2023-2024学年广东省深圳高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

I.直线4：》+冲-2=0,l2-.nvc+（m-2）y-3=O,liYI2,则m的值为（）

C.2D.0或1

【正确答案】D

【分析】根据两直线垂直可得出关于〃，的等式，即可得解.

【详解】因为∕∣J∙4,则加+，2）=m（，〃-1）=0,解得m=0或1.

故选：D.

2.在四面体。ABC中记OA=”，OB=Z?,OC=c，若点/、N分别为棱04、BC的中点,

则MN=（）

【正确答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算，即得.

———■I-—I——1-j-I一

【详解】由题意得.MN=。N-OM=—(08+0C)--OA=--a+-b+-c

22222

故选：B.

3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,

上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）

【正确答案】A

【分析】设此等差数列为利用方程思想求出4和d,再利用通项公式进行求解.

【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列,

设其首项为生,公差为d,

4+%++。4=3

由题意可得

07+¾+α9=4

即第5节竹子的容积为2升.

OO

故选：A.

TT

4.如图，在直三棱柱ABC-A∣8∣G中，ZBAC=-,AB=AC=AA］=1,已知G与E分别为

ABI和CG的中点，D与尸分别为线AC和AB上的动点（不包括端点），若GDVEF,

则线段短产长度的取值范围为（）

A.f@,1）B.［立,也］C.4,6）D.［应应］

5455

【正确答案】A

【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设出。,F的坐标，根据已知条件求得参数

之间的关系，并建立。尸关于参数的函数关系式，求其值域即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

C

B11

则设点Q坐标为(m,0,0),尸(O,O),O<^<l,O<π<l,

故M='l,",-g),Go=N因为GDLEF,

故可得EF∙Gf)=τ"-J"+g=O,则"=-2"z+l,由〃G(0,1)可得“7e(θ,g),

2

21

又。F=(fZ",0)故IDFI=J疗+.2=yJsm-4rn+∖=÷-,

5

故当〃2=］时，］。叶取得最小值@；又当加=O时，IM=I,但无法取到m=0,则WFl无

ɔ5

法取到1；

综上，线段。尸长度的取值范围为

故选：A

5.圆/+V-4x+6y+4=0上到直线3x+4y+16=0的距离为1的点有()

A.1个B.2个C.3个D.O个

【正确答案】C

【详解】化/+/一4χ+6y+4=0为(x-2)2+(y+3)2=9,得圆心坐标为(2,-3),半径为

∣6-12+16∣

∣=3,圆心到直线3x+4)，+16=O的距离d==2,.•.直线与圆相交.注意到

√32+4Γ

r=d+l,可知圆上有3个点到直线3x+4y+16=0的距离为1.故选：C.

6.已知数列｛4｝的前”项和组成的数列⑸｝满足£=3,S2=5,SΠ+2-3SΠ+I+2S,,=0,则

数列几｝的通项公式为()

3,n=∖,

A.α"-jn-',n≥2B.a,

2l2∖n≥2

C.a,,=2B^'+2D.a,,=2n

【正确答案】A

【分析】由SII+2-3S向+2S,=0得S“+2-S,,M=2(S“M—S“)，即-=2%,根据等比数列的定

义可得答案.

【详解】al=Si=3,a2=S2-Sl=2,

因为S2一3Se+2Sj,=0,所以S/2-S向=2(S,τ-S)

a2

可得4,+2=2%+|,而一2=~,

43

所以“≥2时，｛α,,｝是以2为首项，2为公比的等比数列，4,=2"τ,

[3,M=1

所以q≥2∙

故选:A.

7.7知函数F(X)=elnx,g(x)=加',若直线y="(左>())与函数/(x),g(x)的图象都

相切，贝∣Jα+：的最小值为()

b

2

A.2B.2eC.eD.λ∕e

【正确答案】B

【分析】利用导数的几何意义分别得到“=&、b=t,再运用基本不等式即可求解.

e

【详解】设直线V=丘与函数〃x),g(x)的图象相切的切点分别为A(Mh77),B(n,kn).

km=a∖nm

由f'(x)=g,有，a]，解得加=e,a=ek.

