新课标八年级数学竞赛培训第17讲：梯形

新课标八年级数学竞赛培训第17讲：梯形一、填空题〔共9小题，每题4分，总分值36分〕1．〔4分〕如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，假设AD=a，AB=b，那么CD的长是_________．2．〔4分〕观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题：梯形个数12345…图形周长58111417…当梯形个数为n时，这时图形的周长为_________．3．〔4分〕〔2012•黄冈二模〕在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，那么四边形ABCD的面积为_________．4．〔4分〕〔2003•南昌〕如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么它至少要飞行_________米．5．〔4分〕如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，那么AC=_________，梯形ABCD的面积为_________．6．〔4分〕如图，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，那么AB=_________．7．〔4分〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，那么梯形ABCD的面积为_________cm2．8．〔4分〕如图在梯形ABCD中，AB=DC=10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG的中点，F为AB的中点，那么EF的长为_________cm．9．〔4分〕梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，那么此梯形面积为_________．二、选择题〔共9小题，每题5分，总分值45分〕10．〔5分〕用4条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为4条边构成一个梯形，那么在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为〔〕A．B．C．11D．11．〔5分〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，BC=7，MN=3，那么EF的长为〔〕A．4B．C．5D．612．〔5分〕如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①如果AB+DC=BC，那么∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，那么AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分线，那么∠BEC=90°，④如果AB+DC=BC，那么CE是∠DCB的平分线，其中真命题的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个13．〔5分〕如图，在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，那么A到BC的距离为〔〕A．12B．13C．D．14．〔5分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，假设△DEC的面积为S，那么四边形ABCD的面积为〔〕A．B．2SC．D．15．〔5分〕〔2002•荆门〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，那么AB等于〔〕A．a+B．+bC．a+bD．a+2b16．〔5分〕〔2003•济南〕如下图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，▱ABED的面积是36cm2，那么四边形ABCD的周长为〔〕A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm17．〔5分〕在课外活动课上，某同学做了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，那么两条对角线共用的竹条至少需〔〕A．30cmB．40cmC．60cmD．80cm18．〔5分〕一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，那么此梯形的面积等于〔〕A．4B．6C．8D．三、解答题〔共10小题，总分值0分〕19．〔1〕如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC〔2〕请你将〔1〕中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．20．如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高h=2，P是BC边上的一个动点，直线m过P点，且m∥DC交梯形另外一边于E，假设BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y．〔1〕当3＜x≤6时，求y与x之间的关系式；〔2〕当0≤x≤3时，求y与x之间的关系式；〔3〕假设梯形ABCD的面积为S，当y=时，求x的值．21．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠AOD=120°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．