2023-2024学年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高二年级上册开学考试数学试题

湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年

高二上学期开学考试数学试题

试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出K答案1后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的R答案』标

号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求)

1.已知集合〃={-2,—1,0,1,2},N={^X2-X-6>0},则MN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,l,2}C.{-2}D.{2}

1-i-

2.已知复数z=——r，贝ijz-z=()

2+2i

A.-iB.iC.OD.l

3.已知Q=log23,b=logj2,c=则()

3

\.a>h>cB.b>a>cC.c>h>aD.a>c>b

4.在四面体Q4BC中O4=Q,OB=b,OC=c点M在Q4上，且QM=2M4,N为BC

中点，则()

21,1

B.—aH—b-\—c

232322

C.L+4.L22,1

D.—a+—b——c

222332

5.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片

上的数字之积是5的倍数的概率为()

1231

A.-B.-C.一D.-

3555

6.已知向量”，b是平面a的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线/的一个方向向量,

则“c-a=O且是“/_La”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知tan。+工=-1皿，则风与°'2°)

I■3国n吒

135

A.B.C.3D.一

253

8.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判

断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,方差为2.8

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生

活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新

时代乡村振兴从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其

他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图

如图2所示，则下列说法正确的有（）

A.该平台女性主播占比的估计值为0.4

B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概

率为0.7

C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本

量按比例分配，则中年主播应抽取6名

D.从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为0.6

10.已知不同直线a,b,不同平面a,p,y,下列说法正确的是（）

A.若aua,bua,a//p,b///3,则

B.若a〃〃，a//a,bc^a,则力〃a

C.若aA.y,0工y,a0=a,则a-Ly

D.若a0=a,aLb,bu0,则a_L£

11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，。表示白色骰子朝上

的点数，用（a,。）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Q,事件A="关于x的方程

2x2—2（a+8）x+5（a+A）=O无实根"，事件8="a=4"，事件C="Z?<4"，事件。=

“必>20”则（）

A.A与3互斥B.A与。对立

C.B与C相互独立D.B与D相互独立

12.如图，棱长为6的正方体中，点M、N满足4M=九4。「

CN=〃C。，其中；I、4€（0,1）,点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

A.当4时，DM〃平面CgA

B.当〃=g时，若〃平面ANC一则困”的最大值为36

C.当％=〃=；时，若PM工D、N,则点尸的轨迹长度为12+6后

D.过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量a=（/n,2）,ZJ=（3,〃Z+5）,若a上b,则.

14.在三棱锥A—3CO中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M、N分别是A。、

BC的中点，则异面直线AN与CM所成角的余弦值为.

15.甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别是1，则密码被成

34

功破译的概率为.

16.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,3C=C0=D4=1,将△AC。沿AC折起，

连接BO,得到三棱锥。-ABC当三棱锥。-ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接

球的表面积为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图所示，在平行六面体A3CD-44GA中，以顶点A为端点

的三条棱长度都为2,且两两夹角为60。.

（1）求AC；的长；

（2）求8。与AC夹角的余弦值.

18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,满足

2acosB=/?cosC+ccosB

（1）求角8的大小;

(2)若BD=2DC,且C0=I,AZ)=2百，求△ABC的面积.

19.（本小题满分12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市

民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市

创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将

样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,［50,60），…,

［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

频率

(2)求样本成绩的第75百分位数;

(3)已知落在［50,60）的平均成绩是61,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为70,方差

是4,求两组成绩的总平均数z和总方差$2.

20.（本小题满分12分）如图，三棱柱43C-A4G中，侧面ACGA为矩形，ABLAC

且A8=AC=6,。为国储的中点，44,=耳。=10.

（1）证明：AG〃平面A5O；

（2）求直线BC与平面A8D的夹角的正弦值.

21.（本小题满分12分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运

会共设40个竞赛大项.其中首次增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新

型的赛制“双败赛制''赢得了许多赛事的青睐.

传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有

失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制

下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决寨，总决赛的胜者即为最终的冠军.

双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜

者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘

汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败

赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠

军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因

此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

136

双败赛制流程图

这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他

三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为;.最初分组时AB

同组，C。同级.

3

（1）若〃=—,在淘汰赛赛制下，A、。获得冠军的概率分别为多少？

4

（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用P表示），并据此简单分析一下双败赛制

下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

22.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-4与G中，底面是边长为2的等边三角形，

在菱形ACG4中，NACG=60°,CG=2,平面ACG4，平面ABC,D,£分别是

线段AC、CG的中点.

(1)求证：4CJ■平面BDE；

(2)若点尸为棱BQ的中点，求点尸到平面比＞£的距离；

(3)若点尸为线段与G上的动点(不包括端点)，求锐二面角尸-80-£的余弦值的取值

范围.

