2023-2024学年福建省福州市高二年级上册期末联考数学模拟试题(二)(含解析)

2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学模拟试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.过点（—1'3）且平行于直线x—+3=°的直线方程为（）

A.x—2y+7=0B.2x+y—1=0C,x——5=0D.

2x+y—5—0

【正确答案】A

【分析】首先根据平行关系设直线方程x-2y+c=0（cH3）,再代入点的坐标，求直线方

程.

【详解】设与直线x—2夕+3=0平行的直线是x—2y+c=0（c#3）,代入点（—1,3）得

-l-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x—2y+7=0.

故选：A

2.若圆£:/+产一4》+3=0与圆C2：（x+2）2+（y+3）2=/〃有且仅有一条公切线，则

m=（）

A.16B.25C.36D.16或36

【正确答案】C

【分析】将圆化成标准方程，求出圆心和半径，由题可判断两圆内切，结合圆心距等于半径

差可求"?.

【详解】根据题意，圆C:/+丁2-4工+3=0,BP（x-2）2+/=l,其圆心为（2,0）,半

径为1,

圆。2：（》+2）2+（夕+3）2=加，圆心为（一2,-3）,半径为日，

两圆的圆心距d=716+9=5，

若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有|砺-1|=5，

又由加＞0,解可得加二36,

故选：C.

3.已知点/（〃?,”）在椭圆土+匕=1上，则2―+〃2的最大值是（）

42

A.6B.8C.3D.2

【正确答案】B

【分析】由已知条件得出加2=4-2/,利用椭圆的有界性得出0«〃2«2，由此可求得

2M2+"2的取值范围，即可得解.

22

【详解】由题意可得里-+上=1,则优2=4一2/,故2/+〃2=8—3〃2.

42

因为一及《〃＜血，所以04〃242,所以2K8—3〃248，即242〃/+〃248.

因此，加？+〃2的最大值g.

故选：B.

4.已知4(0,4),双曲线?一(1=1的左、右焦点分别为耳，鸟，点尸是双曲线左支上一

点，则附|+|所|的最小值为()

A.5B.7C.9D.11

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理|04|+|嗨|,利用三

角形三边关系，可得答案.

22

【详解】由双曲线二一匕=1,则/=4万=5,即。2=42+/=9，且耳(-3,0),巴(3,0),

45

由题意，|P八|—|P£|=2a

|乃|+|"耳|=|PZ|+2a+|尸用2|/月+2°=，32+42+4=9，

当且仅当4P,£共线时，等号成立.

故选：C.

5.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难,

次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有

一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6

天后到达目的地则下列说法正确的是()

A.该人第五天走的路程为14里

B.该人第三天走的路程为42里

C.该人前三天共走的路程为330里

D.该人最后三天共走的路程为42里

【正确答案】D

【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为■的等比数列{%},由题意求出首

项，可得其通项公式，即可求出43M5,判断A,B;求出53，S6—S3可判断C,D.

【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为q=；的等比数列｛%｝，

设数列前n项和为S“，则£=378,

故$6=-------------=378,解得％=192,

1--

2

则a“=192x击，

故4=192x3=12,该人第五天走的路程为12里，A错误；

%=192**=48,该人第三天走的路程为48里，B错误；

192(1-；)

$3=---------------7^-=336,该人前三天共走的路程为336里，C错误；

2

由56-5=378-336=42(里)，可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，

故选：D

6.已知两个等差数列｛凡｝和〃｝的前〃项和分别为S,,和7；,且竦=—二，则管的值为

T„〃+1%

()

71315

A.—B.—C.—D.2

467

【正确答案】A

【分析】由题，可设S”=布(2〃+3),1,=妙(〃+1),则鲁=含二

b(,16T5

Sn2n+3

【详解】因等差数列前〃项和为关于"的不含常数项的二次函数，又^=­I，

T„〃+1

c,小、aS-S65k-44k21k7

则可设S“=研2〃+3),…(〃+l),则5厂5不4厂矿荻=市=子

故选：A

22

7.己知双曲线。:，-彳=1(〃>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，居，过6的直线与C的

ab~

两条渐近线分别交于43两点，若4为线段8瓦的中点，且3耳13与，则。的离心率为

()

