2023-2024学年天津市高一年级下册调研数学试题

2023-2024学年天津市高一下册3月学情调研数学试题

第I卷(本卷共一道大题，共30分)

一、选择题(每题3分，共30分.)

1.在中，(),(),CB-

A.(3,7)B.(3,5)C.(u)D.(1,-1)

【正确答案】C

【详解】CB^CA+AB^AB-AC=⑵4)-(1,3)=(1,1).

故选：C.

2.已知”8。的三个内角48,。的对边分别为。也。，若4=75°,8=60°,。=10,则6=

()

A.5百B.576C.1073D.1076

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在AASC中，4+8+0=180，所以得：C=45°，

cb10b

由正弦定理可得：--即------=-----

sinCsin5sin45sin60

,1010r[7

2b=------xsin60=—r=^x——=5<6

所以sin45°V22，

V

故选：B.

3.已知“BC的三个内角A,B,C的对边分别为明b,C,且。=2c,

sin224+sin2C-sin74sinC-sin25=0，则C=()

【正确答案】A

【分析】利用正弦定理的边角互化可得/=/+62一a。，再利用余弦定理即可求解.

【详解】由si/Z+sin?。一sinZsinC-sin24=0，^b2=a2+c2-ac-

222

又Q=2c,所以〃=4c+c-2c=3c2,

从而cose

/、l"ab，、出4V3c22

因为Ce（O,乃），所以C=生TT.

6

故选：A

4.如图所示，P、Q是4ABC的边BC上的两点，且丽=反，则化简方+AC-AP-^4Q

的结果为（）

B.BP

C.PQD.PC

【正确答案】A

【分析】直接利用平面向量运算的三角形法则以及相反向量的定义求解即可.

【详解】因为丽=玄，所以而+区=0，

所以在+衣-"一恋=万一/+（/-而）=而+了=0，故选A.

本题主要考查平面向量的运算法则以及相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用,

属于基础题.

5.如图，在“3C中，AD^^AC,丽=；而，若万=4方+M就，则2+〃的值

为（)

C

AB

4824

A.-B.-C.—D.一

9933

【正确答案】B

【分析】求出万=，刀+［就，得/号,尸,，即得解.

-----------------------1----------1----------?-----12-----

【详解】AP=AB+BP=AB+—BD=AB+-（AD—AB）=—AB+-X-AC

2uuir2uuur

=-AB+-AC

39

uuuum-

因为/尸=445+〃AC，

22

所以2=”=$

则2+〃=g+£=*.

故选：B

6.已知同=2,问=3,M与很的夹角为135。，则2在$方向上的投影向量为（）

A_rRr04#-

A..—b13.—bc.---------bD.

335

475-

------b

5

【正确答案】A

【分析】利用投影向量的定义即可求解.

【详解】解：因为同=2,阿=3,5与3的夹角为135。，

所以G在B方向上的投影为向90$135"=2*[-彳]=一/5,

所以之在B方向上的投影向量为一也B，

3

故选：A.

7.已知等边ABC的边长为1,则靛.&+&.几+病诙=()

33

A.3B.-3C.—D.--

22

【正确答案】D

【分析】

利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系.

【详解】解：因为三角形Z8C是等边三角形，边长为1,各内角为60。，

——>—>—>—»3

所以BC>CA+CA>AB+AB・BC=3xlxlxcosl20°=--.

2

故选：D.

本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互

补.

2

8.已知复数2=—

1+i

①在复平面内z对应点的坐标为(1,-1)：

②复数的虚部为-i；

③复数的共轨复数为i-l；

④|z|=V2；

2

⑤复数z是方程X-2X+2=0在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】利用复数除法运算求得z=l-i,根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正

误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共施复数可以判断③的正误，根据复数模的

概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.

22(1T)

【详解】因为z=1-i,

T+i(l+i)(l-i)

所以在复平面内z对应点的坐标为(1,-1),所以①正确;

复数Z的虚部为T,所以②错误；

复数z的共物复数为1+i,所以③错误；

|z|=J12+(T)2=&,所以④正确；

方程/一2》+2=0在复数范围内的根为心目二8=i±i，

2

所以复数z是方程x2_2x+2=0在复数范围内的一个根，所以⑤正确；

所以正确的命题个数为3个，

故选：C.

