2023-2024学年河北省秦皇岛青龙县联考数学八年级第一学期期末经典试题含解析

2023-2024学年河北省秦皇岛青龙县联考数学八年级第一学期

期末经典试题

期末经典试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息

条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

x=2ax-by-1,

1.已知，是方程组｛J＜的解，则a、b的值分别为（）

y=1x+by-5.

A.2,7B.-1,3C.2,3D.-1,7

2.下列运算中正确的是（）

A.（x+1）2=x2+1B.a2^a3=a6C.=ab6D.a1a5=a~3

3.将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的

数H据如图（单位：cm）所o示.则桌子的高度卜=

图1图2

A.30cmB.35cmC.40cmD.45cm

4.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少

施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程

‘"一翌”=20,根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）

A.每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成

B.每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成

C.每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成

D.每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成

5.下列句子中，不是命题的是（）

A.三角形的内角和等于180度B.对顶角相等

C.过一点作已知直线的垂线D.两点确定一条直线

6.如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）

A.六边形B.八边形C.正六边形D.正八边形

7.下列长度的三条线段能组成三角形的是

A.2,3,5B.7,4,2

C.3,4,8D.3,3,4

8.已知一次函数y=h+6,y随着X的增大而减小，且的<0,则它的大致图象是（）

9.式子在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>-2B.x>-2C.x<-2D.x<-2

10.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来

相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.开州区云枫街道一位巧娘，用了7年时间，绣出了21米长的《清明上河图》.全图

长21米，宽0.65米，扎了600多万针.每针只约占0.000002275平方米.数据0.000002275

用科学记数法表示为.

12.如图，AABC中，NC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,贝!|CD=.

c

x-y=1

13.二元一次方程组.。的解为_______.

、2x+y=8

14.在RtAABC中，NC=90°,AB=13,5c=12,贝!IAC=.

15.如图在3x3的正方形网格中有四个格点A.B.C.D,以其中一点为原点，网格

线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对

称，则原点是点.

16.如图，ZVIBC是等边三角形，D,E是BC上的两点，且5O=CE,连接40、AE,

将△4EC沿AC翻折，得到△AMC,连接EM交AC于点N,连接DM.以下判断：①40

=AE,②△ABO纟△OCM,③△AOW是等边三角形,④CN=丄£。中，正确的是.

2

17.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,对角线30平分/AOC,连接AC,

ZACB=2ZDBC,若AB=4,BD=10,则5人座=.

18.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位到达点8,点A表示-夜，则8表

示的数为.

B

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图所示，已知在△ABC中，AB=AC,BD和CE分别是NABC和NACB的角

平分线，且BD和CE相交于。点.

(1)试说明△OBC是等腰三角形；

(2)连接0A,试判断直线0A与线段BC的关系，并说明理由.

20.(6分)先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题,

已知多项式2X3-丫耳机有一个因式是2x+l,求m的值

解法一：lx3-x2+m—x+m=(2x+l)(.x^+ax+b)

则2--，+“?=2炉+(2a+l)x2+(a+2方)x+b

比较系数得，a+28=0,解得力=丄丄.

22

b=m[

解法二：设2*3-工2+1M=A(2x+l)(4为整式)

1(iY(i

由于上式为恒等式，为方便计算取”=一大，2•-丄一一丄+加=0,故机=：

2I2丿I2丿2

选择恰当的方法解答下列各题

(1)已知关于的多项式好+/工-15有一个因式是x-3,加=.

(2)已知X,+IWXA+MX-16有因式(x-1)和(x-2),求机、〃的值：

(3)已知d+Zx+l是多项式x3-，+如+)的一个因式，求力的值，并将该多项式分

解因式.

21.(6分)如图1,直线45分别与工轴、)'轴交于厶、B两点,OC平分NAOB交AB

于点C,点。为线段A5上一点，过点。作OE//OC交)'轴于点已知AO=〃z,

BO=n9且〃2、〃满足（〃一6>+|〃一2根|=0.

(1)求4B两点的坐标；

(2)若点。为AB中点，延长£>E交x轴于点F,在EZ)的延长线上取点G,使

DG=DF,连接3G.

