高考数学一轮复习题 第4节 基本不等式

高考数学一轮复习题

第4节基本不等式

激活思维

4

1.(必修5P102习题7改编)函数y=x+;(xWO)的值域是

(-8,-4]U[4,+°0)

,4n4[f4T

【解析】当x>0时，y=x+~^2\x--=4；当x<0时，y=x+~=~(-x)+

w-2相)卜4-4.

2.（必修5P99例1⑵改编）设x>0,y>0,且x+y=18,则犯的最大值为（C）

A.80B.77

C.81D.82

【解析】因为x>0,y>0,所以与2而，即刊《怜｝=81,当且仅当x=y=

9时,（班1ax=81.

2Q

3.（必修5P106复习题16改编）已知x>0,y>0且满足;+;=1,则x+y的最小值

xy

是18.

【解析】因为x>0,y>0,所以壮尸（\+处£+；）=2+8+乎+半刃0+2旧=

18,当且仅当，=个时等号成立.又：+：=1,所以当x=6,y=12时，x+y有最小

值18.

4.（必修5P102习题9改编）某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次

提价p%,第二次提价4%；方案乙：第一次提价q%,第二次提价p%；方案丙：第

一次提价中％,第二次提价审％.其中p>q>0,上述三种方案中提价最多的是

方案丙.

【解析】设原来价格为A,方案甲：经两次提价后价格为A［l+忐［1+羔=

11UU八IvU；

/1+小+—四」.方案乙.

10010000/〃采

经两次提价后价格为/1+忐1+击］方案丙：经两次提价后价格为

I1UU八1UU/

A1+需‘二4+/(?+；'坪,舄』因为4"＞血’所以方案丙提价最多.

5.(必修5P100A组习题2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩

形场地的最大面积是25

【解析】设矩形的一边长为xm,则另一边长为:X(20-2i)=(10—x)m,所以y

=X10-x)W%+“；%)2=25,当且仅当x=10-x,即x=5时，％州=25.

知识梳理

1.基本不等式：1拓wg电

(1)基本不等式成立的条件：〃＞0,.

⑵等号成立的条件：当且仅当金_时取等号.

2.几个重要的不等式

⑴/+♦»2ab,a,bGR；

⑵，+拄2,浦＞0；

当且仅当a=b时，等号成立.

(3)而W~~2,a,b^R；

k乙

代

(4)2I2J\a,R

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为q2几何平均数为我.基本不等式可叙

述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已如>0,y>0,则：

(1)如果积q是定值p,那么当且仅当_曰时,x+y有最小值是2心.(简记：

积定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当且时，个有最大值是?(简记：和

定积最大)

目篇H利用基本不等式求最值

11(1)已知00<1,求艰一3»的最大值及取得最大值时x的值.

【解答】因为0«<1,所以“(3—3x)=3x(Lx尽3壮尸J；,当且仅当x

=1一人即x=；时等号成立.所以当x=；时，x(3-3x)取最大值是;.

(2)设x,y为正实数，且x+2y=l,求的最小值.

xy

【解答】因为X,y为正实数，且x+2y=l,所以1+；=(1+2»6+；)=3+?+

：23+2、匡=3+2地，当且仅当、=啦y=也-1时取等号，所以的最小值

y\xyxy

为3+2隹

【精要点评】用基本不等式求最值时，关键在于将代数式变形为两项的和或积,

使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值.

I9

®⑴（2018・芜湖质检）已知加>0,n>0,2m+n=\,则篇+〃的最小值为（C）

A4&

9

C-D

2

s淅5

]212^2

【解析】因为川>0,心0,2优+八=1,则“+,=（2优+〃）[而+]z+-72_

+2\号,当且仅当局，户需时取等号，故选C.

n19

（2）（208太原期末）若。4（）,4，则》=和+麻的取值范围为（D）

A.[6,+8）B.[10,+°°）

C.[12,+8）D,[16,+8）

【解析】因为隹。9所以sin%,cos20e（O,l）,所以产焉+焉=

焉+导用。。加叶喘+鬻训+2橘翳⑹当且仅

,7z»

