2021中考数学压轴题专项训练有答案解析

2021中考数学压轴题专项训练有答案解

析:2021中考数学压轴题

20XX中考压轴题专项训练训练目标

1.熟悉题型结构，辨识

题目类型，调用解题方法；

2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。

题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧

重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及

对数学模型和套路的调用整合能力。

考查要点常考类型举例题型特征解题方法问题背景

研究求坐标或函数解析式，求角度或线段长已知点坐标、解

析式或几何图形的部分信息

研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。

模型套路调用求面积、周长的函数关系式，并求最值

速度已知，所求关系式和运动时间相关①分段：动点转折

分段、图形碰撞分段；

②利用动点路程表达线段长；

③设计方案表达关系式。

坐标系下，所求关系式和坐标相关①利用坐标及横平竖直

线段长；

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②分类：根据线段表达不同分类；

③设计方案表达面积或周长。

求线段和（差）的最值有定点（线）、不变量或不变关系

利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线

段最短、三角形三边关系等。

套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满足某种关

系，如满足面积比为9:10①抓定量，找特征；

②确定分类；.

③根据几何特征或函数特征建等式。

图形的存在性特殊三角形、特殊四边形的存在性

①分析动点、定点或不变关系（如平行）；

②根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或

函数特征建等式。

三角形相似、全等的存在性

①找定点，分析目标三角形边角关系；

②根据判定、对应关系确定分类；

③根据几何特征建等式求解。

答题规范动作

1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。

2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。

作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；

同时方便修改。

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3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。

23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：

几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明

过程；

面积问题，要突出面积表达的方案和结论；

几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；

存在性问题，要明确分类，突出总结。

4.20分钟内完成。

实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，

对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所

列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真

题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考

考场时，不仅

题目会做，而且能高效拿分。课程名称：

中考数学难点突破之动点

1、图形运动产生的面积问题

2、存在性问题

3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面

积问题、二次函数中的存在性问题）

3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综

合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综

合训练）

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一、图形运动产生的面积问题

一、知识点睛

1.研究—基本—图形

2.分析运动状态：

①由起点、终点确定t的范围；

②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态

转折点相交时的特殊位置.

3.分段画图，选择适当方法表达面积.

二、精讲精练

1.已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线

段MN在4ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运

动(运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止)，过点

M、N分别作边的垂线，与AABC的其他边交于P、Q两点，线段MN

运动的时间为秒.

(1)线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为

矩形？并求出该矩形的面积.

(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S,运

动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关

系式，并写出自变量t的取值范围.

1题图

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线11：y=x与直

线12：y=-x+6相交于点M,直线12与x轴相交于点N.

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(1)求M,N的坐标.

(2)已知矩形ABCD中，AB=1,BC=2,边AB在x轴上，矩形

ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形

ABCD与△OMN重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点

。重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束).求S与自变

量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围.

3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就

叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比.面

积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的

若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

(1)若。是AABC的重心(如图1),连结A0并延长交BC

于D,证明：；

(2)若AD是AABC的一条中线(如图2),。是AD上一点，

且满足，试判断。是AABC的重心吗？如果是，请证明；如果不

是，请说明理由；

(3)若。是AABC的重心，过。的一条直线分别与AB、AC相

交于G、H(均不与AABC的顶点重合)(如图3),S四边形

BCHG.S4AGH分别表示四边形BCHG和AAGH的面积，试探究的最

大值。

解：(1)证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点

E,...点。是AABC的重心，「.CE是中线，点E是AB的中

点。

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，DE是中位线。，DE〃AC,且DE=AC。

VDE^AC,?.AAOC^ADOEo

••o

,/AD=AO+OD,Ao

(2)答：点。是AABC的重心。证明如下：

如答图2,作AABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q

为4ABC的重心。

由(1)可知，，而，..•点Q与点。重合(是同一个

点)。

二.点。是4ABC的重心。

(3)如答图3所示，连接DG.

设S^GOD=S,由(1)知，即OA=2OD,.\SAA0G=2S,

SAAGD=SAGOD+SAAG0=3S。

为简便起见，不妨设AG=1,BG=x,则SABGD=3xS.

?.SAABD=SAAGD+SABGD=3S+3xS=(3x+3)So

.\SAABC=2SAABD=(6X+6)SO

设0H=kOG,由S^AGO=2S,得S^AOH=2kS,

SAAGH=SAAGO+SAA0H=(2k+2)So

.\S四边形BCHG=SaABC-S^AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=

(6x-2k+4)So

...①。

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如答图3,过点。作OF〃BC交AC于点F,过点G作GE〃BC

交AC于点E,则OF〃GE。

'SOF//BC,：.o.\OF=CD=BCo

•「GE〃BC,?.o?.o

・・，••o

V0F/7GE,.,…「.，即。

「.，代入①式得：

o

...当x二时，有最大值，最大值为。

(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOCS^DOE,可以证

明结论。

(2)如答图2,作AABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q

为AABC的重心.由(1)可知，，而已知，故点。与点Q重合，

即点0为4ABC的重心。

(3)如答图3,利用图形的面积关系，以及相似线段间的比

例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性

质求出其最大值。二、二次函数中的存在性问题

一、知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①画图分析.研究确定图形，先画图解决其中一种情形.

