九年级上学期期末【易错60题练习】九年级数学上学期期中期末知识点串讲（人教版）（解析版）

九年级上学期期末【易错60题考点专练】

一.选择题（共15小题）

1.（2021秋•乐清市期末）下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.”是实数，则IaBO

B.一匹马奔跑的速度是每秒100米

C.任意一个三角形都有外接圆

D.抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6

【分析】根据绝对值的非负性，三角形的外接圆与外心，随机事件，必然事件，不可能事

件的特点逐一判断即可解答.

【解答】解：A、”是实数，则同）0,是必然事件，故A不符合题意；

B、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件，故B符合题意；

C、任意一个三角形都有外接圆，是必然事件，故C不符合题意：

。、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6,是随机事件，故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了绝对值的非负性，三角形的外接圆与外心，随机事件，熟练掌握随机

事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键.

2.（2021秋•泸西县期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（）

A.心想事成B.旭日东升C.水滴石穿D.水中捞月

【分析】根据事件发生的可能性分别对每一项进行判断，即可得出答案.

【解答】解：A、心想事成是随机事件，故本选项符合题意；

B、旭日东升是必然事件，故本选项不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，故本选项不符合题意；

。、水中捞月是不可能事件，故本选项不符合题意;

故选：A.

【点评】本题考查事件的分类，理解事件性质，判断其发生的可能性是求解本题的关键.

3.(2020秋•昆都仑区期末)关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为XI=

2

-b+Jb2+4,λ2=-b-7b+4；下列判断一定正确的是()

22

A.a=-1B.c=1C.ac=lD.—=-1

a

【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案.

【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得:xι=[b+Yb2-4ac,χ2=-bHb2-4ac

2a2a

・・♦关于X的一元二次方程"2+法+c=0的两根分别为Xi=-廿心+4,短=[b-』b2+4

22

.'.X∖+X2=-b=-—,X1∙X2=-=-1,

aa

；・当b=≠0时,a=l,c=-l,则αc=-l,

故选：D.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目.

4.(2022春•东阳市期末)若关于X的一元二次方程(A-1)/-2履+4-3=0有实数根，则

k的取值范围为()

A.B.k20且ZWlC.%》旦D.上23且kWl

44

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到％-l≠0且A=(-2⅛)2-4Ck-

1)X(⅛-3)20,然后求出两不等式的解集的公共部分即可.

【解答】解：根据题意得出-l≠0且△=(-2⅛)2-4(⅛-1)X(A-3)》0,

解得左力旦且⅛≠1.

4

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c=O（Λ≠0）的根与ʌ=b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=O时，方程有两个相等的

实数根；当A<0时，方程无实数根.

5.（2021秋•黎江区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCo的两边OA,OC落在坐

标轴上，反比例函数y=K的图象分别交BC,OB于点。，点E,且毁;4,若SMOE=

XCD5

3,则女的值为（）

A.-4B.-ɪC.-8D.-2√5

3

【分析】设点8的坐标为（a,b）,则点。的坐标为（K,〃），点A的坐标为（4,0）,

b

分别求出BZXCD、AB,找到α,b,k之间的关系，设点E坐标为（〃?，"），利用三角形

的面积表示出点E的坐标，再利用割补法求出“以=36,进而可得&值.

【解答】解：设点B的坐标为（a,b）,则点。的坐标为（区，b）,点A的坐标为（”,

b

0）,

.".BD=--a,BC--a,CD--ɪ,AB—b,

bb

..BD4

•二—

CD5

Λ5×(--a)=4×(-K),

bb

'.ab--k,

5

设点E坐标为（如〃）,

VSM0E=3f即-→∕π==3,

2

・・・〃=-§

a

丁点E在反比例函数y=—±,

X

：.E（-⅛-A）,

6a

TSaAOE=S矩形OABC-SdoBC-SMBE=-ab-—（-ab}-—⅛（-∙≡K-。）=3,

226

/.abk=36,

把〃原=36,代入H=9左得，旦⅛2=36,即F=20,

55

解得％=±2√E,

由图象可知，k<0,

：.k=-2√5.

