2023-2024学年北京市高一年级上册期中考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市高一上学期期中考试数学质量检测

模拟试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1.设集合彳={x|l<x<3},B={x\0<x<2]t则等于()

A.{x|l<x<2}B.|x|l<n<2}

C.|x|0<x<3|D.|x|l<x<3}

2.命题“X/xeR,都有/一3x+2>0”的否定为()

A.使得/一3%+240B.3XGR,使得/一3工+2>0

C.VXGR,都有f—3X+2W0D.HxeR,使得f-3x+2wo

3.下列函数中，既是偶函数又在(O,+8)上单调递增的是().

A.y=xB.y=\x\C.y=—x2D.y=-

x

4.若函数/(x)为R上的奇函数，且当x>0时，/(工)=2%-1,则〃-1)=()

A.B.-2C.D.-4

5.若a、b、c为实数，则下列命题正确的是().

则7

A.若a>b,贝！］。/>儿2B.若Q<b<0,

ab

c-若。<。<°，则!

D.若Q<b<0,则a1>ab>h2

2

6.已知QER,则“〃>2”是“一<1”的().

a

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/(%)=巾-2盯则下列结论正确的是()

A.“X)是偶函数，递增区间是(0,+。)

B./(%)是偶函数，递减区间是(-8,1)

C./(%)是奇函数，递减区间是(T1)

D./(x)是奇函数，递增区间是(-%0)

8.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产

的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间1（单位：年，/eN*）满足二次函数关

系：s=-2『+30/-98,现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间,为（）年.

A.5B.6C.7D.8

—x+2,x<1

9.若函数〃x）=a的值域为（0,+8）,则实数。的取值范围为（）.

—,x>1

A.（0,1]B.（-1,0）C.（!,+<»）D.[l,+oo）

10.对于集合A,称定义域与值域均为A的函数y=/（x）为集合A上的等域函数.若=

使〃x）=a（x-l）2-2为A上的等域函数，则复契。的取值范围是（）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

H.函数y（x）=R手的定义域为.

12.若-2<a<3,l<b<2,则a-b的取值范围是.

13.已知〃x+l）=2x+4,且/⑷=8,则a的值是.

14.已知函数/（x）=“2a+；卜一4：；5x>l'若/（力在R上是增函数，则实数&的取值范围

是.

15.已知函数/（X）=X2-4X,xe[a-l,a+l],aeR.设集合A/={（，”,/（叫|八〃e[a-l,a+1]},

若M中的所有点围成的平面区域的面积为S,贝”的最小值为.

三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.设不等式|x-l|<3的解集为A,不等式涓<0的解集为8,集合C={x|2-m4x42+m}.

⑴求ZcB,务B；

（2）若=求实数用的取值范围.

17.已知关于x的方程--2（左+l）x+^+3=0有两个不相等的实根不应.

116

（1）若一+—=-,求人的值；

x27

⑵求玉?+¥的取值范围.

18.已知关于x的不等式办2+(a-l)x-lZ0,aeR.

(1)若不等式的解集为［-1,-；］,求实数。的值；

(2)若”0,求不等式的解集.

19.已知函数/卜)是定义在R上的偶函数，当xWO时，有/(x)=鼻.

⑴求函数的解析式；

(2)判断函数/(X)在(-8,0)上的单调性，并用定义证明；

(3)若关于x的不等式/(2/+1)>/(加)在(0,+e)上恒成立，求用的取值范围.

20.已知集合={(再户2,…，x”)k€也,1}/=1,2,…,”,"23},任取夕=(百/2,…,x”)eU”，

力=(必，为，…，N”)eU“，定义a*4=max{x”必}+max{x2，%}+…+max{x“,y.},其中max{a,6}表

示“，6中的最大值，例如max{l,0}=l,max{l,l}=1.