①BG与>轴的位置关系怎样？说明理由；

②求OF的长；

(3)如图2,若点尸的坐标为(10,10),E是)'轴的正半轴上一动点，P是直线上

一点，且P的坐标为(6,-6),是否存在点E使为等腰直角三角形？若存在，

求出点E的坐标；若不存在，说明理由.

22.(8分)如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直线DE经过

点C,过A作AD±DE于点D,过B作BE±DE于点E,贝UABEC纟ACDA,我

们称这种全等模型为“K型全等”.(不需要证明)

图1

(模型应用)若一次函数y=kx+4(k/))的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点.

(1)如图2,当k=-l时，若点B到经过原点的直线1的距离BE的长为3,求点

图2

4

(2)如图3,当k=-1时，点M在第一象限内，若AABM是等腰直角三角形,

求点

M的坐标;

图3

（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转

90°得到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值.

3x-5<2x

23.（8分）已知不等式组［x.l

-------<2x+l

I2

（1）解这个不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来.

（2）写出它的所有整数解

-5~4-3~2-1012345

24.（8分）某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购

进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元.

（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？

（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T

恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少

元？

25.（10分）下列方程及方程组

（1）2（1）2=32

f2x+5y=25

（2）《

4x+3y=15

2i2

26.（10分）对x,y定义一种新运算T,规定T（x,y）=竺土丄（其中a,b是非

x+y

零常数，且x+y/））,这里等式右边是通常的四则运算.

ax32+Z?xl29a+b一、am2+4b

如：T(3,1)T(m,-2)=-------------

3+14m-2

(1)填空：T(4,-1)=(用含a,b的代数式表示);

(2)若T(-2,0)=-2且T(5,-1)=1.

①求a与b的值；

②若T(3m-10,m)=T(m,3m-10),求m的值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

x=2ax-by=\2a-b=l,

【解析】把｛1代入方程组空犷5，得"=5.

故选C.

2、D

【分析】根据完全平方公式、同底数幕的乘法除法法则、幕的乘方法则计算即可.

222

【详解】A、（%+1）=X+2X+1^X+1,该选项错误；

B、a2^a3-o1,该选项错误；

C、（4〃）3=/户工〃户，该选项错误；

D、cr-7-a5-a'71,该选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了完全平方公式、同底数幕的乘法除法法则、塞的乘方法则，熟练掌握运算法

则是解决本题的关键.

3、C

【分析】设小长方形的长为X,宽为y,根据题意可列出方程组，即可求解h.

【详解】设小长方形的长为x,宽为y,由图可得

h-y+x=60

*

2Q-y+x=h

解得h=40cm,

故选C.

【点睛】

此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形列出方程组进行求解.

4、C

【解析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果

提前20天完成.此题得解.

【详解】解：•••利用工作时间列出方程：您2-幽=20,

x-10x

.♦•缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成.

故选：C.

【点睛】

本题考査了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题

的关键.

5、C

【分析】判断一件事情的句子叫做命题，根据定义即可判断.

【详解】解：C选项不能进行判断，所以其不是命题.

故选C

【点睛】

本题考査了命题，判断命题关键掌握两点：①能够进行判断；②句子一般是陈述句.

6、D

【解析】设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为120。求得外角度数，360。+这个外

角度数的结果就是所求的多边形的边数.

【详解】解：设正多边形的每个外角为x度，则每个内角为3x度，

.,.x+3x=120,

解得x=l.

多边形的边数为360。+1。=2.

故选。.

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和

为120°；正多边形的边数等于360+正多边形的一个外角度数，解题关键是熟练掌握多

边形内角与外角之间的关系.

7、D

【解析】试题解析：A.•••3+2=5,...2,3,5不能组成三角形，故A错误；

B.V4+2<7,.\7,4,2不能组成三角形，故B错误；

C.,••4+3V8,...3,4,8不能组成三角形，故C错误；

D.；3+3>4,，3,3,4能组成三角形，故D正确；

故选D.

8、B

【分析】根据）'随着x的增大而减小可知k<0,一次函数从左往右为下降趋势，由

妙<0可得。>0,一次函数与y轴交于正半轴，综合即可得出答案.

