河南省驻马店市上蔡一中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

河南省驻马店市上蔡一中学2023-2024学年九上数学期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，已知A、B是反比例函数y=K（k>0,x>0）上的两点，BC〃x轴，交y轴于C,动点P从坐标原点O出发,

X

沿OTATBTC匀速运动，终点为C,过运动路线上任意一点P作PM_Lx轴于M,PNLy轴于N,设四边形OMPN

2.在△ABC中，点E分别在边A3、AC上，DE//BC,AD-.DB=4：5,下列结论中正确的是

DE4BC9AE4EC5

~BC5DE-4AC5AC4

3.某楼盘2016年房价为每平方米H000元，经过两年连续降价后，2018年房价为9800元.设该楼盘这两年房价平

均降低率为X,根据题意可列方程为（）

A.9800(l-x)2+9800(1-x)+9800=ll000B.9800(l+x)2+9800(1+x)+9800=11000

C.11000(l+x)2=9800D.11000(l-x)2=9800

4.将抛物线y=-3/向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是（）

A.y———3(x+2)~B.y———3x~+2

C.y——3(x—2)2D.y———3x?—2

5.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

6.如图，在矩形A8CO中，AD=2也AB.将矩形ABC。对折，得到折痕MN,沿着CM折叠，点。的对应点为E,

ME与BC的交点为B再沿着MP折叠，使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①△CMP

是直角三角形；②AB=72BP,③PN=PG；®PM=PF,⑤若连接PE,则△PEGS/ICM。.其中正确的个数为（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

7.若抛物线y=x2-2x-l与x轴的一个交点坐标为（m,0）,则代数式2m2-4m+2017的值为（）

A.2019B.2018C.2017D.2015

8.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）

A.--米——9—米C.二5^米D.一5米

5sina5cosa9sina9cosa

9.如图，在线段AB上有一点C,在AB的同侧作等腰4ACD和等腰aECB,且AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,直线

BD与线段AE,线段CE分别交于点F,G对于下列结论：①△DCGS/!\BEG；©AACE^ADCB；（3）GFGB=GCGE；

④若NDAC=NCEB=90。,贝！|2AD2=DF・DG其中正确的是（）

C.①③④D.①②

10.一元二次方程3x2=8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（）

A.3,8B.3,0C.3,-8D.—3,—8

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，四边形ABC。中，ZADC=ZBCD=nO0,连接AC,AB=AC,点E为AC中点，连接OE,8=6,

12.若二次函数y=x2—mx+m—2的图象经过点（3,6）,则111=

13.若点（L5）,（5,5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则此抛物线的对称轴是一.

14.若抛物线＞=以2+以+c与x轴的交点为（5,0）与（1,0）,则抛物线的对称轴为直线x=.

15.如图，直线/_Lx轴于点P,且与反比例函数弘=勺（x〉0）及（x〉0）的图象分别交于A、8两点,

连接。4、OB,已知AQ4B的面积为4,贝!|勺-42=.

16.若点（一2,加）在反比例函数y=9的图像上，则机=.

X

17.将抛物y=2x2+\向右平移3个单位，得到新的解析式为.

18.若直线y=x+〃?与函数.丫=卜2-2左一3|的图象有唯一公共点，则，〃的值为一；有四个公共点时，机的取值范

围是一

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，A6是。。的直径，点C在圆。上，垂足为E,C8平分NA3E,连接8c

（1）求证：CZ）为。。的切线；

（2）若cosNC45=^,CE=y[5,求AO的长.

E

20.(6分)如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A,B的坐标分别是

A(3,3)、B(1,2),4AOB绕点O逆时针旋转90。后得到△A1OB1.

(1)画出AAiOBi,直接写出点Ai,Bi的坐标；

(2)在旋转过程中，点B经过的路径的长.

4—2m

21.(6分)如图，已知一次函数》=履+。的图象交反比例函数)，=------的图象于点42,-4)和点8(〃,一2),交x轴

x

于点C.

(2)求AAO8的面积；

4—2m

(3)请直接写出不等式依+6〉------的解集.

X

22.(8分)对于二次函数》=/-3x+2和一次函数y=-2x+4,把(x2-3x+2)+(1-f)(-2x+4)称为这两个函

数的“再生二次函数”，其中，是不为零的实数，其图象记作抛物线心现有点A(2,0)和抛物线L上的点8(-1,〃),

请完成下列任务：

(尝试)

(1)当1=2时，抛物线y=f(J?-3X+2)+(1-Z)(-2x+4)的顶点坐标为；

(2)判断点A是否在抛物线L上；

(3)求"的值；

（发现）

通过（2）和（3）的演算可知，对于f取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为.