9.在中，sinZ=9^一四幺，则-8C的形状是()

cosB+cosC

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或

直角三角形

【正确答案】B

【分析】将sinC=sin(4+8),sinB=sin(Z+C)分别代入

sin^4(cos5+cosC)=sin3+sinC中，整理可得cosZ(sinC+sin3)=0，即可得到

TT

4=一,进而得到结论

2

【详解】由题可得sinA(cosB+cosC)=sin5+sinC,即

sinAcos8+sin4cosC=sinB+sinC

在\ABC中,sinC=sin(4+8),sin8=sin(4+C)

sin4cos8+sin4cosc=sin(4+C)+sin(4+3),

即sinAcos5+sin4cosC=sin/cosC+cos4sinC+sinAcosB+cosAsinB

cos/sinC+cosZsin3=0

cosA(sinC+sin5)=0

又QsinC>0,sin5>0

/.cosA=0

dBC是直角三角形,

故选B

本题考查三角形形状的判定，考查和角公式，考查已知三角函数值求角

10.在菱形48CD中，448C=120。，AC=2y/3>BM+-CB=0,女=入加，若

AM-AN=29'则4=()

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

【正确答案】D

【分析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设N(x,y),得到"是8c的中点,

N(冬再根据莉•忌

根据已知求出即得解.

=29

作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设N(x,y),因为

AC=273,NABC=120",BO=1,

T1-TT1f

因为B"+—C3=0,所以8M=-8C,即〃是6C的中点，

22

J71

所以A($0),”(芋/。(0,T),。(戊0),

所以应=(|母)成=他1)=俪=〃“+1),由题知巾。.

故NJ,——l）,.-,NATZN=己+4=29,；.%=—.

AAA5

故选：D

第n卷（本卷共二道大题，共70分）

二、填空题（每题3分，共18分.）

11.复数Z=f的值为

3-21---------

【正确答案】2—i##—i+2

【分析】利用复数的除法计算得解.

4-7i(4-7i)(3+2i)12+8i-21i+1426-13i..

【详解】解.Z=.=M扁--------------=-------=2-1

1313

故2—i

12.已知向量Z=(l,2),B=(O,_2),"=(_l,/l),若(213)He,则实数2=

【正确答案】-3

【分析】

由向量平行的坐标表示计算.

【详解】由题意立一加=（2,6）,X（2a-d）He,.-.22-(-6)=0,解得；1=—3.

故一3.

13.若i为虚数单位，且。=劲，则a2。22+/。23+[

1-1

【正确答案】-i

【分析】利用复数的运算求解。的值，利用虚数单位i的性质，求解/。22与/023的值即可.

【详解】因为牛=上^=(I：/"―7=则=/=i,(〃£N*),

1-i+

Q2==QI。=...=Q4〃+2__£N*),

故Q2022+Q2023+I=—1一i+i=—i.

故答案为.-i

14.若向量Z=（6,-8）,则与Z平行的单位向量是

【正确答案】（|,圄或卜|高

【分析】根据向量£的坐标，可得问=io,计算士m即可得出与£平行的单位向量的坐标―

【详解】因为2=（6,-8），所以：=#2+（_8）2=]0,

则与£平行的单位向量的坐标是:

r

15.给出下列四个命题,

①非零向量见否满足|a|=|51=|q-坂|,则Q与a+区的夹角是30°;

②若（而+%）•（方—就）=0,则/8C为等腰三角形：

③若单位向量£出的夹角为120°，则当|2Z+xB|（xeR）取最小值时，x=l：

④若厉=（3,—4）,砺=（6,-3）,灰=（5-加,一3-〃?），NNBC为锐角，则实数〃，的取值

范围是加＞一己3.

4

则其中所有正确的序号为.

【正确答案】①②③

【分析】利用向量加法法则计算判断①；利用向量数量积运算律计算判断②：利用向量模及

数量积运算计算判断③；利用向量夹角为锐角求出加范围判断④作答.