A.6B.2C.73+1D.3

【正确答案】B

【分析】由题意可得△36"为直角三角形，再结合4为线段8K的中点，可得/0垂直平

分BF、,可表示出直线86，BF2,再联立渐近线方程可以得到。，b,。的关系，进而得

到双曲线离心率

【详解】由题意可知，过£的直线与C的两条渐近线分别交于48两点，当两个交点分

别在第二和第三象限时不符合，

/为线段86的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一

根据双曲线可得，片(-c,0),玛(c,0),两条渐近线方程y=±2'，

a

BF4BF2,。为百心的中点，

8。=。片=。工=。，又/为线段BQ的中点，.1。4垂直平分8月，

AA

可设直线3月为y=f(x+c)①，直线88为丁=——(x—c)②，直线80为歹=一工③，

baa

cheheac

由②③得，交点坐标3(一点8还在直线8月上，.•.——=7(;;+c),可得/=3/,

22a2ab2

°?=/+〃=4/,所以双曲线C的离心率6=£=2,

a

故选：B

8.曲线c：X=J—y2+i6y—15上存在两点48到直线y=T距离等于到尸(0,1)的距离,

则上尸|+忸F|=()

A.12B.13C.14D.15

【正确答案】C

【分析】由题可知4,8为半圆C与抛物线V=4y的交点，利用韦达定理及抛物线的定义

即求.

【详解】由曲线C：x=yj-y2+16^—15，可得犬+y2-16y+15=0,

即，+(>一8)2=49,》20,为圆心为C(0,8),半径为7的半圆，

又直线歹=一1为抛物线/=4歹的准线，点尸(0,1)为抛物线/=4y的焦点，

依题意可知48为半圆C与抛物线f=2y的交点，

2

,[x+(y-8)'=49,x>0z2

由《，V)，得^2一12^+15=0,

x=4y

设4(X，必),3(々,y2)，则△=(一12)2—4xlxl5=84>0,yt+y2=12,

.•.|4周+忸可=凹+1+为+1=14.

故选:C.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)

9.已知正方体力BCD-44CQ,棱长为1,E,尸分别为棱/8,CG的中点，则()

A.直线与直线EP共面B.A.EVAF

C.直线4E与直线3/的所成角为60°D,三棱锥的体积为七

【正确答案】BD

【分析】如图，以。为原点，以。所在直线分别为x，V，z建立空间直角坐标系,

对于A,利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B,通过计算《EM尸进行判断,

对于C,利用向量的夹角公式求解，对于D,利用=。力一GDF求解.

【详解】如图，以。为原点，以。所在直线分别为x,%z建立空间直角坐标系,

则

。(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),A,(1,0,1),5,(l,l,l),C,(0,l,l),

EK，。)](。词,

对于A,假设直线AD,与直线EF共面，因为平面ABB.A,〃平面DCCR,平面AEFD}

平面4544=/E,平面。CCQi平面尸，

所以AE〃RF,

因为/E〃所以GA〃。尸，矛盾，所以直线与直线EE不共面，所以A错

误；

对于B,因为港（0,；,-1）,二〔（一1,1,£|,

所以4E•/尸=0+g—5=0,所以4Wiz片，所以4E_L/R,所以B正确，

对于c,设直线4E与直线8尸的所成角为6,因为蓝=（0，；，-",蓝

21

T

52

所以ew6o。，所以c错误,

对于D,因为平面。eq。，

所以&的=%CQF=；SG*/°=；xgxgxlxl=J所以D正确,

故选：BD.

22

10.已知椭圆上+匕=1的左、右焦点为片，Q,点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶

42

点重合，则下列关于耳马的说法正确的有（）

A.△产片月的周长为4+2应

B.当NPFH=90°时，△尸片片的边产片=2

C.当N耳环=60。时，△尸片工的面积为述

3

D.椭圆上有且仅有6个点尸，使得△。耳£为直角三角形

【正确答案】ACD

【分析】根据椭圆的标准方程求得a=2,c=0,进而求得|「耳|+|尸用=4,|百闻=2五;

Q

根据NP月8=90。，可求得|产用=1；根据余弦定理可求得归耳“尸与卜］,进而求得面

积；根据△尸片乙为直角三角形分情况求得满足题意的点P的个数即可.

