2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（上）开门考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（上）开门考数学

试卷

一、选择题（本大题共10小题，共39.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（）

2.下列调查，比较适合全面调查方式的是（）

A.乘坐地铁的安检B.长江流域水污染情况

C.某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命D.端午节期间市场上的粽子质量情况

3.若；是方程mx+y=5的一个解，则山等于（）

A.-3B.7C.2D.3

4.内角和为1800。的多边形的边数是（）

A.12B.10C.14D.15

5.若771>几，下列不等式不一定成立的是（）

mn

A.m+3>n+3B.5m>5nC.—>一D.m2>n-

66

6.如图，2ABE〉DCB,若NA=75。，/.ACB=45°,则4BCD等于.()

A.80°B.60°C.40°D.20°

7.如图，OE是△ABC的边8c的垂直平分线，若4C=8,48=6,BC=4,则△408的周长为（)

A.14B.13C.12D.10

8.如图，△4BC的面积为16cm2,点。在BC边上，E是4。的中点，则aBCE的面

积是（）

A.4cm2

B.6cm2

C.8cm2

D.10cm2

9.淼J'子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人

共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则

空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有工人，y辆车，可列方程组为（）

X=3(y4-2)(x=3(y-2)(x=3(y+2)(x=3(y-2)

%=2y—18[x=2y-181%=2y4-91%=2y+9

10.若方程组［：］；；；：70,其中孙z不等于0,那么x：y：z=（）

A.2：3：1B.1：2：3C.1：4：1D.3：2：1

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知点P（—2,1）,则点P关于x轴对称的点的坐标是.

12.已知三角形的两边长为4和8,第三边长为％,则x的取值范围为.

13.如图，ZC=90°,4。平分乙BAC交BC于点C,若BC=5cm,ED=3cm,则。到A

CDB

14.如果关于x的不等式组｛:：无解，则a的取值范围是

15.将两张三角形纸片如图摆放，量得+42+43+乙4=220°,则45=

16.已知：如图，在AaBC和AACE中，/.BAC=Z.DAE=90°,AB=AC,

AD=AE,连接CD,C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE.以下四个

结论：①BD=CE；©Z.ACE+^ABD=45°；（3）ABAE+^DAC=180°；

④8D1CE.其中正确的是.（只填序号）

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

（1）计算：|l-<7|+Af4-V125；

（2）解方程组:

18.（本小题8.0分）

（x—3（%-2）V6

解不等式组1/2X+1,并写出它的正整数解.

%-1<

19.（本小题8.0分）

如图，AD,4E分别是AABC的高和角平分线，NB=20。，ZC=80°,求4区4。的度数.

20.（本小题8.0分）

如图，C是线段4B的中点，CD=BE,CD〃BE.求证：zD=zF.

21.（本小题8.0分）

为迎接市教育局开展的“创先争优”主题演讲活动，某校组织教师进行演讲预赛，学校将所有参赛教师的

成绩分成四组，绘制了不完整的统计图表如下：

ut频数@

0,607、8（；90100赢/分'-----h

图1图2

（1）参赛教师共有人；

（2）写出直方图中m=,n=；

（3）如果将各组的组中值视为该组的平均成绩，估算所有参赛教师的平均成绩是多少？

（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数,例如，第一小组的组中值为丝罗=

65）

22.(本小题10.0分)

如图，点C是4B上一点，AC=BE,AD=BC,/.ADE=/.BED.

(1)尺规作图：作NDCE的平分线CF,交DE于点F；

(2)证明：CF1DE.

23.(本小题10.0分)

某中学为了庆祝“建党一百周年”，计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和健子作为活动器

材.已知购买2根跳绳和5个健子共需32元；购买4根跳绳和3个健子共需36元.

(1)求购买一根跳绳和一个懑子分别需要多少元？

(2)某班需要购买跳绳和键子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20

根，通过计算说明共有哪儿种购买跳绳的方案.

24.(本小题12.0分)

对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联

“的，例如不等式x>1和不等式x<3是“互联”的.

