2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三年级上册开学摸底考试数学试题

2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三上学期开学摸底考试数

学试题

一、单选题

1.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-l,2},B={x|f-4x+3=0},则d(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合8,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B={X|X2-4X+3=0}={1,3},所以Au8={-1,1,2,3},

所以Q(AuB)={-2,0}.

故选：D.

2.函数，(x)=kr+(x-l)°的定义域为()

V3x-2

A.(|,+8)B.|,iL(i,+oo)

C.|』)u(l,+8)D.2

——,+oo

3

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0,分式的分母不为0,以及零次幕的底数不等于0,建

立不等式组，求解即可.

3x-2>02

【详解】解：由已知得…。，解得—且》1，

7r4-1的定义域为仁」卜(1，+8),

所以函数/(x)=A_刀

\J3x-2

故选：B.

3.下列函数中是增函数的为()

A./(x)=—xB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.f(x)=石:

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,/(x)=-X为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,=为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,〃兀)=¥在(-8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,/(力=也为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

4.已知实数x,y,则“x>y”是6万''的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求出当G斤>6万时，x>y>\,再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

【详解】若^/^斤>J7万，则x>>21,

当时，推不出X>y21；反之，成立，

所以“x>y”是“而1>斤1”的必要不充分条件

故选：A

5.若a=10。/，fe=lg0.8,c=log53.5,则()

A.a>b>cB.h>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断。力,c的范围，即可比较大小，可得答案.

【详解】由函数y=10"为增函数可知°=10。">1,

由y=lgx为增函数可得b=lg0.8<0,由由y=log5%为增函数可得0<c=logs3.5<l,

iz=1001>1>c=log,3.5>0>b=lg0.8,

:.a>ob,

故选:D

6.函数〃x)的定义域为开区间(a/),导函数/'(x)在(a,A)内的图象如图所示，则函数〃x)在开

区间(。,与内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】观察函数r(x)在S，b)内的图象与x轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数尸（X）在区间3。）内的图象可知，函数/（X）在（凡。）内的图象与X轴有四个

公共点，

“X）在开区间（。,与内的极小值点有1个.

故选：A.

7.定义域为R的可导函数的导函数y=/a）为/（%）,满足且/（o）=i,则不等式

的解集为（）

A.（YO,2）B.（2,+oo）C.（—,0）D.（0,+a?）

【答案】D

【分析】根据条件构造函数尸（力=华，求函数的导数可得函数的单调性，再根据

与＜1oF（x）＜F（0）利用函数的单调性解不等式，即可得到结果.

【详解】设尸（“=§,

则尸（x）=f'（x）e；〃x）e"=叱小）,

因为（x）＞r（x）,

所以F'（x）＜0,

即函数E（x）在定义域上单调递减，

因为"0）=1,

所以不等式/（x）＜e'等价于Zkl＜1,等价于尸（x）＜尸（0）,

e

解得x＞0,

故不等式的解集为（0,+8）.

故选：D.

8.函数丫=萼的图像大致为（）

x~+2

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由当xe(O,l)时，/(x)<0,排除D,即可得解.

【详解】设y=/(x)=*,则函数〃x)的定义域为{巾*0},关于原点对称，

又/(-*)==〃"，所以函数“X)为偶函数，排除AC；

当xe(O,l)时，111n(0,r+2>0,所以f(x)<0,排除D.

故选：B.

9.已知"X)是定义域为(e,y)的奇函数，满足H1-X)=H1+X).若/⑴=2,则

/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为(f，+9)的奇函数，且H1-x)=尸(1+x),

所以/(I+x)=-/(x-l)/./(3+x)=-f{x+l)=/(x-l).-.T=4,

因此/⑴+/(2)+/(3)++/(50)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2),

因为/(3)=-/(1)，/(4)=-/(2),所以川)+/(2)+f(3)+f(4)=0,

"2)=/(-2)=-/(2)/./(2)=0,从而/(I)+/⑵+/(3)++f(50)=/(I)=2,选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将

所求函数值的自变量转化到己知解析式的函数定义域内求解.

,、2*"+l,x40r,，、

10.己知函数=qx>0若关于X的方程［〃X)丁一2硝力+2=0有六个不相等的实数根，

则实数。的取值范围是().

A,(得B.得C.［得］D.

【答案】D

【分析】设/(x)=f,作出函数/(x)的图象，分析可知函数g(f)=『-2〃+2在区间(1,3］上有两个

不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数。的不等式组，由此可解得实数”的取值范围.

