.

故选：A.

根据奇函数的定义，即可求解参数a的值.

本题考查了函数的奇偶性的定义，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：在公比大于1的等比数列｛an｝中，

,**Q3Q7=72==27,

.・・。2，。8是方程/一27%+72=0的两个根，且。2<为，

解得=3，他=24,

OZ解得q2=2,

1110

a12=ciiQ=a2Q=3x2$=96.

故选：A.

由已知条件推导出。2,是方程/-27x+72=0的两个根，且。2<。8，由此求得。2=3,a8=24,进而

得到q2=2,由此能求出的2.

本题考查等比数列的第12项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用.

6.【答案】C

【解析】解：由题意可得：f(x)的定义域为R,

因为—驷哥辿=_/(x)，

所以/(x)为奇函数，排除B,D.

当x>0时，则1+田>OR++1+%>1，可得X2+1+工)>0,

所以/(x)>0,排除4.

故选：C.

根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.

本题考查函数奇偶性，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查圆的切线方程，属于基础题.

根据已知条件，先求出/CCM，再结合直线垂直的性质，即可求解.

【解答】

解：圆C：x2+y2=m,

则圆C的圆心为C(0,0),

过M作圆C的切线

则,h=-1，即&=一^^，

故，的倾斜角为150。.

故选：D.

8.【答案】B

【解析】解：因为sin(a-0)=sinacosp-cosasinp=sinacosp--=

_117

所以stnacos。

所以sin(a+.)=sinacos^+cosasinp=《+；=居=3.

故选：B.

利用两角差的正弦公式展开求出sinacos。，然后利用两角和的正弦公式计算即可.

本题主要考查两角和与差的正弦函数，考查运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,

甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6x6=36,

其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=照=30,

则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=%=羽="

n366

故选：A.

利用古典概型、排列组合等知识直接求解.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】C

［解析］解：因为%1+不+…+%7=7,所以％=1,z=%+4=5，

叱x(In%+lny2+....+lny7)=-xln(y1y2...y7)=5,

所以y，2-y7=«35.

故选：c.

根据回归直线方程，必过样本点中心G,W),再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

本题考查线性回归方程的应用，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：因为点B(0,3)在/'(x)的图象上，所以/(0)=COS0=，.又0<W(兀，所以W=：，

因为/(x)图象的一个对称中心是4后,0)，所以等+；=升而，kez,

则co=2+8k,卜62.又0<3<10,所以3=2,则/(x)=cos(2x+；),A正确；

/(y)=COSy=0,则直线X=:不是/(X)图象的一条对称轴，B不正确；

当欠€年,党时，2%+江［2兀,3网，/•(%)单调递减，C正确；

f(x+?)=cos(2x+5)=-sin2x,是奇函数，。正确.

OL

故选：B.

由/(0)=?可得0=%由对称中心4(,0)可求得3=2,从而知函数f(x)的解析式，再根据余弦函数的图

象与性质，逐一分析选项即可.

本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：设4Qi，为)，S(x2,y2)>

则AB的中点M(殁强，空)，设直线OM的斜率为k,

门+丫2,

力一段k=-2=

可得%B%1-％2'%i+%2'

"B在双曲线上，一,=1

对于4可得k=l,kAB=9,贝必B：y=9x—8,

y=9%—8

联立方程「y2得72/—2x72%+73=0,

卜-卜1

此时A=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,

•••直线4B与双曲线没有交点，故A错误；

对于8,可得k=-2,/CAB=—?,则AB：y=——I，

'95

y=一/—2

联立方程得45x2+2x45x+61=0,

x2-y=1

此时4=(2x45)2-4x45x61=-4x45x16<0,

・•・直线与双曲线没有交点，故8错误；

对于C,k=4,kAB=p则=+

_9」7

y=TX+-

424,得63/-126%-193=0,

{T=i

此时4=1262+4x63X193>0,故直线4B与双曲线有交两个交点，故C正确；

对于D,可得k=3,kAB=3.则AB：y=3x,

由双曲线方程可得a=1,b=3,则4B：y=3x为双曲线的渐近线，

・•・直线4B与双曲线没有交点，故。错误.

故选：C.

根据点差法分析可得心钎%=9,对于4B、C,通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D,结

合双曲线的渐近线分析判断.

本题考查直线与双曲线的位置关系，训练了点差法的应用，解题的关键是根据点差法得到%B4=9,然后

逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.