【详解】解：vy随着x的增大而减小，

.•.k<0,一次函数从左往右为下降趋势，

又•.•妨<0

：.b>0

一次函数与y轴交于正半轴，

可知它的大致图象是B选项

故答案为：B.

【点睛】

本题考査了一次函数图象，掌握k,b对一次函数的影响是解题的关键.

9、B

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+220,再解不等式即可.

【详解】解：由题意得：x+2>0,

解得：x>—2,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

10、D

【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题.

【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点

就是平行四边形的顶点，

...带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.

故选D.

【点睛】

本题考查平行四边形的定义以及性质,解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶

点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、2.275x10^

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl「"，与较

大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕,指数由原数左边起第一个不为零的

数字前面的1的个数所决定.

【详解】1.111112275=2.275xlO-6.

故答案为：2.275x10-6.

【点睛】

本题考査了用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中lW|a|VlL"为由

原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定.

12、1

【分析】由于NC=90。，ZABC=60°,可以得到NA=10。，又由应）平分NA8C,可以推

出NCBZ）=NA5D=NA=10。，BD=AD=6,再由10。角所对的直角边等于斜边的一半即

可求出结果.

【详解】VZC=90°,N48C=60°,

:.ZA=10°.

,.•80平分NA3C,

，ZCBD=ZABD=ZA=10°,

:.BD=AD=69

11

:・CD=-BD=6X-=1.

22

故答案为1.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、含10°角的直角三角形、等腰三角形的判定以及角的

平分线的性质.解题的关键是熟练掌握有关性质和定理.

x=3

13、

y=2

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

=1①

【详解】解•

[2x+y=8②

①+②得：3x=9,

解得：x=3,

把x=3代入①得：y=2,

X=3

则方程组的解为,

卜=2

x=3

故答案为：c.

[y=2

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

14、5

【分析】利用勾股定理求解.

【详解】解：在RtAABC中，ZC=90°,

-'-AC=\lAB2-BC2=V132-122=5•

故答案为5.

【点睛】

掌握勾股定理是本题的解题关键.

15、B点

【解析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案.

【详解】解：当以点B为原点时，如图，

A(-1,-1),C(1,-1),

则点A和点C关于y轴对称，符合条件.

故答案为：B点.

【点睛】

本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的

坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键.

16、①@④.

【分析】由等边三角形的性质得出AB=AC,ZB=ZBAC=ZACE=60°,由SAS

证得AABD纟Z\ACE,得出NBAD=NCAE,AD=AE,由折叠的性质得CE=CM=

BD,AE=AM=AD,NCAE=NCAM=NBAD,推出NDAM=NBAC=60°,则

△ADM是等边三角形，得出DM=AD,易证AB>DM,AD>DC,得出AABD与△DCM

不全等，由折叠的性质得AE=AM,CE=CM,则AC垂直平分EM,即NENC=90。，

由NACE=60。，得出NCEN=30。，即可得出CN=，EC.

2

【详解】解：△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,N8=N5AC=NACE=60°,

AB=AC

在△ABO和AACE中，<NB=NACE,

BD=CE

.♦.△ABO纟△ACE(SAS),

：.ZBAD=ZCAE,AD=AE,故①正确；

由折叠的性质得：CE=CM=BD,AE=AM=AD,ZCAE=ZCAM=ZBAD,

...N£)4M=N8AC=60°,

...△4DM是等边三角形，

：.DM=AD,

'：AB>AD,

：.AB>DM,

'：ZACD>ZDAC,

：.AD>DC,

.•.△ABO与AOCM不全等，故③正确、②错误；

由折叠的性质得：AE=AM,CE=CM,

...AC垂直平分EM,

：.ZENC=90°,

VZACE=60°,

；.NCEN=30°,

：.CN=-EC,故④正确，

2

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形

三边关系、含30。角直角三角形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等

是解题的关键.

17、1

【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD//BC,然后根据平行线的性

质和已知条件可推出CA=CO,可得CB=CA=C。，过点C作CE丄50于点E,CF1.AB

于点G如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得。E的长和NBb=NCDE,

然后即可根据AAS证明ABC尸纟ACOE,可得C尸=Z)E,再根据三角形的面积公式计算

即得结果.