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等，解题的关键是利用割

补法表示出AAOE的面积.

6.（2021秋•西青区期末）已知抛物线y="x2+fer+c（a,b,C为常数，«<0）经过点（-1,

0）,其对称轴为直线x=2,有下列结论：①c<0；②4α+b=0;③4α+c>2R④若y>0,

则-l<χV5;⑤关于X的方程"/+公+C+]=0有两个不等的实数根；⑥若ʌ/（3,yι）与

N（4,”）是此抛物线上两点，则yι>"∙其中，正确结论的个数是（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】根据对称轴为直线x=2可判断②正确；将（-1,0）代入y=0r2+bx+c中可判

断①；根据“<0,抛物线图象经过点（-1,0）,可知X=-2,y<0可判断③；根据图

象可直接判断④和⑤；根据增减性可判断⑥.

【解答】解：根据题意对称轴为直线x=2,

:・b=-4α,

即44+6=0,

故②正确；

:抛物线丁=。/+〃/+。（a,b,C为常数，a<0）经过点（-1,0）,

：.Cl-⅛÷c=0,

：.c=b-a=-4Q-a=-5a,

TqVO,

Λc>O,

故①错误；

当X=-2时，y<0,

.∙.4a-2h+c<0,

：•4。+CV2b,

故③错误；

由对称得：抛物线与X轴交点为（-1,0）,（5,0）,

.∙.y>0,则-ICX<5,

故④正确;

当y=-1时∙，关于X的方程ax2+bx+c=-1有两个不等的实数根，

•••关于X的方程ax2+hx+c+l=O有两个不等的实数根；

故⑤正确；

∙.,6∕<0.4-2>3-2,

∙".yι>y2.

故⑥正确.

综上，正确的结论是②④⑤⑥.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，增减性，对称轴，抛物线与X轴的交点，

应数形结合、充分掌握二次函数各系数〃、h,c的意义以及对图象的影响和对一元二次

方程根个数的关系.

7.(2021秋•河东区期末)己知抛物线y=∕+bx+c的图象与X轴的两交点的横坐标分别α,

β(a<β),而/+⅛x+c-2=0的两根为M、N(MVN),则a、仇M、N的大小顺序为

()

A.a<β<M<NB.M<a<β<Λ^C.a<M<β<ND.M<a<N<β

【分析】依题意画出函数y=(χ-a)(χ-β)和y=2的图象草图，根据二次函数的图象

可直接求解.

【解答】解：依题意，画出函y=(χ-a)(x-β)的图象，如图所示.

函数图象为抛物线，开口向上，与X轴两个交点的横坐标分别为a,β(a<β),

方程/+⅛r+c-2=0的两根是抛物线），=Cx-a）（x-β）与直线y=2的两个交点.

由M<N,可知对称轴左侧交点横坐标为右侧为M

由图象可知，M<a<β<N,

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想.解

题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算.

8.（2021秋•上思县期末）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆

B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.圆内接四边形的对角互余

【分析】根据确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆心角与弧的关系定理、圆内接四边

形的性质判断即可.

【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；

三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；

圆内接四边形的对角互补，。错误；

故选：B.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆心

角与弧的关系定理、圆内接四边形的性质是解题的关键.

9.（2021秋•宜春期末）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆

B.任何三角形有且只有一个内切圆

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.正多边形一定是中心对称图形

【分析】根据确定圆的条件，中心对称图形，圆心角、弧、弦的关系，三角形的内切圆与

内心逐一判断即可.

【解答】解：A,不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；

8.任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；

C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；

D.正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故。不符合题意；

故选:B.

【点评】本题考查了确定圆的条件，中心对称图形，圆心角、弧、弦的关系，三角形的内

切圆与内心，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键.