13.【答案】x-y+l=0

【解析】解：因为/'(X)=x+cosx,所以/''(X)=1—sinx,则f(0)=1,4(0)=1,

故/'(x)的图象在久=。处的切线方程为y=x+l=>x—y+l=0.

故答案为：x-y+1=0.

根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】⑴(3)(4)

【解析】解：(1)若m1a,n〃a,则m_Ln.此命题正确，因为n〃a,知在面内必存在一线与n平行，由m_La

知，此线与m垂直，故可得7nlzi；

(2)若mJLn,n//a,则mJ.a.此命题错误，因为mJLn,n〃a只能得出m与面内有些线垂直，不能得出它垂

直于面内任意一条直线，故不正确；

(3)若m_La,a//p,则ml/?.此命题正确，因为m_La,a//p,一条直线垂直于两平行平面中的一个，必

垂直于另一个；

(4)若mJLa,m1.0,贝Ua〃0.此命题正确，因为?n_La,ml/?,而垂直于同一直线的两个平面必平行故可

得结论；

综上(1)(3)(4)是正确命题

故答案为。)(3)(4)

由题意，(l)若mla,n//a,则m1n.此命题由线面垂直判断线线垂直，由性质判断即可

(2)若mln,n//a,则?n_La.此命题由线线垂直，线面平行判断线面垂直，由线面垂直的判定定理判断即

可；

(3)若m_La,a〃£，则m_L£.此命题由线面垂直与面面平行判断线面垂直，由线面垂直的条件判断即可：

(4)若mla,mLp,贝必〃住此命题由线面垂直判断面面平行，由面面平行的条件判断即可.

本题考查线线垂直，线面垂直，面面平行的判断，解题的关键是熟练掌握判断线线垂直，线面垂直，面面

平行的条件，作出正确判断，本题需要有着较好的空间感知能力，考查了推理判断的能力，空间想像能力.

15.【答案】TT

1

2

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数解析式的应用，利用五点对应法建立方程进行求解是解决本题的关键，是基础题.

根据条件先求出函数的周期和解析式，然后直接代入求a即可.

【解答】

解：由表格知,=,_噌=萼=用即7=兀,

即町=兀，得3=2,

0)

则/'(x)-sin(2x+w),

由五点对应法得2x"+勿=3+2kEZ),得3=尹2kMkGZ),

7T兀

"\(P\<2>"^=3

则/(x)=sin(2x+9,

则a=/(7)=sin(2xR•=sing+?)=cos?=

故答案为：n,p

16•【答案】肃

【解析】解:由题意,递增数列｛册｝满足。〃。7=15,a3+a8=8,

可得。4，。7是方程%2-8%+15=。的两根，且04V解得=3,a7=5,

设数列5｝的公差为d,可得d=合=|,

n—

所以数列｛a7J的通项公式为即=a4+(4)-d=3+(n—4)x|=驾

可得%=9即_1二==(2n-l)(2n+l)=2(2n-l-2n+l)'

又瓦=§=2(1-§)，

所以%=瓦+尻+…+%=5[(1_§)+(§―2+“・+(口-布)]=](1_丽)=诉

故答案为：舟

根据题意，求得。4=3,。7=5,设数列｛即｝的公差为d，得到d=|,求得数列的通项公式an=等，得

到%=—占一总r)，结合裂项法求和，即可求解・

n2v2n-l2n+r

本题考查数列的求和，考查裂项相消法求数列的前n项和，考查运算求解能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)因为XL/=30.5,所以1=婴=6.1,

又£=1+2+J4+5=3,t.r.=98.1,

迪15-5tr_98.1-5x3x6.1

所以力==0.66,

55-5x3

所以a=亍-=6.1-0.66x3=4.12'

故7•关于t的线性回归方程为；=0,66t+4.12；

(2)由(1)可知,当t=8时，r=0.66x8+4.12=9.4<10，

当t=9时，「=066x9+4.12=10.06>10，

故估计该零件使用8年后需要进行报废处理.

【解析】(1)根据题中所给的公式和数据进行求解即可；

(2)运用代入法进行求解判断即可.