【详解】令〃x)=f,则g(f)=»一加f+2,作f(x)的图象如图所示，

设g(f)=/—2a+2的零点为4、芍，

由图可知，要满足题意，则需g(r)=/-加+2在(1,3］上有两不等的零点，

1<a<3

g(l)=3_2a>0

则《解得忘<a<2.

g(3)=ll-6/>0'2

△=4/-8>0

因此，实数。的取值范围是

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于复合函数y=/［g(x)］的零点个数问题，求解思路如下:

(1)确定内层函数〃=g(x)和外层函数y=/(〃)；

(2)确定外层函数y=/(〃)的零点〃=%(，=1,2,3,.,〃)；

(3)确定直线〃=%(，=1,2,3,㈤与内层函数“=g(x)图象的交点个数分别为4、色、％、L、

则函数y=/［g(x)］的零点个数为4+生+%++%.

二、多选题

11.已知且a+b=l,那么下列不等式中，恒成立的有().

A.ab„B.abr-—C.\［a+\［b„yflD.—l--..2A/2

4ab4a2b

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论.

【详解】。,8€/?+,。+匕=1,，时,，(等)=；(当且仅当a=6=g时取得等号).所以选项A正确

由选项A有岫v1,jgy=x+-,则丫=*+，在(0,：上单调递减.

4xx14」

1117

所以。力+下之二+4=二，所以选项B正确

ab44

(yfa+O=〃+8+2\/^,。+人+4+人=2(当且仅当。=8=3时取得等号)，

.•・五+〃,,及.所以选项C正确.

11a+ba+h3bd3Aba3夜

一十一----+----=—+—+—...—+2,(当且仅当片=劝2时等号成立)，所以

a2b2b2a2b2a2b2

选项D不正确.

故A,B,C正确

故选：ABC

【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

12.已知函数/(X)=工3-x+1,贝|J()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=F(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/'(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利

用导数的儿何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3x2-l,令J,x)＞0得x＞q或xv-4，

令:(幻＜0得-旦

33

所以/(x)在(_8,-理)，(乎,+8)上单调递增，(-乎，乎)上单调递减，所以X=±4是极值点，故

A正确；

因f(一字=1+岁＞0,娉)=1-竽＞0，/(-2)=-5＜0,

所以，函数/(X)在1-8，-与］上有一个零点，

当"4时，＞0,即函数“X)在+8上无零点,

综上所述，函数/(x)有一个零点，故B错误;

令/j(x)=d-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-X)3-(-x)=-x3+x=-/z(x),

则6(x)是奇函数，(。,0)是是x)的对称中心，

将应x)的图象向上移动一个单位得到/5)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令/(耳=3/-1=2,可得x=±l,又/⑴=/(-1)=1,

当切点为(L1)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(T1)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.若关于x的不等式/+5_2<0的解集是㈠⑼，则a+b=.

【答案】1

【分析】由题意可得是方程/+依-2=()的两个根，所以-=从而可求得结果

【详解】解：因为关于x的不等式*2+权一2<0的解集是(-12),

所以-1力是方程d+依一2=0的两个根,

所以由根与系数的关系可得T+6=-a,得a+b=l,

故答案为：1

14.已知己x)是定义在以上的奇函数,当x>0时,/(x)=log2x+4\则/

【答案】-1

【分析】可利用奇函数性质，由一;)+/(g)=0，先求出/(；)，再求即可

【详解】因为函数是奇函数，所以/1-；［+.4；)=0,当x>0时，/(x)=logx+4r

2则

2

/(•^)=log2^+4=-1+2=1,则｛-g)=T

故答案为：-1

【点睛】本题考查由函数的奇偶性求解具体函数值，属于基础题

15.已知函数/(x)=2r⑴x+3e'—2,/'(x)是/(x)的导函数，则尸⑴=.

【答案】-3e

【分析】对/(x)求导后，令x=l代入/'(X)即可求解.

【详解】由/'(》)=2/'(1)+女'，可得八1)=2/⑴+3e即/'(l)=-3e.

故答案为：-3e.

四、双空题

16.若函数“X)的导数r(x)存在导数，记尸(X)的导数为尸(X).如“X)对任意xw(a,b),都有

/"(x)<0成立，则“X)有如下性质：/(/+:；+怎)*)(占)+/二2,++/(x“)其中”「N*,

4，巧，…，X"若〃x)=sinx,则/"(X)=；根据上述性质推断：当％+*2+三=兀

且可,多,毛€(0,兀)时，sinx,+sinx2+sinw的最大值为.