【详解】解：由工+匕=1易得a=2,c=&，

42

△尸耳耳的周长为4+2&，故A对:

令工二一④得歹=±1，

，|P£|=1,故B错；

设|P6|=G|P闾=々，

由余弦定理得(2血了=1+片一2｛弓cos60°，

・'•(4+弓旷_3飞=8，

8

•小，

SAPFF=-S-x-.sin60°=^«故C对;

△PF抵233

当NPg=90°,由选项B的分析知满足题意的点尸有2个;

同理当NPQG=90°,满足的点尸也有2个;

当ZF2PF}=90°,

/：+与=4

有《

片+1=g，

解得4=2,

所以满足题意的点尸为椭圆的上下两顶点,

综上满足的点尸共6个，故D对.

故选：ACD.

11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1,2,

3,5.8,L.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前

面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列｛片｝称为斐波那契数列，现将｛4｝中的各项

除以4所得余数按原顺序构成的数列记为｛河“｝，则下列结论中正确的是（）

A.M2022=1

B.%巴一4+

C.k+怎+月；++^2021=^2021^^2022

D.+F2+F3++/021=g022-1

【正确答案】BC

【分析】写出｛〃“｝的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列｛尺｝的性质以及

｛河"｝的定义，可判断A、B项；因为62=丹5，可推得

=AB+&=工（耳+F2^-F2Fi,逐项代入即可得到C项；由居+2=£,+i+£，

可得F“=Fn+2-Fn+l,逐项代入即可得到

F｝+F2+FJ++玛021=用023-工=旦023-1，从而得到D项错误.

【详解】因为M=i,必=i，M=2,M=3,M=I,〃6=o,根据数列｛工｝的

性质以及｛〃“｝的定义可得，Mi=l,加8=1，〃9=2,加1。=3,〃”=1,“12=0.

同理可推得，当左eN*时，有M6k_s=1,M6k_4=1，朋6*-3=2，M6k_2=3，M）J=1,

M6k=0,所以｛M,｝是以6为周期的周期数列，所以弧022=/6.337=此=0,所以A

项错误；

由周期性可知此广2=3，此..4=1，2M=2x1=2,故B正确；

因为62=片鸟，可推得耳2+62=耳6+62=鸟（耳+8）=巴用，逐项代入，可得

开+仔+厅++库—向+可+#++K

=6（耳+「2）+6++相12=KK+8++^2021=

=^2021（^2020***^2021）=^2021^2022,所以C正确;

因为耳+7^+K++用021

=（6—鸟）+（片i£）+（月i/）++（a21—602（））+（鸟022-&021）+（8023—8022）

=玛023-6=^2023~1-所以D错误，

故选：BC.

12.抛物线的光学性质为：从焦点/发出的光线经过抛物线上的点P反射后，反射光线平行

于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点尸处的切线.已知抛物线/=2pMp>0）上任

意一点尸（须，儿）处的切线为％y=〃（x（）+x）,直线/交抛物线于“（%],必），B（x2,y2）,

抛物线在A,8两点处的切线相交于点。.下列说法正确的是（）

A.直线/方程为2px-3+%）歹一巧力=0

B.记弦43中点为"，则平行x轴或与x轴重合

C.切线。工与》轴的交点恰在以尸。为直径的圆上

D.N4FQ=NQFB

【正确答案】BCD

【分析】设/为》=叩+6,与抛物线联立，根据韦达定理用必，必表示出〃?/,即可判断

A项；根据已知可推出火王,必），8（乙,必）是一元二次方程处°=p（x+x°）的两组解，

又直线/方程为2℃一（乂+%）V+=°，两式比较可得坨="区=yM，

=毕=—6,即可判断B项；通过求出C、D点坐标，推导FC1QA以及FD1QB,

2P

即可判断C项；根据抛物线的光学性质，结合已知条件，可推出△NPQsZX。必，进而

推得乙4P0=/。尸8.