X—=k

、m

lζiι-benk]p/

,„,,解得〃=1,b=-,可得α+：=&+7≥2J?=2e,当且仅

｛be=kebk

当α=e,时取“=”.

e

故选：B

8.设双曲线C:±-¥=l(">0,b>0)的右顶点为A,左、右焦点分别为K,F2,「是C在

ab

第一象限的一点,满足IwI=国闾，|%I=IM,则C的离心率为()

A.41B.√3C.2D.√5

【正确答案】C

【分析】根据已知条件，可得AFfF2sAPAG,则总*=隐.根据条件得出线段长度,

IPElIAEl

如图，由已知得，IPEHp闾=2，IP耳I=忸用=2c,

所以IP闾=2c-24,I伍Kc-..

ΛFIPF2和MPAFi均为等腰三角形,

且ZF1PF2=ZPAF2=ZPF2A=ZF1F2P,所以NPK心=ZAPF2,

所以△/=；2鸟SaPAg,

2cCr

所以有⅛1=⅛}即在二2=2,所以C=为，e=-=2.

I叫-IA用2c-2a

故选：C.

二、多选题

9.如图，点A(2,0),8(1,1),C(-l,l),0(-2,0),8是以0。为直径的圆上一段圆弧，CB

是以BC为直径的圆上一段圆弧，84是以。4为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω,

贝IJ()

A.曲线。关于y轴对称

B.曲线Ω上任一点到原点的距离最小值夜

C.曲线Ω与X轴围成的图形的面积等于

D.CD所在的圆截直线y=X所得弦的长为夜

【正确答案】ABD

【分析】由题意可判断A；C,8到原点的距离最小，最小值为0可判断B；求出C£＞、CB、

SA所在的圆的方程，曲线。与X轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个!圆，求出面

积可判断C；求出C£＞所在的圆截直线y=X所得弦的长可判断D.

【详解】解：对于A,由图可知，曲线Ω关于y轴对称,A选项正确；

对于B,明显是C,8到原点的距离最小，最小值为所以B正确；

对于C,CD,CB,BA所在的圆的方程分别为(x+iy+y2=l,χ2+(yτ)2=ι,(χ7)2+y2=]

曲线C与X轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个!圆，其面积为

4

TTTT

S=→2+2×^=π+2,故C错误；

对于D,Co所在的圆的方程为(x+lf+y2=l,圆心(T,0),

圆心到直线y=X的距离4=gl=也,

√22

则所求的弦长为2=√2,故D正确.

故选：ABD

10.在棱长为2的正方体ABC£＞—A/CQ中，M为底面ABCf)的中心，。是棱AR上一点,

且AQ=；IAA，2e[0,l],N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是()

A.CN与QW异面B.三棱锥A-OWN的体积跟2的取值无关

C.不存在2使得A"_LQMD.当/1=；时，过A,Q,M三点的平面截正

方体所得截面的面积为羡9

【正确答案】BD

【分析】证明MN〃CQ可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；

求出截面梯形的面积可判断D

【详解】连AC,CQ,则M,N分别为AC,AQ的中点，MN为AQC的中位线.

ΛMNUCQ,则CN,QM共面，A错.

^A-DMN=vN-ADM=3A∕>ΛfXl=gxgxlx2xl=:为定值，B对.

如图建系A(0,0,2),A(2,0,2),D1Q=AD1A1,则Q(240,2)

AM=(-1,1,0),=(1-2A,1,-2),AMQM=2λ-∖+∖=2λ,

2=0时，AMIQM,C错.

X

截面如图所示，图形ACFQ,过Q作AC的垂线垂足为G.

