湖南省邵阳市城区2023-2024学年九年级上册数学期末监测试题含解析

湖南省邵阳市城区2023-2024学年九上数学期末监测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（）

①当A5=BC时，四边形A8C。是菱形；

②当AC丄80时，四边形48CD是菱形；

③当NA5C=90。时，四边形是菱形：

④当时，四边形ABC。是菱形；

A.3个B.4个C.1个D.2个

2.二次函数y=o?+瓜+以。/0）的图象如图所示，其对称轴为x=l,有下列结论：①而c<0；®b<a+ct

@4a+2h+c<0；④对任意的实数〃？，都有"+A之加（。加+力，其中正确的是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

3.一种商品原价45元，经过两次降价后每盒26元，设两次降价的百分率都为X,则x满足等式（）

A.26（l+2x）=45B.45（1-2%）=26C.45（1-x）2=26D.26（l+x）2=45

4.如图，在矩形ABCD中（AD>AB）,点E是BC上一点，且DE=DA,AF±DE,垂足为点F,在下列结论中，不

C.AB=AFD.BE=AD-DF

5.现实世界中对称现象无处不在，汉字中也有些具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A.处B.国C.敬D.王

6.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点M在CD的边上，且DM=2,AAEM与AADM关于AM所在的直线对称,

将AADM按顺时针方向绕点A旋转90。得到AABF,连接EF,则线段EF的长为（）

A.V34B.V29C.2币D.36

EF

7.在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED,EC交对角线BD于点F,则等于（）

FC

8.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校800名学生上个月4,B两种移动支付方式的使用情况，

从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中4,B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的

学生的支付金额分布情况如下:

付金额（元）

方式、使用人竅一0<x<500500<x<1000x>1000

仅使用4支付18人9人3人

仅使用8支付10人14人1人

下面有四个推断:

①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；

②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率为0.45；

③估计全校仅使用8支付的学生人数为200人；

④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用8支付的学生支付金额的中位数为800元.

其中合理推断的序号是（）

A.①②B.①@C.①④D.②③

9.已知函数y=or2+。尤+c,当y>0时，-；VxV（,则函数=的图象可能是下图中的（

)

10.已知x=l是方程/+収+2=0的一个根，则方程的另一个根为（）

A.-2B.2D.3

11.如图，从一张腰长为90cm,顶角为120'的等腰三角形铁皮。山中剪出一个最大的扇形08,用此剪下的扇形

铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）

0

A.15cmB.12cmC.10cmD.20cm

12.下列事件中是必然事件的是（）

A.-a是负数B.两个相似图形是位似图形

C.随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D.平移后的图形与原来的图形对应线段相等

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，A是反比例函数y=A（x>0）图象上的一点，点B、D在）'轴正半轴上，AABD是△C8关于点D的位似

X

图形，且AABD与△<%>/）的位似比是1：3,A46O的面积为1,则左的值为.

3

14.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=-,F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E,以点B

2

为圆心，BF为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S1-S2为

15.若两个相似三角形的面积比为1：4,则这两个相似三角形的周长比是

16.抛物线y=2（x-1）2-5的顶点坐标是

17.把抛物线y=2。-1>+1向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是

18.如图，在半径为5的。。中，弦AB=6,OPLAB,垂足为点P,则OP的长为

三、解答题（共78分）

19.（8分）求证：对角线相等的平行四边形是矩形.（要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明）

20.（8分）有一张长40。W，宽30cm的长方形硬纸片（如图1）,截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如

图2）.若纸盒的底面积为600c•〃，，求纸盒的高.

图2

21.（8分）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=丄的图象交于A,B两点,

X

过点A作AC丄x轴，垂足为点C,AC=2,求A的值.

22.（10分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1）,已测出树45的影长AC为12米，并测出此时太阳光

线与地面成30。夹角.

（1）求出树高A5；

（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角

保持不变.求树的最大影长.（用图（2）解答）

23.（10分）如图，正方形OABC绕着点。逆时针旋转40。得到正方形ODEF,连接AF,求NOFA的度数

24.（10分）已知：抛物线y=2a*2-"-3（a+1）与x轴交于点45（点4在点8的左侧）.

