河北省张家口市2022-2023学年高一年级下册期末数学试题（解析版）

河北省张家口市2022-2023学年高一下学期期末

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题R答案』后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的k答案】标

号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案】标号.回答非选择题时，将工答

案》写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位数为（）.

A70B.75C.80D.88

R答案』C

K解析』依题意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位数为80.

故选：C

2.已知向量a,8满足冋=2,网=3,a-b=1，则〃在。上的投影向量为（）.

11.1,1

A.—uB.—（XC.-bD.—b

4293

K答案HA

,a-ba\a\

K解析X根据投影向量的定义可得，2在4上的投影向量为=

\a\\a\224

故选：A

3.已知圆锥的体积为空兀，底面面积为2兀，则该圆锥的侧面积为（）.

3

A.2&无B.y/WnC.37rD.2丿57r

R答案》B

K解析D令圆锥的高为〃，底面半径为，母线为/,

由圆锥的体积公式丫=1S/7,可得还兀=1x2兀*力，解得/?=6,

333

由圆锥的底面积公式S=兀/，可得兀厂!=2兀，解得r=

所以圆锥的母线长/=J胃+/=石,

所以5鄕=K/7=KXA/2x75=V1O71.

故选：B.

4.某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已

知该校高一年级有400人，占全校人数的丄，高三年级占丄，为调查学生计划完成情况，用

36

按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10%作为样本，将结果绘制成如图

所示统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为（）.

K答案HD

K解析D丁=12°°，1200xl0%=120,故样本容量为服其中高三年级有120X：=20

36

人，

由图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为40%,

故样本中高三年级完成计划的人数为20x40%=8,

故选：D.

5.在厶钻。中，G为△ABC的重心，〃为AC上一点，且满足A/C=3AM，则（）

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB--AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

（答案XB

工解析2由题意，画出几何图形如下图所示：

根据向量加法运算可得GM=GA+AM

因为G为AABC的重心，M满足MC=3AM

2111

所以AG=—*—(A5+AC)=—(AB+AC),AM=-AC

3234

所以GM

312

所以选B

6.在三棱锥A-BCD中，NA4C=NC4D=NDW=40°,AB=AC=AO=2,一只

蜗牛从B点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱A3的中点E，则蜗牛爬行的最短距

离是（）.

A.&B.45C.76D.币

K答案』D

［解析》如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段BE为所求，

由题意得，ZEAB=120°,AB=2,AE=l,

由余弦定理可得8炉=厶庁+4炉一2厶瓦厶后式05/34£=4+1-2*2*1*1-丄）=7,

（2丿

则8E=J7,即蜗牛爬行的最短距离是J7.

故选：D.

7.在棱长为2的正方体ABC。—ABCQ中，P,Q是CR,8c的中点，过点A作平面

a，使得平面。//平面BOPQ,则平面a截正方体所得截面的面积是（）

A.B.2C.-D.—

222

K答案》C

R解析D如图，取中点/，44中点N,连接MN,AM,AN,

"PG

因PQHMN,MNN平面BOPQ，PQu平面BOPQ,所以MN//平面BOPQ,

又PQ//AN,ANz平面8QPQ,QDu平面BOPQ,所以AN//平面5QPQ,又

AMryAN=A,

A"u平面AA/N,ANu平面AMN,所以平面PQ8。//平面AMN,

即三角形AAW为所得截面a,

在dAM/V中，AM=AN=y/A^+^N2=V5-MN=6,

，…亠汨八…，AM2+AN2-MN25+5-2_4

由余弦定理得cos/MAN=='

2AMAN2xV5xV5-5

所以sin/MAN=Vl-cos24MAN=|,

3_3

所以S^=-AM-ANsinZMAN=-x45xy/5x

2252

故选：C.

