2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023.2024学年重庆重点中学高二(上)月考数学试卷(9月份)

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.椭圆《+1与椭圆H+J_=1(7n<9)的()

A.长轴相等B.短轴相等

C.焦距相等D.长轴、短轴、焦距均不相等

2.若方程昌+==1表示椭圆，则实数小的取值范围是()

25-mm+9

A.(-9,25)B.(-9,8)U(8,25)C.(8,25)D.(8,4-oo)

3.椭圆《+[=i的一个焦点为&,点P在椭圆上且在第一象限，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的

纵坐标是()

A.白B.白C.CD.|

4224

4.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名

的蒙日圆定理：桶圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆

今+与=1(Q>b>0)的蒙日圆方程为一+y2=小+炉.若圆(%-3)2+(y-b}2=9与椭圆1+y2=1的

Qb3

蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为()

A.3B.4C.5D.2V-5

2________

5.设&、尸2分别是椭圆器+y2=i的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则函••讴的最小值为()

A.2B.1C.—1D.—2

6.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为/+y2=一2丁+3,直线I经过点(1,0)且与直线x—y+1=0

垂直，若直线I与圆C交于4,B两点，则AOAB的面积为

()

A.1B.<7C.2D.2V-2

7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=e(其中3=号)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆

方程为芸+《=1，9>6>0),若以原点。为圆心，短轴长为直径作。0,P为黄金椭圆上除顶点外任意一

点，过P作。。的两条切线，切点分别为4B,直线与％,y轴分别交于M,N两点，则//+嬴=()

A.-B.coC.-coD.——

0)0)

8.已设椭圆C：★+，=IQ>b>0)的右焦点为凡椭圆C上的两点4,B关于原点对称，且满足希.回=0,

|FB|<|FA|<2|FB|.则椭圆C的离心率的取值范围是

()

A-悸，1)C.除q—lD.[/3-U)

9.已知P是椭圆C：4+^=1上的一点，Fi，&是椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的是()

A.椭圆C的短轴长为2cB.Fi，F2的坐标为(—1,0)，(1,0)

C.椭圆C的离心率为白D.存在点P,使得N&PF2=3

10.阿基米德在他的著作供于圆锥体和球体少中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们

得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率乃与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知桶圆C：今+，=l(a>

6>0)的面积为21兀，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为-葛，记椭圆。的两个焦

点分别为n，F2,则|PFI|的值可能为()

A.4B.7C.10D.14

11.设点4,&,尸2的坐标分别为(一1,1)，(-1,0),(1,0),动点P(x,y)满足:J(%+1)2+丫2+J(刀一1)2+丫2=

4,给出下列四个结论：

①点P的轨迹方程为1+4=1；

43

@\PA\+\PF2\<5;

③存在4个点P,使得的面积为|；

(4)\PA\+\PF1\>1.

则正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

12.已知。(打必)是椭圆号+挛=1上两个不同点，且满足x62+=-2,则下列说法正确

44

的是()

A.|2%i+3yl-3|4-|2x2+3y2—3|的最大值为6+2A/~亏

B.\2xt+3yl—3|+\2x2+3y2-3|的最小值为3-屋

C.|%1—3yl+5|+|%2—3y2+51的最大值为2V"亏+"[正

D.|与-3yl+5|+|%2—3y2+5］的最小值为10—2>/-2

二、非选择题(共90分)

13.已知椭圆4/+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是.

14.过点(，m_门)，且与椭圆勃普=1有相同焦点的椭圆标准方程为.

15.设瓦，尸2分别是椭圆C的左，右焦点，过点后的直线交椭圆C于M,M两点，若丽=3物，且COSNMNB=右

则椭圆C的离心率为.

16.已知椭圆C：3+\=1(&>8>0)的左、右焦点分别为Fi，尸2,点M是椭圆C上任意一点，且丽・丽

的取值范围为[2,3].当点M不在x轴上时，设AMF1F2的内切圆半径为血，外接圆半径为小则nrn的最大值为

17.已知点P是椭圆^+，=1(<1>6>0)上的一点，&,尸2分别是椭圆左右两个焦点，若4?止尸2=会且

焦点三角形的面积为3日，又椭圆的长轴是短轴的2倍.

(1)求出椭圆的方程；

(2)若N&PF2为钝角，求出点P横坐标的取值范围.

18.已知直线II：x+y—4=0,l2：x—y+2=0和直线片：ax—y+1—4a—0.

(1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是，1，12,13,求实数a的取值范围；

(2)若直线I经过及和，2的交点，且点M(-1,2)到，的距离为2,试求直线，的方程.

19.在A力BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA+=也.

c

(1)求角c；

(2)若c=4,△ABC的面积为4，？，求a,b.

