1.2 二次函数的图象（十大题型）（分层练习）（解析版）

第1章二次函数1.2二次函数的图象（十大题型）分层练习考查题型一二次函数y=ax2的图象与性质1．（2021秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）和，下列说法正确的是（

）A．对称轴都是x轴 B．最低点都是点C．在y轴右侧都是下降趋势 D．形状相同，开口方向相反【答案】D【分析】根据抛物线的图象与性质逐一分析即可．【详解】解：抛物线和的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点，但是开口向上，在y轴右侧呈上升趋势，顶点是最低点．开口向下，顶点是最高点，在y轴右侧呈下降趋势．抛物线和的开口方向相反，形状相同．∴A，B，C不符合题意；D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，函数图像的开口方向，开口大小，对称轴，形状，以及函数图像的增减性．①二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．越大，则二次函数图像的开口越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．③当且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减．当且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大．此为重点，也为易考点．2．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，∴若图象经过点，则该图象必经过点．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．3．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

【答案】【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．4．（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______．【答案】(答案不唯一)【分析】由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴，∴符合题意，故答案为：(答案不唯一)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键．5．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期中）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．(1)求k的值；(2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，那么n的取值范围为______．【答案】(1)；(2)＜y≤0【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；（2）当x=2时，y=4，当x=1时，y=1并结合函数图象求出y的取值范围．【详解】（1）解：由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得，解得：；（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，如图所示：当x=2时，，当x=1时，，∴当2≤x＜1时，＜y≤0，故答案为：＜y≤0．【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．考查题型二二次函数y=ax2+k的图象与性质1．（2022秋·九年级单元测试）抛物线，，共有的性质是()A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点【答案】B【分析】根据二次函数的性质，求解即可．【详解】解：，，开口向下，有最大值，对称轴为，即轴；，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；共有的性质是：对称轴都是轴，故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期中）关于二次函数，下列说法正确的是（）A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵二次函数，2>0,∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，对称轴是轴，故选项B错误，当时，随的增大而减小，故选项C错误，当时，有最小值是1，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标是________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小．【答案】向下轴【分析】利用二次函数的性质判定即可．【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．故答案为：向下，轴，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．4．（2023·全国·九年级假期作业）若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）【答案】＞【分析】抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2+20，∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1＞-2，∴m＞n．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．抛物线开口方向对称轴顶点坐标【答案】见解析【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上轴向上轴向上轴【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．考查题型三二次函数y=a（x-h）2的图象与性质1．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的的大致图像是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得．【详解】解：∵，，∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，故选：D．【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键．2．（2022·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．顶点坐标为 B．对称轴是直线C．时y随x增大而减小 D．开口向上【答案】C【分析】直接根据二次函数的图象和性质即可判断选择．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴该抛物线顶点坐标为，故A正确，不符合题意；对称轴是直线，故B正确，不符合题意；抛物线开口向上，故D正确，不符合题意；∴当时y随x增大而增大，故C错误，符合题意．故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的图象的顶点为，对称轴为直线，当时，图象开口向上，此时当，y随x增大而减小，当，y随x增大而增大；当时，图象开口向下，此时当，y随x增大而增大，当，y随x增大而减小．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为______．【答案】/【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小【详解】∵二次函数为：∴∴二次函数的开口向上，对称轴为：，∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向是解决问题的关键4．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______．【答案】【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上，当时，最小为，又∵，∴时，最大为∴故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．(1)求a和h的值；(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴交于点，∴，∴．（2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．考查题型四二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（

）A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为∵∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（

）A．对称轴是直线，y的最小值是2 B．对称轴是直线，y的最大值是2C．对称轴是直线，y的最大值是 D．对称轴是直线，y的最大值是2【答案】B【分析】根据二次函数图象的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，∴y的最大值是2，故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大．3．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考开学考试）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为___________（用“”连接）【答案】【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，再根据开口向上离对称轴越远函数值越大进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越远函数值越大，∵点，，在抛物线上，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．【答案】或【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴可设这个二次函数的解析式为，∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，∴，∴，∴这个二次函数的解析式为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．5．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知抛物线的图象经过点．(1)求a的值及顶点坐标；(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．【答案】(1)a的值是，顶点坐标是；(2)【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；（2）根据二次函数的性质可以解答本题．【详解】（1）解：∵，∴该抛物线的顶点坐标是；∵经过点，∴，解得，，即a的值是；（2）解：∵，，∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，∵点都在该抛物线上，∴．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．考查题型五二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1．（2023·陕西渭南·统考二模）如表中列出的是二次函数中与的几组对应值：x……012……y2下列说法错误的是（