〔1〕判断△SPQ的形状并证明你的结论；〔2〕假设AB=5，CD=3，求△PQS的面积；〔3〕，求的值．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°，求证：AC=MN．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值？假设为一定值，求出这个定值；假设不为定值，求出这个值的取值范围．24．如图，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E为腰AB上一点．〔1〕假设CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；〔2〕设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1，S2，假设2S1=3S2，求．25．在矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N〔1〕求证：S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合〔只写出满足的条件，不要求证明〕；〔3〕在〔2〕的条件下，假设翻折后不重叠局部的面积是重叠局部面积的，求的值．26．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．27．〔2001•常州〕：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=1，∠B=45°，动点E在折线BA﹣AD﹣DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP=x，请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积．28．〔2003•青岛〕巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．〔1〕求BC、AD的长度；〔2〕假设点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围〔不包含点P在B、C两点的情况〕；〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两局部的面积比为1：5？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．

新课标八年级数学竞赛培训第17讲：梯形参考答案与试题解析一、填空题〔共9小题，每题4分，总分值36分〕1．〔4分〕如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，假设AD=a，AB=b，那么CD的长是b﹣a．考点：梯形；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长AD，BC相交于E，根据平行线的性质以及中角的关系可知：∠ECD=∠AEB=∠ABC，即可求证得到：DE=CD，AB=BE，即可求解．解答：解：延长AD，BC相交于E．∵CD平行AB，∴∠ABC=∠DCE．∵∠ADC=∠AEB+∠ECD=2∠ABC=2∠ECD，∴∠ECD=∠AEB=∠ABC．∴CD=DE=AE﹣AD=AB﹣AD=b﹣a．故答案是：b﹣a．点评：平移腰，构造等腰三角形、平行四边形．注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到同一三角形中来．2．〔4分〕观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题：梯形个数12345…图形周长58111417…当梯形个数为n时，这时图形的周长为3n+2．考点：规律型：图形的变化类．专题：几何图形问题．分析：梯形个数为1时，周长为5，梯形个数为2时，周长为5+3，梯形个数为3时，周长为5+2×3…据此可得梯形个数为n时，图形的周长．解答：解：n=1时，图形的周长为5；n=2时，图形的周长为5+3；n=3时，图形的周长为5+2×3；…当梯形个数为n时，这时图形的周长为5+〔n﹣1〕×3=3n+2．故答案为：3n+2．点评：此题考查了根据相应图形找规律；得到变化的量与n的关系及不变的量是解决此题的关键．3．〔4分〕〔2012•黄冈二模〕在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，那么四边形ABCD的面积为25．考点：梯形；全等三角形的判定与性质．分析：此题的关键是作对角线的辅助线，通过平行四边形ACDE⇒△ABD≌△CDE，从而将梯形的面积转化为直角三角形的面积．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，DF⊥BC于F∵DE∥AC，AD∥BC∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=BD∴三角形BDE是等腰三角形∵∠BOC=120°∴∠BDE=120°∴∠OBC=∠OCB=30°∴DF=BD=5，BF=BD=5，BE=2BF=10．在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE〔SAS〕∴根据梯形的面积等于三角形BDE的面积，即×10×5=25．点评：此题主要是平移对角线，构造一个平行四边形和等腰三角形．把梯形的面积转化为三角形的面积．4．〔4分〕〔2003•南昌〕如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么它至少要飞行10米．考点：勾股定理的应用．分析：从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．