（应用）

二次函数》=-33+5工+2是二次函数>=产-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t

的值；如果不是，说明理由.

23.（8分）已知关于丁的方程62+（3A+1）%+3=0

（1）无论〃取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论.

（2）抛物线丁=履2+（3左+1»+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且A也为正整数.若P（a，X）,

是此抛物线上的两点，且y<>2,请结合函数图象确定实数。的取值范围.

24.（8分）（1）如图1,已知NACB=NDCE=90。，AC=BC=6,CD=CE,AE=3,NCAE=45。，求AD的长.

（2）如图2,已知NACB=NDCE=90。，ZABC=ZCED=ZCAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

25.（10分）（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价

的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元.

（1）求面料和里料的单价；

（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折

促销.已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元.

①设10月份厂方的打折数为，"，求，"的最小值；（利润=销售价-布料成本-固定费用）

②进入U月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对以尸客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普

通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮.已知对丫/尸客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个

V/P客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求V/P客户享受的降价率.

26.（10分）已知抛物线〉=62+（2。+1）》+2与'轴的两个交点是点4,B（A在8的左侧），与）'轴的交点是点C.

（1）求证：A,8两点中必有一个点坐标是（-2,0）；

（2）若抛物线的对称轴是x=-g，求其解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P,使NPC4=75°?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请

说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,A

【详解】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K,保持不变，故排除B、D；

②点P在BC上运动时，设路线O—ATBTC的总路程为1,点P的速度为a,贝US=OCxCP=OCx（1-at）,因为1,

OC,a均是常数，所以S与t成一次函数关系，故排除C.

故选A.

考点：动点问题的函数图象.

2、B

【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】解：如图，在AA3C中，DE//BC,AD：DB=4：5,贝lj

/.△ADE^AABC,

DE_ADAD4

・■・故A错误;

BCABAD+DB9

,BC9

则；——9故B正确；

DE4

r,AEAD4„…n

则"71=~777=77，故c错误；

ACAB9

ECDB5j.…口

则nl-7K=TTT=77，故D错误.

ACAB9

故选择：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.

3、D

【分析】设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x,则第一次降价后房价为每平方米UOOO(1-x)元，第二次降价后

房价为每平方米11()00(Lx)2元，然后找等量关系列方程即可.

【详解】解：设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x,

则由题意得：11000(1-x)2=9800

故答案为D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找到等量关系是解决问题的关键.

4、A

【详解】解：,•,抛物线y=-3/向左平移2个单位后的顶点坐标为(-2,0),

.•.所得抛物线的解析式为V=-3(x+.

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键.

5、D

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴.

【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；

B、不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、是轴对称图形，故D符合题意.

故选D.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

6、B

【分析】根据折叠的性质得到NDMC=/EMC,ZAMP=NEMP,于是得到NPME+ACME='x180°=90°,

2

求得二CMP是直角三角形；设AB=x,贝!及x,由相似三角形的性质可得比逑X,可求84PG=1尸尸N,

22

可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得NPMF=NFPM,可证PF=fM；由”=生，且NG=ND=90°,

GEMG

可证△PEGS2\CM£>,则可求解.

【详解】•••沿着CM折叠，点。的对应点为E,

:.NDMC=NEMC,

•••再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP,

:.ZAMP=ZEMP,

VZAA/Z>180o,

AZPME+ZCME^-X180°=90°,

2

.•.△CMP是直角三角形；故①符合题意；

"；AD=2血AB,

...设A6=x,则AO=8C=2及x,CD=X,

将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

1「

：.AM=DM=-AD=y/2x=BN=NC,

:.CM=y]MD2+CD2=J(gxj+》2=岳，

VZJ°/WC=90°=NCNM,NMCP=NMCN,

:.AMCNsANCP,

:.CW=CN・CP,

：.3XJ6XXCP,

:.CP^^x,

2

•••BP=BC-CP=2>/2x-^^x=—x

22

:.AB=6BP，故②符合题意；

,;PN=CP-CN=^^x-d2x=—x,

22

•.•沿着MP折叠，使得AM与EM重合,

万

：.BP^PG^—x,

2

:.PN=PG,故③符合题意；

•：AD//BC,

:.ZAMP=ZMPC,

•••沿着MP折叠，使得4M与EM重合,

:.ZAMP^ZPMF,

：.ZPMF=ZFPM,

：.PF=FM,故④不符合题意，

•沿着折叠，使得4M与EM重合，

5

：.AB=GE=x,BP=PG=—x,NB=NG=90°

2

APG_彳彳_V2,

GEx2

.._CD=_x=也

,丽一万一三’

PGCD口，、，。

----=------9且NG=NOWO

GEMD9

:APEGs4cMD,故⑤符合题意，

综上：①②③⑤符合题意，共4个，

故选：B.