8.在锐角三角形ABC中，併A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

(22

rV3c-a]则2的取值范围为（）.

sinB-A/3COSC-----------------,

labc

、加（11

B.一，+8

12丿

C.—,2D.—,+oo

212

R答案XA

K解析』sinB->/3cosC=-^-^--------2absinB-2y/3abcosC=y/3c2-y/3a2»

2ab

2absinB=V3c2-y/3a2+26abeosC=6(c1-a2+2abeosC)=>/3(c2-tz2+t/2+b2-c2),

即2absinB=\[3b2,:.2sinAsin2B=>/3sin2B,

「.siriBwO,sinA=V

Ac0,讣.A、,—]

b_sinB_sin(A+C)_sinz4cosC+cosAsinC_61

csinCsinCsinC2tanC2

,40,訴《0,扑告一°《。,#4展)

tanC6f,+℃,-----e(0,6),—Gf—,2^.

(3JtanCc12丿

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.实数x,y满足(l+i)x+(i—l)y=2,设2=%+同，贝ij().

A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=V2

2

C.z的虚部是-1D.—=-i

z

K答案HBCD

/、/、fx-y=2

K解析U由(l+i)x+(i—l)y=2,得(x—y)+(x+y)i=2,而x,yeR,则<*+),_0

解得x=-y=l,即z=l—i,

对于A,复数z在复平面内对应的点在第四象限，A错误;

对于B,|z|=-ijl'+(—1)=>B正确;

对于C,z的虚部是-1,C正确；

对于D，3=下=而1淳6=亍-i,D正确.

故选：BCD

10.已知函数"x)=4cos(2x-；),则()

A./(x)图象的对称中心为ZeZ

/JTTC।

B./(x)的单调递减区间为一§+2E,q+2E,ZreZ

C.为了得到函数y=4cos2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向左平移殳个单位长

6

度

D.为了得到函数y=4sin2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向右平移g个单位长度

K答案》AC

K解析》令2冶专+広，解得x=*g,keZ,所以函数/(X)图象的对称中心为

故A正确；

兀712兀

令2E42x—<7C+2A7T,解得一+---\-kit,

363

7T2兀

所以函数/(X)的单调递减区间为-+kn,—+knMGZ,故B错误:

将/(x)的图象上所有的点向左平移g个单位长度得y=4cos2x+J-弓=4cos2x,

故C正确；

将/(x)的图象上所有的点向右平移:个单位长度得

6

/J兀、兀彳(2兀、).入

y=4cos2x————=4cos2x-----w4sin2x,

•[I6丿3」I3J

故D错误；

故选：AC

11.一个装有6个小球的口袋中，有编号为1,3的两个红球，编号为2,4的两个蓝球，编

号为5,6的两个黑球.现从中任意取出两个球，设事件A="取出的两球颜色相同"，8=“取

出的两球编号之差的绝对值为1"，C="取出的两球编号之和为6或7"，£>="取出的两球编

号乘积为5”，则下列说法正确的是().

A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件B与事件C相互独立D.事件B与事件D互斥

工答案』ABD

K解析］根据題意可知,6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3种可能，即(1,3),(2,4),(5,6),P(A)=,=g；

事件B包含5种可能，即(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),：.尸(B)=得=g；

事件。包含5种可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),.•.尸(C)=小;；

事件。包含1种可能，即(1,5),；/(。)=厶.

事件A氏AC,3c分别为(5,6),(2,4),(3,4)各1种可能，

对于A,P(AB)$=P(A)P(8),A对;

对于B,P(AC)=,=P(A)P(C),B对；

对于C,P(BC)=/P(B)P(C),C错；

对于D,事件B与事件。不能同时发生，故事件8与事件。互斥，D对.

故选：ABD.

12.如图，已知正方体ABCD-A4GA的棱长为1,M是。。中点，E是线段4G(包含

端点)上任意一点，则().