②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比

第一种情形求解.

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③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍.

二、精讲精练

1.如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分

上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴

于A、B两点.

若以AB为直角边的4PAB与AOAB相似，请求出所有符合条

的点P的坐标.

2.抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于

点C.点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q,连接BQ.

(1)若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点

与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直

线BQ的函数解析式；

(2)若含30。角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角

顶点D在直线BQ上(点D不与点Q重合)，另一个顶点E在PQ

上，求点P的坐标.

3.如图，矩形OBCD的边0D、0B分别在x轴正半轴和y轴负

半轴上，且0D=10,

0B=8,将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x

轴上的点A重合.

(1)若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：

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(2)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN，x

轴于点N.是否存在点M,使AAMN

与4ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理

由.

三、二次函数与几何综合

一、知识点睛

“二次函数与几何综合”思考流程：

关键点坐标几何特征转线段长

几何图形函数表达式整合信息时，下面两点可为我们

提供便利：

①研究函数表达式.二次函数关注四点一线，一次函数关注

k、b；

②)关键点坐标转线段长.找特殊图形、特殊位置关系，寻求

边和角度信息.

二、精讲精练

1.

如图，抛，物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过AABC的三个顶点，

已知我〃*轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大？若

存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.

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如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b(a〉0)与x轴交于A、B两

点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1,0),与y轴的负半

轴交于点C,顶点为D.连接AC、CD,ZACD=90°.(1)求抛

物线的解析式；

(2)点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以

B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.

3.

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，

点A在x轴上，点B的横坐标为-8.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重

合)，过点P作x轴的垂线，垂足为C,交直线AB于点D,作

PELAB于点E.设4PDE的周长为1,点P的横坐标为x,求1关

于x的函数关系式，并求出1的最大值.

窗体底端

4.如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物

线于A、B两点.(1)若直线的解析式为，求A、B两点的坐

标；

(2)①若点P的坐标为(一2,),当PA=AB时，请直接写

出点A的坐标；

②试证明：对于直线上任意给定的一点P,在抛物线上都能找

到点A,使得PA=AB成立.

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(3)设直线交轴于点C,若AAOB的外心在边AB上，且

ZBPC=ZOCP,求点P的坐标.

5.如图1,抛物线y=nx2—llnx+24n(n<0)与x轴交于

B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点A在第一象

限内，且NBAC=90°.(1)填空：点B的坐标为(一

)，点C的坐标为(一)；

(2)连接0A,若△OAC为等腰三角形.

①求此时抛物线的解析式；

②如图2,将△OAC沿x轴翻折后得△(©(：,点M为①中所求

的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m,过

动点M作垂直于x轴的直线1与CD交于点N,试探究：当m为何

值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值.

COAyxBCOAyxDBMNl图1

图

2

附：参考答案

一、图形运动产生的面积问题

1.(1)当t=时，四边形MNQP恰为矩形.此时，该矩形的面

积为平方厘米.

(2)

当0<tWl时，；当l<tW2时，；

当2Vt<3时，

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2.(1)M(4,2)