20.如图，在三棱台ABC-AiaCi中，若&A_L平面ABC,AB1AC,AB=AC=AAr=2,41cl=1,N为

4B中点，M为棱BC上一动点(不包含端点).

(1)若M为BC的中点，求证：&N〃平面GM4；

(2)是否存在点M,使得平面GM4与平面4CG占所成角的余弦值为《？若存在，求出BM长度；若不存在，

6

请说明理由.

21.已知在平面直角坐标系xOy中，/1(0,1),2(0,4),平面内动点P满足21P川=|PB|.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)点P轨迹记为曲线T,若C,。是曲线T与x轴的交点，E为直线I：x=4上的动点，直线CE,DE与曲线T的

另一个交点分别为M,N,直线MN与x轴交点为Q,求点Q的坐标.

22.如图，已知半圆G：x2+y2=b2(y<0)与％轴交于4、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C?：,+5=l(y>

0,a>b>0)的上焦点为尸，并且AABF是面积为，？的等边三角形，将由G、C2构成的曲线，记为“厂”.

(1)求实数a、b的值；

(2)直线八丫=「》与曲线「交于“、N两点，在曲线厂上再取两点S、T(S、7分别在直线I两侧)，使得这四

个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；

(3)设点K(O,t)(t€R),P是曲线「上任意一点，求|PK|的最小值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：椭圆普+，=1即经+誓=1，则此椭圆的长轴长为10,短轴长为6,焦距为2。25-9=8;

椭圆+上--l(m<9)即+；^上-1，因为25-m>9-m>0,

9-m25-m''25—m9—m

则此椭圆的长轴长为2—25—m，短轴长为2。9—m,焦距为2j(25—?n)—(9——)=8.

故选：C.

分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断.

本题考查了椭圆的性质，属于中档题.

2.【答案】B

【解析】解：依题意，方程『十二=1表示椭圆，

25-mm+9

(25-m>0

则m+9>0,

+9H25—zn

解得一9<m<8或8<m<25,

即实数m的取值范围是(-9,8)U(8,25).

故选：B.

根据方程表示椭圆列不等式，由此求得M的取值范围.

本题考查了椭圆的性质，属基础题.

3.【答案】A

【解析】解：•••椭圆方程为各1=1,

:.a=2A/^3,b—A/^~3»c=3,

又点P在椭圆上且在第一象限，且线段PF1的中点M在y轴上，

••.P点的横坐标为c=3,将尤=c,代入椭圆方程为6+[=1中，

可得P点的纵坐标为Q=T==",

a2c2

・••点M的纵坐标为三.

4

故选：A.

根据题意可得P点的横坐标为c=3,再求出P点的纵坐标，从而可得点M的纵坐标.

本题考查椭圆的几何性质，属基础题.

4.【答案】B

2

【解析】解：由题意可得椭圆5+y2=i的蒙日圆的半径心=^^=2，

所以蒙日圆方程为产+、2=4,

2

因为圆(x-3)2+(y—b)2=9与椭圆会+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，

所以两圆相外切，

所以V32+炉=3+2,解得匕=4.

故选：8.

由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出b的值.

本题考查圆与圆的位置关系的应用，是中档题.

5.【答案】D

2

【解析】解：已知椭圆方程为5+y2=1，

4J

则Q=2,b=1,c=Va2—b2=,

则FK—C,0)，F2(AT3,0),

设点Q(x,y),

则—2<x<2,且y2=i_!L.,

则。<x2<4,

所以话=(一「_%,-y),函=(C-x,一y),

所以QF；-QF；=(—%—A/-3)(—x+V-3)+(—y)2=x2+y2-3=x2+(1--3=手-2,

所以当x=0时，G瓦•话取最小值一2.

故选：D.

2

设点Q(x,y),则-2WXW2,且y2=i一菅，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可

求得西•西的最小值.

本题考查了椭圆的性质，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题.

6.【答案】A

【解析】解：「圆。的方程为/+丫2=一2丫+3,二化成标准方程，可得

x2+(y+l)2=4,

由此可得圆的圆心为C(O,-1)、半径为2.

・•・直线x-y+1=0的斜率为1且与直线/垂直，直线I经过点(1,0),

•••直线I的斜率为k=-1,可得直线/的方程为y=-(x-1),即尤+y-1=

0.

因此，圆心C到直线1的距离d=与口=口

V2

・,・直线2被圆C截得的弦长|4B|=2A/r2—d2=2,4—2=2A/-2»

又•.•坐标原点。到AB的距离为d,=%n=好,

04B的面积为S=xd'=gx=1.

故选：A

将圆C化成标准方程，得到圆心为C(0,-1)、半径为2.由垂直的两直线斜率的关系算出直线/的斜率为1,可

得1的方程为％+y-1=0,进而算出圆心C到/的距离d=C，再根据垂径定理算出/被圆C截得的弦长

\AB\=2/2最后由点到直线的距离公式算出原点。到4B的距离，根据三角形的面积公式即可算出△048的

面积.

