2022-2023学年河南省南阳市宛城区八年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

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2022-2023学年河南省南阳市宛城区八年级（上）期中数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.化简a3-a2的结果是（）

A.aB.a6C.a5D.a9

2.式子,（-3）2表示（）

A.-3的算术平方根B.6的算术平方根C.9的平方根D.9的算术平方根

3.下列四个数中，不是无理数的是（）

A.7TB.V2C.D.V-9

4.若等腰三角形的周长为26cm,一边为6cm,则腰长为（）

A.10cmB.6cmC.10cm或6cmD.以上都不对

5.计算（M+aZ+ia*个。2）3的结果是（）

A.125a6B.15a5C.a30D.a13

6.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一

个目标点4,再在河的这一边选定点8和F,使4B1BF,并

在垂线BF上取两点C、。，使BC=CD,再作出8F的垂线DE,

使点4、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC三△EDC,

进而可得4B=0E,即测得OE的长就是AB的长，则4

4BC三AEOC的理论依据是（）

A.SASB.HLC.ASAD.AAA

7.在多项式/+/添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解,

则添加的单项式不可以是（）

B.—XD.—X

8.若20222022_2022202。=2023x2022nx2021,则n的值是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

9.聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x-4）,由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄

成“一机”，得到的结果为5/-34X+24.这道题的正确结果是（）

A.5x2+26x-24B,5x2-26x-24C.5x2+34x-24D,5x2-34x-24

10.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60。，那么这个等腰三角形的顶角等于

（）

A.15°或75°B,30°C.150°D,150°或30°

第H卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.要做一只容积为216cm3的正方体纸盒，则该正方体的棱长为

12.可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是.

13.计算：-24a3b2-e-3ab2=.

14.如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则N1+/2的度数为

15.如图，AC=AB=BD,/-ABD=90°,BC=6,则ABC。的面积为

A

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(本小题10.0分)

计算：

(l)3x2-x6^%4；

(2)(4x2y)3(0.125xy3)2.

17.(本小题9.0分)

将暴的运算逆向思维可以得到am+n=於1.即，am-n=am^an,amn=(am)n,ambm=

(ab)乙在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用累的运算法则，常可化繁为简，化

难为易，使问题巧妙获解.

(1)已知，am=2,an=3,求：

①口皿+"的值；

②a2m-n的值；

(2)己知2x8、x16=223,求x的值.

18.(本小题9.0分)

阅读理解.

•••<4<AT5<<9.即2<C<3,[1<—一1<2.

，石一1的整数部分为1,/亏一1的小数部分为=门一1一1=/亏一2

解决问题：已知a是的整数部分，b是3的小数部分.

(1)求a、b的值：

(2)求(一a)3+(b+4产的平方根.

19.(本小题9.0分)

己知：如图，AC,BO交于点。，AB=CD,请你再添加一个条件(不再添加其他辅助线，不

再标注或使用其他字母)，使OB=OC,并给出证明.

20.(本小题9.0分)

在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并

完成相应的任务.

题目:将(2x+y)2一(x+2y)2分解因式

小彬的解法：小颖的解法：

(2%+y)2-(x+2y>(2x+y)2-(x+2y>

=(4x2+4xy+y2)—(x2+4xy+4y2).....第=(2%+y+%+2y)(2x+y—%+2y).....

1步第1步

=3x2-3y2..........................第2=(3x+3y)(x+3y).............................第2

步步

=3(%+y)(x-y)....................第3=3(x+y)(x+3y)..............................第3

步步

任务：

①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是,这位

同学的解答过程中第1步依据的乘法公式可以用字母表示为:而另一位同学的解答是

从第步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是.

②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；

③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的

事项给其他同学提一条建议.

21.(本小题9.0分)

阅读理解：把4个数a、b、c、d排列成B",我们称之为二阶行列式，规定其运算法则为

[^\=ad-bc,例如：《=2x4-3x(-5)=23.请解答下列各题：

⑴计喉部渡卧值；

(2)若/_3%_1=0,求的值.