QJlF

故选：BD

11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，

但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，

即一种基于递归的反馈系统•下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的

线段AB上取两个点C、D,使得AC=DB=LA8,以CD为边在线段AB的上方做一个正

方形，然后擦掉C。，就得到图形2;对图形2中的最上方的线段E尸作同样的操作，得到图

形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图I,图2,图3,…，图〃，各图中的线段

长度和为数列｛”“｝的前〃项和为S“，则()

图1图2图3图4

QQ

A.数列｛%｝是等比数列B.S5=^-

O

C.存在正数加，使得s“<机恒成立D.4,<3恒成立

【正确答案】BD

【分析】根据题意得到递推公式利用累加法求出数列｛%｝的通项公式，可判

断AD选项正误；利用分组求和法可判断B选项的正误，利用数列｛S,,｝的单调性可判断C

选项的正误.

【详解】由题意知，α∣=1,g=4+=%+2χ级，

2

以此类推可得。，

故q=G+（。2_4）+（〃3—生）+…+（/一61）

l[l-fɪf2

,222,C2[⑶f1γl^2

=1+镇齐+∙∙∙+Fr=I+2x——=3七J，

2

故数列｛《,｝不是等比数列，故A错误；

2d-4)189

Ss=3x5-------2-=H+^=y,故B正确；

1—

2

因为q=3-击>。恒成立，且｛%｝单调递增,

则数列｛S,,｝单调递增，所以，数列｛S“｝无最大值,

因此，不存在正数加，使得S,,<〃?，故C错误;

q=3-白<3恒成立，故D正确•

故选:BD.

12.^6r=-j^,⅛=sin^,c=lnj^,则()

A.c<aB.cι<c

C.c<bD.b<c

【正确答案】BC

【分析】令/(x)=In(I+x)-旨j(x≥0),利用导数研究单调性可判断AB；令

g(x)=In(x+I)-SinΛ｛O利用导数研究单调性可判断CD

【详解】^./(x)=ln(l+x)--^-(x>0),则/'(x)=7~-τ>0,

X^τ^lIX十ɪ/

故"X)为增函数,

由/(W)=hl"-土>∕(°)=0,得c>a,故A错误，B正确.

θ<x≤_Jj>则g'(x)=1

令g(x)=∣n(x+I)-SinX------------COSX

x+l

1.11l.1

当0<x≤而时，τ<一西<一而一5,n0<s*J，

则g'(x)的导函数g"(x)=一记y+sinx<O

则/(x)在(0,卡上单调递减，

贝∣Jg'(χ)<g'(o)=o,得g(χ)在(。，&上单调递减，

所以gG⅛)=hl詈-shα4<g(°)=°'得b>c,故C正确'D错误.

故选：BC.

三、填空题

13.试写出一个点C的坐标：,使之与点A(T,1,O),8(T,0,l)三点共线.

【正确答案】f-ɪ)ɔɪj(答案不唯一)

【分析】设出点C的坐标，利用空间向量共线得到(O,TI)=∕l(x+l,y-Lz),求出

χ=-ι.y+z=ι,写出一个符合要求的即可.

【详解】根据题意可得，设C(X，y，Z),则设AB=/UC，

即(O,T1)=；I(U,z)

故X=-I,y+z=l,不妨令y=g,则z=g,故C(T,d).

故(T另)

14.已知函数/(x)的导函数为f'(x),且满足关系式/(x)=Co亚+3叶(兀)+lar,则

/S)=------------

【正确答案】二

2π

【分析】首先求导数，再代入x=k,求解((兀).

【详解】由条件可知，f'(x)=-sinx+3f'(π)+-,r(π)=-sinττ+"'(兀)+,，

Xπ

解得/(兀)=-4

2兀

E1

⅛χ--

2π

15.已知椭圆G：E+V=I和双曲线C/W-A=I(α>°,b>°)有相同的焦点A，6，点P

9ab

是C1和J的一个交点.若点Q满足4PQF∖是正三角形且IQ周=6,则b=.