【答案】-sinx述

2

【分析】对r(x)=cosx求导可得/"(x)=-sinx,由正弦函数的图象可知/"(x)<0成立，

根据函数的性质sinX|+sinx2+sinx?43sin,+；+'),即可求得sin%+sinx2+sinw的最大值.

【详解】设f(x)=sinx,xe(O,7t),则/'(x)=cosx,

则/"(x)=-sinx,xe(O,7t),由于/"(x)<0恒成立

故/(x)有如下性质：f(、+W；+x]>/(xJ+〃？++〃x”)

则sinx,+sinx2+sinxj<3sin]：+；+']=3xsi吟,

sin玉+sinx、+sin毛的最大值为，一,

2

故答案为：-sinx,土叵.

2

五、解答题

17.己知全集。=1<,集合尸={R-2cx<5},非空集合。={》|。+14犬424+1}.

⑴若”=3,求尸C40；

(2)若“xeP”是“xeQ”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴Pc(q,Q)={M-2c<4}；

⑵a«0,2).

【分析】(1)先求。的补集再求交集即可；

(2)由题意。是尸的真子集，据此可得不等式组，解之即可.

【详解】(1)当a=3时，e={x|4<x<7},

则。/。={小<4}3巾>7},

又P=3—2<》<5｝,所以Pc@Q）=｛止2Vx<4｝；

（2）因为“xeP”是“xeQ”的必要而不充分条件，所以QP且Qx0,

。+142〃+1

所以<。+1>-2,解得04〃<2,

2。+1<5

故实数〃的取值范围是［0,2）.

18.己知函数/（力=（加-2%-2）加是指数函数.

⑴求实数加的值；

tnin

⑵解不等式（2+X）5<（1-X）5

【答案】（1）加=3

⑵卜2'-』

nr-2m-2-1,

【分析】（1）由题意可得•加>0，从而可求出实数用的值；

mw1,

2+x>0

（2）由⑴可得（2+x）23<（1-x）32,再由基函数y=上3的单调性可得y-xNO,解不等式组可得

2+x<1—x

答案

m2-2m-2=1

【详解】（1）由题可知m>0解得机=3

mw1

,33

⑵由⑴得（2+珠<（1-刀>

=£在［0,+8）上单调递增，

2+x>0

-1—x>0,解得-2„x<-彳，

2

2+x<1-x

故原不等式的解集为

19.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据

市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：

研发投入X(亿元)12345

产品收益y(亿元)3791011

(1)计算X,y的相关系数r,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？(若

0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般,若|r|>0.75,则线性相关程度较高)

(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20(亿元)时产品的收益.

参考数据：£(七一n=10,E(x-y)2=40,E(x,.-x)(y,-7)=19.

f=l1=11=1

t(%-五)(％-,)J(x,.-x)(x-y)

附：相关系数公式：r=-r^------H---------'，回归直线方程的斜率3=J-----------,截

\忙—对厄(…)22(%-寸

Vi=\Vi=l

Sfla=y—bx.

【答案】(l)r=0.95,具有较高的线性相关程度

⑵y=1.9x+2.3

【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.

(2)求出回归直线方程，将％=20代入线性回归方程计算即可.

5,5,5

【详解】（1）•••工（占-可=10,ZE-方=40，Z（x，-亍）（%-歹）=19,

*=1i=\/=1

£5（毛-可（％-歹）

1919

j=l_=-^=~,==—=0.95>0.75

V10xV4020

、忙（—）2粒

V/=1V/=!

,该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度.

,次（士-可（》一刃］9

（2）-----------=-=1-9,

2"）210

/=!

x=1（l+2+3+4+5）=3,y=1（3+7+9+10+ll）=8,

Aa=8-1.9x3=2.3.

关于x的线性回归方程为y=1.9X+2.3，

将产20代入线性回归方程可得，y=1.9*20+2.3=40.3,

预测研发投入20(亿元)时产品的收益为40.3(亿元).

20.已知函数/(x)=gV-4x+4.

⑴求函数f(x)在x=3处的切线方程；

(2)求函数f(x)在［0,3］上的最大值与最小值.

【答案】(l)y=5x-14

4

(2)最大值为4,最小值为

【分析】(1)根据导函数在x=3的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.