22.(本小题10.0分)

数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为从

宽为Q的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得(a+2b)(a+b)=

a2+3ab+炉.则:

(1)由图3可以解释的等式是；

(2)用9张边长为a的正方形纸片，12张长为从宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸

片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；

(3)用5张长为b宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形4BCD内，大长方形中

未被覆盖的两个部分的面积设为Si、S2,BC的长设为x.

①请用含x的代数式表示：2s2-3S1；

②若无论x取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出a与b满足的数量关系.

23.(本小题10.0分)

【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行

线时一般可得等腰三角形.如图1,P为N40B的角平分线OC上一点，常过点P作PD〃OB交04于

点0,易得APOO为等腰三角形.

(1)【基本运用】如图2,把长方形纸片4BCD沿对角线力C折叠，使点B落在点B'处，则重合部

分&ACE是等腰三角形.请将以下过程或理由补充完整:

•••在长方形4BCD中，DC//AB,

.•.乙4CD=NB4C,由折叠性质可得：

•••乙ACD=AB'AC,

•••AE=CE,(依据是：)

.•.△ACE是等腰三角形；

⑵【类比探究】如图3,AABC中，内角乙4BC与外角N4CG的角平分线交于点0,过点。作

DE〃BC分另I」交48、AC于点。、E,试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由；

⑶【拓展提升】如图4,四边形中，AD//BC,E为CO边的中点，4E平分心BAD,连接

BE,求证：AE_1.BE.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：a3-a2=a5.

故选：C.

直接利用同底数'幕的乘法运算法则计算得出答案.

此题主要考查了同底数慕的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：yj(―3)2=

••・表示的是9的算术平方根.

故选：D.

根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解.

本题主要考查平方根.掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：A,选项，乃是无理数，不符合题意；

B,选项，，至是开不尽方的二次根式，是无理数，不符合题意；

C,选项，:是分数，是有理数，符合题意；

D,选项，g是开不尽方的三次根式，是无理数，不符合题意.

故选：C.

根据无理数的概念，即无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含〃的最简式子，开不尽方的二

(三)次根式，特殊结果的数，由此即可求解.

本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念，识记常见的无理数形式是解题的关键.

4.【答案】4

【解析】解：①当6cm为腰长时，底边长=26—6-6=14(cm),因为14>6+6,所以不能构

成三角形；

②当6cm为底边长时，腰长=(26—6)+2=10(czn),因为6-6<10<6+6,所以能构成三角

形；

故选A.

题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，所以应该分两种情况进行分析求解.

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行

检验.

5.【答案】A

【解析】解：(5+…+吗个.2)3

=(5a2)3

=125a6.

故选：A.

利用积的乘方的法则进行求解即可.

本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

6【答案】C

【解析】解：因为证明在△力BC三AEDC用至IJ的条件是：CD=BC,AABC=2.EDC=90°,Z.ACB=

乙ECD,

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即4sA这一方法.

故选：C.

根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判

断方法.

此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、A4S、HL,

做题时注意选择.注意：444、SS4不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

7.【答案】D

【解析1解：力选项，x2+x+i=(x+1)2,可以构成完全平方和公式，不符合题意；

2

B选项，x2-x+i=(x-1),可以构成完全平方差公式，不符合题意；

4222

C选项，x+x+l=(x+l),可以构成完全平方和公式，不符合题意；

0选项，-x4+x2+J,不可以构成完全平方公式，符合题意.

4

故选：D.

根据完全平方和(差)公式的性质即可求解.

本题主要考查完全平方公式的运用，掌握配方法，理解完全平方公式的形式是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：,：20222°22_20222020

=20222020*(20222_劫

=20222020x(2022+1)x(2022-1)

=2023x20222°2°x2021,

又•••20222022_20222020=2023x2022nx2021,

n

2023x20222020x2021=2023X2022x2021.

:.n=2020.

故选：A.

先提取公因式，再套用平方差公式分解20222。22—20222。2。，再根据等式的性质确定九的值.