【详解】解：,:BC=CD,：.NCBD=NCDB,

VBO平分NADC,:.ZADB=ZCDB,

；.NCBD=NADB,：.AD//BC,：.ZCAD=ZACB,

•；ZACB=2/DBC,ZADC=2ZBDC,NCBD=NCDB,

AZACB=ZADC,ZCAD^ZADC,

：.CA=CD,：.CB=CA=CD,

过点C作CE丄50于点E,C尸丄A3于点尸，如图，则。£=丄8。=5,

2

NBCF=L/ACB,

2

VZBDC=-ZADC,ZACB=ZADC,；./BCF=NCDE,

2

在ABCF和ACOE中，,:NBCF=NCDE,NBFC=NCED=90。,CB=CD,

：4BCF会4CDE(AAS),：.CF=DE=5,

：.S=-AB-CF=-x4x5=10.

ABRCr22

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等

三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加

辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.

18、2-72.

【分析】根据平移的性质得出答案即可.

【详解】解：蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位到达点3,点A表示-8，

根据题意得，3表示的数为：2-五,

故答案是：2-垃.

【点睛】

本题考査了数轴上的点的平移，熟悉相关性质是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）详见解析；（2）直线A0垂直平分BC

【分析】（1）根据对边对等角得到NABC=NACB,再结合角平分线的定义得到

ZOBC=ZOCB,从而证明OB=OC；

（2）首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分NBAC,再根据等腰三角形的三

线合一的性质得到直线AO垂直平分BC.

【详解】（1）V在aABC中，AB=AC,

:.ZABC=ZBCA,

BD、CE分别平分NABC、ZBCA,

/.ZABD=ZCBD,ZACE=ZBCE,

:.ZOBC=ZBCO,

工OB=OC,

・・・ZkOBC为等腰三角形；

(2)

I

A

AB=AC

,：｛AO=AO,

BO=CO

/.△AOB^AAOC(SSS),

/.ZBAO=ZCAO,

直线AO垂直平分BC.(等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互

相重合)

【点睛】

此题考査了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各

知识点要能够熟练运用.

20>(1)1；(1)m=-5,n=10；(3)a=-5,b=-3,该多项式分解因式为：x3-

x1-5x-3=(x-3)(x+1)1

【分析】(1)根据多项式乘法将等式右边展开有：x'+/nx-15=(x-3)(x+n)=x1+

(n-1)x-n,所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得，〃的值；

(1)x4+/nx3+/ix-16=A(xT)(x-1)(A为整式)，分别取x=l和x=l得关于

机和〃的二元一次方程组，求解即可；

(3)设好-3+好+。=(x+p)(3+lx+l),将等式右边展开，比较系数，得关于p,a,

8的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可.

【详解】解：(1)由题设知：xl+mx-15=(x-3)(X+M)=X'+(n-3)x-3n,

故m=n-3,-3n=-15,

解得"=5,m=l.

故答案为1;

(1)x4+mx3+nx-16=A(,x-1)(x-1)(A为整式)，

分别令x=l和x=l得：

，〃+〃-15=0

8m+2〃=0'

m=-5

解得：“，

〃=20

*.m=-5,n=10；

(3)设丁-文1+8什办=(x+p)(jd+lx+1),

■:(x+p)(xx+lx+l)

=^+(1+p)3+(1+lp)x+p,

2+p=-l

：A\+2p=a,

p=b

‘”=-3

解得：<a=-5,

b=—3

多项式x3-x1+ax+Z>=x3-x1-5x-3,

Ax3-x1-5x-3

=(x-3)(x'+lx+l)

=(x-3)(x+1)],

5,b=-3,该多项式分解因式为：r3-x1-5x-3=(x-3)(x+1)1.

【点睛】

本题考査了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关

键.