⑴请判断不等式x—l<2和x—2)0是否是“互联”的，并说明理由：

(2)若2x-a<0和%>。是“互联”的，求a的最大值；

(3)若不等式x+1>2b和x+2b43是“互联”的，直接写出b的取值范围.

25.(本小题14.0分)

如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是点C的坐标是(1,0),点。为y轴上一点，点4为第二

象限内一动点，且4BAC=2^8DO,过。作。M1AC于点M.

(1)求证：ZABD=Z.ACD.

(2)若点E在84的延长线上，求证：AC平分4cAE.

(3)当4点运动时，爷萨的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：A,B,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形；

故选：C.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】A

【解析】解：4、乘坐地铁的安检，适合全面调查，故A选项正确；

8、长江流域水污染情况，适合抽样调查，故B选项错误；

C、某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命，适合抽样调查，故C选项错误；

。、端午节期间市场上的粽子质量情况，适于抽样调查，故。选项错误.

故选：A.

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似

进行判断.

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，

一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确

度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

3.【答案】D

【解析】解：•••｛；:；是方程m久+y=5的解，

**•TYI+2=5,

解得：m=3,

故选：D.

把二;代入方程得出关于ni的方程，求出即可・

本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于小的方程.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了多边形内角和，解题的关键在于能够熟练掌握多边形内角和的计算公式.

根据多边形内角和公式：5-2)x180。，进行求解即可得到答案.

【解答】

解：设这个多边形是n边形，

根据题意得：(n-2)x180°=1800°

解得n=12,

•••这个多边形是十二边形.

故选4.

5.【答案】D

【解析】解：/1^m>n,

m+3>n+3,

故A不符合题意；

B、vm>n,

5m>5n,

故B不符合题意；

C、"m>n,

m、n

:.—>

661

故C不符合题意；

£)、m>n>0,

•••m2>n2,

故。符合题意；

故选：D.

根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：,：乙4=75°,乙4cB=45°,

AAABC=180°一乙4一乙ACB=180°-75°-45°=60°,

,*,△ABC=^DCB,

，乙BCD=^ABC=60°.

故选：B.

根据三角形的内角和等于180。求出/ABC,再根据全等三角形对应角相等解答.

本题考查了全等三角形对应角相等，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图确定出对应角是解题的关

键.

7.【答案】A

【解析】解：•；MN是线段BC的垂直平分线，

•••CD=BD,

ADB的周长是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+8=14,

故选：A.

根据线段垂直平分线定理求出CO=BD,代入△4DB的周长公式(8。+40+48=4C+4B),求出即可.

本题考查了线段的垂直平分线定理的应用，关键是根据定理推出AHOB的周长等于4C+4B,题型较好，难

度不大.

8.【答案】C

【解析】解：:E是4。的中点，

SMBE=S^BED,S^ACE=6.DCE'

1

AS^BCE=S.DE+S&CDE=2s△ABC，

V^AABC=16cm2>

SABCE=8cm2.

故选：C.

证明△EBC的面积=1△力BC的面积即可.

该题主要考查了三角形的面积公式，三角形是中线的性质等知识，解题的关键是掌握等高模型的性质，属

于中考常考题型.

9.【答案】D

【解析】解：设有支人，y辆车，根据题意可得：

[X=3(y-2)

(%=2y+9'

故选：D.

根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x,y的二元一次

方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：由露;母，可得好：色

•••X：y：z=2z：3z：z=2：3：1.

故选:A.

把z看成此时，求出x,y即可.

本题考查解三元一次方程组，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题.

11.【答案】(一2,-1)

【解析】解：点P(—2,l),则点P关于x轴对称的点的坐标是(一2,-1),

故答案为：(-2,-1).

根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案.

本题考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键.

12.【答案［4<x<12

【解析】解：••・此三角形的两边长分别为4和8,

・•・第三边长的取值范围是：8-4〈第三边<8+4.