本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解决本题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：•・•(》—ni)(5x-4)=5x2—34%+24,

・•・5x2—4x-5mx+4m=5x2—34x+24,

••・—4—5m=—34,

解得：m=6；

把m=6代入原式得：

(%+m)(5x-4)=(x+6)(5%—4)

=5x2—4x+30%—24

=5x2+26x—24.

故选：A.

直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出小的值，代入原式求出答案.

此题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

10.【答案】D

【解析】解：①当为锐角三角形时画图如图，A

高与左边腰成60。夹角，由三角形内角和为180。可得，顶角为/\

1800-90°-60°=30°,/\

②当为钝角三角形时画图如图，/\、

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180。，・/J

由图可以看出等腰三角形的顶角的邻补角为30。，

二三角形的顶角为180。-30。=150°.

故选：D.

读到此题我们首先想到等腰三角形分锐角、直角、钝角三角形，当为等腰直角三角形时不可能出

现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.

本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候

可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

11.【答案】6cm

【解析】解：正方体纸盒的棱长是：V216=6cm.

故答案是：6cm.

正方体纸盒的棱长就是体积的立方根，据此即可求解.

本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题，解决本题的关键是理解熔化前后总体积不变，

需注意立方体的棱长应是体积的三次方根.

12.【答案】—V'T+，^=0

【解析】解：可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是：-，攵+d2=0.

故答案为：—1^+1^=。.

直接利用实数的加减运算法则举例得出答案.

此题主要考查了实数的运算，正确掌握无理数的定义是解题关键.

13.【答案】-8a2

【解析】解：-24a3b2+3ab2=受a3Tb2々=-8a2.

故答案为：—8a2.

根据同底数幕的除法运算法则即可求解.

本题主要考查同底数幕的除法，掌握整式除法法则是解题的关键.

14.【答案】45°

【解析】解：如图，

在△48C与△EDC中，

AB=DE=2,

/-ABC=4。=90°,

BC=CD=1

.MABCNAEDC(SAS),

:.z.1=Z.CED,

vZ-CED+Z2=45°,

・・・zl+z.2=45°,

故答案为：45°.

根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.

主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从

而判定全等后利用全等三角形的性质解题.

15.【答案】9

【解析】解：过点力作4ELBC,垂足为E,过点。作。交C8的延长线于点尸,

・・・Z.AEB=乙DFC=90°,

・・・乙DBF+乙BDF=90°,

vZ-ABD=90°,

・•.Z,ABE+乙DBF=90°,

・•・Z.ABE=(BDF,

AB=AC,AE1BC,

BE==3,

•：AB=BD,

BE=DF=3,

•••△BCD的面积=；BC•OF=2x6x3=9,

故答案为：9.

过点4作AE1BC,垂足为E,过点。作。F1CB,交CB的延长线于点F,根据垂直定义可得NAEB=

乙DFC=90。，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得NDBF+4BDF=90%再利用平角定义

可得乙4BE+4DBF=90。，从而利用同角的余角相等可得/ABE=4BDF,然后利用等腰三角形

的三线合一性质可得BE=\BC=3,再证明一线三等角全等模型△力EBmaBFD,从而可得8E=

DF=3,最后利用三角形的面积进行计算即可解答.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加

适当的辅助线是解题的关键.

16.【答案】解：(l)3x2-X64-x4

=3x2-x2

=2x2.

(2)(4x2y)3(0.125xy3)2

=43%2x3y3x(g)25%2y3x2

=64x6y3x*/y6

一寸6+2、,3+6

—xy

_6+2..9

一xvy

=x8y9.

【解析】(1)根据整式的除法法则，加减法法则即可求解；

(2)根据积的乘方，整式的乘法法则即可求解.

本题主要考查整式的乘法法则，掌握整式的乘法法则是解题的关键.