本题主要考查了求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为2QCOSA•cosB+bcos2A=3c—b,

所以2acos/-cosB+b(l+cos2A)=V"^c，即2acos4•cosB+2bcos2A=

由正弦定理得，2sinAcosA-cosB4-2sinBcos2A=\T~3sinC»

所以2cosA(si?L4-cosB+sinBcosA)=V~~3smC»

所以2cos4•sin(A+8)=2cosAsinC=\T_3sinC»

因为CG(0,TT),所以sinCH0,所以cos/4=三-

因为4E(0,〃)，所以

(2)因为△ABC的面积为1,

所以gbcsin力=1,所以be=4,

由余弦定理知，Q2=^2+一2bccosA=b2+c2-4-/-3>2bc一4\Z-3=8-4，3(当b-c-2时，取

“=”),

所以Q>>J8—4A/-3=V-6—y[~2y

即Q的最小值是，石—y/~~2-

【解析】(1)结合三角恒等变换公式与正弦定理，化简己知等式，可得cos4=?，从而得解；

(2)先由三角形的面积公式求出儿=4,再利用余弦定理与基本不等式，即可得解.

本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角恒等变换公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴在直三棱柱力BC-&BC中，CG1平面ABC,BCu平面ABC,故Cg1BC,BCLAC,

又因为4CnCCi=C,AC,CGu平面ACC1七,

所以8cl平面ACCiA，又.u平面4CGA1，所以BC_LAG，

因为AB=4,AC=BC,所以4C=2，7.

AnQA

又D是的中点，AA1=4»所以应;二启^所以△4OC〜△C4ci，1CD,

因为BCnCD=C,BC,CDu平面BCD,所以“GJ"平面BCD；

22

(2)%-gp=拉4cm•BC=：X：X2X2y/~2X2c=1.ACr=VAC+CC=2<6,BCr=

yjBC2+eel=2V_6-

所以S-BQ="BJ型一'=4AT5>

设点。到平面ASG的距离为d,由/TBQ=%-“，得殍d犬，

解得d=

即点。到平面ASG的距离为亨.

【解析】(1)确定BCJ.4G，根据相似得到4CiLCD,得到线面垂直;

(2)计算/的。智，S-BQ="亏再根据等体积法计算得到距离.

本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了等体积法求点到平面的距离，属于中档题.

20.【答案】解:(1)不妨设4(4,打),8(出,外)，

联立联2。，消去尤并整理得y?-4py+2P=0,

由韦达定理得”+犯=4p,yAyB=2p,

2x

所以|4B|=V+(yA-yB)=yT5\yA-yB\=屋J(以+为/一4以独=4<T5,

即2P2—p-6=0,

因为p>0,

解得p=2；

(2)假设工轴上存在定点M(?n,0)使得拓？.丽=0,

联立1=。消去X并整理得y2-8y+4=0,

由韦达定理得力+为=8,yAyB-4,

易知-MB=(xA—m.y^)•(xB—m,yB)=0，

2

此时X/B-m(xA+xB)+m+yAyB=0,

BPm2-14m+5=0,

解得zn=7+2d，

故存在定点M(7+2d,0)或M(7-2/14,0).

【解析】(1)由题意，不妨设4(乙,%),8(冲,冲)，将直线方程与抛物线方程联立，再利用弦长公式可得答

案；

(2)假设%轴上存在定点将直线方程与抛物线方程联立，根据g.丽=0的坐标运算即可求解.

本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：(1)当。=6,6=4时，f(x)=ex+x2-x-4,

•••fix')=ex+2x—1,

f(0)=0

当x>0时，ex>1,

•••f'(x)>0,

故/'(x)是(0,+8)上的增函数，

同理/(X)是(-8,0)上的减函数，

12

/(-2)=e-2+2>0,/(-I)=e--4<0,/(0)=-3<0,/(I)=e-4<0,/(2)=e-2>0,

故当x>2时，/(x)>0,当x<-2时，/(x)>0,

故当x>0时，函数f(〉的零点在(1,2)内,

k=1满足条件.

同理，当x<0时，函数/'(X)的零点在(—2,-1)内，

k=-2满足条件，

综上k=1,-2.

(2)由已知f'(x)=axlna+2x-Ina=2x+(ax—l)lna,

①当x>0时，由a>1,可知a*—l>0,Ina>0,

•••/'(x)>0；

②当x<0时，由a>l,可知a*—1<0,Ina>0,

"(x)<0；

③当％=0时，/(x)=0,

在［-1,0］上递减，［0,1］上递增,

当xG时，=/(0)=1，f(x)max=max{/'(-l),/(l))

而/(I)—/(—I)=a---2Ina,

设g(t)=t—：—21nt(t>0),

g'(t)=1+N—-20(仅当t=1时取等号)，

•••g(t)在(0,+8)上单调递增，而g(l)