即:4<%<12,

故答案为：4<x<12.

根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范

围.

此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问

题的关键.

13.【答案】2cm

【解析】解：过。作DE1AB于E,

•••“=90°,

・•,AC1BC,

・・•AD平分乙BAC交BC于点D,DELAB,

CD=DEf

vBC=5cm,BD=3cm,

ACD=BC-BD=2cm,

・•・DE=2cm,

即。到4B的距离为2cm,

故答案为：2cm.

过。作DE14B于E,根据角平分线的性质得出CD=DE,求出CD即可.

本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CD=DE是解此题的关键.

14.【答案】a<2

【解析】解：•.•不等式组无解，根据“大大小小解不了”则a+223a—2,所以a的取值范围是

a<2.

解出不等式组的解集（含a的式子），与不等式组无解比较，求出。的取值范围.

本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解

集与已知解集比较，进而求得另一个未知数.

15.【答案】40°

【解析】解：如图所示：Nl+N2+N6=180。，N3+N4+47=180。，

***Z.1+Z.2+Z.6+Z.3+Z.4+Z.7=360°,yL^^7

V41+42+43+N4=220°,>4\/5入

•1•46+47=140°,

Z5=180°-（Z6+Z7）=40°.

故答案为：40°.

直接利用三角形内角和定理得出46+N7的度数，进而得出答案.

此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键.

16.【答案】①③④

【解析】解：①v乙BAC=/.DAE=90°,

•••ABAC+^CAD=/.DAE+/.CAD,即4B/W=/.CAE,

在△BAD和△CAE中，

AB=AC

/.BAD=Z.CAEf

AD=AE

BAD^LC4E(S4S),

:,BD=CE,故①正确；

②・・•△ABC为等腰直角三角形，

・・・Z.ABC=Z.ACB=45°,

・•・乙ABD+Z-DBC=45°,

•・,乙ABD=Z.ACE,

•••4ACE+Z.DBC=450,故②错误；

③vZ.BAC=LEAD=90°.

/.BAE+/.CAD=180%故③正确；

④BAD=LCAE,

・••Z.ABD=Z-ACE,

・・•Z.ABD+乙DBC=45°,

・・・^LACE+乙DBC=45°,

・・・(DBC+乙DCB=乙DBC+/-ACE+乙ACB=90°,

则BD1CE,故④正确；

综上所述，正确的结论有3个.

故答案为：①③④.

①由4B=4C,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等，利用S4S得出△48。三△4CE,由全等三角形的

对应边相等得到B。=CE-,

②由等腰直角三角形的性质得到4ABD+乙DBC=45°,等量代换得到々1CE+乙DBC=45°；

③根据周角的定义即可判断；

④由△ABD=L4EC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到80垂直于CE；

此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解本题的关键.

17.【答案】解：(i)|i一V1|+，1：-VT西

=^-1+2-5

—y/~2-4.

r?j2x+y=5①

(2)「-3y=_i②，

②X2,得2%—6y=-2(3),

①一③，得7y=7,

解得y=1,

将y=1代入①，得t=2,

・••方程组的解为｛;=

【解析】(1)根据绝对值、算术平方根、立方根的意义逐项化简，即可得出答案.

(2)利用加减消元法求解即可.

本题考查解二元一次方程组、绝对值、立方根、算术平方根、实数的运算，熟练掌握相关知识点是解答本

题的关键.

18.【答案】解：解尤一3(%—2)<6得：x>0,

解x-1<售口得：x<4.

则不等式组的解集是：0<x<4.

则正整数解是：1,2,3.

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数

解即可.

本题考查求不等式组的正整数解，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键.

19.【答案】解：•••乙B=20°,乙C=80°,

.,.在A/IBC中，^BAC=180°-ZS-ZC=80°,

•••AE是△ABC的角平分线，

：.A.BAE=^BAC=40°,

XvAD1BC,

：.4BAD=90°-ZB=70°,

•••/.EAD=/.BAD-Z.BAE=70°-40°=30°.