——★参考答案★——

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项符合

题目的要求)

l.C2.A3.D4.B5.A6.B7.B8.C

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

9.AC10.BC11.BCD12.ABC

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

c71「

13.—214.—15.-16.5%

82

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.解：记=AD=b,=c,

则同=|同=卜=2,=d-60°

ab=a-c=b-c=2.......2分

(1)|AC)|=(4+/?+C)=々2+//+J+2(Q./7+Q・C+/7・C)

=4+4+4+2x(2+2+2)=24.......4分

|AC)|=>/24=2>/6........5分

(2)•:BD\=b+c-a,AC=Q+/?,・・・忸〃卜20,1AC卜2道……7分

/.BD】・AC=++=Q・C—a?+//+〃.c=4........9分

・Inns\BD[•AC\/6八

・・cos(BD],AC)=IJ,—q-=——........10分

\/|幽6

18.解：(1)在△ABC中，因为24“0$5=儿0$。+。853,

由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB,

所以2sinAcos3=sin(3+C)=sinA,3分

1jr

'：A.3e(0,;r),则sinA>0,所以cos8=1,因此B=§.........6分

(2)-：BD^2DC,且CD=1,AD=20：.BD=2,BC=3,……7分

在△ABO中，由余弦定理有AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB,

即12=AB?+4—24Bx2cos工，即A8?—2AB-8=0,

3

'：AB>0,解得4B=4……10分

所以=-AB-BCsinB=-xl2x—=373....12分

△ABC2J22

19.解：(1)•..每组小矩形的面积之和为1,

•••(0.(X)5+0.010+0.020+0+0.025+0.010)x10=1,。=0.030.....2分

(2)成绩落在［40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)x1()=0.65,

落在［40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

设第75百分位数为m,由0.65+(租—80)x0.025=0.75,

得加=84,故第75百分位数为84；……6分

(3)由图可知，成绩在［50,60)的市民人数为100x0.1=10,

10x51+63x20

成绩在［60,70)的市民人数为l(X)x().2=2(),故三==599分

10+20

设成绩在［50,60)中10人的分数分别为玉，々，与，。：

成绩在［60,70)中20人的分数分别为X，%，%，，％0，

则由题意可得#+石+耳++吊_512=7,犬+)'；+:+++一632=4,

1020

二%：+尤;+x；++襦=26080,y：+y；+y；++£=79460,

片+考+*+一+■+'；+$+及++工。)一二

=^(26080+79460)-592=37

12分

20.(1)证明：连接AB1与48交于点0,连接

•••ABC—AqG为三棱柱，，为平行四边形,

点。为A片的中点又：。为4G的中点，则A£〃。。，

又•••ODu平面A］。，4。12平面48。，，471〃平面48。....4分

(2)解：VC41AB,CALAA^,AB然=A,C4J•平面,

22

•；AB,u平面ABB,At,ACA±AB,,：.AB,=1CB；-AC。=710-6=8

,/AB=6,AB,=8,BB[=10,AB2+AB-=BB；,即AB_L做……6分

以A为坐标原点，AB.A与、AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

4(0,0,0),A(-6,8,0),5(6,0,0),C(0,0,6),4(0,8,0),q(-6,8,6),£>(-3,8,3)

46=(2,_&0),4。=(3,0,3),5C=(-6,0,6)..........8分

AB-n=0f3x—2y=0

设平面AQO的法向量为〃=(x,y,z),则《、，即《，

A»〃=。[x+z=0

令尤=2,y=3,z=—2=(2,3,—2)......10分

设直线BC与平面4BO的夹角为氏

」〃，叫_24_2734

sin0=

|H|-|Z?C|-V17-6V2--17

二直线8c与平面AR。的夹角的正弦值为差工...12分

21.解：(1)记A,。拿到冠军分别为事件M,N,淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即

339

可拿到冠军，因此.....2分

对于。想拿到冠军，首先得战胜。，然后战胜A,8中的胜者，

……八1311115八

因此P(N)=—x—x—+—x—x—=—....5分

—24424232

(2)记两种赛制下A获得冠军的概率分别为p2,则P1=p2….…6分

而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：

①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军.

，P2=P'+P(1-P)P2+(1-P)P3=P'(3-2P),……8分

P1=〃(〃T)2(2〃+1)>0

则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p……10分

而，2一〃1=〃2(1一〃)(2〃_1)若〃>；，则〃2>Pl，若〃<g，则〃2<Pl

综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有

利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平''的质疑是不对的.……12分

22.(1)证明：连接AC；,因为△ABC为等边三角形，。为AC中点，...BO_LAC,

又平面ACG4，平面ABC,平面ACC|A平面ABC=AC,BOu平面ABC,

比)，平面A41G。，又ACu平面441GC,.'BOLAC,……2分

由题设知四边形441c。为菱形，J_AC-

•：D,£分别为AC,CG中点，IDE〃AC-；.A1cLDE,

又.BDDE=D,BD,。石匚平面8。£,，4。，平面8。£……4分

(2)解：由题设知四边形AAGC为菱形，且NACC|=60。，△