21、(1)点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,6)；(2)①BG丄y轴，理由见解析；

②2；(3)存在，点E的坐标为(0,4)

2

【分析】(1)根据平方和绝对值的非负性即可求出m和n的值，从而求出点A、B的

坐标；

(2)①利用SAS即可证出4BDG纟△ADF,从而得出NG=NAFD,根据平行线的判

定可得BG〃AF,从而得出NGBO=90°,即可得出结论；

②过点D作DM丄x轴于M,根据平面直角坐标系中线段的中点公式即可求出点D的

3

坐标，从而求出OM=7,DM=3,根据角平分线的定义可得NCOA=45°,再根据平

行线的性质和等腰三角形的判定可得△FMD为等腰三角形，FM=DM=3,从而求出点

F的坐标；

(3)过点F作FG±y轴于G,过点P作PH±y轴于H,利用AAS证出4GFE纟aHEP,

从而得出FG=EH,GE=PH,然后根据点F和点P的坐标即可求出OE的长，从而求

出点E的坐标.

【详解】解：(1)•••(〃-6)2+|〃一2根|=0,(n-6)2>0,h-2/M^0

n—6=0,n—2m=0

解得：n=6,m=3

.,.AO=3,BO=6

，点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,6)；

(2)①BG丄y轴，理由如下

•••点。为4?中点

.\BD=AD

在△BDG和aADF中

DG=DF

<ZBDG=ZADF

BD=AD

/.△BDG^AADF

AZG=ZAFD

；.BG〃AF

.,.ZGBO=180°-ZAOB=90°

.♦.BG丄y轴；

②过点D作DM丄x轴于M

•点。为AB中点

.•.点D的坐标为(等，等)=(1,3)

3

.,.OM=—，DM=3

2

平分NAOB

.-.ZCOA=-ZAOB=45°

2

VDE//OC

.,.ZMFD=ZCOA=45"

.♦.△FMD为等腰三角形，FM=DM=3

3

/.OF=FM-OM=-；

2

(3)存在，

过点F作FG丄y轴于G,过点P作PH丄y轴于H

若△EFP为等腰直角三角形，必有EF=PE,ZFEP=90°

.,.ZGFE+ZGEF=90°,ZHEP+ZGEF=90°

.,.ZGFE=ZHEP

在AGFE和AHEP中

NGFE=ZHEP

<NFGE=NEHP=9U。

EF=PE

/.△GFE^AHEP

.*.FG=EH,GE=PH

•.•点厂的坐标为(10,10),点P的坐标为(6,—6)

.,.00=10,PH=6

/.GE=6

.\OE=OG-GE=4

...点E的坐标为(0,4).

【点睛】

此题考查的是非负性的应用、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和平面直

角坐标系中线段中点坐标的求法,掌握平方和绝对值的非负性、构造全等三角形的方法、

全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和平面直角坐标系中线段中点坐标公式

是解决此题的关键.

77

22、（1）#j；（2）点M的坐标为（7,3）或（1,7）或（一，一）；（3）OQ的最小值

22

为1.

【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，根据勾股定理即可求出OE的长，然后利用

AAS证出AADO纟ZkOEB,即可求出AD的长；

（2）先求出A、B两点的坐标，根据等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出

对应的图形，利用AAS证出对应的全等三角形即可分别求出点M的坐标；

（3）根据k的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，设点A的坐标为（x,0）,

证出对应的全等三角形，利用勾股定理得出OQ?与x的函数关系式，利用平方的非负

性从而求出OQ的最值.

【详解】解：（1）根据题意可知：直线AB的解析式为y=-x+l

当x=0时，y=l；当y=0时，x=l

...点A的坐标为（1,0）点B的坐标为（0,1）

/.OA=BO=1

根据勾股定理：OE=-BE2=V7

VZADO=ZOEB=ZAOB=90°

.•.ZAOD+ZOAD=90°,ZAOD+ZBOE=90°

.*.ZOAD=ZBOE

在AADO和△OEB中

ZADO=ZOEB

<ZOAD=NBOE

OA=BO

.,.△ADO^AOEB

AAD=OE=V?