(2)根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由“X)=；X3-4X+4得/(同=幺-4,二.广(3)=5又八3)=1,所以函数〃%)在X=3处

的切线方程为:V-l=5(x-3),即y=5x-14

(2)由/(力=犬-4,令外力=父-4>0,解得》<-2或02

令r(x)=x2-4<0,解得-2<r<2,所以/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增.

所以当x=2时,〃x)最小，且最小值为⑼=4J(3)=1,

故最大值为f(O)=4

21.北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张

家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京，张家口同为主办城市，也是中国

继北京奥运会，南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者

的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效

果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下

所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

分组频数频率

[75,80)2

[80,85)13

[85,90)18

[90,95)am

[95,KX)]b

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100］内，则考核等级为优秀

（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数

为X,求X的分布列及期望.

【答案】（1）男5人，女7人；

⑵答案见解析

【分析】（1）先由女志愿者考核成绩频率分布表求得被抽取的女志愿者的人数，然后求得，"后求解;

根据被抽取的志愿者人数是80,得到被抽取的男志愿者人数，然后利用男志愿者考核成绩频率分布

直方图求解.

（2）X的可能取值为0』,2,3,分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为2-0.05=40.

因为0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,

所以加=0.100,

所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为40x（0.100+0.075）=7.

因为被抽取的志愿者人数是80,所以被抽取的男志愿者人数是80-40=40.

由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知：

男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为（0.010+0.（）15）x5=0.125,

则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为40x0.125=5.

（2）由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.

P（x=。）啥嗡$P（x=】）=誉707

220-22

P(X=2)=常啮噜唳=3）哈=券=（

X的分布列为

X0123

17217

P

22224444

„1.7八21c77

Xx)=0x---F1x---F2x--F3x—=一

v7222244444

22.已知函数/(同二:——21nx(aeR且awO).

(l)a=2,求函数/(x)在(2/(2))处的切线方程.

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若函数/(x)有两个零点补吃(不<9)，且a=e?,证明：x,+x2>2e.

【答案】(l)y=x-21n2；

⑵答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；

(2)求出导函数，对a分类讨论：〃<0和”>0分别讨论单调性；

(3)本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明火2e-X2)>0,由

/(2e-x2)=4-^-+2\nx2-21n(2e-x2),x2e(e,2e),构造函数

e

4/

g(f)=4---+21nf-21n(2e-r)je(e,2e),利用导数证明出g(f)在(e,2e)上是递增的，得至Ug⑺>g(e)=O

e

即为1/(2e-X2)>0.

2

【详解】(1)当a=2时，”x)=5-21nx,所以/(2)=2-21n2.

22

f\x)=x--,所以r(2)=2-万=1.

所以函数/(x)在(2,〃2))处的切线方程为y-(2-21n2)=x-2,即y=x-21n2.

(2)〃x)的定义域为(0,+oo),/3=?七.

当a<0时，:(幻<0恒成立，所以/⑺在(0,+8)上单调递减；

当”>0时，r(x)=W-2=z(x+^)(x-&).在(o,4)上，r*)<o,所以〃x)单调递减；在

CIXCIX

(C+8)上，f'(X)>0,所以f(X)单调递增.

(3)当〃=〃x)='-21nx.由⑵知，在(0,e)上单调递减，在(e,y)上单调递增.

由题意可得：不«e,+oo).由/(2e)=2-21n2>0及/(%)=。得：e(e,2e).

欲证xr*2>2e,只要x/>2e-X2，注意到/U)在(0,e)上单调递减，且人犯)二0,只要证明#2e-玄)>0即

可.

由f(j)=与_21nx2=0得考=2e21nx2.所以

..、(2e_x,)"_,、4e1—4ex,+x;_,.、

/(2e-x)=----尸---21n(2e-x)=------寸-----2ln(z2e-x,)

2e2e

At4??4(e-r)2

令g(f)=4——+21nZ-2ln(2e(e,2e)则g'Q)=--+-+---=------>0,则g⑺在(e,2e)

eet2e-ter(2e-z)

上是递增的，.，.g(f)>g(e)=0即_/(2e-X2)>0.

综上x/+X2>2e.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点,

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)利用导数判断单调性，证明不等式.

23.已知函数/(x)=(f+l)x+lnx.

(1)讨论函数/(x)单调性;

2

(2)若Vxe[l,e],不等式f(x)N3x+：恒成立，求实数r的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2)[4,+oo).

【分析】(1)求出f(x),分2>T和，<-1讨论“X)的单调性；

(2)不等式/(x)23x+2恒成立，等价于源之-皿+2,令g(x)=_l!Y+_1+