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等

知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键.

7、A

【分析】将（加，0）代入抛物线的解析式中，可得加2—2加—1=0,变形为2>—4〃2=2然后代入原式即可求出答案.

【详解】将（加，0）代入y=—

nr-2m-1=0»

变形得：2m2-4m=2>

:.2/w2-4m+2017=2+2017=2019,

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的与x轴的交点，解题的关键是根据题意得出2根2-4根=2,本题属于基础题型.

8、B

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长.

【详解】解：作AD_LBC于点D,

39

则BD=-4-0,3=-,

25

BD

Vcosa=---，

AB

9

.\cosa=5，

AB

9

解得，AB=-一米，

5cosa

故选B.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

9、A

【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的

相似三角形证得NAEC=NDBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACEs/JJCB证得F、E、B、C四点共圆，由此推出

△DCF^ADGC,列比例线段即可证得④正确.

【详解】①正确；在等腰AACD和等腰AECB中AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,

:.ZACD=ZADC=ZBCE=ZBEC,

:.ZDCG=180°-ZACD-ZBCE=ZBEC,

VZDGC=ZBGE,

/.ADCG^ABEG;

②正确；VZACD+ZDCG=ZBCE+ZDCG,

:.ZACE=ZDCB,

..ACDC

•~EC~~BC'

/.△ACE^ADCB；

③正确；VAACE^ADCB,

...ZAEC=ZDBC,

VZFGE=ZCGB,

/.△FGE^ACGB,

.•.GFGB=GCGE；

④正确；如图，连接CF,

由②可得△ACE^ADCB,

.*.ZAEC=ZDBC,

.IF、E、B、C四点共圆，

.,.ZCFB=ZCEB=90°,

VZACD=ZECB=45°,

.,.ZDCE=90°,

.'.△DCF^ADGC

•DF_DC

''~DC~~DG'

:.DC?=DF?DG,

":DC=y[2AD,

.*.2AD2=DF-DG.

故选：A.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；

④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF,由此证明F、E、

B、C四点共圆，得到NCFB=NCEB=90。是解本题关键.

10、C

【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式.

【详解】解：3X2=8X

3JT2-8x=0

二次项系数是3,一次项系数是-8.

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式：ajc+bx+c^（a,b,c是常数且aWO）特别要注意aWO的条件.这是在做

题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中at?叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系

数，一次项系数，常数项.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、2779

【分析】分别过点E,C作EFJ_AD于F,CGJ_AD于G,先得出EF^AACG的中位线,从而有EF=^CG.在RtADEF

2

中，根据勾股定理求出DF的长，进而可得出AF的长，再在RtaAEF中，根据勾股定理求出AE的长，从而可得出

结果.

【详解】解：分别过点E,C作EFJ_AD于F,CG_LAD于G,

，EF〃CG,/.△AEF^AACG,

又E为AC的中点，...F为AG的中点,

I

.,.EF=-CG.

2

又NADC=120°,/.ZCDG=60°,

又CD=6,.，.DG=3,；.CG=3百,

13A/3

.*.EF=-CG=^-,

22

在RtZ\DEF中，由勾股定理可得，DF=JE/52_E/2=37-2=1

V42

1117

AAF=FG=FD+DG=—+3=——,

22

.•.在RtaAEF中，AE=jA、2+Ep2等+1=晒,

.*.AB=AC=2AE=2V79.

故答案为：2场.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线

是解题的关键.

£

12、

2

【详解】试题分析：根据点在抛物线上点的坐标满足方程的关系，由二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3,6）

得：6=9-3m+m-2=>m=—.

2

13、x=3

【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴.

【详解】解：点（1,5）,（5,5）是抛物线丫=2*2+6*+。上的两个点,且纵坐标相等.

根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线X=L2=3.

2

故答案为：x=3.

【点睛】

本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数产"2+bx+c（a,b,c为常数，存0）,抛物线上两个不同点Pi（x】,yi）,

P2（X2,J2）,若有山=",则尸2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：》=土产.

14、3

【分析】函数y=以2+法+c的图象与X轴的交点的横坐标就是方程℃2+/zx+c=0的根，再根据两根之和公式与对

称轴公式即可求解.

【详解】根据两根之和公式可得1+5=-一b，即一b上二6

aa

b

则抛物线的对称轴：-丁=3

2a

故填：3.

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键.