（1）不论“取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C,请直接写出点C的坐标;

（2）如图，当AC丄BC时，求a的值和A5的长；

（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为九过点P作尸〃丄x轴于点”,

交于点O,作PE〃AC交8c于点E,设AAOE的面积为S,请求出S与人的函数关系式，并求出S取得最大值时

点尸的坐标.

25.（12分）如图，NMON=60。，O尸平分NMON,点A在射线0M上，P,。是射线ON上的两动点，点尸在点。

的左侧，且夕。=。4,作线段。。的垂直平分线，分别交OM,OF,ON于点O,B,C,连接A8,PB.

MM,

(1)依题意补全图形；

(2)判断线段AB,尸3之间的数量关系，并证明；

AP

(3)连接AP,设而=左，当P和。两点都在射线ON上移动时，女是否存在最小值？若存在，请直接写出上的最

小值；若不存在，请说明理由.

26.如图，点A,P,B,C是。O上的四个点，ZDAP=ZPBA.

(1)求证：4。是。。的切线；

(2)若N4PC=NBPC=6()。，试探究线段丛,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)在第(2)问的条件下，若AO=2,PD=1,求线段AC的长.

D_____A

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

【分析】根据菱形的判定定理判断即可.

【详解】解：•••四边形是平行四边形,

①当时，四边形A8C。是菱形；故符合题意;

②当AC丄BQ时，四边形A8C。是菱形；故符合题意;

③当NA8C=90。时，四边形A3C。是矩形；故不符合题意；

④当AC=B〃时，四边形A3。是矩形；故不符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考査了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

2、B

【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可.

【详解】抛物线的开口向下

.".a<0

对称轴为x=l

.2=1

2a

h=-2a,。力异号，则匕>0

抛物线与y轴的交点在y轴的上方

:.c>0

..ahc<0,则①正确

由图象可知，x=—l时，y<0,即a-h+c<0

则。>a+c,②错误

由对称性可知，x=2和x=0的函数值相等

则x=2时，>>0,即4tz+2Z?+c>0,③错误

a+h>m（am+h）am2+bm-a-h<0

关于m的一元二次方程a〃/—a—b=0的根的判别式△-b'+4a{a+Z?）=（2a+b）~-0

则二次函数y=m/+勿”一。一/,的图象特征：抛物线的开口向下，与x轴只有一个交点

因此，y4（），即a/n?+勿〃一.一/?40,从而④正确

综上，正确的是①④

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数

的图象与性质是解题关键.

3、C

【分析】等量关系为：原价x(1-下降率)2=26,把相关数值代入即可.

【详解】解：第一次降价后的价格为45(1-x),

第二次降价后的价格为45(Lx)•(1-x)=45(1-x)2,

二列的方程为45(1-x)2=26,

故选：C.

【点睛】

本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关

系为a(l±x)2=b.

4、B

【解析】A.由矩形ABC。，AF丄OE可得NONA尸。=90°,AD//BC,：.ZADF=ZDEC.

又•.,0E=AO,.,.△AFD^ADCE(AAS),故A正确；

B.不一定等于30°,.•.直角三角形AO尸中，A尸不一定等于的一半，故B错误；

C.由丝△DCE,可得AF=C。，由矩形A5CD,可得A5=C。，：.AB=AF,故C正确；

D.由纟ZiOCE,可得CE=DF,由矩形A3CO,可得8C=AO,又,：BE=BC-EC,：.BE=AD-DF,故D正确；

故选B.

5,D

【分析】利用轴对称图形定义判断即可.

【详解】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是：王，

故选：D.

【点睛】

本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形是指沿着某条直线对称后能完全重合的图形，熟练掌握轴对称图形的概念是

解决本题的关键.

6、A

【分析】连接BM.先判定AFAEg/\MAB(SAS),即可得到EF=BM.再根据BC=CD=AB=1,CM=2,利用勾

股定理即可得到，R3BCM中，BM=734.进而得出EF的长.