）A．图象开口向下 B．顶点坐标为C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的图象与轴无交点【答案】D【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线,并确定二次函数的开口向下，即可得解.【详解】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，结合的函数值与其他函数值比较可知：在对称轴处取得最大值2，故二次函数图象开口向下，顶点坐标为，当时，y的值随x值的增大而减小，且与x轴有两个交点，故选项A,B,C都正确，选项D错误；故选择：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，仔细观察分析表格数据，得到对称轴和开口方向是解答本题的关键．2．（2023·陕西西安·校考二模）已知抛物线过不同的两点和，若点在这条抛物线上，则的值为（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根据对称性可得，代入解方程即可求解．【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，又抛物线过不同的两点和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）点在抛物线上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______.【答案】【分析】点P到y轴的距离小于1，即，根据得对称轴，分别把，和代入即可得n的取值范围．【详解】解：根据，∴对称轴，因为点P到y轴的距离小于1，∴，∴当时，；当时，；当时，；所以n的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质等知识内容，解题关键是掌握二次函数的性质．4．（2023·全国·九年级假期作业）已知点与点都在二次函数的图象上，若，则a的取值范围为______．【答案】【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据抛物线的对称性求出函数值相等时的x的值，然后根据函数值的增减性的得出答案．【详解】二次函数，可知抛物线的对称轴是，开口向下，当时，即时，，当时，.所以当时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据抛物线的对称性确定临界值是解题的关键．5．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，利用函数的图像，解决下列问题：(1)方程的解是；(2)当x时，y随x的增大而减小；(3)当时，x的取值范围是．(4)当时，y的取值范围是；【答案】(1)，(2)（也对）(3)或(4)【分析】（1）由抛物线与轴的交点坐标可得答案；（2）求出二次函数的对称轴，然后根据其开口方向可得答案；（3）由抛物线经过点及抛物线的对称性求解即可；（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将代入函数解析式即可得出其最大值，从而得解．【详解】（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，∴是方程的解，故答案为：，；（2）抛物线的对称轴为，∴当或时y随x的增大而减小，故答案为：（也对）；（3）由图像可知抛物线经过点，∵抛物线的对称轴为，∴抛物线经过点，∴或时，，故答案为：或；（4）∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴函数的最小值为，将代入得，∴当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键时掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．考查题型六二次函数图象与各系数的关系1．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（

）

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以①正确；②由二次函数图象可知，，，，∴，故②错误；③∵对称轴：直线，∴，∴，∵，，，∴，故③错误；④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，∴抛物线与x轴另一个交点，当时，，故④正确．综上，①④正确．故选：A．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则．其中正确的是（）

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①由图象可知：，由对称轴可知：，∴，∴，故①正确；②由对称轴可知：，∴，∵抛物线过点，∴，∴，∴，故②正确；③当时，y取最大值，y的最大值为，当x取全体实数时，，即，故③正确；④关于对称轴的对称点为：∴，故④错误；故选C．【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．3．（2023·全国·九年级假期作业）写出一个满足下列要求的函数：_____________．①该函数存在一条对称轴②该函数图像过且仅过三个象限③该函数图像过点【答案】（答案不唯一）【分析】此函数可以为二次函数（，，），结合条件求解即可．【详解】解：∵顶点为，开口向下且与轴的交点在负半轴上的抛物线的解析式都是符合题意的，∴我们可以写出一个函数是（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．4．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___________．（只填写序号）【答案】②③④【分析】抛物线的对称轴为，二次函数的图像开口向下所以，可以判断出，即可对①进行判断；抛物线与轴交点在轴上方，所以，有对称轴，可得到，则，于是可对②进行判断；由图可知，抛物线与轴的一个交点在左侧，根据题意结合二次函数的对称性可知，抛物线与轴的另一个交点在右侧，则当时，，于是可对③进行判断；直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，利用函数图像得时，一次函数比二次函数值大，即，然后把代入的不等式，则可对④进行判断．【详解】解：抛物线的对称轴为，，二次函数的图像开口向下所以，，故①不正确；抛物线与轴交点在轴上方，，对称轴，，，故②正确；抛物线与轴的一个交点在左侧，而抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点在右侧，当时，，故③正确；直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，时，一次函数比二次函数值大，，，，解得：，故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数及其图像的性质和不等式，也考查了二次函数图像和系数的关系，利用两个函数图像在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围是解答本题的关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案为3；（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为直线x＝＝1，∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，故答案为x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；故答案为﹣1＜x＜3；（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，故答案为﹣5≤y≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．考查题型七两个二次函数图象综合判断1．（2023·安徽·模拟预测）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.【详解】∵二次函数的图像为抛物线，∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，故选：B.【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.2．（2021春·九年级课时练习）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时【答案】B【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断．【详解】解：当时，，整理得，，，解得或；当时，，整理得，，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．（2023·上海·九年级假期作业）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______．【答案】或【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，∴，，又∵这条抛物线与抛物线形状相同，∴，即，∴这条抛物线的解析式为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．4．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____．【答案】k=0或k＞2．【分析】先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．【详解】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象．∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．∵观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y＝2的上边，故k＝0或k＞2．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图象得出k的取值范围．5．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）设二次函数，（，，是实数，）．(1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．(2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．(3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．【答案】(1)为2，为(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值；（2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出；（3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可．【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线，∴，∴，∵函数的图象经过点，∴，∴；（2）∵函数的最大值为，∴，，∵函数的最小值为，∴，，∴，∵，∴；（3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且，①若，，则，即，∵，，∴，②若，，则，即，∵，，∴，综上可知，．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键．考查题型八根据二次函数的对称性求函数值1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若抛物线上的，Q两点关于直线对称，则Q点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，故，，则，即可知道Q点的坐标．【详解】解：依题意，设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，所以，，即，那么Q点的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的点的坐标以及二次函数图象的对称性等知识内容，经过函数的某点一定在函数的图象上．2．（2023·江西·统考二模）二次函数（，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…1……00…其中，，，以下结论中不正确的是（