10.（2021秋•东阳市期末）如图，在AABC中，CHJCW=5,AB=IO,若内接矩形

OEFG邻边。G：GF=L2,则AGFC与四边形ABFG的面积比为（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.亚

3422

【分析】利用A字模型相似三角形，证明ACGFSAC43,利用相似三角形的性质求出

FG的长，再求出ACG尸与ACAB面积比即可解答.

【解答】解：VDG：GF=L2,

.∙.设QG=X,FG=Ix,

•；四边形OEFG是矩形，

：.FG//DE,

.".ZCGF=ZA.NCFG=NB,

：ACGFS/\CAB,

VCH±AB,FG//DE9

：.CHLFG9

・CI=FG

*eCHAB,

・

•∙5---χ-_2x,

510

∙'∙x=2.5,

经检验，x=2.5是原方程的根，

.".FG=5,

.sACGF_(FG、2_1

S∙∆CAB杷4

.∙.ZSGFC与四边形ABFG的面积比为=1：3,

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三

角形，是解题的关键.

11.（2021秋•濂溪区校级期末）如图所示的几何体是由6个形状，大小完全相同的小正方

体组成，若移动正方体①，使得左视图不改变，则有（）种移动的方法.

C.3D.2

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：若移动正方体①，使得左视图不改变，则有6种移动的方法（如图所示）,

【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常

考题型.

12.(2021秋•江津区期末)如图，二次函数yι=αr2+次+c(αW0)图象的对称轴是直线X=

-1,直线yz=⅛r经过二次函数yι=0χ2+⅛r+c(q≠o)图象的顶点，下列结论：φahc<

0；@4a-2⅛+c<0;③若点A(-3,m),B(2,〃)在二次函数yι=α∕+⅛r+c(a≠0)

的图象上，则，④X=I是方程a，+。=。的一个根，正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①根据函数图象开口向下判断出“>0,再根据对称轴判断出b>0,根据函数图

象与y轴的交点判断出c<0,然后相乘即可得解；

②利用X=-2时函数值小于0可进行判断；

③由函数的对称性可知，x=l时，函数值=〃?，且-1<1<2,由函数的增减性可直接判

断；

④若x-∖是方程cυτ+c-0的一个根，则α+c=0,又直线yz—bx经过二次函数y\—

ax1+bx+c(a≠0)图象的顶点，所以(-1,-b)在抛物线上，结合6=2“可进行判断.

【解答】解：①根据函数图象开口向下判断出“>0,再根据对称轴判断出〃>0,根据函

数图象与y轴的交点判断出c<0,

'.abc<O,故①正确;

②由x=-2时，y=4a-2h+c<0,故②正确；

③由函数的对称性可知，X=I时，函数值为，"，

V-1<1<2,且对称轴右侧y随X的增大二减小，

'.m<n,故③错误；

④：直线”二或经过二次函数2=/+。*+，。/。）图象的顶点，

Λ（-1,-b）在抛物线上，

：.a-b+C=-b,

•'•Q+C=。，

.∙.x=l是方程Or2+c=0的一个根，故④正确.

故正确的有①②④，

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，注意利用顶点坐标，对称轴解析式，以

及特殊点的函数值是解题的关键.

13.（2021秋•九龙坡区期末）如图，已知N84C=60°,AB=4,AC=6,点。为aABC内

一动点，连接AD.BD,CD,将AAOC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AAEF,则

4E+D8+EF的最小值为（）

A.4√5B.2√21c.2√19D.2√17

【分析】连接。E,BF,过点尸作F/7LBA,交BA的延长线于点”，由旋转的性质可得

△4。E是等边三角形，得AE=DE,则AE+O8+EF的最小值为B尸的长，在Rt尸中

求出BF即可解答.

