流体动力学基础

关于流体动力学基础2第三章流体运动学3.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第2页,共134页，2024年2月25日，星期天3本章研究流体运动中表征流体运动的各种物理量，如流速、压力和加速度等运动要素之间的相互关系以及流体对周围物体的作用。本章将把质量守恒定律、能量守恒定律、动量和动量矩定理等应用于流体力学中，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程，即连续性方程、伯努里（能量）方程、动量方程和动量矩方程等，并举例说明它们在流体运动中的应用。本章内容第3页,共134页，2024年2月25日，星期天43.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第4页,共134页，2024年2月25日，星期天53.1研究流体运动的方法

表征运动流体的物理量，诸如流体质点的位移、速度、加速度、密度、压强、动量、动能等等统称为流体的流动参数（或运动要素）。描述流体运动也就是要表达这些流动参数在各个不同空间位置上随时间连续变化的规律。

从理论上说，解决这种问题一般有两种可行的方法，即拉格朗日（Largrange）法和欧拉（Euler）法。

第5页,共134页，2024年2月25日，星期天63.1研究流体运动的方法一、拉格朗日法（随体法或跟踪法）物理概念清晰，但处理问题十分困难基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。

基本参数：位移流体质点的位置坐标：几点说明：1、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，t为变量——轨迹2、t为常数，（a，b，c）为变量——某一时刻不同流体质点的位置分布3、a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号ＩＤ独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志第6页,共134页，2024年2月25日，星期天73.1研究流体运动的方法1.流体质点的位置坐标：2.速度：3.流体质点的加速度：质点物理量：流体质点的运动方程第7页,共134页，2024年2月25日，星期天83.1研究流体运动的方法√直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程

×

数学求解较为困难，一般问题研究中较少采用

优缺点：第8页,共134页，2024年2月25日，星期天9第9页,共134页，2024年2月25日，星期天10

描述流体运动的另一种方法是欧拉法，这种方法着眼于各空间点的流动特性，又称为流场法。因为流动空间中充满连续不断的流体质点，而每个质点都具有一定的物理量，因而流体流动空间必然形成为物理量连续分布的场，例如速度场、密度场、温度场、压强场等等，或者统称为流场。每一个流体质点在确定时刻t必然占据流场中的确定位置(z，y，z)．从而具有确定的物理量。因为流体是连续介质，质点紧密相接，在运动过程中，一定的空间点可能被无数质点前出后进地依次占据，所以我们无需关心某一个质点的运动历程，只要能够找到整个流场中物理量的变化规律，则此流场的运动性质及流场中流体与固体边界的相互作用都是可以顺利解决的。这种以数学场论为基础、着眼于任何时刻物理量在场中的分布规律的流体运动描述方法叫作欧拉法。

二、Euler法（欧拉法）

第10页,共134页，2024年2月25日，星期天11欧拉法中用质点的空间坐标(x，y，z)与时间变量t来表达流场中的流体运动规律，(x，y，z，t)叫作欧拉变数。x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数：

x=x(t)y=y(t)z=z(t)第11页,共134页，2024年2月25日，星期天123.1研究流体运动的方法

流体质点运动的加速度(欧拉法)矢量形式

流体质点运动的速度(欧拉法)（以x方向为例）第12页,共134页，2024年2月25日，星期天13当地加速度质点加速度：迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度3.1研究流体运动的方法第13页,共134页，2024年2月25日，星期天14在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。3.1研究流体运动的方法第14页,共134页，2024年2月25日，星期天153.1研究流体运动的方法在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。第15页,共134页，2024年2月25日，星期天16第16页,共134页，2024年2月25日，星期天17

拉格朗日法

欧拉法分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数加速度为一阶偏导数形式，有非线性项不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法3.1研究流体运动的方法三、两种描述方法的比较

加速度为二阶偏导数形式，无非线性项第17页,共134页，2024年2月25日，星期天18在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。

在一个风和日丽的午后，A坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果A的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么A是在用欧拉方法研究流体。

