4.1 认识三角形（课件）-2023-2024学年七年级下册数学

第四章三角形1.1认识三角形探索&交流三角形及有关概念1—观察下面的屋顶框架图：（1）你能从图中找出四个不同的三角形吗？（2）这些三角形有什么共同的特点？探索&交流1三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。ABC注意：（1）不在同一条直线上.（2）三条线段.（3）首尾顺次相接.探索&交流三角形中有几条线段?有几个角?边：线段AB，BC，CA是三角形的边.顶点：点A，B，C是三角形的顶点，角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.有三条线段，三个角ABC探索&交流注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.2三角形的表示三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.ABC如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C.3.三角形的顶点4.三角形三要素ABC边：三角形中三边AB，BC，AC角：三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C顶点：三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C探索&交流探索&交流典例精析例1.如图，在△ABC中，∠A=65°，∠B=45°，求∠C的度数。解：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°），∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（65°+45°）=70°ABC探索&交流做一做问题1

在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．132132三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探索&交流（1）在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？直线l与边BC平行．BBCCAl（2）在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．BBCCAl探索&交流（3）结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.ABC24153l探索&交流求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，所以∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)因为∠2+∠1+∠BAC=180°，所以∠B+∠C+∠BAC=180°.12探索&交流证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，所以∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又因∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探索&交流三角形内角和定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.探索&交流典例精析例1.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(

)A．45°

B．54°

C．40°

D．50°C探索&交流议一议

下面的图（1）、图（2）、图（3）中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.（1）（2）（3）探索&交流锐角三角形钝角三角形直角三角形思考：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？三个角都是锐角的三角形有一个角是直角的三角形有一个角是钝角的三角形探索&交流直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.ABC直角边直角边斜边直角三角形有许多性质,你能发现它的两个锐角之间有什么关系吗?根据“三角形的内角和为180°”易得“直角三角形的两个锐角互余”.探索&交流典例精析例2.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(

)A．100°B．80°C．60°D．40°B例3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F.(1)试说明∠BCD＝∠ECD；(2)请找出图中所有与∠B相等的角．探索&交流典例精析解：(1)因为∠B＝70°，CD⊥AB于点D，所以∠BCD＝90°－70°＝20°.在△ABC中，因为∠A＝30°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°.因为CE平分∠ACB，所以∠BCE＝∠ACB＝40°.所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝40°－20°＝20°.所以∠BCD＝∠ECD.探索&交流随堂练习练习&巩固C1.下面是小强用三根火柴分别组成的图形，其中符合三角形定义的是(

)练习&巩固B

2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D.则图中与∠B互余的角有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个练习&巩固3.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为(

)A．54°B．62°C．64°D．74°B

三角形按角的大小关系，可分为：直角三角形锐角三角形钝角三角形三角形三角形若按边来分类，可分为哪几类？三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.按边分类不等边三角形等腰三角形三边都不相等的三角形有两条边相等的三角形普通等腰三角形等边三角形三边都相等的三角形是等边三角形.腰等腰三角形底边顶角底角有两条边相等探索&交流三角形的三边关系1—（1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。装有黄色彩灯的电线长因为两点之间线段最短，所以装有红色彩灯的电线要短.探索&交流（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?ABCabc由此可以得到：解：两点之间线段最短.探索&交流画一个任意三角形分别量出其三边长度，并填空。计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？三角形任意两边之差小于第三边abca＝_______b＝_______c＝_______我们可以得出三角形第三边的取值范围是：第三边＞两边之差第三边＜两边之和探索&交流典例精析例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？探索&交流解：取长度为2cm的木棒时，由于2＋5＝7＜8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5＋8＝13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.8-5<x<5+83<x<13探索&交流典例精析例2.一个三角形的三边长分别为4，9，x，那么x的取值范围是(

)A．5＜x＜13B．4＜x＜9C．－5＜x＜13D．x＞5A随堂练习练习&巩固1.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.18cm或21cm练习&巩固B

2.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(

)A．14B．10C．3D．2练习&巩固3.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？因为x为偶数，所以小颖有5种选法.第三根木棒的长度可以是4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.解：设第三根木棒长为xcm，有8-5＜x＜8+5，即3＜x＜13.探索&交流三角形的中线1—在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是BC边上的中线.三角形的“中线”BE=ECBCEA探索&交流(1)AD是△ABC中BC边上的中线．(2)点E是BC边的中点．(3)BE＝CE或BD＝BC或DC＝BC或BD＝DC＝BC.BE=ECBCEA想一想三角形的中线有什么特点？探索&交流拓展：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？BCDEA相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.探索&交流议一议(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?三条中线，交于一点（2）钝角三角形和直角三角形的中线有几条，它们也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流.ACBABCHH归纳：三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.探索&交流探索&交流典例精析例1.若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是(

)A．AB＝BCB．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DCAACBFEDO则AB边上的中线是______.AC边上的中线是______.CFBEAD∵BE是中线∴____=_____=∴AB=2____=2____∵CF是中线AECEAFBFBC边上的中线是______.AC12例2.如图，点D、E、F分别是边BC、AC、AB上的中点典例精析探索&交流三角形的角平分线2—思考

如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，你能想办法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗?探索&交流BAC用量角器画最简便，用圆规也能.

在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.ABCAD三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.三角形的一个角的平分线叫做三角形的角平分线.这句话对吗？“三角形的角平分线”是一条线段ABCD12∠1=∠2探索&交流探索&交流做一做拿出准备好的锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，来动手做一做.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?探索&交流ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线

∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF三角形的三条角平分线线交