解答：解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．点评：注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．5．〔4分〕如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，那么AC=，梯形ABCD的面积为．考点：等腰梯形的性质；勾股定理．分析：由可得梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质及可求得AB的长，从而不难求得AC的长，再过点A作AE⊥BC于点E，从而可求得AE的长，根据梯形面积公式不难求得其面积．解答：解：∵在梯形ABCD中，AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形∴∠D+∠DCB=180°∵∠D=120°∴∠B=∠DCB=60°∵对角线CA平分∠BCD∴∠ACB=30°∵AD=DC∴∠DAC=∠ACD=30°∴∠BAC=90°∴BC=2AB∵梯形的周长=AD+DC+BC+AB=5AB=20∴AB=4∴AC=4，BC=8过点A作AE⊥BC于点E∵AB=4，AC=4，BC=8∴AE=2∴梯形ABCD的面积=〔4+8〕×2×=12．故答案为：4，12．点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质及勾股定理的综合运用能力，关键是弄清各边之间的关系，从而根据周长求得各边的长．6．〔4分〕如图，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，那么AB=h．考点：直角梯形；勾股定理．分析：过Q作QC⊥AR交于点C，由条件易证得△PQR是等边三角形，根据勾股定理及等边三角形的性质，可求得AB的长．解答：解：过Q作QC⊥AR交于点C，∵∠A=∠B=90°，∠RPA=75°，∠QPB=45°，∴∠RPQ=60°，QB=PB=k，又∵RP=PQ=a，∴△PQR是等边三角形，即RP=PQ=RQ=a；设AB长为x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，RQ2=RC2+CQ2，RP2=RA2+AP2，QP2=QB2+PB2，即a2=〔h﹣k〕2+x2，①a2=h2+〔x﹣k〕2，②由①②可解得2kx=2kh，即x=h．故答案填：h．点评：此题考查了直角梯形、直角三角形、等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．7．〔4分〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，那么梯形ABCD的面积为12+4cm2考点：梯形；勾股定理．专题：计算题．分析：作梯形的高，根据等腰三角形的性质可以求得各个角的度数，作高后，进一步发现30度的直角三角形．根据30度的直角三角形的性质求得该梯形的高和下底，再根据面积进行计算．解答：解：如图，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，又∵AD∥BC，且∠A=120°，∴∠ABC=60°，AE=DF，∵AB=AD=4，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，在Rt△ABE中，得AE=2，在Rt△BDF中，BD=2DF=2AE=4，∴BC=BD=4，∴S梯形ABCD=〔AD+BC〕•AE=〔12+4〕cm2．故答案为：12+4．点评：此题考查与梯形有关的问题，作高是梯形中常见的辅助线方法之一，作好辅助线是关键．能够根据等腰三角形的性质和30度的直角三角形的性质求解．8．〔4分〕如图在梯形ABCD中，AB=DC=10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG的中点，F为AB的中点，那么EF的长为5c考点：梯形．分析：连接BE，根据等腰三角形的性质可证△BCG为等腰三角形，又∠BGC=∠AGD=60°，可证△BCG等边三角形，BE为中线，故也是CG边上的高，由此可得△ABE为直角三角形，而EF是斜边AB上的中线，根据直角三角形的性质可知EF为AB的一半．解答：解：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△BCG为等边三角形，∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．点评：此题考查了等边三角形、直角三角形的判定与性质，表达了梯形问题转化为三角形问题的解题思想．9．〔4分〕梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，那么此梯形面积为6．考点：梯形．专题：计算题．分析：过D点作AC的平行线角BC的延长线与E点，将梯形上、下底的和，两条对角线平移到同一个三角形中，用勾股定理的逆定理证明直角三角形，再将梯形面积转化为求△BDE的面积．解答：解：如图，过D点作AC的平行线交BC的延长线于E点，∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，AD=CE=1，AC=DE=3，在△BDE中，BD=4，BE=BC+CE=5，∵BD2+DE2=42+32=25=BE2，∴∠BDE=90°，S梯形ABCD=S△ABD+S△CBD，=S△CDE+S△CBD，=S△BDE=×BD×DE=×4×3=6．故答案为：6．点评：此题考查了梯形常用的作辅助线的方法：平移一腰，用勾股定理证明直角三角形，求梯形面积的转化方法．二、选择题〔共9小题，每题5分，总分值45分〕10．