【详解】对于①，如图，赤=7,近=3,5=7-B,点。是线段尸。的中点，砺=a+b

2

Q

D

因目司=|£—h，则AA/P。是正三角形，ZPMD=30".即标，而夹角为30°，所以

Z与Z+B的夹角是30°，①正确；

对于②，在“8C中，由（前+就）•（刘—就）=0得而2=万2,即1万目刀

ABC为等腰三角形，②正确；

--1

对于③，a-6=lxlxcosl20°=——,

2

\2a-^-xh|=y]4a~+x*+4XQ•坂=y/x2-2x+4=yj（x-l）2+3，

当且仅当x=l时，|2：+4|取得最小值，③正确；

-.......ULKuum________

对于④，氏4=（一3,-1）,8。=（一加一1,一加），因力力3c为锐角，则氏4.8。＞0且胡与5c

不共线，

UULUUU3__,___

由H得3（加+1）+〃2〉°，解得〃？＞一^，当血与胫共线时，加+1=3加，解

但1

得7M=一，

2

31

所以实数"？的取值范围是机〉—且加K—,④不正确.

42

故①②③

结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0,并且它们不共线；

两个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0,并且它们不共线.

16.正方形力88的边长为4，。是正方形48C。的中心，过中心O的直线/与边Z8交

于点M,与边C。交于点N,尸为平面内一点，且满足2丽=4赤+（1—2）0心，则

PM-PN的最小值为.

【正确答案】-7

【分析】

建立坐标系，根据2而=%历+(1-2)反求出点P的坐标，设出A/,N的坐标分别为

(-。,2),将.两，部转化为关于九的函数，即可得其最小值.

以过。且垂直于48的直线为y轴,

建立坐标系，则8(2,—2),C(2,2),

所以2万=4历+(1—2)历=4(2,—2)+(1—4)(2,2)=(2,2-42),

所以方=(1,1—22),即P点坐标为(1,1—24),

设M(a,-2),则N(—a,2),-2<a<2,

所以两=(a—1,2%一3),丽=(—4—1,22+1),

所以而•丽=.—1乂一a—1)+(24—3)(22+1)=1—a2+4万—44—3,

_41___,_

当。=±2且4=-----=一时，尸加.PN有最小值为-7,

2x42

故-7

关键点点睛：本题的关键点是以O为坐标原点，以过。且平行于*3的直线为x轴建立坐标

系，则8(2,—2),C(2,2),利用2而=/1万+3求出点尸的坐标，设出M,N的

22

坐标分别为(a,-2),(-a,2),PM.PN=l-a+4A-4A-3>利用二次函数的性质可

求最小值.

三、解答题(共52分)

17.平面内给定三个向量2=(3,2),*=(-1,2),e=(4,l).

(1)求cos卜用

(2)求|2々_司；

(3)若0+无)_1.(2石一£),求实数%

【正确答案】(1)叵

65

（2）V53

【分析】(1)根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；

(2)根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；

(3)根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.

【小问1详解】

解：因为£=(3,2),A=(-1,2),

22

所以>3=3x(—l)+2x2=l,问=打+22=岳，|^|=^(-1)+2=>/5.

【小问2详解】

解：因为2=(3,2),5=(-1,2),所以垢―石=2(3,2)-(一1,2)=(7,2),

所以|22一］|=j7?+22=氐;

【小问3详解】

解：因为c=(4,l),〃+左c=(4左+3,左+2),2h-a=(-5,2),

又(4+kc)±(2b-a),

所以(4A+3)x(—5)+仕+2)x2=0,解得左=—LL.

18

18.己知向量£与B的夹角为"会且同=3,欠=2行.

(1)求75,|z+M；

（2）若左£+2区与3Z+4B共线，求上

【正确答案】（1）-6,y/5

3

⑵k=±

2

【分析】（1）利用向量数量积的定义和模的计算公式直接求解.

（2）利用共线向量定理表示出向量之间的关系，再列方程求解.