）A．对称轴为直线 B．关于的方程的两根为或C． D．关于的不等式的解集为【答案】D【分析】根据对称轴和图象上点的坐标特征即可判断A；由表格数据可知抛物线开口向上，函数的对称轴为：，则，即可判断B、C；根据二次函数的性质即可判断D．【详解】解：∵和时，函数值都是m，∴点和关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为，故选项A不符合题意；∵对称轴为，∴，∴于的方程的两根为或，故选项B不符合题意；∵，，∴，∴抛物线开口向上，∴，，∵，∴，∴，故选项C不符合题意；∵抛物线开口向上，和时，函数值都是m，∴时，的解为和，∴，∴关于的不等式的解集为或，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．3．（2023·上海·一模）二次函数图像上部分点的坐标满足如表：x……y……那么m的值为____．【答案】【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【详解】解：、时的函数值相等都是，函数图像的对称轴为直线和也关于直线对称，当和时的函数值也相等，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．4．（2023·吉林长春·校考二模）二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，再由，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵，∴点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离是解题的关键．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知二次函数的图像经过点．

(1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标．(2)已知点在该二次函数图像上．①当时，求n的值；②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值．【答案】(1)，顶点坐标为(2)①；②或【分析】（1）把点代入，解得a的值并配方，得，即得二次函数图像的顶点坐标；（2）①把代入即可；②结合函数图像，即可得到当时，该二次函数有最大值时的m的值．【详解】（1）解：将点代入，得，解得，∴二次函数的解析式为，配方，得，∴顶点坐标为；（2）解：①将代入，得.∴当时，.②由（1）可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示：

根据函数图像，若满足当时，该二次函数有最大值，则或，∴或．【点睛】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容．考查题型九已知二次函数的的函数值求自变量的值1．（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）根据下列表格的对应值：判断方程（，，，为常数）一个近似解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格，得出当时，的值为，当时，的值为，再根据，即可得出方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，再结合选项，即可得出结果．【详解】解：∵由表格可知，当时，的值为，当时，的值为，又∵，∴方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，又∵，∴方程（，，，为常数）一个近似解为．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值．2．（2022秋·山西太原·九年级统考期中）小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下：据此可知，方程的一个解的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据列表，得出当时，的函数值为；当时，的函数值为，再根据，即可得出的一个解的取值范围为．【详解】解：根据题意，可得：当时，的值为；当时，的值为，∵，∴方程的一个解的取值范围为．故选：C【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值．3．（2021春·八年级课时练习）已知，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9．【答案】30或6【分析】令y=0即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令y=9即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可．【详解】解：∵y=x2-6x+9中的值为0，∴令x2-6x+9=0，解得x=3；∵y=x2-6x+9中的值为9，∴令x2-6x+9=9，即x2-6x=0，解得．故答案为：3；0或6．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的元二次方程，求出x的值是解答此题的关键．4．（2021春·九年级课时练习）已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________．…-10123…03430【答案】，【分析】根据表格可知：点，，在二次函数图象上，则可得二次函数的对称轴为直线即，进而可根据函数的对称性可求解．【详解】解：根据表格可知：点，，在二次函数图象上，∴二次函数的对称轴为即，∴点关于对称轴的对称点为，∴方程的根为，；故答案为，．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．5．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点在该抛物线上，求m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，得解得，所以此函数的解析式为（2）解：把代入得，解得或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．考查题型十二次函数y=ax2+bx+c的最值1．（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．【答案】C【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】解：二次方程的两根为和5，，解得，二次函数，，当时，有最小值，最小值为，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．2（2023·浙江·一模）已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（