A.三棱锥3—AWE的体积为定值

B.存在点E,使得直线BE与平面A8CD所成角为30°

C.在平面BCGg内一定存在直线/,使得///平面

D.存在点E,使得8A丄平面AME

K答案DAC

K解析》yH-AME=^EABM=TXxl=—x—lxlxl=—,故A正确；

JARM5Zo

过£作。1AC,垂足为尸，连接防，则/£8/为直线班与平面A5CZ)所成角，则

EF

tanZEBF=—f又因为想//5片，AA.=BB]9BBJICC、,BB,=CC,,

BF

则四边形AACG为平行四边形，因为AA丄平面A3C。，ACu平面ABC。，

则A4丄AC,则四边形4ACG为矩形，奂lEF//Cq,EF=CG，.・.EF=l,

当尸与A或C重合时，(BF)=1,当8尸丄AC时，(斯)所以BFe坐』

\/max\/min?2

tanAEBFe[1,72],tan30=]宏[1,收],故B错误；

对C,显然直线A"与BC在底面内相交，故平面AEM与平面8CG4相交，在平面

BCG4内一定存在直线/与交线平行，则/〃平面AEM，故C正确；

对D,因为丄底面A8CO,厶。匚平面厶8。。，二。4丄厶。，

又因为AC_ZB£),且B。1rDD、=D,BD,DRu平面BDD1,

所以AC丄平面因为B"u平面BO。一所以AC丄B。，

延长CG使得C,N=1,再分别连接D】N,BN,

因为A。//8cAe>=8C,BC//B]G，BC=B£,

所以A。//qG,AD=与G,所以四边形厶。与G为平行四边形,

所以A4//DG，因为DDJ/C]N,DDi=GN,所以四边形"OGN为平行四边形，

所以。G//RN,所以厶4//。N,则异面直线。乃与AB｝的夹角即为NBAN或其补角,

因为D/MJF+F+F=5DN=叵,BN=S+*=后,

所以D1B、口储=BN?,所以8。丄。N,所以8厶丄AB-

又因为AC丄BA，AC厶用=A,AC,A4u平面4CA,

所以BR丄平面厶。乌，假设8。丄平面WE,

则平面4WE与平面AC耳重合，显然假设不成立，故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰

有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则P（A）+P（B）+P（C）=

K答案』1

K解析》依题意，一枚骰子抛掷三次的试验的所有基本事件构造的空间C=ADBUC,

而事件A,6,C两两互斥，

所以P（A）+P（B）+P（C）=pg）=1.

故K答案』为：1

14.已知|z-2+i|=2,则目的取值范围是.

K答案』［75-2,75+2］

K解析U因为Iz-2+i|表示复平面内复数z所对应的点与点(2,-1)的距离,

故z所对应的点在以C(2,-1)为圆心，半径厂=2的圆上，如下图所示,

则同最小值为|OA|=QC—逐一2,最大值为|0回=|0。+「=石+2,

故恸的取值范围是［石-2,石+2］.

故K答案』为：［石-2,6+2］

15.已知函数/(x)=2sin"+：®>0)在区间［0,对上恰有三个零点，则0的取值范

围是__________

11

R答案』4'4丿

K解析》因为则+<W7T+-

444

又因为函数/(x)在区间［0,河上恰有三个零点，

me兀“iJ115

则3兀<“>兀+—<4兀，解得一<co<——，

444

所以①的取值范围为

_44)

故K答案U为：|

16.已知正四面体4-58,0是底面BCO的中心，以。4为旋转轴，将正四面体旋转180°

后，与原四面体的公共部分的体积为迪，则正四面体A-BC。外接球的体积为

2

K答案』纽57r

8

K解析》以。4为旋转轴，将正四面体A-3CD旋转180°后，公共部分为正六棱锥

A-EFGHIJ,如图,

则AO=1AB。-BO?=並。，

3

22

正六边形EFGHIJ的边长EF=丄6。=@,SFFrHII=6x^-EF=—a，

33EFGHIJ46

因此公共部分的体积匕•AOu'x旦建X旦”显

A—t,i（jiiij3trKJtiij363]82

解得a=3,

显然正四面体的外接球球心O'在AO上，设此球半径为R,由/?2=（也Q）2+（如Q—R）2,

得甘”平

所以正四面体A—BCD外接球的体积V=—7?3=—.（—）3="匹7T.

3348

故K答案》为：込但无

8

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量a=（-1,2）,b=（2"）.

（1）若a〃b，求|可的值；

(2)若卜一耳=,+可，求实数2的值;

(3)若。与。的夹角是钝角，求实数4的取值范围.