【解析】由NB=20。，NC=80。，根据内角和定理得484c=180。一/B-a=80。，由角平分线的定义

-1

得4B4E=^BAC=40°,根据4。1BC得4BAD=90°一4B=70°,利用4EAO=^BAD-NB4E求解.

本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义.关键是利用内角和定理求NBAC,根据角平分线的定义求

/-BAE,利用高得出互余关系求NB4D,利用角的和差关系求解.

20.【答案】证明：・.,C是线段48的中点，

・•・AC=CB,

・・,CDUBE.

・•・Z,ACD=乙B,

在△ACD和△CBE中，

AC=CB

Z.ACD=乙B,

CD=BE

:.XACD三匕CBE(SAS),

:.Z-D=Z-E.

【解析】由CD〃BE,可证得乙4CD=4B,然后由C是线段49的中点，CD=BE,利用SAS即可证得△ACDwa

CBE,继而证得结论.

此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质.注意证得△ACDWACBE是关键.

21.【答案】40612

【解析】解：(1)参赛教师共有：16+40%=40(人)，

故答案为：40；

(2)由题意可得n=40x30%=12,

故？n=40—6—12-16=6,

故答案为：6；12；

(3)x(65x6+75x12+85x16+95x6)=80.5(分)，

答：所有参赛教师的平均成绩约80.5分.

(1)用第三组的人数除以40%即可得出总人数；

(2)利用(1)的结论可得m、n的值；

(3)利用加权平均数解答即可.

本题考查了频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、

分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

22.【答案】(1)解：如图，CF即为所求；5

(2)证明：•••乙4CE=NBED,//\

AD//BE,//\

；Z=NB，//\F

E

在△ACD和△BEC中,

AC=BE

Z.A=乙B,

AD=BC

.•.△AC。三△BEC(SAS),

•••CD=CE,

•••CF平分4DCE,

CFIDE.

【解析】(1)根据角平分线的作法即可解决问题；

(2)由乙4DE=NBED,得AD〃BE,所以乙4=NB,证明△4CD三△BEC(SAS),得CD=CE,然后根据等腰

三角形三线合一的性质即可解决问题.

本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，

解决本题的关键是掌握基本作图方法.

23.【答案】解：(1)设购买一根跳绳需要x元，一个健子需要y元，

依题意得:取秘宝

解得：(；：!•

答：购买一根跳绳需要6元，一个犍子需要4元.

(2)设购买m根跳绳，则购买(54-m)个健子，

依题意得：(6m+4(54-m)<260,

解得：20<m422,

又*m为正整数，

•••m可以为21,22,

二共有2种购买方案：

方案］购买21根跳绳,33个毯子；

方案2：购买22根跳绳，32个毯子.

【解析】(1)设购买一根跳绳需要x元，一个^子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个灌子共需32元；购买4根

跳绳和3个健子共需36元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买m根跳绳，则购买(54-6)个健子，根据“购买跳绳的数量多于20根，且购买的总费用不能超过

260元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合山为正整数，即可得

出各购买方案.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

24.【答案】解：（l）x-l<2,

%<3,

x—2>0,

%>2,

故不等式的解集为：2<%<3,

有且仅有％=2时，使得这两个不等式同时成立，

・・・不等式％-1V2和久-2》0是否是“互联”的.

（2）2%—a<0,

Xv-<Q2'

不等式解集：0<x<*

是“互联”的，要包含1但不包含2,

即：1〈三2,

解得：2<a<4.

・•.a的最大值：4.

（3）%+1>2b,

x>2b-1,

%+2b43,

x<3—2b.

不等式解集：2b-l<x<3-2b,

的

联

”

是

F互

,

32b1<2b<32

一-

3

-<b<

Bp:4-

【解析】（1）根据新定义，不等式X-1<2和x-2>0,解集为：2<x<3,这两个不等式是“互联”的.（2）

不等式解集，0<%<今是“互联”的1<三2,进而求解.（3）不等式解集：2b-