【解答】解：连接DE,BF,过点F作尸交BA的延长线于点H,

由旋转可得：

AD=AE,AC=AF=6,NoAE=/CAF=60°,

.∙.ZVlCE是等边三角形，

.∖AE=DE,

：.AE+DB+AC=DE+DB+EF^BF,

,."ZBAC=60°,

ΛZWAF=180o-/B4C-/CAF=60°,

在Rt产中，AH=AFCOS60°=6X2=3,FH=AFsinGOa=6X近=3我，

22

.∖BH=AB+AH=4+3>=1,

在RtABWF中，θ∕7=√BH2+HF2=√72+（3√3）2=2√Iθ，

.∙.AE+QB+EF的最小值为：2√19,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，勾股定理以及将

AE+DB+EF的最小值转化为BF的长是解题的关键.

14.（2021秋•锦州期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，尸为Cz）的中点，AE

和B尸相交于点G,延长CG交AB于点”，下列结论:

®AE=BFi

②NCBF=NDGF；

③国=2

CF3

④SAAHG=3

SZiCFG4

其中结论正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】利用正方形中的十字架型可判断①AE=BRAELB凡然后利用中点+平行线构

造8字型全等，所以延长BF交Az）的延长线于点M,从而可得。是AM的中点，可判

断②/CBF=/OGF,再利用8字模型相似三角形证明48"GS△尸CG,从而可判断③

AH

兰旦=2,最后求出AH与CF的比值，即可判断④△G萼.

CF3SΛCFG4

【解答】解：四边形ABC。是正方形,

：.AB=BC^CD=AD,NABC=/BCD=NADC=90°,AB//CD,

为BC的中点，尸为CD的中点，

.,.BE=^BC,CF=-CD,

22

：.BE=CF,

,△ABE之ABCF(SAS),

：.BF=AE,NBAE=NCBF,

故①正确,

"：ZCBF+ZABF=90°，

：.ZABF+ZBAE=90a,

.∙.NAGB=180°-CZBAE+ZABF)=90°,

.'.AE±BF,

ΛZAGF=90o,

延长BF交AO的延长线于点M,

"：ZMDF^ZBCF=90°,DF=CF,NDFM=NBFC,

：./\BF8/\MFD(ASA),

.,.DM=BC,NM=NMBC,

：.AD=DM,

：.DG=DM=-AM,

2

.".ZDGM=ZM,

：.ZCBF^ZDGF,

故②正确；

设BE=CF=a,则AB=BC=2m

22

.∖AE=yjAB+BE=

：.BF=AE=娓a,

,：Z∖A8E的面积=Λ4B∙8E=ΛAE∙8G,

22

5

：.FG=BF-BG=主区-a,

5

∖,AB∕∕CD,

：./ABG=NBFC,NBHG=NHCF,

：.ABHGs∕∖FCG,

.BH=BG

,^CFEG'

•.∙~BH-∙^2-r

CF3

故③正确；

..BH2厂口ɔ

・ɪʌi=-,CF=3a,

CF3

：.BH=2a,

.∖AH=AB-BH=Aa,

•.A∙―H^—_4―,

CF3

,.∙/XAHG中4H边上的高与AGC尸中CF边上的高不相等，

.s∆AHG44

••-----~r~--，

SZkCFG3

故④不正确；

综上所述：正确的结论是：①②③，

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性

质，平行线分线段成比例，熟练掌握正方形中的十字架型，中点+平行线构造8字型全等，

8字模型相似三角形这些数学模型是解题的关键.

15.(2021秋•荣昌区期末)在平面直角坐标系中，C(0,4),点A在X轴上，以AC为对

角线构造平行四边形ABCnB点在第三象限，BC与X轴交于点F,延长BC至点E,使

得EF=5BF,BC=EC,连结对角线BD与AC交于点G,连结EG、CD交于点H,若D、

E在反比例函数y=K上，S∆DHG-4,则4的值为()