〔5分〕用4条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为4条边构成一个梯形，那么在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为〔〕A．B．C．11D．考点：梯形中位线定理．专题：计算题．分析：分别以7、9、13为上底，其他线段做下底和两腰，试着判断是否能构成梯形〔实质是否符合三角形三边的关系〕，然后计算，最后取最大值即可解答：解：〔1〕当上底为7，下底分别为14，13，9时，能构成梯形，中位线长分别为〔7+14〕÷2=10.5，〔7+13〕÷2=10，〔7+9〕÷2=8；〔2〕当上底为9和13时，均构不成梯形．应选D．点评：此题主要考查梯形中位线的性质，还要注意判断能否构成梯形，难度中等．11．〔5分〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，BC=7，MN=3，那么EF的长为〔〕A．4B．C．5D．6考点：梯形中位线定理；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：作NE∥AB交BC于G，NF∥CD交BC于H，易得△ENF是直角三角形，即可证明MN=GH=〔BC﹣AD〕，根据求得AD，根据梯形中位线定理即可求得EF的长．解答：解：作NG∥AB交BC于G，NH∥CD交BC于H，∵AD∥BC，∴ABGN，CDNM是平行四边形，∴BG=AN，CH=ND，∵M，N分别是BC，AD的中点，∴BG=CH，∴GM=HM，∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠HGN=30°，∠NHG=60°，∴∠GNH=90°，∴MN=GH=〔BC﹣AD〕，∴AD=1，∴EF=〔BC+AD〕=4．应选A．点评：此题考查梯形中位线定理，综合考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质等知识点，辅助线的作法是关键．12．〔5分〕如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①如果AB+DC=BC，那么∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，那么AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分线，那么∠BEC=90°，④如果AB+DC=BC，那么CE是∠DCB的平分线，其中真命题的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：梯形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；命题与定理．分析：首先过点E作EF∥CD，由E是AD的中点，可得EF是梯形ABCD的中位线，即可得AB∥EF∥CD，EF=〔AB+CD〕；①由AB+DC=BC，可得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分线，易得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；④如果AB+DC=BC，可得EF=CF=BC，继而可得CE是∠DCB的平分线，解答：解：过点E作EF∥CD，∵AB∥DC，E是AD的中点，∴AB∥EF∥CD，EF=〔AB+CD〕；①∵AB+DC=BC，∴EF=BC，∴∠BEC=90°；正确；②∵∠BEC=90°，∴EF=BC，∴AB+DC=BC；正确；③∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠FBE，∵AB∥EF，∴∠BEF=∠ABE，∴∠BEF=∠FBE，∴EF=BF，∴EF=BC，∴∠BEC=90°；正确；④∵AB+DC=BC，∴EF=CF=BC，∴∠FEC=∠FCE，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DCE=∠FCE，即CE是∠DCB的平分线，正确．应选D．点评：此题考查了梯形的性质、梯形中位线的性质、直角三角形斜边的中线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．〔5分〕如图，在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，那么A到BC的距离为〔〕A．12B．13C．D．考点：直角梯形；勾股定理．分析：此题可以通过作辅助线来解答，作CE⊥AB交点为E，作AF⊥BC交点为F．根据梯形的性质和色股定理易证得AB=AC=13，根据三角形全等的判定可得△AFB≌△CEB，即可得CE=AF=12，即可得解．解答：解：如图，作CE⊥AB交点为E，作AF⊥BC交点为F．∵在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CE⊥AB，∴DC=AE=8，AD=CE=12，那么BE=AB﹣AE=13﹣8=5，∴在直角三角形BCE中，BC==13．即可得AB=CB；∵∠CEB=∠AFB=90°，∠B为公共角，AB=CB，∴△AFB≌△CEB〔AAS〕，∴CE=AF=12．应选A．点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理的应用，涉及到全等三角形的判定，是一道中档综合题．正确作出辅助线是解题的关键．14．〔5分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，假设△DEC的面积为S，那么四边形ABCD的面积为〔〕A．B．2SC．D．考点：梯形中位线定理；三角形的面积．专题：计算题．分析：过点E作EF∥AD，那么EF是梯形ABCD的中位线，那么EF=〔AD+BC〕，设梯形的高为h，那么S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF•h=S，由此可求得四边形ABCD的面积．