【正确答案】G∙

【分析】根据已知求出6，鸟，/+从=8.根据椭圆以及双曲线的定义可推得

∖QFl∖=∖PFl∖=a+3,在，耳心。中，根据余弦定理可列出关于“的方程，解出/=5,进而得

到廿=3,即可求出结果.

由已知可得，椭圆和双曲线的焦点坐标均为耳(-2√∑,θ),∕s(2√2,θ)1

即C=2夜，cr+b2=8.

设点P在第一象限.因为点P在椭圆上，所以有IP图+|尸国=6,

又点尸在双曲线上，所以有IPNTpE|=射，所以IP耳∣=α+3.

又APQA是正三角形，所以IQH=IQ制=|P£|=a+3,NKQP=1，

所以有IQH+∣p耳I=IMl+∣%∣=6=∣QK∣,则Q,p,g三点共线.

则在△大名。中,有忻用=2c=4夜，IQ闻=6,

由余弦定理可得，忻用2=也用2+|。用2_2|。周.|。闾cos4jQP,

ap(4√2)2=(a+3)2+62-2×6×(a+3)×p整理得/=5,

又/+/>2=8,所以从=3,则由6>0可得，b=-Ji-

故答案为∙G

16.已知数列｛叫满足q+2+(T)"α,,=3"7,且前16项和为524,则4=

【正确答案】5

【分析】当"为奇数时，采用累加法可求得知;当〃为偶数时，a,l+2+a,l≈3n-↑;采用分组

求和的方式，分别求解奇数项和偶数项的和，从而利用前16项和为524构造方程求得结果.

【详解】当"为奇数时，4,q-4=3"-l；

3rt2

•■•«„-«„-2=(-)-l»4-2_。“-4=3("_4)_1,a3-al=3×1-1,

各式相加得：

—(1+«-2)

α,,-q=3x[l+3+…+("-2)]-∙^-=3x-^-----------ɪ

=(3所5](〃-1)=*〃2-8〃+5),

,2

..an=al+ɪ(ɜn-8〃+5)

当”为偶数时，a,,+2+«„=3/1-1；

.∙.(ΛI+¾+<75+∙∙∙+αl3+α15)+((6f2+α4)+(α6+(⅞)+(6fl0+αl2)+(αl4+al6))

=(8a,+2+10+24+44+70+102+140)+(5+17+29+41)

=8q+484=524,解得=5

故答案为.5

关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解数列首项的问题，解题关键是能够分别在〃

为奇数和〃为偶数两种情况下得到奇数项和偶数项满足的关系式，采用分组和并项求和的方

式可构造方程.

四、解答题

17.已知数列｛4｝的首项q=1,前”项的和为S,,=生产.

(1)求数列｛叫的通项公式；

(2)求数列-ɪ-的前“项和1.

laA÷ιJ

【正确答案】⑴4=〃

fl

⑵7>ET

【分析】(I)由勺与S,的关系进行求解即可;

(2)使用裂项相消法进行求解即可.

【详解】(1)当/1=1时，β1=S1==1,

22

当〃≥2时'由SL号，得加_(π-l)+(n-l)_rr-n

22

CC∏Λ-n2n2-nnn2n2n

U=S-S”[=-----------------------=—I---------------1—=n(Z7≥2),

"n",,^l222222

且4=1满足上式,

综上所述，数列｛《,｝的通项公式为/=".

(2)由第(1)问知，an=n,Λan+i=/?+1,

1_1_+_1I

cιllatl+lM(H+1)n(π+l)n〃+1

I」+!」+，」++，__1

22334nn÷1

n+1

n

〃+1

.∙∙数歹IJ］二一I的前〃项和T“二4.

IaM+J〃+1

18.矩形ABC。的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC

所在直线的方程为χ-y-2=o.

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)求经过M,A,B三点的圆的方程.