X

C.20D.15

【分析】由C(0,4),点A在X轴上，EF=5BF,BC=EC,可得BE=6BF,CF=IBF,

设点F(-2α,0),贝∣jE(3α,10),B(-3a,-2),因为四边形ABCD是平行四边形，

所以8C〃A£>,BC^AD,易得四边形ACEz)是平行四边形，由。、E在反比例函数y晏

X

上，可得O(54,6),又CG是aBDE的中位线，所以4C〃。&则ACHGsW,

ɪʌɑ

可得---=」，所以SZ√JHG=4Z∖DCG=6,JW⅛SΔBCG--(XG-χβ)*CN--∙4a

EDED2322

∙CN=2a∙CN,根据点B和点。的坐标可得BO的解析式：y=L+l,所以N(0,1),

a

所以CN=3,所以24∙3=6,解得a=l,可得E(3,10),将点E(3,10)代入y=K即

X

可.

【解答】解：VC(0,4),点A在X轴上，EF=5BF,BC=EC,

：.BE=GBF9CF=IBF,

设点FQ-2a,0),则E(30,10),B(-3m-2),

Y四边形A3。是平行四边形，

：.BC//AD,BC=AD9

•：EC=BC,

：.EC//AD,EC=AD,

：.四边形ACED是平行四边形,

点。的纵坐标为6,

E在反比例函数上，

X

•∙30a=6∙W,

.∙.M=5m

：.D(5m6),

；点G为BO的中点，

：.G(.a,2),

又；点C为BE的中点，

J.AC//DE,

：.ΛCHG^ΛDHE,

I

.GC=2AC=1

^,EDED2^,

YSADHG=4，

.,∙5ΔDCG=6,

∙"∙SADCG=SABCG6，

设直线BG与y轴交于点N,

.∙.SΔBCG=^(XG-XB)∙CN='∙4a∙CN=2a∙CN,

22

设直线BQ的解析式为：y=mx+n,

(1

・..卜3a∑uF=-2,解得嗔；

I5am+n=67

n-1

∙∖y=-^∙x+l,

a

：.N(O,1),

:∙CN=3,

.∙.2α∙3=6,解得a=L

：.E(3,10),

将点E(3,10)代入y—,

X

.∙∕=30.

故选：A.

【点评】本题属于反比例函数中代数与几何的综合题，根据EF=5BF,BC=EC得出EF,

BF,BE,BC各个线段之间的关系，表达出关键点的坐标是解题关键.

二.填空题（共21小题）

16.（2020秋•越秀区期末）若x=3是关于X的一元二次方程7-,巾-3=0的一个解，则

m的值是2.

【分析】根据x=3是已知方程的解，将x=3代入方程即可求出,"的值.

【解答】解：将x=3代入方程得：9-3«/-3=0,

解得：m=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解.解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义:

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

17.(2021秋•垦利区期末)如图，A,8是反比例函数y=2在第一象限内的图象上的两点,

X

且A,8两点的横坐标分别是2和3,则AOAB的面积是ɪ.

一2一

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出A,B两点的纵坐标，先求出四边形

AoCB面积：$+3,再求出AOAB的面积.

2

【解答】解：VA,8是反比例函数y=2在第一象限内的图象上的两点，

X

设A(2,a),B(3,b),

∙∙2α=6,3b^6,

∙∖q=3,b=2,

即AO=3,BC=2,

...梯形ADCB面积：y×DC(BC+AD)

=y×l×(2+3)

—,5—,

2

.,.四边形AOCB面积：梯形ADCB面积+AOAO的面积=§+3,

2

VA,8在反比例函数y=2上，

X

∙*∙SdAoD~SABOC=3,

二ZXOAB的面积是：S.

2

故答案为：ɪ.

2

【点评】本题考查了反比例函数系数A的几何意义、图象上点的坐标特征，熟练掌握这

两个知识点的综合应用是解题关键.

18.（2021秋•瓦房店市期末）在平面直角坐标系XOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1,1）,

（1,2）,（3,1）,（3,2）,若抛物线y=a?的图象与矩形的边有公共点，则实数。的取

值范围是一∙∣<a<2.∙

【分析】根据。值对抛物线开口的作用进行判断即可.