【详解】设/为1=冲+6,b>0,与抛物线联立得y2一2P%,_2Pb=0,必有A>0,

yy+y2=2pm,乂%=-2pb,.•.加=匕4，6=学，代回/方程整理得：

2p-2p

2px-（yx+y2）y+y[y2=0,A项错误；

由已知，抛物线在A点处的切线切线/a：MV=P（X1+X）,在8两点处的切线

,/、/、[乂72=?（司+》2）

杨：为片夕仁+力，设点。（品,%）,则满足方程组《、，

3。=小+和）

则可知4（国,弘），8（》2，无）是一元二次方程小°=P（x+xJ的两组解，由经过两点A,

B的直线/有且仅有一条，故/方程为抄°=p（x+xj,变形为+=0,

又直线/方程为2Px—（乂+8）^+乂为=0，

两式对应系数得

^=A+A=Zw>q=竽=-6,所以QM平行x轴或与x轴重合，B项正确；

如图，记切线。4：乂y="x+x）与夕轴的交点0（0,处］,

ky\）

k—生k-E

KFC->KQA~，

一必M

kFC-kQA=0}=-1,FC_LQA,

同理切线08与y轴的交点。，亦有FDtQB,故/"。+/尸。。=180°,

所以R,C.Q，。四点共圆，且尸。为直径，C项正确；

如图，记切线。/与x轴的交点为S,过A作x轴平行线ZN,由抛物线光学性质，

ZFSA=ZFAS,由等腰SFA、直角△SCE、F,C,Q,。四点共圆（对同弦圆周

角相等），可得如图五个角。相等；同理，五个角夕相等.

则AAFQsAQFB,：.乙4FQ=/QFB,D项正确.

故选：BCD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知空间向量a=（1,2,3）,b=（也-1,〃）,若。〃6，则加+〃=

【正确答案】-2

【分析】利用向量平行可知然后计算即可.

1

m=—

m=42

3

【详解】由题可知「二4小，所以有，-1二2A,解得,n=---,所以〃z+〃=-2

Z

n=3/1

1

A=——

2

故-2

14.过点Z（-l,4）作圆（x-2p+（厂31=1的切线/,则切线/的方程为

【正确答案】y=4或3x+4y—13=0

【分析】讨论切线/的斜率是否存在.当斜率存在时，设斜率为左，得到直线方程

"一丁+%+4=0,根据圆心到直线的距离"=厂，得到4尸+3左=0,解出左，代入直线

方程即可.

【详解】由已知圆心（2,3）,半径厂=1.

又（T-2）2+（4-37=10>l,所以，点4（-1,4）在圆外.

当直线/斜率不存在时，直线/的方程为x=-1.

此时，圆心到直线/的距离1=|2-（-1）|=3〉尸，所以直线％=-1不是圆的切线;

当直线/斜率存在时，设斜率为左，则直线/的方程为>-4=左（》+1）,

整理可得，kx-y+k+4^0.

因为直线/与圆相切，所以圆心到直线的距离d=r=l,

\2k-3+4+k\

=1,整理得，4尸+3左=0,

J-+i

,3

解得，4=0或左=—.

4

当左=0时，直线方程为丁=4；

当左=—士时，直线方程为y—4=-2（x+l）,化为一般式方程为3x+4y—13=0.

44V

所以切线/的方程为y=4或3x+4y—13=0.

故歹=4或3x+4y-13=0.

15.已知耳、耳分别是双曲线C:?-/=1的左、右焦点，动点尸在双曲线的左支上,

点。为圆G：£+。+2）2=1上一动点，则।尸。।+1PF2\的最小值为.

【正确答案】6

【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.

2

【详解】双曲线~—y2=1,a=2,b=l,c=V5>£卜"7^,0),6(6\o),

圆Gd+&+2)2=i的圆心为G(0,-2),半径r=1,

P在双曲线的左支上，|叫|一忙6|=24=4,|。8|=4+|「青|,

所以|PQ|+|P段=|PQ|+|PG|+4,

根据圆的几何性质可知，|PQ|+1尸耳|的最小值是口耳|―尸=后口一1=2,

所以|「。+|巡|的最小值是2+4=6.

故6

16.己知数列｛%｝的前〃项和为S”，满足S“=ha”—31是常数.左>1)，/2=4,且

1111

%+&+见++=2048,则---1----1----hH------.