【正确答案】⑴3x+y-14=0

2

(2)x+∕-6x+6.y+8=0

【分析】(1)联立两条直线得点A(0,-2),由C与A关于点M对称得C(4,2),由BC与AB

垂直，得BC边所在直线的方程；

(2)联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M,A,8坐标分别代入，解出圆的

方程.

x-3y-6=0X=O/、

【详解】(1)由C，则A0,-2),

y=-2

因为矩形ABCD两条对角线相交于M(2,0),所以C与A关于点M对称,

⅛±θ=2r

设C(Λ0,%),所以,得：“，则C(4,2),

因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,斜率为;,

BC与AB垂直，所以直线BC的斜率为-3,

贝IJBC边所在直线的方程为y-2=-3x(x-4),B∣J3x+>>-14=0;

(242

(2)由,故点8的坐标为［g,-g

设所求圆的方程为/+丫2+外+4+尸=0,且02+必-4/>0,

4+2D+F=0O=-6

4-2£+F=0，得E=6,

尸=8

则所求圆的方程为.X2+>>2-6Λ∙+6>>+8=0

19.如图，在四棱锥P-AfiCO中，底面ABa)边长为2退是菱形，NZMe=60。，。是对角

线AC和BD的交点，AB=AP,NBAP为锐角，SAAiM,=罟，点"为线段尸。上一动点，

且始终有AW_LBD

P

（1）求三棱锥O-ABP的体积；

π

（2）若二面角"-AB-O为:，求此时直线BM与平面MC。所成角的正弦值.

4

3

【正确答案】（1）5

Q）叵

7

【分析】（1）由一ABP面积为短，求得SinNBAP=弓，解三角形A8P得BP="，证明

比>上平面24（;得8。_120,得尸。=6,证明POLAC,得PO人平面ABa）,利用等体

积法求0-48P的体积；

Jr3

（2）由二面角M—AB-O为:，解得M。=i,建立空间直角坐标系，计算直线3M与平

42

面MCD所成角的正弦值.

【详解】（1）在一AB尸中，AB=AP=2^,SΛAIIP=-×ABxBPxsinZBAP=^-,

Λ∖ΛDr22

则SinZBAP=—,且ZBAP为锐角，CoSZBAP=Jl-Sin?NBAP=-,

44

由余弦定理，BP2=AB2+AP2-2AB-APcosZBAP=6,BPθP=√6,

由于四边形ABC。为菱形，则80,AC,且3。_LAM,

ACoAM=A,AC,AWu平面PAC,则比平面PAC,

因为PoU平面PAC,所以8OJ.P。，

因为AABD为正三角形，BO=BAO=3,则PO=JPB'-Bol=√5，

因为PO'AO?=4产，所以Po_LAC,由于ACBD=O,AC,BDu平面ABC。，

所以PoJ■平面ABCQ,

则VO-AH∣∙=VZjw>=；*P°*5ΔΛ⅛O=∣×V3×→Λ∕3×3=∣;

如图，过点。作OHLA3,连接〃”，

由(1),P0/平面ABC。，且ABU平面ABC。，则POJ_48,

Jr3

所以NM∕70=-,则Mo=OH==，

42

由于OP,OB,OC两两垂直，如图建系，

Mo,0,∣),β(√3,θ,θ),βM=f-√3,0,∣J,C(0,3,0),θ(-√3,0,θ),

贝IJCr>=γ,-3,θ),CM=(O,-3,|),

设"=(x,y,z)是平面PC。的一个法向量，

-∖∕3x-3y=O

/7CD=

即《取y=l,则"=(6-1,-2),

-3y+∣z=0

∕ι∙CP=O

∖0M∙n∖√42

设所求角为，，那么Sine=^~岛=■

OM7

则所求角正弦值为四.

7

、SQJ—1

20.已知各项均为正数的数列f也｝的前”项和为S,,,4=1,且Un=个tl47∙

dM+I4+1+1

⑴求数列｛《,｝的通项公式;

⑵设〃=券，且数列他｝的前〃项和为T”，求7”的取值范围.