【解答】由题意得：抛物线过点（1,2）时开口最小，过点（3,1）时，开口最大.

当抛物线过点（1,2）时，2=qXl.

工。=2.

当抛物线过点（3,1）时，1=9”，

.∙.α=L

9

.∙.A≤a≤2.

9

过答案为：-i≤a≤2.

9

【点评】本题考查二次函数的图象，确定“取最值时的条件是求解本题的关键.

19.（2021秋•徐汇区期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x=-l,根据图中信

息可求得该二次函数的解析式为V=-F一2χ二.

【分析】根据题目的已知并结合图形，设二次函数的解析式为），=OX2+⅛r+c,然后根据B

点，A点坐标，以及对称轴列出三元一次方程组即可解答.

【解答】解：设y=αx2+bx+c,

由题意得:

c=3

a+b+c=0

'a=-l

解得：＜b=-2，

c=3

二次函数的解析式为：y=-χ2-2r+3,

故答案为：y=-Λ2-2Λ+3.

【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，

根据题目的已知并结合图形列出三元一次方程组是解题的关键.

20.（2021秋•通州区期末）如图，在aABC中，NC=90°,AB=IO,在同一平面内，点。

到点A,B,C的距离均等于αQ为常数）.那么常数”的值等于5.

B

AC

【分析】根据直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处，进行解答即可.

【解答】解：•••在同一平面内，点O到点A,B,C的距离均等于4（α为常数），

：.OA=OB=OC,

「△ABC是直角三角形，ZC=90o,AB=IO,

.,.OA=OB=OC=-AB=S,

2

•••常数”的值等于：5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形外接圆的圆心在斜边的

中点处，是解题的关键.

21.（2021秋•绥棱县期末）OO为aABC的外接圆，ZBOC=IOOo,则NA=50°或

130°.

【分析】分为两种情况：当O在aABC内部时，根据圆周角定理求出∕A=50°；当。

在4A'BC外部时，根据圆内接四边形性质求出NA'=180o-NA即可.

【解答】解：分为两种情况：当。在aABC内部时，

根据圆周角定理得：/4=工NBOC=工Xl（Xr=50°；

22

当O在AA'BC外部时，如图在4'时，

：A、B、A1>C四点共圆，

ΛZA+ZA,=180°,

.∙.N4'=180°-50°=130°,

故答案为：50°或130°.

A

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，注

意：本题分为圆心。在BC内部和外部两种情况，题目比较好，但是一道比较容易出

错的题目.

22.（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCz）的边长为1,分别以B,C为圆心，以正方

形的边长为半径画弧，两弧相交于点P,那么图中阴影部分的面积为退.-E.

一2一6一

【分析】连接P8、PC,作PFLBC于F,根据等边三角形的性质得到NPBC=60°,解

直角三角形求出BF、PF,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：连接心，PC,作PFLBC于F,

•：PB=PC=BC,

J./XPBC为等边三角形，

ΛZPBC=60o,NPBA=30°,

.∙.BF=ABC=A,PF=La,

222

则图中阴影部分的面积=［扇形ABP的面积-（扇形BPC的面积-48PC的面积）∣X2

=科冗火2

0Fr60πXI.Iy×A√3)]×2

360360~22

=近工，

26

故答案为：返-E.

26

【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是

解题的关键.

23.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，ZC=90o,BC=3,AC=

4,点Q是线段AC上的动点，设NBOC=α,NBAC=β,有以下说法：

①当0°<β<α<90o时，tana>tanβ.

o

②当0。<β<a<90时，cosa>cosβ.

③。为AC中点时，Sin/OBA=对亘•.

65

④8。平分NCBA时，tanβ=2tana.

其中，正确的是①.（填序号）

【分析】结合图形可知a>0,利用正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增

大而减小，即可判断①和②，要求sin∕O8A的值，想到构造直角三角形，所以过点。作

DEVAB,垂足为E,利用面积法先求出。E的长，然后在RtABQE中进行计算，即可判

断③，根据④8。平分NCBA时，想到角平分线的性质定理，所以过点力作DF_L48,垂

足为F,利用面积法求出DF的长，最后求出tana与tanβ即可判断④.