17.【答案】解：(1)①•••amyn=am+n,am=2,an=3,

am+n=am-an

=2x3

=6；

②•••9与2.^=a2m+n,

a2m+n=(aTO)2-an

=22x3

=12；

(2)2x8*X16=2x23Xx24=21+3z+4=223,

J.1+3x+4=23,

解得x=6

【解析】(1)根据同底数基的乘法的计算方法将am+"转化为am,即，将a2m+n转化为(。小y.a",

然后代入计算即可；

(2)根据幕的乘方以及同底数幕的乘法将原式化为21+3计4=223,进而得到I+3X+4=23,求出

x的值即可.

本题考查同底数幕的乘除法，塞的乘方与积的乘方，掌握同底数塞的乘除法的计算法则以及幕的

乘方与积的乘方的运算性质是正确解答的前提.

18.【答案】解:(1)v16<17<25,

4<V^7<5.

1<3<2,

3的整数部分是1，小数部分=C7-3-1=「7-4，

a=1,b=V17-4:

(2)当a=l,b=S7-4时，

(-a)3+(b+4)2=(-1)3+(V-T7-4+4)2=—1+17=16,

•••(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.

【解析】(1)先估算出口的值的范围，然后再估算出厅-3的值的范围，即可解答；

(2)利用(1)的结论，把a,b的值代入式子中，进行计算即可解答.

本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键.

19.【答案】证明：方法一•：AB=CD,BC=CB,若AC=DB,

OCB(SSS),

Z-ACB=乙DBC,

•••△BC。中，OB=OC；

方法二：•；AB=CD,BC=CB,若乙ABC=LDCB,

：.4ABCm4DCB(SAS),

Z.ACB=Z.DBC,

•••△BC。中，OB=OC；

方法三：vAB=CD,AAOB=ADOC,若乙4=4»,

：.^ABO=^DCO(AAS),

OB=OC；

方法四：vAB=CD,乙AOB=LDOC,若NAB0=4DC0,

.-.^ABO^^DCO(AAS},

••OB=OC.

【解析】要证明。8=0C,根据等腰三角形中等角对等边，也可以根据三角形全等，对应边相等

即可.

本题主要考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

20.【答案］小彬(a±b)2=a2±2ab+b2一+2y没有变号

【解析】解：(1)小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差

公式进行因式分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分

解，在第一步的地方，忘记变号，故错误，

•••小彬的解法正确；

完全平方公式用字母表示为：(a±b)2=a2+2ab+b2,

小颖的解法从第一步出错，出错的原因是+2y没有变号.

故答案为：小彬；(a±b)2=a2±2ab4-b2；-；+2y没有变号；

(2)运用平方差公式正确的解法是：

(2x+y)2—(x+2y产

=(2x+y+%+2y)(2x+y-%—2y)

=(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y).

(3)运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去

括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行.

(1)根据完全平方公式即可作出判定；根据完全平方公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用

平方差公式时要注意各项的符号；

(2)运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解；

(3)根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解.

本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键.

21.【答案】解：(1)原式=2x107x7x105-3x106x4x106

=14x1012-12x1012,

=2x1012.

(2)•••x2—3%—1=0,即工2—3x=1.

叱3

1；X^1|=(X+1)(X-1)-3X(X-2)

=x2—1—3x2+6x

=-2x2+6x-l

=-2(x2—3x)—1

=—3.

【解析】(1)根据材料给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解；

(2)根据材料给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解.

本题主要考查定义新运算，整式混合运算的综合，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

22.【答案】(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2

【解析】解：(1)根据题意，由图可得：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,

故答案为:(2a+h)(a+b)=2a2+3ab+b2；

(2)根据正方形的面积计算方法得：9a2+12ab+4b2=(3a+2b}2,

大正方形的面积为：(3a+2b产，

・•・大正方形的边长为：3a+2b；

(3)①设=

根据长方形的面积计算方法可得：Sr=b(x-3a),S2=2a(x-h),

2S2-3sl

=4a(x—b)—3b(x—3a)

=(4a-3b)x+5ab；

②当4a-3b=0时，2s2-3