）A． B．或3 C．或3 D．3或【答案】A【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．【详解】∵二次函数，∴对称轴为，当时，抛物线开口向上，∴当时，∴当时，的最小值为，∴，解得；当时，抛物线开口向下，∴当时，∵，∴当时，的最小值为，∴，解得，综上所述，的值为．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3．（2022秋·九年级单元测试）若二次函数的图象关于直线对称，且当时，有最大值，最小值，则的取值范围是__________．【答案】/【分析】由二次函数的对称轴求出a的值，把一般式化为顶点式，即可求出当时，y有最小值1，把代入即可求出x的值，即可求得m的取值范围．【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，∴，∴，∴抛物线解析式为，∴当时，y有最小值1，∵当时，y有最大值5，最小值1，∴令，解得：或，∴m的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．4．（2023·吉林·一模）抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为____________．【答案】【分析】根据题意可设点D的坐标为，可得抛物线的解析式为，再把代入，结合二次函数的性质，即可求解．【详解】解：根据题意可设点D的坐标为，∴抛物线的解析式为，把代入得：，∵，∴当时，y有最大值，最大值为，即点Q纵坐标的最大值为．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知二次函数．(1)将化成的形式；(2)当时，的最小值是_____，最大值是______；(3)当时，写出的取值范围．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解；（2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解；（3）根据图象，，图象与横坐标的交点的下方，由此即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，，∴改写形式为．（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示，∴当时，二次函数与轴的交点坐标为；当时，二次函数；当时，二次函数；∴当时，，有最小值；，有最大值，故答案为：，．（3）解：令时，，解得，，，∴当时，的取值范围是．【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，区间最大最小值，掌握二次函数图象及二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．1．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．2．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定抛物线的开口方向，再判断它的增减性，即可求出答案．【详解】解：二次函数为，二次函数的对称轴为，，二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的增减性．3．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，抛物线的顶点在的边所在的直线上运动，点的坐标为，点的坐标为，若抛物线与的边都有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直线的解析式为：，然后由抛物线的顶点在直线上，可求得，于是得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点和点时抛物线与的边都有公共点，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而可判断出的取值范围．【详解】解：设直线的解析式为：，点的坐标为，，解得，直线的解析式为：，抛物线的顶点为：，且在的边所在的直线上运动，，抛物线解析式为：，当抛物线经过点时，将代入得：，解得，，当抛物线经过点时，将代入得：，解得，，综上所述，的取值范围为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通过平移抛物线探究得出抛物线与的边都有公共点，抛物线经过的“临界点”为点和点是解题的关键．4．（2021秋·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）函数与的图像如图，有以下结论，正确的有（

）个．①；②；③当时，；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由函数与轴无交点，可得；当时，；当时，；当时，二次函数值小于一次函数值，可得，继而可求得答案．【详解】解：∵函数与轴无交点，∴，故结论①错误；由图像知，抛物线与直线的交点坐标为和，当时，，故结论②错误；∵当时，，∴，故结论④正确；∵当时，二次函数值小于一次函数值，∴，∴，故结论③正确，∴正确的结论有2个．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．掌握二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．5．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(

)A．点在该函数的图象上B．当且时，C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，当时：，∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时，有最大值为，当时，有最小值为，∴，故B选项错误；∵，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；当时，抛物线的对称轴为：，∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．6．（2021秋·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）二次函数的图象过点、．点P是对称轴上一点，当达到最小值时，则P的坐标为________．【答案】【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得到对称轴，当P、A、B三点共线时，有最小值，此时，连接，与对称轴的交点即为点P，求出直线的解析式，即可得到点P坐标．【详解】解：二次函数的图象过点、，，解得：，二次函数解析式为，对称轴为直线，如图，当P、A、B三点共线时，有最小值，此时，连接，与对称轴的交点即为点P，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，当时，，点P的坐标为【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．7．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．【答案】【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．（2023·山东泰安·校考三模）已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是__________．【答案】5或1/1或5【分析】抛物线通过左右平移可得抛物线，分点与为对应点，点与为对应点两种情况，分别求解即可．【详解】解：抛物线与轴有两个交点，当点与为对应点时，由于，抛物线是由抛物线向右平移5个单位得到，；当点与为对应点时，由于，抛物线是由抛物线向右平移1个单位得到，，综上的值是5或1．故答案为：5或1．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律，注意分情况讨论．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．（1）若是“和谐点”，则__________．（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．【答案】