解答：解：过点E作EF∥AD，设梯形的高为h，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是梯形，∵E是AB的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，即EF=〔AD+BC〕，∵S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF•h=S，∴S四边形ABCD=〔AD+BC〕•h=EF•h=2S．应选B．点评：此题考查梯形中位线的性质，作辅助线，求S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF•h=S，是解题的关键．15．〔5分〕〔2002•荆门〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，那么AB等于〔〕A．a+B．+bC．a+bD．a+2b考点：梯形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．分析：过点D作DE∥BC交AB于点E，从而得到一个平行四边形和一个等腰三角形，根据平行四边形和等腰三角形的性质即可求得AB的长．解答：解：过点D作DE∥BC交AB于点E，得平行四边形BCDE∴∠B=∠CDE，∠B=∠AED，BE=CD=b∵∠D=2∠B∴∠ADE=∠AED∴AE=AD=a∴AB=a+b应选C．点评：此题中利用平移一腰，构造了平行四边形和一个等腰三角形．16．〔5分〕〔2003•济南〕如下图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，▱ABED的面积是36cm2，那么四边形ABCD的周长为〔〕A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm考点：平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：由于AG=3，DG=4，AG是平行四边形ABED的高，DG是平行四边形AFCD的高，故两平行四边形的面积相等，都为36，由此可以求出DE，AB，CD，AF又△AGD是直角三角形根据勾股定理可以求出AD，BE，CF，然后延长CD与BA延长线交于H，可得△BHC是直角三角形，然后利用勾股定理和条件可以求出CH，BH，接着求出BC，最后就可以求出ABCD的周长．解答：解：∵四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，▱ABED的面积是36cm2，∴▱AFCD的面积是36cm2∵AG=3，DG=4，∴AG是平行四边形ABED的高，DG是平行四边形AFCD的高，∴DE=AB=12，CD=AF=9，又∵△AGD是直角三角形，∴AD=BE=CF=5如图，延长CD与BA延长线交于H，可得CH=CD+DH=CD+AG=12，BH=ED+DG=16，∵∠EDC=∠EGF=∠BAF=90°，∴∠HAG=∠AGD=∠HDG=90°，∴四边形AGDH是矩形，即△BHC是直角三角形，那么BC=20，∴ABCD周长为AB+BC+CD+DA=12+20+9+5=46．应选D．点评：主要考查了平行四边形的根本性质和平行四边形面积的求法．此题的解题关键是利用面积求出各边的长，从而求出周长．17．〔5分〕在课外活动课上，某同学做了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，那么两条对角线共用的竹条至少需〔〕A．30cmB．40cmC．60cmD．80cm考点：等腰梯形的性质．专题：应用题．分析：设对角线的长是x，根据面积公式可求得对角线的长，从而可得到两条对角线所用的竹条至少需要多少．解答：解：等腰梯形的对角线互相垂直且相等，可以设对角线的长是x，那么x2=450，那么x=30cm，两条对角线所用的竹条至少需要60cm．应选C点评：对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法是需要注意记忆的问题，两对角线长假设是a，b那么面积是ab．18．〔5分〕一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，那么此梯形的面积等于〔〕A．4B．6C．8D．考点：梯形．分析：给出4条线段分别为1、2、3、4，因为要构成梯形需满足一定条件，讨论确定可能的上、下底，梯形只可能是上底1，下底4，腰为2，3．解答：解：因为梯形只可能是上底1，下底4，腰为2，3，将梯形分为边为1，2的平行四边形与边为2，3，3的三角形．根据a2=b2+c2﹣2bccosA，高h=bsinA，a=2，b=3，c=3，解得h=，所以S=×〔1+4〕×=．应选D．点评：此题主要先讨论1，2，3，4四条边哪条能做底边，哪条做腰，组成的梯形的形状．三、解答题〔共10小题，总分值0分〕19．〔1〕如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC〔2〕请你将〔1〕中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；矩形的性质．分析：〔1〕可根据等腰梯形的性质及等边对等角的性质推出∠BAE=∠CDE，从而可利用SAS来判定△BAE≌△CDE，根据全等三角形的对应边相等的性质即可得到BE=CE．〔2〕要使“EB=EC”仍然成立，只需新的四边形与等腰梯形有一些共同的特征即可．解答：〔1〕证明：∵等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC∴∠BAD=∠CDA∵EA=ED∴∠EAD=∠EDA∴∠BAE=∠CDE∵AB=CD，AE=DE∴△BAE≌△CDE〔SAS〕∴BE=CE．