44%02022---------------------------

【正确答案】128

【分析】先由S“与可的关系式得到数列｛%｝为等比数列，并设数列｛4｝的公比为q,同

时可证数列也是等比数列，并且公比为再把《012=4，

UJq

1111

。2+%+。4++々2022=2048,—+—+—++----三个式子全部表示为外国的形

ai4344”2022

式，进一步运算得到答案.

【详解】因为S〃=h4—3(左是常数，左>1),所以当〃22时有S,i=ha,i-3,

Qk

两式相减得a”=ha“一,即一-->1(/?>2),

a

n-\k-i

n

所以数列｛%｝为等比数列，设数列｛%｝的公比为an=acq-'.

数列J’■，是公比为，的等比数列.

IAJq

又因为即“2=4,则①；

、、…痴-产)

因为。2+。3+〃4++。2022=2048,则------------=2048，即

1一q

浮上2048(H)②

%q

产-1

■仅-1)产’'

把①②分别代入上式，得

±+1+±+,=2048_2048=2048^2g

a24%«2022qq9产^

故128.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17.已知从圆外一点尸(4,6)作圆。：f+y2=i的两条切线，切点分别为工，B.

(1)求以。尸为直径的圆的方程；

(2)求直线的方程.

【正确答案】⑴(x—2『+(y—3『=13；

(2)4x+6y-l=0.

【分析】(1)由己知求得圆心和半径可得所求的圆的方程；

(2)联立两圆的方程即得直线N5的方程.

【小问1详解】

:所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3),

半径为||OP|=gj(4-0y+(6-0/=V13,

以O尸为直径的圆的方程为(x—2『+(夕一3)2=13；

【小问2详解】

；PA、尸8是圆0:/+炉=i的两条切线，

/.OAVPA,OBA.PB,

：.A,8两点都在以OP为直径的圆上，

由收-21+("3)=13,可得直线的方程为4x+6尸1=0.

I%-+y=1

18.己知S“是等差数列｛q,｝的前〃项和，且与+4=40,$5=70.

⑴求S.；

,13

(2)若"=不，数歹nbn｝的前"项和7；.求证.Tn<-

3〃8

【正确答案】(1)S„=2n2+4n

(2)证明见解析

【分析】(1)利用基本量列方程求解即可；

(2)由裂项相消法求和得出7；,再证明即可.

【小问1详解】

｛《,｝为等差数列，则%+。6=%+。5=40，$5=5%=70=>。3=14,

3a,=a]+a2+a3=反—(&+%)=70—40=30=>%=10.

d=%一七=4,a1=a2-d=6,故a“=6+-1)-4=4〃+2,

上，(6+4〃+2)〃，

故S„=---------=2〃2+4«.

"2

【小问2详解】

1

b"__=If1,O

"Sn2〃(”+2)n+2J

412〃+1〃+2j

19.如图，在底面为矩形的四棱锥P—中，平面尸/0_L平面Z3C。，尸/。为等腰

直角三角形，PA=PD=AB=2,PO=J5,0、。分别为4。、P8的中点.

(1)证明：ABLPD：

(2)求直线与平面P8c所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)由平面P4O_L平面Z8C。，18_1/。可得48人平面以。，再由线面垂直的

性质定理可得答案；

(2)由已知可得尸。[平面平面/BCD,以。为坐标原点，04所在直线为x轴，过点。

且平行于的直线为y轴，。尸所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

求出/g、平面PBC的法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

,.•平面产/。，平面/8。〃，平面产/。门平面48。。=4。，ABLAD,Z8u平面/8CA

.♦.451平面以。，又尸0U平面为。，

【小问2详解】

因为PZ=PO,。为/。的中点，

所以PO_L4D,又平面P4D_L平面力88,平面P/Dc平面48cz)=，

产。匚平面以£>,所以产。工平面平面/8CD,

以。为坐标原点，0/所在直线为x轴，过点。且平行于的直线为y轴，。尸所在直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0词，6(后,2,0),C(-V2,2,0),Z(板,0,0),Q芋,1,芋,

\/

，-八一八♦♦头(6历、

:.PB=1&2,—也),5C=(-272,0,0),AQ=一事/，]J

设平面P8C的法向量为〃=(x,y,z),

n•PB0\[o.x+2y—y[^2,z-0八//—、

则《XT，即《，取y=l,可得/?=0,l,j2,

n-BC=0[-2yl2x=0''

设直线AQ与平面PBC所成的角为6,

z

1

（1）证明:是等比数列.

a2

n

（2）求数列,一的前”项和S”.