解：(1)al1b,ci—(-1,2),/?=(2,A),l)xA—4=0,/./l=-4,

：.b=(2,-4),：\b|=722+(-4)2=26

(2)-.U-b^a+bl，两边同平方得|。一)|2=|£+川2,则化简得。m=0，

.ciA_b.a.-b——2+2A-0'—1■

(3)q与。的夹角是钝角，.•.二］＜(),且a与。不反向共线，

即GA=-2+22＜()，由(1)可知2工-4，

则丸＜1,且之工-4,故实数4的取值范围为(—,-4)u(-4,1).

18.为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验.现对全校学生

的测验成绩做统计，得到了如图所示的频率分布直方图.

(1)求此次测验成绩的平均数：

(2)为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在［80,1(X)］之间的学生中，采用

按比例分配的分层随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生

在总结大会上发言，求抽到的两人中至少一人的成绩在［90,10()］的概率.

解：(1)由题意得(0.005+2a+0.035+0.01)x10=1,可得。=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］x10=76,

所以此次测验成绩的平均数为76分.

(2)由(1)知，成绩在［80,90)与［90,100］的样本比例为5:2,

所以7名学生中有5名成绩在［80,90),2名成绩在［90,100L

若［80,90)中5人分别为。厶Gd,e,［90,100］中2人分别为乂y,

则从中抽取2人的所有组合为

{ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,ax,ay,bxyby,ex,cy,dx,dy,ex,ey9xy},有21种情况,

两人中至少一人的成绩在［90,100］的有{ax,ay,bx,by,ex,cy,clx,dy,ex,ey},11种情况,

所以抽到的两人中至少一人的成绩在［90,1()0］的概率为'.

19.如图，在直三棱柱ABC-中，D,M,N,P分别是AB，，CQ的中

点.

(1)求证：32//平面又。。；

(2)设AB=AC=CB=2,BB］=4,求异面直线GN与CM所成角的余弦值.

(1)证明：在直三棱柱ABC-A4G中，连接针，设APC|MC=O,连接。O,如图,

由"，尸分别是矩形A4GC对边A4「CG的中点，得四边形M4CP是矩形，即。是AP的

中点,

而。是A3的中点，于是ODUBP,又平面MDCOOu平面"DC,

所以5P//平面MDC

（2）解：因为N,尸分别是矩形BBC。对边BM，CG的中点，^C\P//NB，GP=NB,

因此四边形BPC】N是平行四边形，则NCJ/BP//OD,

于是NMOD或其补角是异面直线C】N与CM所成角,

由AB=AC—CB—2,BB]=4,得BP=CM=2>/2,DM=\[5>

2+2-5

在中，OD=OM=&DM=也则cosZMOD=

2x>/2x>/24

所以异面直线GN与CM所成角的余弦值若

20.如图，在.ABC中，ZR4C为钝角，。在8C上,且满足NC4D=C，AB=3,BC=3日

（2）若M是8C的中点，cosZBAC=-—,求AM的长度.

12

解：（1）在一ABC中，由正弦定理可得四-=-^—,

sinCsinABAC

.-BCsinC3Kx百

sinABAC=----------=----------=——，

AB32

2兀

N84C为钝角，二/氏4。=7，

7T

ZBAD=ZBAC-ZCAD=-.

2

（2）在,ABC中，由余弦定理可得BO?=AB2+AC2—2AB.ACCOSN8AC，

即27=9+AC2-2X3XACX［一卷），解得AC=4（负值舍去）,

1

M为8c中点，则AM=—（A8+AC）,

2

1）_23

--9+16+2x3x4x

412；

.♦.|AM|=X空，即A"的长度为'互

22

21.已知函数/(x)=4s呜

5

(1)若/(0)=-,求cosOCH----兀

6

兀71

(2)若不等式|尸(X)-</(X)+2对任意的Xe恒成立，求之的取值范围.

63

X71

解:(1)因为=4sin5cos—+—+A/3=2sin—cos--273sin2—+V3

23222

=sinx-^3(1-cosx)+百=sinx+gcosx=2sinfx+^J,

若/(a)=2sin(a+g71)=g,则5巾(0+1兀)=丄

336

’71、

f517兀171丄

所以COSQ+—兀=COSa+一+—=-sina+一

I6)I323丿6

71兀

(2)令f=/(x),xe

6,3

「，兀兀71712兀

因为,，所以x+彳^-

o3