【正确答案】(1)4=〃

(2)词用

【分析】(1)利用退一相减法可得数列｛4｝为等差数列，进而可得其通项公式;

(2)利用错位相减法可得刀,，再根据｛Z,｝的单调性可得取值范围.

Sci—1

【详解】(1)由=得S,,M+S,=4+/S"+「S,)=a3①,

京+14+1十1

所以当"≥2B寸，S,,+S,ι=d②.

a3+a

由①减②‘得。"+1÷¾=β,tl~n=(<"+l¾)(¾+1~,1Y

因为数列｛/｝为各项均为正数的数列，所以。向-％=1("≥2),

S∣nɔ—1

又由4=1,—=-ɪ~T,得。2=2

D2%+1

所以02-α∣=l,所以e+1一α,=l(n∈N*)

故数列｛为｝是首项为1,公差为1的等差数列，所以q,=l+("-l)xl=";

(2)由(1),得仇,=券■=言，

所以数列也｝的前〃项和7；="+,(++ɪ.

r1123n-∖n

所r以/=§+?+于++护→

211

两式作差可得:f7^=1÷∣÷⅛÷_32∕t+3

^2^2×3n

92〃+39

所以I=W

4×3π^'4

/7

由于(-TI=F>3TW=1，

则数列亿｝在〃eN*上单调递增,

于是词用.

21.如图，曲线q是以原点。为中心，5、K为焦点的椭圆的一部分，曲线Cz是以。为顶

7

点、K为焦点的抛物线的一部分，A是曲线G和G的一个交点，且为钝角，∣A∕∙[∣=],

M=∣∙

y

⑴求曲线G和c?所在椭圆和抛物线的方程；

(2)过K作一条与X轴不垂直的直线，分别和曲线G和C?交于8、E、C、。四点，若G为

BE-GF2

C。的中点，H为BE的中点,是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说

CD-HF2

明理由.

1抛物线方程为y2=4x(x≤∣

【正确答案】⑴椭圆方程为5+(=1[X4∣)

忸EHG鸟

⑵是,

ICZ)HHE

22

【分析】(1)设椭圆方程为*→W=l(a>b>O),利用椭圆定义可求得α的值，设A(x,y)∖

6(-c,0)、Λ(c,O),利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于X、>、C的方程组,

结合已知条件得出x>l,解出C的值，即可得出椭圆和抛物线的方程；

(2)设B(XI,凹)、用七,%)、C(X3，%)、。(工4，乂)，设直线BE的方程为x=my+l,其中

m≠0,将直线BE的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可

BE-IGF

计算出口；的值，即可得出结论.

CD∙∖HF2

丫227S

【详解】⑴解:设椭圆方程为宏+为=1(4>匕>0),则2α=M∣+M周=>]=6,得α=3,

设A(x,y)、爪-c,0)、Λ(c,0),抛物线方程为y2=4cx,其中c>0,

则(x+c)2+∕=[),(x-c)2+y2=f∣1,

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两式相减得xc、，由抛物线定义可知IA周=x+c=;,

因为NAE耳为钝角，则x>c,解得3，

X=—

2

所以，椭圆方程为A→qi=i(χ≤∣),抛物线方程为V=4χ卜≤I

(2)解：设B(Xl,必)、E(X2,必)、C(J⅛,%)、O(X4，乂)，

设直线5E的方程为X=Wy+1,其中〃件0,

联立［：%7。可得(8裙+9)V+16冲—64=0,

由韦达定理可得X+%=-Sm2+9''1>2^8∕n2+9

∖x=my+lC

联立｛2_.可得/_4畋-4=0,由韦达定理可得力+%=小〃，%%=-4,

）'3+N

2

cdhf怜+必）

∖∖∙∖^√i7^^.∣y3-y4∣.ΛA7^^∙AiA2（%-%）

2

（必+%）2-4%%（%+%Y=18,∕+9j+8疝+916切

（必+%）2（必+%『-4%%16〃P+16

8疗+9

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22.已知函数/(X)=竺］二1.

⑴若x=2是“X)的极小值点，求