【详解】解：如图，连接BM.

VAAEM与AADM关于AM所在的直线对称，

AAE=AD,ZMAD=ZMAE.

•••△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90。得到AABF,

AAF=AM,ZFAB=ZMAD.

・・・NFAB=NMAE

，NFAB+NBAE=NBAE+NMAE.

AZFAE=ZMAB.

AAFAE^AMAB(SAS).

，EF=BM.

•・•四边形ABCD是正方形，

ABC=CD=AB=1.

VDM=2,

.\CM=2.

・•・在RtABCM中，BM=々52+32=取,

EF=J34，

故选：A.

【点睛】

本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质，关键在于做好辅助线，熟记性质.

7、A

EPDE

【解析】试题分析：如图，•••四边形ABCD为平行四边形，，ED〃BC,BC=AD,/.△DEF^ABCF,/.—=——

FCCB

EFk1

设ED=k,贝！|AE=2k,BC=3k,:.—=—=一，故选A.

FC3k3

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

8,B

【分析】先把样本中的仅使用A支付的概率，48两种支付方式都使用的概率分别算出，再来估计总体该项的概率

逐一进行判断即可.

【详解】解：•.•样本中仅使用4支付的概率=-^—=0.3,

二总体中仅使用A支付的概率为0.3.

故①正确.

100-5-30-25

•••样本中两种支付都使用的概率=I。；=0.4

.•.从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率为0.4；

故②错误.

25

估计全校仅使用8支付的学生人数为：800X—=200(人)

故③正确.

根据中位数的定义可知，仅用A支付和仅用B支付的中位数应在0至500之间，故④错误.

故选B.

【点睛】

本题考査了用样本来估计总体的统计思想，理解样本中各项所占百分比与总体中各项所占百分比相同是解题的关键.

9、A

b\c\

【分析】先可判定a<0,可知--=—,,可得，a=6b,a=-6c,不妨设c=l,进而求出解析式，找出符合要求的

a6a6

答案即可.

【详解】解：♦.•函数/=«?+瓜+以当y>0时，一丄VxV」,，

23

.一岁宀fb111c111

a236a236

工a=6b,a=・6c,贝!Jb=・c,不妨设c=l,

则函数y=。/一笈+。为函数〉=/+九一6,即y=(x-2)(x+3),

・•・可判断函数y=c?一法+。的图像与x轴的交点坐标是(2,0),(-3,0),

...A选项是正确的.

故选A.

【点睛】

本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键.

10、B

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解.

【详解】设另一根为m,则

l*m=L解得m=l.

故选B.

【点睛】

考查了一元二次方程根与系数的关系.根与系数的关系为：x.+x,=--,x,・x,=£.要求熟练运用此公式

aa

解题.

11,A

【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算岀弧8的长，设圆锥的底面圆半径为「，根据

圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r.

【详解】过。作OE丄AB于E,

OA=OB=9Qcm,NAOB=120°，

ZA=ZB=30>

：.OE=-OA=45cm,

2

120万x45

弧CO的长=30zr，

180

设圆锥的底面圆的半径为广，则2万彳30万，解得，=15.

故选A.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

12、D

【解析】分析：根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案.

详解:A.是非正数，是随机事件，故A错误；

B.两个相似图形是位似图形是随机事件，故B错误；

C.随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，故C错误;

D.平移后的图形与原来对应线段相等是必然事件，故D正确；

故选D.

点睛：考查随机事件，解决本题的关键是正确理解随机事件，不可能事件，必然事件的概念.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、8

【分析】根据4ABD是ACOD关于点D的位似图形，且AABD与ACOD的位似比是1：3,得出g=当=],进而得

CEAE4

出假设BD=x,AE=4x,D0=3x,AB=y,根据AABD的面积为1,求出xy=2即可得出答案.