这时，A忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是A记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。A此时所用的研究方法就是拉格朗日法。第18页,共134页，2024年2月25日，星期天193.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第19页,共134页，2024年2月25日，星期天203.2流动的分类二、定常流动和非定常流动1.定常流动流动参量不随时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。即：一、按流体性质分类:

理想（或无粘性）流体流动和实际流体流动；不可压缩流体流动和可压缩流体流动等。第20页,共134页，2024年2月25日，星期天21二、定常流动和非定常流动（续）2.非定常流动流动参量随时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。即：3.2流动的分类第21页,共134页，2024年2月25日，星期天22三、一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。一维流动二维流动三维流动1.定义2.实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。

3.2流动的分类第22页,共134页，2024年2月25日，星期天23四、内流与外流管道流（不可压缩流体）喷管流（可压缩流体）明渠流流体机械(水泵、水轮机)内流粘性边界层外部势流外流按流场是否被固体边界包围分类3.2流动的分类第23页,共134页，2024年2月25日，星期天243.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第24页,共134页，2024年2月25日，星期天25一、迹线与流线在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。1、流线u21uu2133u6545u46u流线流线表达式第25页,共134页，2024年2月25日，星期天26流线的性质（1）流线彼此不能相交。（2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。（3）定常流动时流线形状不变，非定常流动时流线形状发生变化。v1v2s1s2交点v1v2折点s

强调的是空间连续质点而不是某单个质点形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线（4）流线簇的疏密反映了速度的大小；第26页,共134页，2024年2月25日，星期天27第27页,共134页，2024年2月25日，星期天28迹线微分方程定义：同一流体质点在不同时刻形成的曲线属拉格朗日法的研究内容。举例流星、烟火、木屑顺水而下2、迹线第28页,共134页，2024年2月25日，星期天29用迹线形式显示的尾水管三维涡带

第29页,共134页，2024年2月25日，星期天303、迹线、流线区别：流线定义拉格朗日法欧拉法(x,y,z为t的函数，t为参数）质点的运动轨迹某一瞬时，速度方向线研究方法微分方程

迹线

(x,y,z为t的函数，t为自变量）第30页,共134页，2024年2月25日，星期天31第31页,共134页，2024年2月25日，星期天32第32页,共134页，2024年2月25日，星期天33尾焰挡板第33页,共134页，2024年2月25日，星期天34第34页,共134页，2024年2月25日，星期天35第35页,共134页，2024年2月25日，星期天36第36页,共134页，2024年2月25日，星期天37第37页,共134页，2024年2月25日，星期天38

显然这一表达式已具有欧拉法速度表达式的形式。但应明确，拉氏法中的，，，：代表某一确定流体质点的速度；而欧拉法中的，，，：则代表流场内的速度分布。为了实现两种描述方法间的转换，需取两法中的对应分速相等。这可解释为：所论流体质点恰好位于某空间点，因而，此时这一空间点上将具有该流体质点的速度。于是，上述表达式即为该流动的欧拉法表达式。最后还应指出，通过以上三例能对两种描述方法有所了解，并且知道两种表达式是可以相互转换的。但在具体转换时，常常会遇到数学上的困难，而很难实现转换。上面例题比较简单，才比较容易地求得转换表达式。第38页,共134页，2024年2月25日，星期天393.2基本概念流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。(???)定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。

微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。

五、流管和流束第39页,共134页，2024年2月25日，星期天40总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。总流分类：（1）有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。（2）无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3）射流总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。第40页,共134页，2024年2月25日，星期天413.2基本概念流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。体积流量（）：质量流量（kg/s）：平均流速——是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。六.流量和平均流速

第41页,共134页，2024年2月25日，星期天42七.均匀流和非均匀流均匀流：流场中同一条流线各空间点上的流速相同。非均匀流：流场中同一条流线各空间点上的流速不相同。3.3基本概念均匀流：流动过程中，物理量A的位变(迁移)导数为零的流动。非均匀流：流动过程中，物理量A的位变(迁移)导数不为零的流动。定义一定义二第42页,共134页，2024年2月25日，星期天43均匀流有如下特征：（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与尺寸沿流程不变；（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布相同，平均流速相同；（3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于常数的特征，即第43页,共134页，2024年2月25日，星期天44非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种，如图所示。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图