15、1.

【分析】根据反比例函数上的几何意义可知：AAQP的面积为g占，ABOP的面积为g与，然后两个三角形面积作

差即可求出结果.

【详解】解：根据反比例函数Z的几何意义可知：AAOP的面积为,4，ABOP的面积为1人,,

22'

AAO8的面积为一k,—k,,/.—k,—k,=4,勺—心=8.

22-22'

故答案为L

【点睛】

本题考查反比例函数Z的几何意义，解题的关键是正确理解攵的几何意义，本题属于基础题型.

16、-1

【解析】将点(-2,加)代入反比例函数y=9,即可求出m的值.

X

【详解】解：将点(一2,机)代入反比例函数y得：机=二=一3.

x-2

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，就一定满足函数的解析式

17、y=2(x-3)2+l

【分析】利用抛物线y=2d+1的顶点坐标为(0,1),利用点平移的坐标变换规律得到平移后得到对应点的坐标为(3,1),

然后根据顶点式写出新抛物线的解析式.

【详解】解：•••y=2/+l,

•••抛物线y=2x2+l的顶点坐标为(0,1),把点(0,1)向右平移3个单位后得到对应点的坐标为(3,1),

二新抛物线的解析式为y=2(x-3)2+l.

故答案为y=2(x-3)2+L

【点睛】

本题考查二次函数图象与几何变换，配方法，关键是先利用配方法得到抛物线的顶点坐标.

,13

18、・3\<m<一

4

【分析】根据函数y=k・2x-3|与直线y=x+m的图象之间的位置关系即可求出答案.

【详解】解：作出y=M・2x-3|的图象,如图所示，

x2-2x-3(x<-1)

y=<-+2x+3(—1<X<3),

x2-2x-3(x>3)

当直线y=x+m与函数y=|x2・2x-3|的图象只有1个交点时，

直线经过点(3,0),将(3,0)代入直线y=x+m,

得m=-3,

联立

y=-x2+2x+3,

消去y后可得：x2-x+m-3=0,

令△=(),

可得：1-4(m-3)=0,

即m=一时，直线y=x+m与函数v=k-2x-3|的图象只有3个交点，

4

当直线过点（-1,0）时，

此时m=l,直线y=x+m与函数y=k-2x-3|的图象只有3个交点，

13

...直线丫=*+111与函数y=k-2x-3|的图象有四个公共点时，m的范围为：1<机<」,

4

故答案为：-3,1<〃?<一13.

4

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.

三、解答题（共66分）

19、（1）见解析；（2）AD=正.

6

【分析】（1）连接OC,根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得NOCB=NEBC,则OC〃BE,从而证得

OC±CD,即CD是。。的切线；

（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】证明：（1）连接。C.

'：OC=OB,

：.ZABC=ZOCB,

又,.,NEBC=NABC,

:.NOCB=NEBC,

：.OC//BE,

'：BE±CD,

：.OCA.CD,

...CO是。。的切线;

E

(2)设

•・・A3是。。的直径，

:.ZACB=90°,

，直角△ABC中，AC=AB*cosZCAB=,

5

：.BC=7AB2-AC2=9X=¥*'

VZBCE+ZBCO=ZCAB+ZABC=90°,

'：OC=OB,

：.NOCB=NOBC,

:.NCAB=NBCE,

,.•NE=NAC5=90。，

:.△ACBs^CEB,

.AC_AB

••连一而‘

Vfxx

：•5=2V5,

而『

5百

••X-,------,

2

：,AB=^L,BC=5,

2

VAACB^ACEB,

CE

：.ZCAB=NECB=cos/CAB=—

BC

：.BE=2yf5,

'JOC//BE,

:.ADOCSADBE,

.PC_OP

"BE-BD"

5#>AD+—

.~~r-4

275AD+-

【点睛】

本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化

成证明垂直问题.

57r

20、（1）Ai（-3,3）,Bi（-2,1）；（2）—.

2

【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点A,B绕点。逆时针旋转90。后的对应点4,4的位置，然后顺次连接即

可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；

（2）利用勾股定理列式求出03的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；

试题解析：⑴如图，4（-3,3）,g（-2,1）.

（2）由B。,2）可得:OB=亚.

21、(1)y=x-6；(2)△A08的面积为6；(3)由图象知，0VxV2或x>l.

【分析】(1)先把点A的坐标代入反比例函数表达式，从而的反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例

函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；

(2)根据三角形的面积公式计算即可；

4—2772

(3)观察函数图象即可求出不等式气+b>--------•的解集.