【解答】解：C是ABAQ的外角,

JNBDC=ZA+ZA8D,

：.ZBDOZA,

即α>β,

当0°<β<α<90°时，tana>tanβ,

故①正确；

当0°<β<α<90°时，cosa<cosβ,

故②错误；

VZC=90o,BC=3,AC=4,

ΛAB≈^AC2+BC2=yJ42+32=5,

过点。作QELA8,垂足为E,

为AC中点时，

.∙.8=AO=LC=2,

2

∙^∙S£>==VBC2K：D2=V32+22='/i3,

「△ABC的面积=Z∖BCD的面积+Z∖BD4的面积,

.•.JLAUBC=」CZ)∙BC+ΛΛB∙OE,

222

.∙.3×4=2×3+5DE,

：.DE=旦,

5

6

在Rt∙ABZ)E中，sinZDgA≈-^-=ʒ≈θɔʃɪɜ-,

BD√1365

故③错误；

过点。作。尸，A8,垂足为F,

平分∕CBA,DFA,AB,DCl.BC,

：.DC=DF,

；ZXABC的面积=ABCD的面积+Z∖8DA的面积,

.∖^AC∙BC=^CD∙BC+-AB∙DF,

222

.∖3×4=3DC+5DF,

Λ8DC=12,

.∙.oc=2，

2

在RtZ∖BCf)中，tan/BQC=tana=里=W=2,

CD3

2

在Rt∙∆8CA中，tanNBAC=tan0=区=3,

AC4

Λtanβ≠2tanα,

故④错误；

所以，正确的是：①，

故答案为：①.

【点评】本题考查了角平分线的性质，解宜角三角形，锐角三角函数的增减性，根据题目

的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

24.（2021秋•苏州期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°,那么称这两个角互为

半余角.如图，在aABC中，ZA,NB互为半余角，且BC=2√^,则tanA=2.

AC3一5一

【分析】要求tanΛ的值，想到构造直角三角形，根据已知可得NAC8的补角为45°,所

以过点B作BD"LAC,交AC的延长线于点£>,分别在RtZsCOB和RtZSABO中利用锐角

三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：过点8作BOJ_AC,交AC的延长线于点，

.∙BCM

'ʌeɪ3

：.设BC=2近a,AC=3a,

VZA,NB互为半余角,

NA+/8=45°,

ΛZDCB=ZΛ+ZB=45o,

在RtZ∖COB中，BD=BCSin45°=2近a*^&=2a,

2

CZ)=SCCoS45°=2&〃.亚=2。,

2

'：AC=3a,

.∖AD=AC+CD=3a+2a=5a,

在RtZXHBO中，tanA=迎=区=2,

AD5a5

故答案为：—■

5

【点评】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加

适当的辅助线是解题的关键.

25.（2021秋•延平区校级期末）如图，已知AOAB的一边AB平行于X轴，且反比例函数y

=K经过aOAB顶点B和。A上的一点C,若0C=2AC且AOBC的面积为也，则上的

X3

值为8.

【分析】作LX轴，CELV轴，AFLX轴，得A尸〃CE,推比例线段，设点B（Kn),

推出C(ɪ)—11),再根据S&OBC=S&OBD+S悌%BCED-SACOE=S⅛)gBCED,求出k的值.

2n3

【解答】解：作BCX轴，CE,X轴，AFLX轴,

J.AF//CE,

.CE=OC

,,AF0A,

∖,0C=2AC,

•.∙CE_∙2^-f

AF3

设点B(―,〃),

n

：A8〃X轴,

.∙.A点的纵坐标为”,

.∖CE=^n,

3

；点C反比例函数y=K,

X

：.C

"：SAoBC=SAoBD+S梯形BCEo~S八CoE=S梯形BCED，

吟呜噂T刊

解得％=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了反比例函数系数k的儿何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，

掌握这两个知识点的应用，由图行推比例线段及C点的表示方法是解题关键.