缓变流和急变流第44页,共134页，2024年2月25日，星期天453.3流体动力学的基本概念八、过流断面及水力半径

在有限断面的流束中，与每条流线相垂直的横截面称为该流束的过流断面或

有效断面。湿周是在总流的过流断面上，流体与固体边界接触部分的周长，用χ（希腊字母，读器）表示，过流断面面积A与湿周χ之比称为水力半径，用表示，

第45页,共134页，2024年2月25日，星期天3.3流体动力学的基本概念在非圆断面的管道或渠道的水力计算中，以当量直径代替圆管直径。当量直径Dh定义为四倍的水力半径，即圆管道的当量直径，等于圆管直径。第46页,共134页，2024年2月25日，星期天47第47页,共134页，2024年2月25日，星期天483.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第48页,共134页，2024年2月25日，星期天49系统(质量体)

在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图所示。系统以外的一切统称为外界。系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界。

系统

定义：Lagrange方法！系统与控制体的概念第49页,共134页，2024年2月25日，星期天50(1)一定质量的流体质点的合集；(2)系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时间变化。(3)系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界。(4)在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力。(5)在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界。

特点：第50页,共134页，2024年2月25日，星期天51

多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。系统拉格朗日观点应采用欧拉观点处理上述问题！第51页,共134页，2024年2月25日，星期天52控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。控制体(开系统)Euler方法！第52页,共134页，2024年2月25日，星期天53控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界条件选定的控制面相对于坐标系是固定的。在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面。在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力(动量交换）。在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面。控制面的特点：第53页,共134页，2024年2月25日，星期天543.4系统与控制体2、系统内的某种物理量对时间的全导数公式如图，在一流场中任取一控制体，用实线表示其周界。在t时刻此控制体的周界与所研究的流体系统的周界相重合，图中虚线表示流体系统。设N表示在t时刻系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等）的总量，η表示单位质量流体所具有的这种物理量第54页,共134页，2024年2月25日，星期天55在t时刻系统所占空间体积为Ⅱ，由于流场中流体的运动，经过δt时间后，即在t＋δt时刻，系统所占有的空间体积为Ⅲ＋Ⅱ′，控制体的体积Ⅱ＝Ⅰ＋Ⅱ′，Ⅱ′是系统在t＋δt时刻与t时刻所占有的空间相重合的部分。在t时刻系统内的流体所具有的某种物理量对时间的导数为第55页,共134页，2024年2月25日，星期天563.4系统与控制体式中V′为系统在t＋δt时刻的体积，V′

＝Ⅲ＋Ⅱ′，V是系统t时刻的体积，V＝Ⅱ＝Ⅰ＋Ⅱ′，则（a）可写成因为在t时刻系统与控制体重合。若控制体体积用CV表示，则有Ⅱ＝V（t）＝CV。因此（b）式右端第一项为第56页,共134页，2024年2月25日，星期天573.4系统与控制体右端第二、第三项分别表示单位时间内流出和流入控制体Ⅱ的流体所具有的某种物理量，因此可以用同样时间内在流体所通过的控制面上流出的这种物理量的面积分来表示，单位时间内流出控制体的这种物理量为式中，CSout表示控制面中流出部分的面积，un为沿控制面上微元面积外法线方向的速度。同理，单位时间内流入控制体的这种物理量为第57页,共134页，2024年2月25日，星期天583.4系统与控制体式中，CSin表示控制面中流入部分的面积，负号是因为在控制体入流面上流体入流速度方向与入流面外法线方向之间的夹角始终大于900，un总是负值。

上式（3.18）即为系统所具有的某种物理量的总量对时间的全导数，它由两部分组成，一部分相当于当地导数，等于控制体内的这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相当于迁移导数，等于单位时间内通过静止的控制面流出和流入的这种物理量的差值。这些物理量可以是标量（如质量、能量等），也可以是矢量（动量、动量矩等）。在定常流动条件下，