〔2〕如图，矩形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是矩形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠CDA=90°∵EA=ED∴∠EAD=∠EDA∴∠BAE=∠CDE∵AB=CD，AE=DE∴△BAE≌△CDE〔SAS〕∴BE=CE∴当四边形ABCD是矩形时，上述结论仍成立．点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，及矩形的性质等的综合运用．20．如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高h=2，P是BC边上的一个动点，直线m过P点，且m∥DC交梯形另外一边于E，假设BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y．〔1〕当3＜x≤6时，求y与x之间的关系式；〔2〕当0≤x≤3时，求y与x之间的关系式；〔3〕假设梯形ABCD的面积为S，当y=时，求x的值．考点：梯形．专题：动点型；分类讨论．分析：〔1〕当3＜x≤6时，直线m左侧的图形是梯形，根据梯形的面积公式即可求解；〔2〕当0≤x≤3时，直线m左侧的图形是三角形，根据三角形面积公式即可求解；〔3〕应该分为两种，3＜x≤6．和0≤x≤3两种情况进行讨论，根据y=，以及〔1〕〔2〕中得到的函数关系式，即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．解答：解：〔1〕y={x+3﹣〔6﹣x〕}=〔2x﹣3〕=2x﹣3；〔2〕当0≤x≤3时，h=x，y=xh=x2；〔3〕应该分为两种，3＜x≤6．0≤x≤3时，〔2x﹣3〕=〔6﹣x〕hh约去得：x=，在3＜x≤6所以xh=〔6﹣x〕hh约去解得：x=4，不在0≤x≤3，所以是不对，所以正确的选项是x=．点评：随着P点在BC上运动，梯形位于直线m左侧的图形形状也发生改变，故解本例的关键是分类讨论及梯形常用辅助线的添出．注削弱证明的难度，赋以点〔或线〕运动，在动态过程中解几何问题，这是近年中考试题中几何问题的一个显著特点，这类问题需要动态分材．21．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠AOD=120°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．〔1〕判断△SPQ的形状并证明你的结论；〔2〕假设AB=5，CD=3，求△PQS的面积；〔3〕，求的值．考点：等腰梯形的性质．专题：综合题．分析：〔1〕连接SC、PB，根据等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线可判断出答案．〔2〕根据等腰梯形的性质及∠AOD=120°可求出等边三角形的边长，从而可得出答案．〔3〕设CD=a，AB=b〔a＜b〕，根据题意表示出两面积的比，从而可得出答案．解答：解：〔1〕连接SC、PB，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，∴△ADC≌△BCD，∴∠ODC=∠OCD，∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，而∠AOD=120°，那么∠DOC=60°，∴△ODC是等边三角形，∵S为OD的中点，∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，∴PS=AD，SQ=BC，PQ=BC，故可得△SPQ是等边三角形；〔2〕作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=5，CD=3，∴AE==1，BE=5﹣1=4，∴DE=BE•tan60°=4，在Rt△ADE中，AD==7，∴PS=PQ=SQ=，∴S△PQS=；〔3〕设CD=a，AB=b〔a＜b〕，BC2=SC2+BS2=+=a2+b2+ab，∴S△SPQ=〔a2+ab+b2〕，又，S△AOD=S△BOC=CS×OB=×a×b=ab，∴8×〔a2+ab+b2〕=7×ab，即2a2﹣5ab+2b2=0，∴〔a﹣2b〕〔2a﹣b〕=0，∴a=2b〔不合题意舍去〕或2a=b，∴化简得=，故=．点评：此题考查等腰梯形及等边三角形的知识，难度较大，注意一些根本知识的掌握，这是解答综合题的关键．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°，求证：AC=MN．考点：梯形中位线定理；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∴AC=OA+OC=〔AD+BC〕，∵MN=〔AD+BC〕，∴AC=MN．点评：此题主要考查梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，难度中等．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值？假设为一定值，求出这个定值；假设不为定值，求出这个值的取值范围．考点：等腰梯形的性质．专题：证明题．分析：过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG．解答：解：能．证明：过点B作BG⊥CD，垂足为G，过点P作PH⊥BG，垂足为H，∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，∴四边形PHGF是矩形，∴PF=HG，PH∥CD，∴∠BPH=∠C，在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，∴∠PBE=∠BPH，∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，∴△PBE≌△BPH〔AAS〕∴PE=BH，∴PE+PF=BH+HG=BG．