【详解】过A作AE丄x轴，

V△ABD是ACOD关于点D的位似图形，

KAABD与ACOD的位似是1:3,

.C。—1

••——9

AB3

AOE=AB,

.CQ_DO_3

^~CE~~AE~^9

设BD=x,AB=y

DO=3x,AE=4x,C0=3y,

「△ABD的面积为1,

1

.---xy=l,

:.xy=2,

AABAE=4xy=8,

故答案为：8.

【点睛】

此题考查位似变换，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于作辅助线.

134

14、3--------

16

【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1-S2的值.

3

【详解】解：I•在矩形ABCD中，AB=2,BC=—，F是AB中点，

2

ABF=BG=1,

Si=S矩形ABCD-S扇形ADE-S扇形BGF+S2,

•.SS=2X|_90•乃x(|)

I90yxl213万

—=3------

36016

360

,,i亠、r134

故答案为：3———

16

【点睛】

此题考査的是求不规则图形的面积，掌握矩形的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.

15、1:2

【解析】试题分析：：两个相似三角形的面积比为1：4,.•.这两个相似三角形的相似比为1：1,.•.这两个相似三角形

的周长比是1:1,故答案为1:L

考点：相似三角形的性质.

16、(1,-5)

【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.

【详解】解：抛物线k2(x-1)2-5的顶点坐标是(1,-5).

故答案为(1,-5).

【点睛】

本题考查了顶点式对应的顶点坐标，顶点式的理解是解题的关键

17、y=2(x+l)2-2

【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可.

【详解】抛物线y=2(x-l)2+1向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是

y=2(x-l+2)2+l-3

即y=2(尤+lf_2

故答案为：y=2(x+l)2-2.

【点睛】

本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键.

18、4

【分析】连接OA,根据垂径定理得到AP=1AB,利用勾股定理得到答案.

2

【详解】连接OA,

VAB1OP,

.,.AP=-AB=-X6=3,ZAPO=90°，又0A=5,

22

•••OP=y/O^-AP2=用-32=%

故答案为：4.

【点睛】

本题考査的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、见解析.

【解析】分析：首先根据题意写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，可得NACD与NBCD的关系，根

据平行四边形的邻角互补，可得NACD的度数，根据矩形的判定，可得答案.

详解：已知：如图，在“15。中，AC=B0.求证：oJBCZ）是矩形.

证明：•..四边形ABCD是平行四边形，

...AD〃CB,AD=BC,

在厶视和4BCD中，

AC=BD

VAD=BC,

CD=DC

/.△ADC^ABCD,

:.NADC=NBCD.

又•.•AD〃CB,

.,.ZAJDC+ZBCD=180",

/.ZADC=ZBCD=90°.

平行四边形ABCD是矩形.

点睛：本题考査了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出NADC=NBCD是解题关键.

20、纸盒的高为5cm.

【分析】设纸盒的高是xc〃7,根据题意，其底面的长宽分别为（40-2x）和（30-2x）,根据长方形面积公式列方程求解

即可.

【详解】解：设纸盒的高是xcm.

依题意，得（40—2x）（30—2x）=600.

整理得工2一35%+150=0.

解得为=5,%=30（不合题意，舍去）.

答：纸盒的高为5c»z.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，根据题意用含x的式子表示底面的长和宽，正确列方程，解方程是本题的解题关键.

21、k=\

【分析】根据题意A的纵坐标为1,把y=l代入y=lx,求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得A的值.

【详解】解：VAC丄x轴，AC=1,

：.A的纵坐标为1,

•.•正比例函数y=lx的图象经过点A,

lx=1,解得x=l,

：.A（1,1）,

•.•反比例函数y=的图象经过点A,

X

.•・A=1X1=1.

【点睛】

本题考査的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标，直接待如即可求出答案，比较基础.

22、（1）树相的高约为4Gm；（2）8石m.

【解析】⑴AB=ACtan3（T=12x@=4百（米）.

3

答：树高约为46米.

（2）如图（2）,BiN=AN=ABisin45°=473x—=2x/6（米）.

2

NCi=NBitan60o=2"xV5=6后（米）.

ACI=AN+NG=2n+6近.