26.(2021秋•崇川区期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K(χ>0)的图象

X

交矩形04BC的边AB于点M(1,2),交边8C于点M若点B关于直线MN的对称点

8'恰好在X轴上，则OC的长为_遥+1_.

【分析】过点“作MQLOC,垂足为。，连接MB',NB',由于四边形OABC是矩形,

且点B和点B'关于直线MN对称.且点B'正好落在边OC上，可得AMB'Q^∕∖B'

NC,然后M、N两点的坐标用含。的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求

出B'C和QB'的长，然后利用勾股定理求出"夕的长，进而求出。C的长.

【解答】解：过点M作MQJ.0C,垂足为。，连接MB',NB',如图所示：

；反比例函数y=K(x>0)的图象过点M(1,2),

X

∙∙k,-∖X2=2,

；.y=2,

X

设N(4,2),则B(a,2),

a

又；点B和点B'关于直线MN对称，

：.MB=MB',NB=∕MB'N=90°,

VZMQB'=ZB'CN=90°,NMB'Q+ZNB1C=90o

又YNNB'C+ZB'NC=90°,

ΛZMB'Q=NB'NC,

:小MB'WNC,

.MB'MQQB、∏∏a-l_2_QBZ

"NByC=NC>`B7T2，

aa

解得：B'C=∙A,QB'=1,

a

：.MB'2^MQ1+QB'2=22+l2=5,

BP«-l=Vδ>

∙*∙OC-ci—+ɪ.

故答案为：√5+1∙

N

【点评】本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，

相似三角形的性质与判定等知识，作出辅助线构造相似是解题关键.

27.(2021秋•河东区期末)将二次函数2%-3的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折

到X轴上方，所得新函数的图象与直线y=x+。的图象恰有2个公共点时，则6的取值范

围为-3<bVl或6>型.

【分析】分三段：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+6与该新图象恰好有一个

公共点；当直线y=x+6过点A时，直线y=x+6与该新图象恰好有三个公共点；当直线

y=x+6与抛物线y=-(X-I)2+4(-l≤x≤3)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好

有三个公共点，分别求解即可.

【解答】解：二次函数解析式为y=-X2+2X+3=-(χ-l)2+4,

，抛物线y=-7+2x+3的顶点坐标为(1,4),

当y=0时，X2-Zr-3=0,解得XI=-1,x2-3,

则抛物线y=-X2+2Λ+3与X轴的交点为A(-1,0),B(3,0),

把抛物线)，=-Λ2+2Λ+3的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折到X轴上方，

则翻折部分的抛物线解析式为y=-(X-I)2+4(-l≤x≤3),顶点坐标M(1,4),

如图，当直线y=x+。过点B时，直线y=x+。与该新图象恰好有一个公共点，

Λ3+6=0,解得b=-3；

当直线y=x+b过点A时，直线y=x+6与该新图象恰好有三个公共点，

：•-l+⅛=0,解得b=i；

・・・当-3<〃<1时，抛所得新函数的图象与直线y=x^b的图象恰有2个公共点时，

当直线y=x+b与物线y=-(χ-1)2+4(-1≤Λ≤3)相切时，直线y=x+h与该新图象

恰好有三个公共点，

即-(X-I)2+4=x+b有两个相等的实数解，整理得/-χ+6-3=0,

ΛΔ=l2-4(⅛-3)=0,解得b=W,

当匕〉」与时，抛所得新函数的图象与直线y=x+b的图象恰有2个公共点时,

故答案为：-3<b<l或b>区.

4

【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻

折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的

难点.

28.(2021秋•洛阳期末)如图，在AABC中，ZBAC-30o,ZACB=60o,BC=I,点、P

从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP,点A关于直线Cp的对称