【正确答案】（1）证明见解析

393+n(n+V)

(2)一一+—+—n

4424

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）利用分组求和和错位相减求解即可.

【小问1详解】

由题意可得40+1（。“+1）=3。“，因为％=6,所以%>0,

।3।।[、]।1^11'

所以Id----=-----,所以-------=3----------,即---------=-------

a

n%an21%2Jan+,23"2J

111

又-----=—wn0,

ax23

所以，口--，〔是以-L为首项，，为公比的等比数列.

匕2J33

【小问2详解】

所以2=_〃［工］+-

a,⑶2

设数列,一〃•(g)"前〃项和为T„,数列前n项和为，

贝凡=①，

(3323"J

*+2x?+…+(〃—l)$+〃x

-7；,=-lx

3

1-J-

①-②得/=一(二+..+113"1

+n---r=-------Fn---：-

3"3323T23n+l

所以7＞丁3(导93对A尹1

l+2d---I-H_〃(〃+1)

又S

24

3f931n{n+1)

所以S,=一^+—+—n

(42・诃+4

已知双曲线C:1-4

21.=l(«＞0,6＞0)的焦距为20且经过点M(3,4).

ab

(1)求双曲线C的方程：

(2)若直线/不经过M点，与双曲线C交于2、8两点，且直线M4,A"的斜率之和为1,

求证：直线/恒过定点.

【正确答案】(1)f—2L=i

2

(2)证明见解析

【分析】(1)先由双曲线的焦距求得0=仃，从而得到/=3—〃，再将点收(3,4)代入

双曲线方程C即可得到关于〃的方程，解之即可得解；

(2)先假设直线/斜率存在，联立直线/与双曲线。的方程，利用直线肱4,的斜率之

和为1求得〃?=-3左+4或加=5左+8,从而得到直线/经过定点(-5,8),再检验得直线/斜

率不存在时，也经过点(-5,8),由此得证.

【小问1详解】

22

因为双曲线。：夕-£=1伍＞0力＞0)的焦距为25

所以2c=2石，即c=,所以。2+/?2=/=3，即/=3—

x2y2

又双曲线C:一1经过点”（3,4）,

a

916916

所以《一9=1，则h7一9二1，解得从=2或〃=一24（舍去），则片=1，

ab3—b0

所以双曲线C的方程为犬一己=1.

2

【小问2详解】

依题意，可知直线M4,A四的斜率左，左2必然存在，且勺+&=1，

当直线/（即直线Z8）斜率存在时，设直线/方程为"质+”,A（x„y,）,B（x2,y2）,

y=kx+m

联立《）j729消去丁，得（2—%“）x?—2ZTHX—加~—2=0,

X-1

2

由题意可知A=4k2m2+4（2—〃2）（加2+2）=8（加？一左？+2）>0,

2kmm2+2

则Xj+x=—-/匹=―：---

2左2—2'2左2一2

y1-4y2-4_kxi+m-4^kx2+“-4

而左i+攵2=1,

%1—3%2—3玉一3彳2-3

所以（烟+加一4）（%2—3）+（AX2+〃2-4）（须一3）=（玉-3）（4-3），

整理得（2左一1）为工2+（加一3左一1）（玉+工2）—6根+15=0,

%t1一（加一3左一l）x猾…5=0,

所以（2左一l）x

k-2

整理得_用2+4k+2km+\5k2+I2m-32=O>即（5左一加）（3左+a）+4左+12根—32=0,

所以（5左一/〃+8）（3左+加一4）=0,解得加=-3左+4或加=5-+8,

当加=-3左+4时，直线/方程为y=Mx—3）+4,则直线/经过点/（3,4）,矛盾，舍去;

当机=5左+8时，直线/方程为歹=左（％+5）+8,则直线/经过定点（一5,8）,

此时由A=8（*一〃+2）>o,