(3.18)雷诺输运定理第58页,共134页，2024年2月25日，星期天593.4系统与控制体上式表明在定常流动条件下，整个系统内流体所具有的某种物理量的变化等于单位时间内通过控制面的净通量，即某种物理量的变化只与通过控制面的流动情况有关，而与系统内部流动情况无关。雷诺输运定理第59页,共134页，2024年2月25日，星期天60

把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。雷诺输运定理的作用第60页,共134页，2024年2月25日，星期天613.1研究流体运动的方法3.2流动的分类3.3流体动力学的基本概念3.4系统与控制体▲3.5一维流动的连续性方程3.6理论流体一维稳定流动伯努里能量方程3.7沿流线主法线方向的压力和速度变化▲3.8粘性流体总流的伯努里方程★3.9伯努里方程的应用★3.10动量方程与动量矩方程▲第61页,共134页，2024年2月25日，星期天62当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：1.若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。前提：流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。第62页,共134页，2024年2月25日，星期天632.如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学方程式来表达，称为连续性方程。由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：动脉系统毛细管系统静脉系统心脏第63页,共134页，2024年2月25日，星期天64雷诺输运公式可用于任何分布函数B，如密度分布、动量分布、能量分布等。令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程积分形式的连续性方程由流体系统满足质量守恒得，第64页,共134页，2024年2月25日，星期天65系统质量变化率流出控制体的质量流率控制体内质量变化率上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满足连续性假设，上式总是成立的第65页,共134页，2024年2月25日，星期天66固定的控制体对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr第66页,共134页，2024年2月25日，星期天67★1、对于均质不可压流体：

ρ=const可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！连续方程的简化连续方程简化为：第67页,共134页，2024年2月25日，星期天68可适用于可压、不可压流体的定常流动！连续方程简化为：★2、对于定常流动：第68页,共134页，2024年2月25日，星期天69出、入口截面上的质流量大小为设•有多个出入口•一般式★3、沿流管的定常流动第69页,共134页，2024年2月25日，星期天70设出入口截面上的体积流量大小为Q＝VA★4、沿流管的不可压缩流动•一般式•有多个出入口第70页,共134页，2024年2月25日，星期天71★5、一维流一维定常流不可压为什么河道窄的地方水流湍急？为什么水管捏扁了速度快？第71页,共134页，2024年2月25日，星期天72Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3有汇流或分流的情况：第72页,共134页，2024年2月25日，星期天73【3-1】所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1

求：

Q2及各管的平均速度【解】取图中虚线所示控制体，有多个出入口。液体按不可压缩流体处理

可得Q1=Q2+Q3+Q4+Q5

Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q

=0.11Q1=0.66l/min

第73页,共134页，2024年2月25日，星期天74各管的平均速度为第74页,共134页，2024年2月25日，星期天75【例3-2】思考题要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度Vp=?已知Ap==500mm2关键：选控制体流体动力学基础第75页,共134页，2024年2月25日，星期天76

在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立合适的坐标系。选取适当的微元控制体分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况

分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。列出守恒方程整理、简化

如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。微分形式的连续方程的推导流体动力学基础第76页,共134页，2024年2月25日，星期天77

在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。

连续方程示意图流体动力学基础微分形式的连续方程的推导第77页,共134页，2024年2月25日，星期天78（1）空间变化对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为X方向其质量增加为

连续方程示意图第78页,共134页，2024年2月25日，星期天79同样y、z轴方向的质量增加分别为（2）时间变化

设任意时刻微元六面体内的质量为，单位时间内变为，所以由于密度的变化单位时间内微元六面体内增加的质量为微元控制体内流体质量增长率：第79页,共134页，2024年2月25日，星期天80（3）根据质量守恒定律