N(6,0)(2)当OWtWl时，；

当l<tW4时，；

当4<t<5时，；

当5<t<6时，；

当6<tW7时，3.解：(1)证明：如图1,连结CO并延

长交AB于点P,连结PD。

...点。是AABC的重心，「.P是AB的中点，D是BC的中

点，PD是AABC的中位线，AC=2PD,AC//PD,

ZDPO=ZACO,ZPDO=ZCAO,AOPD^ACA,二

(2)点。是是AABC的重心。

证明：如图2,作AABC的中线CP,与AB边交于点P,与

△ABC的另一条中线AD交于点Q,则点Q是AABC的重心，根据

(1)中的证明可知，而，点Q与点。重合(是同一个点)，

所以点0是4ABC的重心；

(3)如图3,连结C0交AB于F,连结B0交AC于E,过点0

分别作AB、AC的平行线0M、ON,分别

与AC、AB交于点M、N,

♦.•点。是AABC的重心,

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,/在4ABE中,OM//AB,

,OM二

AB,在AACF中，ON//AC,=

,ON二

AC,在△AGH中，OM//AH,二

,在AACH中，ON//AH,=

,/.+=

+=1,+=1,+=

3,令=

m,二

n,m=3-n,"/=

-1=

mn-l=(3-n)n-l=

-n2+3n-l=

-(n-)2+,.•.当二

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n

,GH〃BC时，有最大值。

附：或的另外两种证明方法的作图。

方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF,分别交直线

GH于点E、Fo

方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别

为E、F、N、Mo

二、二次函数中的存在性问题

1.解：由题意，设0A=m,则0B=2m；当NBAP=90。时，

ABAP^AAOB或△BAPS/\B0A；

①若△BAPs^AOB,如图1,可知△PMAs^AOB,相似比

为2：1；则Pl(5m,2m),代入，可知，②若

△BAPsABOA,如图2,可知△PMAs^AOB,相似比为1：2；

则P2(2m,),代入，可知，当NABP=90。时，

△ABP^AAOB或△ABPs/iBOA；

③若△ABPs^AOB,如图3,可知△PMBsABOA,相似比

为2：1；则P3(4m,4m),代入，可知，④若

AABP^ABOA,如图4,可知△PMBsABOA,相似比为1：2；

则P4(m,),代入，可知，

2.解：(1)由抛物线解析式可得B点坐标(1,3).

要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ

长度.

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过点D作DG±x轴于点G,过点D作DF±QP于点F.

则可证ADCG会ADEF.则DG=DF,矩形DGQF为正方形.

则NDQG=45°,则ABCQ为等腰直角三角形.，CQ=BC=3,此

时,Q点坐标为(4,0)

可得BQ解析式为y=-x+4.

(2)要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相

同来求点P坐标即可.

而

题目当中没有说明NDCE=30°还是NDCE=60°,所以分两种

情况来讨论.

①当NDCE=30°时，a)过点D作DHLx轴于点H,过点D

作DK_LQP于点K.

则可证ADCHsADEK.则，在矩形DHQK中，DK=HQ,则.

在Rt^DHQ中，NDQC=60°.贝1在R3BCQ中,.\CQ=,此

时，Q点坐标为(1+,0)

则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.1.P(1+,).

b)又P、Q为动点，，可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形

关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为(1—,)

②当NDCE=60°时，a)过点D作DMLx轴于点M,过点D

作DNLQP于点N.

则可证ADCMsADEN.贝L在矩形DMQN中，DN=MQ,则.

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在RtADMQ中，ZDQM=30°.则在RtABCQ中，，CQ=BC;，

此时，Q点坐标为(1+,0),则P点横坐标为1+.代入可得纵坐

标.，P(1+,).

b)又P、Q为动点，，可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形

关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为(1—,)

综上所述，P点坐标为(1+,),(1—,),(1+,)或(1

一,).

3.解：(1)VAB=BC=10,0B=8

.•.在RSOAB中，0A=6A(6,0)

将A(6,0),B(0,-8)代入抛物线表达式，得，

(2)存在:

如果AAMN与4ACD相似，则或设M(00,.\a=l，抛物线

的解析式为：

(2)当AB为平行四边形的边时，则BA〃EF,并且EF=

BA=4由于对称轴为直线x=l,...点E的横坐标为1,...点F

的横坐标为5或者3将x=5代入得y=12,「.F(5,12),将

x=-3代入得y=12,?.F(-3,12).

当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D,.\F(1,

4).

综上所述，点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,

4).

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3、解：(1)对于，当y=0,x=2；当x=8时，y=.

，A点坐标为(2,0),B点坐标为

由抛物线经过A、B两点，得解得

(2)设直线与y轴交于点M当x=0时，y=./.OM=.

•.•点A的坐标为(2,0),：.OA=2,.\AM=

.\OM：OA：AM=3：4：5.

由题意得，ZPDE=Z0MA,ZA0M=ZPED=90°,：.AAOM

sAPED.「.DE：PE：PD=3：4：5'.•点P是直线AB上方的抛物线上

一动点，

，PD二

/.由题意知：

4.⑴A(,),B(1,1)；(2)①Al(-1,1),A2

(-3,9)；②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂

线，垂足分别为G、H.设P(,),A(,),由PA=PB可证得

APAG^ABAH,即得AG=AH,PG=BH,则B(,),将点B坐标

代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断；(3)

(,).

试题分析：(1)由题意联立方程组

即可求得A、B两点的坐标；

(2)①根据函数图象上的点的坐标的特征结合PA=AB即可

求得A点的坐标；

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②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分

别为G、H.设P(,),A(,),由PA=PB可证得

△PAG之△BAH,即得AG=AH,PG=BH,则B(,),将点B坐标

代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断；

(3)设直线：交y轴于D,设A(,),B(,).过A、B

两点分别作AG、BH垂直轴于G、H,由AAOB的外心在AB上可得

NA0B=90。，由△AGOS^OHB,得，则，联立得，依题意得、是

方程的两根，即可求得b的值，设P(,),过点P作PQL轴于

Q,在Rt^PDQ中，根据勾股定理列方程求解即可.

(1)依题意，得解得，

二.A(,),B(1,1)；

(2)①A1(-1,1),A2(-3,9)；

②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分

别为G、H.

设P(,),A(,),VPA=PB,?.APAG^ABAH,

，AG=AH,PG=BH,.\B(,),