X

4—2m4—27/7

【详解】(1)把A(2,-1)的坐标代入y=--------■，得一4二-------

xx

Q

・・・l-2m=-8,反比例函数的表达式是丫二-一；

x

把B(n,-2)的坐标代入y=--得，-2=-色，

xm

解得：n=l,

.••B点坐标为(1,-2),

-4=2k+b

把A(2,-1),B(1,-2)的坐标代入丫=1«+1)得｛c“，，，

-2=4k+b

k-\

解得〈〉

b--6

二一次函数表达式为y=x-6；

(2)当y=0时，x=()+6=6,

.*.OC=6,

.,.△AOB的面积=Lx6xl--x6x2=6；

22

(3)由图象知，0VxV2或x>l.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点

B的坐标是解题的关键，也是本题的难点.

22、［尝试］(1)(1,-2)；(2)点A在抛物线L上；(3)n=l；［发现］(2,0),(-1,D；［应用］不是，理由见解析.

【分析】［尝试］

(1)将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

(2)将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；

(3)已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值.

［发现］

将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0(此时无论t取何值都不会对函数值产生影响)，即

可求出这个定点的坐标.

［应用］

将［发现］中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可.

【详解】解：［尝试1

(1)•••将t=2代入抛物线L中，得：

y=t(x2-3x+2)+(1-Z)(-2x+4)=2--4x=2(x-1)2-2,

，此时抛物线的顶点坐标为：(1,-2).

(2):•将x=2代入y=f(x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4),得y=0,

:.点A(2,0)在抛物线L上.

(3)将x=-l代入抛物线L的解析式中，得：

n=t(x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4)=1.

［发现］

•••将抛物线L的解析式展开，得：

y=t(x2-3x+2)+(1-f)(-2x+4)=t(x-2)(x+1)-2x+4

当x=2时，y=0,当x=-l时，y=l,与t无关，

抛物线L必过定点(2,0)、(-1,1).

［应用］

将x=2代入y=-3/+5x+2,j=0,即点A在抛物线上.

将x=T代入y=-3/+5X+2,计算得：y=-1/1,

即可得抛物线j=-3x2+5x+2不经过点B,

二二次函数y=-3/+5x+2不是二次函数j=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”.

【点睛】

本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.

23、(1)无论攵取任何实数，方程总有实数根；证明见解析；(2)-5<a<l.

【分析】(1)由题意分当％=0时以及当攵。0时，利用根的判别式进行分析即可；

(2)根据题意令y=0,代入抛物线解析式，并利用二次函数图像性质确定实数”的取值范围.

【详解】解：(1)①当攵=()时，方程为x+3=0时，x=—3,所以方程有实数根：

②当攵工0时，

△=(3左+1)2—4•k・3

9公+6左+1—12左

=9二一6Z+1

=(3Z:-l)2>0

所以方程有实数根

综上所述，无论左取任何实数，方程总有实数根.

(2)令y=0,则-2+(3左+1»+3=0,解方程为=-3,x2

k

•・•二次函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数

:,k=\

:.该抛物线解析式y=f+4x+3

.,•对称轴》=-2

P(a,%),2(1,必)是抛物钱上的两点，且.V,<必

【点睛】

本题考查二次函数图像的综合问题，熟练掌握二次函数图像的相关性质是解题关键.

24、(1)AD=9；(2)AD=-73

3

【分析】(1)连接BE,证明AACDgZSBCE,得至！JAD=BE,在R3BAE中，AB=6后，AE=3,求出BE,得至lj答

案；

(2)连接BE,证明AACDsaBCE,得到42=生=Y3,求出BE的长，得到AD的长.

BEBC3

【详解】解：(1)如图1,连接BE,

VZACB=ZDCE=90°,

:.NACB+NACE=NDCE+NACE,即NBCE=NACD,

又：AC=BC,DC=EC,

在4ACD和ABCE中，

AC=BC

<ZBCE=ZACD,

DC=EC

.,.△ACD^ABCE,

.♦.AD=BE,

VAC=BC=6,

，AB=60,

■:NBAC=NCAE=45。，

二ZBAE=90°,

在RtABAE中，AB=6^/2»AE=3,

.♦.BE=9,

.,.AD=9；

(2)如图2,连接BE,

在RtAACB中，ZABC=ZCED=30°,

,一。ACG

tan30=-----=-----,

BC3

VZACB=ZDCE=90°,

AZBCE=ZACD,

AAACD^ABCE,

.ADACy/3

••-----=------=—,

BEBC3

VZBAC=60°,ZCAE=30°,

AZBAE=90°,又AB=6,AE=8,

ABE=10,

:.AD=—&・

3

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性