流体运动的连续方程式为：第80页,共134页，2024年2月25日，星期天81物理意义：

空间上流入流出质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量。连续方程两种形式：

第81页,共134页，2024年2月25日，星期天82

简化（1）定常压缩性流体，∂ρ/∂t=0，则连续方程变为流体动力学基础适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。第82页,共134页，2024年2月25日，星期天83（2）非压缩性流体，ρ＝常数，则连续方程变为上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零；也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。

上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率)，即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的体积变形率为零，它的体积不会发生变化。第83页,共134页，2024年2月25日，星期天84在柱坐标系中，连续方程式为式中ur,uθ,uz是速度u在r,θ,z坐标上的分量。在球坐标系中，连续方程式为其它坐标系的连续方程第84页,共134页，2024年2月25日，星期天853.5

一维流动的连续性方程根据质量守恒定律可以推导出流体流动的连续性方程。设系统内的质量为m，则N=m,η=N/m=1,由质量守恒定律,在选定的流动系统的控制体内的流体质量是守恒的，有由式（3.18），系统内流体质量对时间的导数可用求得，此时，代入公式得在定常流动的条件下，对于一维流动，由于没有流体流过管道壁面，所以有第85页,共134页，2024年2月25日，星期天3.5

一维流动的连续性方程例题：水以2m/s的速度分别在直径为25mm和50mm的管道内流动，如果这两根管道也连接到直径为75mm的第三根管道上并组成三通，求水在第三根管道内的流速。解：根据质量守恒定律或连续性方程

第86页,共134页，2024年2月25日，星期天873.6理想流体一维稳定流动（伯努里）能量方程1、欧拉方程在理想流体稳定流动中沿流线选一微小圆柱体为控制体，如图，作用于微小控制体上沿s方向的力只有两端压力和质量力在s方向的分力fs（单位质量力），由牛顿第二定律第87页,共134页，2024年2月25日，星期天883.6理想流体一维稳定流动伯努里能量方程沿任意一根流线成立的，理想流体一元定常流动运动微分方程（欧拉方程）为2、能量方程沿流线积分不可压缩流体，单位质量流体单位体积流体

单位重量流体

对于同一流线上的1点和2点可写成流体微元流束的伯努里方程，也称为能量方程。

第88页,共134页，2024年2月25日，星期天893.6理想流体一维稳定流动伯努里能量方程3、理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义

（1）物理意义u2/2g表示单位重量流体的动能，z代表单位重量流体的位置势能，代表单位重量流体的压力势能。动能和势能的总和为单位重量流体的总机械能。伯努里方程的物理意义是：不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，同一条流线上各点的单位重量流体的总机械能是守恒的，但是动能、位置势能和压力势能是可以相互转换的，这就是能量守恒与转换定律在流体力学中应用的表达形式。（2）几何意义u2/2g称为速度水头(动压头)，z称为位置水头，称为压力水头，三项之和称为总水头(H)

，z+

为测压管水头(Hp)。第89页,共134页，2024年2月25日，星期天903.6理想流体一维稳定流动伯努里能量方程伯努里方程的几何意义为：不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，同一条流线上的各点的总水头线为一平行于基准线的水平线，即单位重量流体的位置水头，压力水头和速度水头之和为常数，如下图所示。第90页,共134页，2024年2月25日，星期天913.7沿流线主法线方向的压力和速度变化稳定流动中，如图，垂直于流线上M点处取一微小圆柱体为控制体，柱轴与M点处流线的法线相重合，M点的曲率半径为r。作用在微元柱体上沿r方向的力只有两端压力和单位质量流体的质量力在r方向的分力fr。应用牛顿第二定律，可以确定流线方向的压力和速度的变化。当作用在流体上的质量力只有重力时，得第91页,共134页，2024年2月25日，星期天923.7沿流线主法线方向的压力和速度变化在伯努里常数沿r方向不变，对所有流线具有同一值时，由伯努里方程对r求导在弯曲流线的法线方向上，速度随距曲率中心的距离的减小而增大，即，在弯曲管道中，内侧的速度高，外侧的速度低。如果流线位于水平面上(z=0)，或者重力变化的影响可以忽略不计，则沿流线方向的压力变化可以得到为因此，在弯曲流线法线方向上压力随距曲率中心的距离的增大而增加，即在弯曲管道的流动中，内侧压力小，外侧压力大。