当喘=鬻即3时等号成立，所以广焉+焉的取值范围为U6,+町

日新臼基本不等式的综合应用

国历（1）已知函数y=x-4+，jtr〉-l）,当x=a时，y取得最小值b,则a

+。等于（C）

A.-3B.2

C.3D.8

999

【解析】广]一4+工=工+1+二一5,因为所以1+1〉0,-T7>

'x+1x+lx+1

0,所以由基本不等式，得y=x+l+*]-522AJ（X+1）*-5=1,当且仅当“

9

+1=F7，即x=2时取等号，所以〃=2,b=l,a+b=3.

x+l

（2）（2018・济宁期末）在正项等比数列｛%｝中,。2018=。2017+2。2016,若%时=16。［,

贝碎4+；1的最小值等于（B）

A.1B-2

C.(D4

【解析】设正项等比数列｛端的公比为q（q>0）,

由“2018=42017+2。2016，得『=g+2,解得夕=2或0=-1（舍去）.又因为的外

=164即/,2m"L2=16肩所以加+〃=6.

5+2-当且仅当加=4,

mn

〃=2时等号成立，故选B.

【精要点评】应用基本不等式求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等

式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.

玲2,

建⑴（2018・唐山一模）已知变量x,y满足约束条件3x-y2l,若2=袱+

y^x+\,

by（a>0,於0）的最小值为2,则而的最大值为（D）

1

A1-

2

B.

1D1

C-

4-6

【解析】作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示，瞄//尸3尸1

函数z=ax+勿（加>0">0）,故当为取最小值时,z取到最小值.即/

当x=2,y=3时，z=or+®取得最小值2,即加+36=2,所以

(2a+3b)2,,11

等

时号

n/=-力=-

2aSbW―7—=1,当且仅当2a=3b=l,T3

x=2x

成立,所以（6曲）侬=1,即（而）3=&o

(1)

（2）（2018•惠州三模）已知函数y=log〃（x+3）T（a>0,且aWl）的图象恒过定点A,

1?

若点A在直线磔+1=0上，其中八n均大于0,则盛+j的最小值为（C）

A.2B.4

C.8D.16

【解析】因为当尸一2时，y=log/-l=-l,

所以函数y=logXv+3）7（a>0,且aWl）的图象恒过定点（一2,T）,即4（一2,

-1).

因为点A在直线侬+/iy+1=0上，所以一2川一〃+1=0,即2加+〃=1.因为w>0,

“，，122加+”，4加+2〃n,4w、翟=8,当且仅当加

〃>0,所以3+7==+丁=2+盛+了+2冽+2；

时取等号.故选C.

本讲小

1.铺设应用基本不等式的条件：

（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且

每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值.

（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注

意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出

等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.

2,求函数y=；+砥a〉0,b〉0）的值域，主要依据基本不等式（两个正数的算术

平均数不小于它们的几何平均数）及函数的单调性：函数y=;+^>0,b〉0）在

A

-8,和J,+8上为增函数’在°和°，、目上为减函数，

一轮复习之不等式系列(四)

题目摘自金考卷——2021新高考一轮复习45

天

1o

已知%>0,y>0,且一+—=1,则xy+%+y的最小值

%y

为.

做完下拉看答案哦！

以下是答案和解析〜

答案：7+4V3

考点：

本题主要考察基本不等式.

——参考解析——

7+473【解析】本题考查基本不等式的性质.由题意，因为

17~

--+—=1,所以y+2%=到，所以xy+x+y-3%-t-2y=

xy

(3%+2y)(-^+y)=7+孑+攀分7+2j§§=7+

473,当且仅当红=包时取等号，即xy+x+y的最小值

xy

为7+46.

今天这道题目涉及了一个小技巧：乘1法(乘

一法)

乘1法是在用基本不等式解决题目偶尔会用到

的一个技巧，觉得大家有必要了解一下。

乘1法常用于已知一个代数式的值，求一个代

数式的最值问题。（一般还会告诉你每项都是正的）