故PE+PF的值是为一定值．点评：此题考查了等腰梯形的性质，难度较大，主要利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．24．如图，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E为腰AB上一点．〔1〕假设CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；〔2〕设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1，S2，假设2S1=3S2，求．考点：梯形；三角形的面积；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：〔1〕设AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，先证明三角形DFC为等边三角形即可求解；〔2〕把梯形ABCD补成平行四边形ABCF，连接AC，根据=即可求解．解答：解：〔1〕设AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，那么BF=AD，DF=AB=4x，CF=BC﹣BF=2AD，FG：BE=CF：BC=2：3，所以，FG=2x，DG=DF﹣FG=4x﹣2x=2x，G为DF边的中点，又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，G为DF边的垂足，所以，CD=CF，又CD=AB=DF，所以，三角形DFC为等边三角形，所以∠DFC=60°，所以∠B=∠DFC=60°；〔2〕如图，把梯形ABCD补成平行四边形ABCF，连接AC，设S△BCE=3s，S四边形AECD=2s，那么DF=2AD，又设S△ACD=x，那么S△ACE=2s﹣x，S△CDF=2x，由S△ABC=S△ACF，得3s+2s﹣x=x+2x，那么x=s，∴S△ACE=2S﹣s，S△ACE=s，故===4．点评：此题考查了梯形及平行四边形的判定与性质，难度较大，主要是巧妙地作辅助线进行解题．25．在矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N〔1〕求证：S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合〔只写出满足的条件，不要求证明〕；〔3〕在〔2〕的条件下，假设翻折后不重叠局部的面积是重叠局部面积的，求的值．考点：翻折变换〔折叠问题〕；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：〔1〕连AC、BD交于O，根据四边形ABCD是矩形可求出△DON≌△BOM，△AON≌△COM，再由梯形的面积即可求解；〔2〕根据图形翻折不变性的性质即可解答；〔3〕根据图形翻折后不重叠局部的面积是重叠局部面积的列出关系式，再把三角形面积的比转化为的比即可．解答：〔1〕证明：如图〔一〕，连AC、BD交于O，∵AD∥BC，∴∠DNM=∠BMN，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵∠BOM=∠DON，∴△DON≌△BOM，∴ND=BM，同理可证△AON≌△COM，∴AN=MC，∴AN+ND=BM+MC，∵AB=CD，∴S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕解：如图〔二〕，∵当A点与C点重合时，△AMO≌△CMO，∴MN⊥AC，这是MN应满足的条件；〔3〕解：如图〔二〕，∵AB=CD=AD′，∵∠BAM+∠MAN=90°，∠MAN+∠NAD′=90°，∴∠BAM=∠NAD′，又∠B=∠D′=90°，∴△ABM≌△AD′N，∴△ABM和△AD′N的面积相等，MC=AM=AN，∵重叠局部是△AMN，不重叠局部是△ABM和△AD′N．∴=，即=，故=．点评：此题考查的是图形翻折变换的性质、梯形的面积公式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．26．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，那么PQ=〔ER+FS〕，易证Rt△AER≌Rt△CAT，那么ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，那么ER∥PQ∥FS，∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，∴PQ为梯形EFSR的中位线，∴PQ=〔ER+FS〕，∵AE=AC〔正方形的边长相等〕，∠AER=∠CAT〔同角的余角相等〕，∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT〔AAS〕，同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，FS=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．27．〔2001•常州〕：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=1，∠B=45°，动点E在折线BA﹣AD﹣DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP=x，请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积．考点：梯形．专题：