第92页,共134页，2024年2月25日，星期天933.7沿流线主法线方向的压力和速度变化对于流线为相互平行的直线的流动，即r→∞时，可以得到设1和2是垂直于流线的过流断面上的任意两点，则即当流线为相互平行的直线，流动为渐变流或缓变流时，沿垂直于流线方向的过流断面上的压力分布服从于静力学基本方程。第93页,共134页，2024年2月25日，星期天943.8粘性流体总流的伯努里方程粘性流体微元流束的伯努里方程h’w为单位重量流体自位置1到位置2时所消耗的总机械能，称为流体的能量损失。粘性流体总流的伯努里方程

取两个缓变流断面1和2为控制面，面积分别为A1和A2。对于稳定流动，单位时间内通过微元流束的流体重量为(或)，所以，在断面1和2之间，该微元流束的能量关系为第94页,共134页，2024年2月25日，星期天953.8粘性流体总流的伯努里方程积分，可以得到单位时间内通过1和2断面之间的总流的能量关系式为为动能修正系数，与管道内速度分布有关。工业管道内的流动，

=1.01～1.10，因此，流动计算中，一般近似地取=1，V代表管内流动的平均流速。第95页,共134页，2024年2月25日，星期天963.8粘性流体总流的伯努里方程在两个缓变流断面1和2之间，总流的单位重量流体的平均的能量损失为不可压缩粘性流体总流的伯努里方程

(3.40)适用条件：1、在重力作用下不可压缩粘性流体定常流动2、任意两个缓变流断面，缓变流断面之间有无急变流没有影响。3、两断面之间如果有流体机械的作用，如泵与风机或水轮机，并造成能量的输入或输出，则需要在方程的两边分别增加或减去流体机械输入或输出的能量hM。第96页,共134页，2024年2月25日，星期天973.8粘性流体总流的伯努里方程粘性流体中，因为存在粘性摩擦阻力，所以总流的机械能是逐渐减小的，即实际流体流动的总水头线是逐渐降低的，如图。第97页,共134页，2024年2月25日，星期天983.8粘性流体总流的伯努里方程3、恒定气体流动的伯努里方程

断面1和2处的相对压力，一般称为静压。断面1和2处与气流速度大小有关的压力，称为动压。与1和2两断面位置高度有关的压力，称为位压。当气体密度与空气密度接近或相等时，或者当1和2两个断面位置高度差比较小时，位压为0

静压与位压之和称为势压。静压和动压之和称为全压。静压、动压和位压三项之和称为总压。第98页,共134页，2024年2月25日，星期天993.9伯努里方程的应用伯努里方程在应用过程中应注意以下两点。1）选择基准面，一般以流动的最低点或两个断面中位置低的断面为基准面，或选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。。2）确定两个断面，一般以包含待求的未知参数和尽可能多的已知参数为断面。特别注意与其他断面相比面积比较大的断面，如液面，其速度很小有时可以忽略，同时，自由液面和射流出口面的压力等于大气压，液体受到的相对压力为0。

第99页,共134页，2024年2月25日，星期天1003)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。4)有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。第100页,共134页，2024年2月25日，星期天1013.9伯努里方程的应用例题3.3:

如图，测量离心风机的流量。风机吸入管直径，d=350mm，水槽中玻璃管内水升高h=100mm，空气的密度，水的密度为，不考虑损失，求空气的流量。解：取吸水玻璃管处为过流断面1－1，在吸入口前的一定距离，空气未受干扰处，取过流断面0－0，其空气压力为大气压pa，空气流速近似为0，V0≈0。取管轴线为基准线，且hw1-2＝0，则列0－0和1－1两个缓变流断面之间的能量方程为第101页,共134页，2024年2月25日，星期天1023.9伯努里方程的应用例题3.5:

消防输水系统如图，喷嘴出口直径为75mm，出口高度为12.5m，水池液面高度为10m，水泵高度为5m。如果水泵扬程为24m，直径为150mm的管道内能量损失为，直径为100mm的管道内能量损失为，求1）水泵入口处压力水头，2）水泵功率，3）喷嘴功率，4）画测压管水头和总水头线。解：设直径为150mm和100mm管道内及喷嘴出口速度分别为v1、v2和v3。由连续性方程，有确定水池液面为0-0断面，喷嘴出口为3-3断面，以液面为基准面，水泵能量输入hM=24m，列0-0和3-3断面的能量方程有

第102页,共134页，2024年2月25日，星期天1033.9伯努里方程的应用续例题3.5:

求得

150mm管道内能量损失为=1.3m100mm管道内能量损失为=16.0m1）水泵入口处压力水头

2）水泵功率3）喷嘴功率，喷嘴做功为压力水头和速度水头的共同作用，所以有4）画测压管水头线和总水头线如图

第103页,共134页，2024年2月25日，星期天1043.9伯努里方程的应用例题3.6:

空气从炉膛入口进入，在炉膛内与燃料燃烧后变成烟气，烟气通过水平烟道经烟囱排放到大气中，如果烟气密度为0.6kg/m3，烟道内压力损失为，烟囱内压力损失为，求烟囱出口处的烟气速度V和烟道与烟囱底部接头处的烟气静压。其中，炉膛入口标高为0m，烟道标高为5m，烟囱出口标高为40m，空气密度为1.2kg/m3。解：以炉膛入口前和烟囱出口为1-1和2-2两个断面，由恒定气流能量方程烟囱出口处烟气速度列烟道出口和烟囱出口两个断面的能量方程，得所以，烟道出口处烟气静压烟道出口与烟囱底部接头处烟气静压为负值，说明烟囱具有抽吸作用。

第104页,共134页，2024年2月25日，星期天105[例]

有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。第105页,共134页，2024年2月25日，星期天106[解]

当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值第106页,共134页，2024年2月25日，星期天107所以管内流量

代入到伯努利方程第107页,共134页，2024年2月25日，星期天108[例]

水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径

d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。第108页,共134页，2024年2月25日，星期天109[解]

首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：列1-1和2-2断面的伯努利方程第109页,共134页，2024年2月25日，星期天110由连续性方程：管中流量

将已知数据代入上式，得第110页,共134页，2024年2月25日，星期天1113.9动量方程与动量矩方程工程中计算运动流体与固体壁面之间相互作用力或力矩，如计算弯管中流动的流体对管壁的作用力、燃气发动机的推力、叶轮机械中流道内流体对叶片的作用力及力矩等，需要应用运动流体的动量方程和动量矩方程来分析。1、动量方程根据实际流动情况取控制体，它的边界为控制面，其中的流体为系统。根据理论力学中质点系的动量定理，质点系动量对时间的导数等于作用在该质点系上诸外力的矢量和，即第111页,共134页，2024年2月25日，星期天1123.9动量方程与动量矩方程利用系统内任一物理量的总和对时间求全导数的公式（3.18）来推导动量方程。系统内流体所具有的某种物理量的总和N设为动量，即单位质量流体的动量为代入式（3.18）得在定常流动条件下，上式右端第一项为零，所以有由动量定律得到上式还可以写成因为，断面上速度u分布不均匀，所以引入动量修正系数则第112页,共134页，2024年2月25日，星期天1133.9动量方程与动量矩方程与动能修正系数相类似，工业管道内的流体流动，=1.01～1.10，在流动计算问题中，一般近似地取=1。不可压缩流体定常流动的动量方程。在x,y,z坐标系下，当qV1=qV2时，其投影值可以表示为注意：ΣF