当树与地面成60。角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的。A相切时影长最大）

AC2=2AB2=86;

(1)在直角△ABC中，已知NACB=30。，AC=12米.利用三角函数即可求得AB的长；

(2)在AABiG中，已知ABi的长，即AB的长，ZBiACi=45°,ZBiCiA=30°.过Bi作AG的垂线，在直角△ABN

中根据三角函数求得AN,BN；再在直角ABiNG中，根据三角函数求得NG的长，再根据当树与地面成60。角时影

长最大，根据三角函数即可求解.

23、25"

【分析】先利用正方形的性质得OA=OC,ZAOC=90°,再根据旋转的性质得OC=OF,ZCOF=40°,贝!JOA=OF,

根据等腰三角形的性质得NOAF=NOFA,然后根据三角形的内角和定理计算NOFA的度数.

【详解】解：•••四边形OABC为正方形，

.•.OA=OC,ZAOC=90",

V正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,

.•,OC=OF,ZCOF=40°,

.*.OA=OF,

.,.ZOAF=ZOFA,

VZAOF=ZAOC+ZCOF=90°+40°=130°,

.,.ZOFA=-(180°-130°)=25°.

2

故答案为25°.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了正方形的性质.

1131379

24、(1)第三象限内的一个定点C为(-1,-3)；(2)a=~,AB=—；(3)S=--h2+-h——，当九=一时，

6264124

25935

S的最大值为二，此时点尸(二，-—).

96432

【分析】(1)对抛物线解析式进行变形，使a的系数为0,解出x的值，即可确定点C的坐标；

(2)设函数对称轴与x轴交点为根据抛物线的对称轴可求出M的坐标，然后利用勾股定理求出CM的长度，再

利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求出AB的长度，则A,B两点的坐标可求，再将A,B两点代入解析式中

即可求出a的值；

(3)过点E作EF丄P”于点F,先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将P,D的坐标用含h的代数式表示出来,

最后利用S=S^ABE-S^ABD=—XABX(jp-JE)求解

【详解】(1)y=2ax2-ax-3(a+1)=a(2x2-x-3)-3,

3

令2f-x-3=0,解得：x=—或-1,

2

故第三象限内的一个定点。为(-1,-3)；

设函数对称轴与X轴交点为"，则其坐标为：(丄，0),

4

则由勾股定理得CM=M-I)2+(0+3/=?,

13

则nlA8=2CM=—，

2

13

：.AM=BM^―

4

7

则点A、8的坐标分别为：(-3,0)、(-,0)；

2

将点4的坐标代入函数表达式得：184+3a-3a-3=0,

解得：a=-,

6

17117

函数的表达式为：y=~(x+3)(x--)=-x2--x--；

626124

(3)过点E作E尸丄P”于点F,

图2

设直线BC的解析式为》=厶+人

将点以。坐标代入一次函数表达式

7

-k+b=O

得2解得：,

一%+6=—3

27

•・・直线3C的表达式为：y=-x--,

33

I1727

设点尸(h,—h2----h----),则点O(〃，—h----),

612433

故tanNABC=tan(z=冬，贝!|sina=2y,

313

yo-jE=DEsina=PDsina*sina,

S=S&ABE-S&ABD

=；XABX(")-陛)

=丄的二(乙二一4+丄/二)

2213336124

=--h2+-h~—

6412

1〃％25

6496

1

,:--<0,

6

925此时点尸(=9,一圣35).

...S有最大值'当//时，S的最大值为：-

432

【点睛】

本题主要考查二次函数与一次函数的综合题，掌握二次函数的图象和性质，勾股定理，待定系数法是解题的关键.

25、(1)补全图形见解析；(2)AB=PB.证明见解析；(3)存在，k=~.

2

【分析】(1)根据题意补全图形如图L

(2)结论：AB=PB.连接BQ,只要证明AAOB出△PQB即可解决问题；

APABAB

(3)连接BQ.只要证明AABPsaoiiQ,即可推出=；="砥，由NAOB=30。，推出当BA丄OM时，一的值

UQODOB

最小，最小值为丄，由此即可解决问题.

2

【详解】解：(1