⑴当〃=3且a=(0,l,0)时，写出满足a*£=3的所有元素夕；

(2)设a,满足a*a+£*夕=〃，求a*月的最大值和最小值；

⑶若G,的子集S满足：V{a,/?}SS,成立，求集合S中元素个数%的最大值.

I.c

【分析】应用集合的并运算求集合即可.

【详解】/IuB=|x|l<x<3}<x<21={%10<x<3}.

故选：C

2.A

【分析】由全称命题的否定判断，

【详解】由题意得命题“VxeR,都有--3x+2>0”的否定为“王eR,使得X?-3x+240”,

故选：A

3.B

【分析】利用偶函数的定义及在(0,+8)上的单调性，逐项判断即得.

【详解】对于A,函数夕=x是R上的奇函数，A不是；

对于B,函数y=|x|是R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，B是：

对于C,函数y=-X?是R上的偶函数，在(0,+8)上单调递减，C不是；

对于D,函数/=」是(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，D不是.

X

故选：B

4.A

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算即得.

【详解】函数/(x)是R上的奇函数，当x>0时，/(x)=2x-l,

所以/(T)=-/(l)=-(2xl-l)=-L

故选：A

5.D

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.

【详解】对于A：当c=0时结论不成立，所以A错误；

对于B：因为a<b<0,所以|4>网，所以/>〃，

两边同除岫可得:>2,B错误；

ba

对于C：因为a<b<0,两边同除仍可得C错误；

ba

对于D：因为。<6<0,两边同乘。可得a?>ab，两边同乘6可得

所以/>/>〃，D正确,

故选：D

6.A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由。〉2,得上2<1,即“。>2”是2的充分条件，

aa

22

反之，当一<1时,"0或。>2,反2>2"不是“一<1”的必要条件,

aa

2

所以“。〉2”是"一<「的充分而不必要条件.

a

故选：A

7.C

【分析】由奇偶性定义，结合二次函数的单调性以及奇函数的性质作出判断.

【详解】/(一%)=-小|+24=一(则-2。=-/(%),即函数/(x)是奇函数

当X20时，〃同二犬-2%，函数/")在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增

即函数/(%)的增区间为和。+00),减区间为

故选：C

8.C

【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.

【详解】依题意，年平均利润为/⑺=：=二2/+：0/-98=_}+30,ZeN«,

由于f>0,2/+y>2^/y=28,当且仅当2f=},即f=7时取等号，止匕时-28+30=2,

所以当每条生产线运行的时间，=7时，年平均利润最大.

故选：C

9.D

【分析】求出函数/(x)=-x+2在(-8,1)上的值域，由已知可得函数〃对=色在[1,”)上的值域

X

包含(0,1],再列出不等式求解即得.

【详解】当X<1时，函数/(X)=-X+2在(7,1)上单调递减，“X)在(-8,1)上的值域为(1,”)，

因为函数/(X)在R上的值域为(0,+8),则函数/(X)=q在口,”)上的值域包含(0,1],

X

显然a>0,否则当X21时，-<0,不符合题意，

于是函数/*)=3在口，”)上单调递减，其值域为(0M,因此(0,1]=(0,0，则“21,

X

所以实数a的取值范围为

故选：D

10.A

【分析】直接按a<0探讨，结合/(x)的取值情况确定〃<0,再利用一元二次方程根的分布求解

即可.

【详解】当”0,则/(x)=a(x-l)2-24-2<0,依题意有“<0,从而/(M在阿，网上单调递增,

于是[、，则方程/(X)=x,即a(x-l)2-2=x="2-(2a+l)x+a-2=0有两个不等的负

实根，

△=(2“+l)2-4a(a-2)>0

因此<-----<0,又a<0,解得---<a<0,

a12

三0

.a

所以负数。的取值范围是

故选：A

关键点睛：本题确定函数的单调性，得出[f(]m、)=m，再构造一元二次方程，利用一元二次方程

根的分布求解是关键.