一般是控制体受到的全部力的合力。第113页,共134页，2024年2月25日，星期天1143.9动量方程与动量矩方程2、动量矩方程根据理论力学中质点系的动量矩定理，系统内流体对某点的动量矩对时间的导数应等于作用于系统的外力对同一点的力矩的矢量和，即这里仍然用式（3.18）来求系统内任一物理量的总和对时间的全导数，系统内流体所具有的某种物理量的总和N为动量矩，即单位质量流体的动量矩为第114页,共134页，2024年2月25日，星期天1153.9动量方程与动量矩方程代入式（3.18）得，在定常流动条件下，上式右端第一项为零，即得或上式就是定常流动条件下的流体流动的动量矩方程。动量方程和动量矩方程都是矢量方程，所以在使用时一定要注意应该首先选择一个合适的坐标系，然后确定控制体并分析控制体内流体的受力，注意受力是指流体受到的所有的力，最后求各项的投影值并代入方程进行计算。第115页,共134页，2024年2月25日，星期天

控制体应包括动量(动量矩)发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。

注意速度、流率的正、负动量(动量矩)方程的应用步骤选取适当的过流断面与控制体建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜。分析系统（控制体）的受力情况注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横截面压力的计算。分析控制体动量(动量矩)变化，列动量(动量矩)方程结合使用连续性方程及伯努利方程等求解第116页,共134页，2024年2月25日，星期天117

现以定转速的离心式水泵或风机为例来推导叶轮机中的定常流动的动量矩方程。如图所示，取叶轮出、入口的圆柱面与叶轮侧壁之间的整个叶轮流动区域为控制体。叶轮的速度三角形1—入口；2—出口；

—牵连速度；

—流体在叶轮内的相对速度；

—流体的绝对速度。第117页,共134页，2024年2月25日，星期天118

假定叶轮叶片数目无限多，每个叶片的厚度均为无限薄，则流体在叶片间的相对速度必沿叶片型线的切线方向。于是将动量矩方程式用于叶轮机时，需用绝对速度代替质点速度。由于定常运动，故得叶轮机中的定常流动的动量矩方程由上图中所示的速度三角形可以看出因而动量矩可以写成第118页,共134页，2024年2月25日，星期天119

因为叶轮机的角速度为故叶轮机的功率或单位重量流体所作的功为

这是泵与风机的基本方程。它首先由欧拉在1754年得到，故又称欧拉方程。对于涡轮类机械（如水轮机等），流体从叶轮外缘2流入内缘1，基本方程为第119页,共134页，2024年2月25日，星期天120[例]

混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

已知:

一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm，n=4000转/分，vr2=3m/s。求：

(1)输入轴矩Ts

(2)输入轴功率解：取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得CV第120页,共134页，2024年2月25日，星期天121Vθ1=0,由欧拉涡轮机方程输入功率为叶轮旋转角速度为ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度为Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

第121页,共134页，2024年2月25日，星期天1223.9动量方程与动量矩方程第122页,共134页，2024年2月25日，星期天1233.9动量方程与动量矩方程例3.8：如图，在水平面上的45°弯管，入口直径d1=600mm，出口直径d2=300mm，入口压力p1=1.4,流量qV＝0.425m3/s，忽略阻力损失，试求水流对弯管的作用力。解：建立如图所示的坐标系，取弯头处1－1、2－2断面之间的水流为控制体。分析控制体内水流受到的作用力为弯管对水流的作用力F（其值等于水流对弯管的作用力R，方向相反，其x、y轴上的分力为Rx

、Ry）

。和1－1、2－2断面对控制体内水流的压力。根据连续性方程得。根据能量方程，第123页,共134页，2024年2月25日，星期天1243.9动量方程与动量矩方程续例题3.8:将z1＝z2和已知数值代入，求得2－2截面的压力为x方向：

y方向：

所以水流对弯管的作用力的大小为方向是与x轴成角Fx＝－32264NRx＝32264NFy＝7957.2NRy＝－7957.2N第124页,共134页，2024年2月25日，星期天1253.9动量方程与动量矩方程例3.11：如图叶片以匀ve沿x方向运动，截面积为A0的一股水流沿叶片切向以v0=120m/s射入叶片，并沿叶片流动，最后从叶片出口处流出。已知A0＝0.001m2，

ve=60m/s,出