2024年考研数学二真题

2024年全国硕士研究生招生考试数学（二）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.1A.3

B.2

C.1

D.02.设函数

x=1+t3y=et2

2确定，则limx[f(2+)−f(2)]=（x→+x

）A.2e

B.

4e3

C.

2e3

D.

e33.已知函数f(x)=

sinx

sint3dt，g(x)=xf(t)dt，则（

）0A.f(x)是奇函数，g(x)是奇函数C.f(x)是偶函数，g(x)是偶函数

0B.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数4.已知数列a

n

（an

0），若a

n

发散，则（

）A.

a+n

1an

a−

1发散C.ean+an

1ean

1发散ean

1xy

,xy0

，则在点(0,0)处（

）0,xy=0A.C.

f(x,y)xf(x,y)x

连续，f(x,y)可微不连续，f(x,y)可微

B.D.

f(x,y)xf(x,y)x

连续，f(x,y)不可微不连续，f(x,y)不可微11.函数f(x)=x(1−x)(x−2)的第一类间断点的个数是（）y=f1.函数f(x)=x(1−x)(x−2)的第一类间断点的个数是（）y=f(x)由参数方程发散B.n发散D.ean−(x2+y2)sin5.已知函数f(x,y)=6.设f(x,y)是连续函数，则

26

1sinx

f(x,y)dy=（

）A.

1arcsiny126

f(x,y)dx

B.

112

2arcsiny

f(x,y)dxC.

120

dyarcsinyf(x,y)dx6

D.

120

arcsiny

f(x,y)dx7.设非负函数f(x)在[0,+)上连续，给出以下三个命题：①若

+

f2(x)dx收敛，则+f(x)dx收敛；0

0②若存在p1，使得limxpf(x)存在，则

+

f(x)dx收敛；x→+

0③若

+

f(x)dx收敛，则存在p1，使得limxpf(x)存在，0其中真命题个数为（

）

x→+A.0

B.1

C.2

D.3100

a+2c0c

0c

）c00

b00

a00

c009.设Α为4阶矩阵，Α*为Α的伴随矩阵，若Α(Α−Α*)=0且ΑΑ*，则r(Α)取值为（

）A.0或1

B.1或3

C.2或3

D.1或210.设Α，B为2阶矩阵，且ΑB=BΑ，则“Α有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的（

）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.11.曲线y2=x在点(0,0)处的曲率圆方程为________.12.函数f(x,y)=2x3−9x2−6y4+12x+24y的极值点是________.2dxdydydy28.设Α为3阶矩阵，P=01dxdydydy28.设Α为3阶矩阵，P=010，若PTAP2=01012cb0，则Α=（A.0a000bB.0c000aC.0b000cD.0b000a13.微分方程y=

1(x+y)2

满足条件y(1)=0的解为________.14.已知函数f(x)=(ex+1)x2，则f(5)(1)=________.15.某物体以速度v(t)=t+ksint做直线运动，若它是从t=0到t=3的时间段内平均速度为

52

，则k=________.a

1

116.设向量α=1

，α=2

，α=3

，若α,α,α线性相关，且其中任意两个向123量均线性无关，则ab=________.三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy=13D3

13

yx=3与直线1−111ba1−111baa−11y=x,y=3x围成，计算(1+x−y)dxdy.18.（本题满分12分）设y(x)为微分方程x2y+xy−9y=0满足条件y的解（1）利用变换x=et将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x)；

x=1

=2,y

x=1

=6（2）计算

2

y(x)4−x2dx.119.（本题满分12分）设t0，平面有界区域D由曲线y=

xe−x与直线x=t,x=2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积为V(t)，求V(t)的最大值.420.（本题满分12分）已知函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y)=f(2x+y,3x−y)满足

2gx2

+

2gxy

−6

2gy2

=1.（1）求

2fuv

；（2）若

f(u,0)u

=ue−u,f(0,v)=

150

v2−1，求f(u,v)的表达式.21.（本题满分12分）设函数f(x)具有2阶导数，且f(0)=f(1)，f(x)1，证明：（1）当x(0,1)时，f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x

x(1−x)2

；10

f(x)dx−

f(0)+f(1)2

112

.5（2）（2）1101a已知方程组Ax=0的解均是BTx=0的解，但这两个方程组不同解.（1）求a,b的值；（2）求正交变换x=Qy将f(x,x,x