11.(-a),0)u(0,2]

[2-x>0

解不等式组八可得答案.

Bf2-x>0

【详解】由函数/(力=乂宁有意义得，解得X42且XW0.

所以函数〃同=在三的定义域为(-8,0)50,2].

故(-8,0)u(0,2]

方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：

1、有分式时：分母不为0;

2、有根号时.：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；

3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；

4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；

5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x,指数底数大于0且不等于1；

6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0,自变量同时

出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0,底数要大0且不等于1.

12.(T2)

【分析】利用不等式的性质求解即得.

【详解】由1<6<2,得—2<—b<—1,而—2<a<3,则—4<a—b<2,

所以a-b的取值范围是(-4,2).

故(-4,2)

13.3

【分析】根据凑配法求出解析式，代入即可得出答案.

【详解】由已知可得，/(x+l)=2x+4=2(x+l)+2,

所以，〃x)=2x+2.

又“。)=8,所以有2。+2=8,

解得a=3.

故3.

14.

43

【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性列出不等式，求解即得答案.

as

【详解】因为函数在R上是增函数，则为+3>0,解得:

4〃一2W8-2a

35

所以实数。的取值范围是

43

故

43

15.2

【分析】设则面积为5=[(a+1)-(4-1)](夕-°)=2(4-。)，再分情况讨论二次函数的

对称轴与区间的关系，求出/⑺的值域，并表示出S,即可求出S的最小值.

【详解】显然/(")=“2-4〃,Ne[a-l,a+l],

当a+lW2,即时，小，在[a-l,a+l]上单调递减，

而/(q-1)=("1)一-4(q-1)=d-6a+5,/(a+1)=(a+l)--4(a+1)=a-2a-3,

22

即有f(n)e[a-2a-3,a-6a+5],此时,

S=[(a+l)-(a-l)][(a2-6a+5)-a1-2a-3)]=2(-4a+8)>8；

当a-122时,即aN3时，在[。-1,。+1]上单调递增,则有e-6a+5d-2a-3],

此时，S=[(a+l)-(a-l)][(a2-2a-3)-(a2-6a+5)]=2(4a-8)>8；

当1<°42时，/<”)在[。-1,2]上单调递减，/何在[24+1]上单调递增，

且/(a-l)W/(a+l),八2)=-4,则有/(〃)€[-4,/-60+5],

此时，S=[(a+l)-(a-l)][a2-6a+5-(-4)]=2(a2-6a+9)>2；

当2<a<3时，/⑹在[a-1,2]上单调递减，小>在[2,a+l]上单调递增，

且/(a-l)</(a+l),〃2)=-4,则有/(〃)e[-4,/-2a-3],

此时，S'=[(a+l)-(a-l)][a2-2a-3-(-4)]=2(a2-2a+l)>2,

综上所述，S>2,所以S的最小值为2.

故2

关键点睛：本题解决问题的关键在于讨论二次函数的对称轴与所给的区间的关系，得出二次函数

在该区间上的值域求解.

16.(l)^nfi=[-2,l)；备8=(-8,-3]D[1,+8)

(2)m<2

【分析】(1)先化简集合48,再结合集合的交集和补集的运算即可；

(2)由=得Ca/,再结合包含关系列出不等式组，即可解.

【详解】(1)由X-143,得Z=[-2,4],由±4<0,得3=(-3,1),

VI□

则力C8=[-2,1),t8=(-8,-3]31，+8)；

（2）若力uC=Z,则CqZ,

当。=0时，CqA,此时2-加>2+加，解得：加<0；

[2—〃?2—2

当加之0时，C工0,此时L,，解得：m<2,P100<zw<2,

2+wi<4

综上：m<2

17.(1)%=2

(2)(8,+oo)

【分析】（1）根据已知求出后的范围，然后根据韦达定理结合已知得出关于左的方程，求解即可

得出答案；

（2）X；+4=（占+刍）2-2玉9，代入韦达定理得出关于左的二次函数，结合《的范围，即可得出

答案.

