第03讲一元二次方程的应用（7个知识点10类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）（原卷版）

第03讲一元二次方程的应用（7个知识点+10类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.一元二次方程的应用；2.一元二次方程应用的解题步骤；1.掌握一元二次方程的应用；2.掌握一元二次方程应用的解题步骤；知识点：一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键；②设未知数，注意单位;③根据题意找等量关系列出方程；④解方程；⑤检验解是否合理；⑥写出答案作答考点1数字问题数字问题有以下几种常见类型:(1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是.(2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是.(3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是.(4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是.(5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是.考点2多边形对角线问题利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数.考点3循环问题双方参与问题有以下几种常见类型:(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.考点4传播问题1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感.树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。考点5增减率问题增减率问题涉及的公式有:(1)(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.考点6面积问题利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形考点7利润问题利润问题常用公式如下:(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.(2)利润率=(3)销售额=销售价×销售量.(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量【即学即练1】1．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（

）个人A．13 B．12 C．11 D．10【即学即练2】2．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）电影《八角笼中》讲述了向腾辉倾注心血想把当地无人照料的孩子培养成才，这让生活本没有出路的孩子们看到了一丝通向未来的曙光的故事．一经上映就获得追捧，第一天票房收入约6亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程（）A． B． C． D．【即学即练3】3．（2023下·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（

）A． B．C． D．【即学即练4】4．（2023下·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A． B．C． D．【即学即练5】5．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（）A． B．C． D．【即学即练6】6．（2021下·浙江·八年级期末）在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（）A． B． C． D．【即学即练7】7．（2023下·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【即学即练8】8．（2023下·浙江·八年级专题练习）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（

）元A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元题型01传播问题1．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（

）A．7 B．6 C．5 D．42．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某种植物的一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干、小分支一共是43个，根据题意列出关于的方程为．3．（2024上·安徽阜阳·九年级统考期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？题型02增长率问题1．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是(

)A． B． C． D．2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车年销量为万辆，销量逐年增加，年销量为万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为，则可列方程为．3．（2024上·湖南岳阳·九年级统考期末）随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变．(1)求每个月内日均接收快递件数的增长率；(2)请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量．题型03与图形有关的问题1．（2023·四川广安·统考一模）如图，某园林公司计划将一块长200m、宽80m的矩形荒地改造成绿色公园，公园内部修建四条宽度相等的石板路，余下区域（阴影部分）种植植被．若要使种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·九年级竞赛）有一面墙长米，高米，中间有一个背景墙（阴影部分与黑色部分），如图所示，已知背景墙的边框（黑色部分）长度为米，高米，面积为整面墙的面积的，那么背景墙边框的宽度为米．3．（2024上·山东临沂·九年级统考期末）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．(1)要围成生态园的面积为，请求出的长．(2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由．题型04数字问题1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南信阳·九年级校联考阶段练习）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是岁．3．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．题型05营销问题1．（2024上·辽宁·九年级统考期末）辽南是“中国苹果之乡”，某超市将进价为每千克元的苹果按每千克元卖出，平均一天能卖出千克，为了尽快减少库存，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降元时，其日销售量就增加千克，设售价下降元，超市每天销售苹果的利润为元，则可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2024上·山西晋城·九年级统考期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价元．3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为100元，每桶水的进价是2元，规定销售单价不得高于5元/桶，也不得低于3元/桶，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．(1)求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系；(2)若该经营部希望日均获利620元，那么销售单价应是多少元？题型06动态几何问题1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，在中，分别是上的动点，若点同时从两点出发分别沿方向向点匀速运动，它们的速度都是，则经过秒后，的面积为面积的一半．（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为秒时，的面积为．3．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点P，Q为边及边上的两个动点，若点P从点A沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发(1)经过几秒，的面积等于(2)是否存在这样的时刻，使的面积等于?如果存在请求出来，如果不存在，请说明理由题型07行程问题1．（2021·陕西·九年级专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（

）千米/时．A． B． C． D．2．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间．3．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；(1)求与之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．题型08工程问题1．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．2．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．3．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．题型09图表信息题1．（2021上·宁夏银川·九年级校考阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.52．（2023上·北京海淀·九年级期中）一组带有标号的红盒内分别装有红球，另一组带有标号的白盒内分别装有白球，具体信息如下表：红盒标号红球数量白盒标号白球数量若相同标号的红盒与白盒中装的球数相等，则盒子的标号是．3．（2022上·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票题型10其他问题1．（2024上·河北石家庄·九年级统考期末）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2024上·四川成都·九年级统考期末）学习雷锋好榜样．学校计划建一坐高度为4米的雷锋雕像，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，那么该雕像的下部高度是米．3．（2024上·重庆渝中·九年级统考期末）下图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题：(1)若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数；(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗?若能，求最小数；若不能，请说明理由．A夯实基础1．（2024上·海南儋州·九年级统考期末）海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一．随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为，则可列方程（

）A． B． C． D．2．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（

）A． B． C． D．3．（2024上·河南开封·九年级统考期末）某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为．4、（2024上·山西阳泉·九年级统考期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为5．（2023上·广东清远·九年级校考期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？6．（2019上·湖北孝感·九年级统考期中）如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．(1)无盖方盒盒底的长为dm，宽为dm（用含x的式子表示）．(2)若要制作一个底面积是40dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．B能力提升1．（2024上·吉林·九年级校考期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽·模拟预测）由于改进了生产工艺，某科技公司决定逐步降低其研发的移动硬盘的价格．已知该移动硬盘2020年的售价是500元/块，2022年的售价为406元/块，若年平均降价率相同，则年平均降价率约是（

）A． B． C． D．3、（2024·全国·七年级竞赛）星星和希希两个人比赛打乒乓球，其中星星比希希要打得好，所以星星承诺，只要自己输掉比赛，就拿出赛前希希所押资金的7倍作为奖金．希希在第一局下注2元，在后面的比赛中，希希将在每一局前再多押2元．就这样希希一直在输，但最终仍然通过一场胜利把之前所有下注的钱都赢了回来，则希希的这场胜利是在第场．4．（2024上·北京海淀·九年级统考期末）如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是．5．（2024上·山东聊城·九年级统考期末）今年小亮家的苹果大丰收，小亮在假期里利用视频直播帮助爸妈卖苹果．第一天他实现了出售苹果的目标，第三天实现了出售苹果的目标．(1)如果第二天、第三天出售苹果重量的增长率相同，求出售苹果重量的平均增长率；(2)按照（1）中增长率，他期望第四天的出售量达到，请通过计算说明他的目标能否实现？6．（2024上·山东济南·九年级统考期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？C综合素养1．（2023上·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出