4

（2）由题意可知：直线AB的解析式为y=-,x+l

当x=0时，y=l；当y=0时，x=3

.•.点A的坐标为（3,0）点B的坐标为（0,1）

/.OA=3,BO=1

①当AABM是以NBAM为直角顶点的等腰直角三角形时，AM=AB,过点M作MN丄x

轴于N

•:ZMNA=ZAOB=ZBAM=90"

，NMAN+NAMN=90°,ZMAN+ZBAO=90°

.'.ZAMN=ZBAO

在△AMN和△BAO中

2MNA=NAOB

<ZAMN=ZBAO

AM=BA

/.△AMN^ABAO

.,.AN=BO=1,MN=AO=3

.•.ON=OA+AN=7

此时点M的坐标为(7,3);

②当AABM是以NABM为直角顶点的等腰直角三角形时，BM=AB,过点M作MN丄y

轴于N

,:NMNB=NBOA=NABM=90°

/.ZMBN+ZBMN=90",ZMBN+ZABO=90°

:.ZBMN=ZABO

在△BMN和厶厶!?。中

4MNB=ZBOA

<4BMN=NABO

BM=AB

/.△BMN^AABO

.♦.BN=AO=3,MN=BO=1

，ON=OB+BN=7

,此时点M的坐标为(1,7)；

③当AABM是以NAMB为直角顶点的等腰直角三角形时，MA=MB,过点M作MN丄x

轴于N,MD丄y轴于D,设点M的坐标为(x,y)

AMD=ON=x,MN=OD=y,ZMNA=ZMDB=ZBMA=ZDMN=90"

.,.BD=OB-OD=l-y,AN=ON-OA=x-3,ZAMN+ZDMA=90°,NBMD+

ZDMA=90°

ZAMN=ZBMD

在aAMN和△BMD中

'NMNA=NMDB

<4AMN=NBMD

MA=MB

.,.△AMN^ABMD

.\MN=MD,AN=BD

/.x=y,x-3=1-y

,7

解得：x=y=—

77

,此时M点的坐标为（一，一）

22

77

综上所述：点M的坐标为（7,3）或（1,7）或（一，一）.

22

（3）①当k<0时，如图所示，过点Q作QN丄y轴，设点A的坐标为（x,0）该直线

与x轴交于正半轴，故x>0

.\OB=1,OA=x

由题意可知：ZQBA=90°,QB=BA

VZQNB=ZBOA=ZABQ=90°

/.ZQBN+ZBQN=90°,NQBN+NABO=90°

/.ZBQN=ZABO

在△BQN和△ABO中

AQNB=ZBOA

<ZBQN=AABO

BQ=AB

/.△BQN^AABO

.,.QN=OB=1,BN=OA=x

.,.ON=OB+BN=l+x

在RtZ\OQN中，OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+l2=(X+1)2+16,其中X>0

AOQ2=(x+1)2+16>16

②当k>0时，如图所示，过点Q作QN丄y轴，设点A的坐标为(x,())该直线与x

轴交于负半轴，故x<0

•\OB=1,OA=-x

由题意可知：NQBA=90°,QB=BA

VNQNB=NBOA=NABQ=90°

；.NQBN+NBQN=90°,ZQBN+ZABO=90°

:.ZBQN=ZABO

在△BQN和厶厶!｝。中

,NQNB=NBOA

<ZBQN=ZABO

BQ=AB

.,.△BQN^AABO

，QN=OB=1,BN=OA=-x

.*.ON=OB-BN=l+x

在RtZlOQN中，OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+l2=(X+1)2+16,其中XVO

，OQ2=(X+1)2+16216(当x=-l时，取等号)

综上所述：OQ2的最小值为16

，OQ的最小值为L

【点睛】

此题考查是一次函数与图形的综合大题,难度系数较大，掌握全等三角形的判定及性质、

等腰三角形的性质、勾股定理、平方的非负性和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.

23、(1)-l<x<5,数轴见解析；(2)-1,0,1,2,3,4

【分析】(1)先解不等式组，然后在数轴上表示出即可；

(2)根据不等式组的解集写出整数解.

【详解】解：由不等式3x-5V2x得：x<5,

由不等式二二1W2X+1得：-lWx,

2

则不等式组的解集为-14x<5,

将它的解集在数轴上表示出来，如图：

(2)•.•不等式组的解