【详解】（1）由已知可得，A=4（左+1）2-4卜2+3）=8（01）>0,所以左>1.

Xj+x2=2(k+1)

由韦达定理可得,

2

x{x2=k+3

\

2左)6

即/

所以有黄二，+1=-

+37

整理可得女2-7Z+2=0，

解得％（舍去）或k=2,

所以，k=2.

玉+々=2(攵+1)

(2)由(1)知，(>1,

2

%|X2=k+3

2

则片=(玉+x2)-2X]X2=4(4+])“一2化?+3)=2(4+2)2TO.

因为％>1,所以％：+x；>2x(l+2)2-10=8,

所以，工；+¥的取值范围是（8,+8）.

18.（1）-2；

（2）分类讨论，答案见解析.

【分析】(1)由题意可得-1,为方程62+(“-1)》-1=0(。<0)的两根，借助韦达定理求值即

可.

(2)按〃=一1,a<-1,-1<。<0分类解不等式即可.

【详解】(1)依题意，是方程尔+("1)>1=0的两个实根，且。<0,

于是-1+(一1)=-^-且Tx(一4)=」，解得Q=-2,

2a2a

所以实数4的值为-2.

(2)当"0时，不等式。/+仅一1”-120化为(x-J)(x+l)40,

当工=-1,即。=一1时，不等式为(x+lfvO,解得尸-1；

a

当一1<工<0,即“<一1时，解得一14x41；

aa

当！<一1,即一1<〃<0时，解得

aa

所以当时，原不等式的解集为［-1,&；当。=-1时，原不等式的解集为｛-1｝；

a

当-l<“<0时，原不等式的解集为［1,-1］.

a

4x八

----,x<0

19.⑴〃x)=F'：4;

4x八

----,x>0

lx+4

(2)单调递减，证明见解析；

(3)-1<zn<1.

【分析】(1)利用偶函数的定义求出函数解析式即得.

(2)变形函数式并判断单调性，再利用单调性定义推理即得.

(3)利用(2)的结论结合偶函数性质确定在(0,+e)上单调性并脱去法则，再利用恒成立的不等

式求解即得.

【详解】(1)函数/卜)是R上的偶函数，当x20时，/")=£，

当x<0时，-x>0,因此/'(x)=/(-x)=^l=、，

一x+4x-4

4x_

----,x<0

所以函数/(X)的解析式是〃X)=)4

lx+4

(2)由(1)知，当x<0时，/(x)=-^-=4+—,函数/(x)在(-纥,0)上的单调递减,

x-4x-4

//、./、161616(X.-X)

叫丫(-8,0),士气,一小=(X「4XX「4),

由网<》2<0,得再一4<0户2-4<0,x-x,>0,则，I,与，)>0,即〃*)>/a2),

2(内一4乂工2一47)n

所以函数/(X)在(-8,0)上的单调递减.

(3)由(2)知,函数/(x)在(-纥,0)上的单调递减，而“X)是R上的偶函数，

2

则函数/(x)在(0,内)上的单调递增，不等式〃2x2+l)>/(W)«/(2x+l)>/(|;n|),

于是|m<2/+1,依题意，关于x的不等式|加|<2-+1在(0,+s)上恒成立，

当x>0时，恒有2x?+l>l,因此I加区1,解得-14加41,

所以机的取值范围是-14机41.

20.(1)夕={1,1,1}或{1,0,1}

(2)。*△的最大值为〃，

当〃为偶数时，。*△的最小值为g,当〃为奇数时，a*6的最小值为噌.

22

(3)«+1

【分析】(1)可以先列出所有可能情况，再按照定义式逐个判断是否满足题意；

(2)对"分奇偶性讨论即可；

(3)用反证法说明仅有两种情况满足题意，从而得出结论.

【详解】