【小问1详解】

a-b-|a||ft|cos^a,^=3x2^=-6,

+h^=ya'+2a-b+b~=J9-12+8=y/5■

【小问2详解】

若波1+2?与31+45共线，则存在几，使得：+25=2（3—+4及

111

即（A-3/l）a+（2-44）b=0，

7:-3/1=03

又因为向量Z与否不共线，所以<，所以七.

2—44=0

2

22

19.已知复平面内的点4,8对应的复数分别为％=加-加，z2=2m-1+^m-2）i

（〃?eR）,设方对应的复数为z.

（1）当实数机取何值时，复数z是纯虚数；

（2）若复数Z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数"7的取值范围.

【正确答案】（1）m=--；（2）-2</??<--.

22

【分析】（1）求出z=Z2-Z1,Z是纯虚数，虚部不为0,实部为0,即可求解;

（2）根据z的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.

【详解】点A,8对应的复数分别为21=加一〃”/2=2加2-1+（相2-2卜，

彳*对应的复数为Z,...Z=Z2-4=2m2一加一1+(加24-777-2)/,

2m23-m-1=0

（1）复数Z是纯虚数，.•・〈

加2+加一2w0

m=—•-或加=1

解得《2

mw—2且〃？w1

1

771=--;

2

（2）复数z在复平面上对应的点坐标为（2加2一加一1,苏+加一2）,

2m2-m-l>0

位于第四象限,即\2/

m2+m-2<0

-2<m<\

—2<<—.

2

本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.

20.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3（4一。）2=3〃-2ac

（1）求COS3的值；

TT

（2）若5a=36,求sin（2/+一）的值.

6

【正确答案】（1）7：（2）-+3

310

【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）利用正弦定理求得sin4=正，结合角A的范围可得cos/=±叵，再由二倍角的正

55

余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.

【详解】（1）在△ZBC中，由3（。—c）2=3/-2ac,整理得亡心心1=2,

lac3

2

又由余弦定理，可得cos6二一；

3

(2)由(1)可得sinS=Y5,又由正弦定理一L=一竺

3sinAsinB

及已知5a=36,可得sin/=2当2=3、好=立；

b535

,3

可得cos2N=l-2siir/=《，由己知5a=3b,可得a<b,故有力<8，

为锐角，故由sin/=好，可得cosZ=Rl,从而有sin2/=2sinZcos/=3,

555

4V33146+3

sin2A+—|=sin2/cos—+cos2/sin—=—X---F—X—：

I6)66525210

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化

边”.

21.在AASC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2cosc(acos8+bcosZ)=c.

(1)求角C；

(2)若cosZ=X6,求cos(2〃+C)的值；

4

(3)若°=近,八46。的面积为手，求“8C的周长.

JT

【正确答案】(1)-

3

(2)士3心

8

(3)5+用

【分析】(1)结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可;

(2)由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；

(3)由余弦定理及面积公式化简求得即可求得周长.

【小问1详解】

由正弦定理得，2cosC(sin4cos8+sin8cos4)=2coscsin(4+B)=sinC,即

2coscsin(兀-C)=2cosCsinC=sinC,

]7T

C£（0,兀），:・sinCw0,；・cosC——,C——；

【小问2详解】

4、ci（0,71）、

sinC=立，sin力=巫，sin24=2sin力cos4=巫，cos2A=cos2A-sm2A=--

2444

cos（2Z+C）=cos2ZcosC—sin2/sinC=—姮=

'/42428

【小问3详解】

由余弦定理得02=a2+b2-2R）cosCD7=/+/-"，由面积公式得

—absinC=-----Dab=6，

22

则（。+力）2=力+/―。力+3ab=7+3'6=25Da+b=5,，ABC的周长为

Q+Z?+C=5+V7・

n

22.在三角形48。中，AB=2,AC=1,/ACB=一,。是线段BC上一点，且

2

BD=-DC,尸为线段48上一点.

2

（1）若力Z）=x48+y/C,求x—y的值;

（2）求斤.成的取值范围；

（3）若尸为线段43的中点，直线CF与/。相交于点“，求而•次.

【正确答案】（1）-

3

(2)—3,—

16

4

(3)-

5

21

【分析】（1）将通化成就和方后，与已知条件比较得x==由此即可求出结

果；

（2）