本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦4B与原点0构成三角形的面积.着重考查了点到直线

的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：依题意有。力PB四点共圆，

设点P坐标为POo,y0)，

则该圆的方程为：x(x-x0)+y(y-y0)=0,

22

将两圆方程：X+y=匕2与久2_XqX+y2_y^y_(J相减,

得切点所在直线方程为(4B：xxo+yyo—,

22

解得M(J,0),N(0,”),

xoy。

因为写+4=1,

Q2b

222222222

bta__ba_bxg+ayg_ab_a_1_2_1

所以而丽=/十三二一?—="^=?===KT=&・

故选：A.

根据题意。、A、P、B四点在以。P为直径的圆上，可设点P坐标为P(xo，y0),从而得出四点所在圆的方程为

x(x-x0)+y(y-y0)-0,利用两圆方程之差求得切点4、8所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可

解决本题.

本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，综合性较强，属于拔高

题.

根据条件判断四边形AFBF'为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行转化求解即可.

【解答】解：作出椭圆的左焦点尸'，由椭圆的对称性可知，四边形4FBF'为平行四边形，

又福•丽=0，

即FA1FB,故平行四边形4FBF'为矩形，

•••\AB\=\FF'\=2c,

设|4F'|=n,\AF\=m,

则在直角三角形ABF中，m+n=2a,m2+n2=4c2,①

得mn=2b2,②

①+②鳄+标翁令i得通=翁

又由|FB|<\FA\<2\FB\,得曰=t6[1,2],

[t+：=ae即

即14泻,得拉01，

即群亨W1，

5c,

即葬窘1八

则菅2,

即"44得JIWeW。，

得写MeW?，

则椭圆的离心率的取值范围是［好,警］,

故选:A.

9.【答案】AC

【解析】解：已知P是椭圆C：9+^=1上的一点，&,尸2是椭圆C的两个焦点，

椭圆的焦点在y轴上，a=2,b=V-3,c=1,

对于4,短轴长为2b=2C，

即4正确；

对于8,Fi，尸2的坐标为(0,±1),

即8错误；

对于C,离心率为e=£=4,

a2

即C正确；

对于D,因为b>c,

故以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆没有交点，

故不存在点P,使得“铲尸2=今

即。错误.

故选：AC.

由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断4BC的正误，根据b,c的大小关系可判断。的正误.

本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题.

10.【答案】ABC

(ah=21

【解析】解：依题意，得b2_9,解得a=7,6=3,

(一滔=一病

则c=Va2—b2—2、10,

故7-2/1^=a-c<IPFJ<c+a=2V-10+7.

故选：ABC.

根据题意，列出关于a,b,c的方程，求得a,b,c,然后由a-cW［PF/Wc+a即可得到结果

本题考查求椭圆的方程，考查椭圆的性质，属中档题.

11.【答案】B

【解析】解：由J(x+l)2+y2+JQ-i)2+y2=4得I+

|46l=4>IF/2I=2,

所以点P(x,y)的轨迹为以F「尸2为焦点的椭圆，且2c=2,2a=4=

a=2,c=l,b—V-3>

故点P的轨迹方程为3+4=1，①正确；

当将x=-1代入椭圆方程中得y2=3x(1—；)>1,所以点

力(一1,1)在椭圆内，

所以|P川+\PF2\=\PA\+2a-|PFi|<2a+|*|=4+1=5,

当且仅当P运动到Pi时，等号成立，

\PA\+|PF/=\PA\+2a-\PF2\=4+\PA\-\PF2\,

由于||P4|一\PF\\<\AF2\=><\PA\-\PF\<

所以|P*+|P&|=4+\PA\-\PF2\>4-y/~5>l,

当且仅当P运动到P2时等号成立，故②错误，④正确；

S“AF1==其中九为点P到直线AF1的距离,

若S“好|=：%=|=%=3,由于当点P为椭圆的右顶点时，此时九取最大值3,

故满足条件的点P只有一个，③错误.

故选:B.

根据椭圆的定义可得P(x,y)的轨迹为以F2为焦点的椭圆，可判断①，结合椭圆的定义以及共线即可判

断②④，由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④.

本题主要考查轨迹方程，椭圆的性质，命题真假的判断，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：已知401，%),8(%2，丁2)是椭圆［+军=1上两个不同点，

44

则将+21=1，.+型1,设％=3y=n,D(m2,n2),0为坐标原点，

4444

则0?=(机1，nJ，0D=(机2,九2)，

・•・+好=4,4-712=4且加通1+m2n2=-2,

・・.C、。两点均在圆山2+污=4的圆上，且NCOO=120。，

A\CD\=2c，

根据点到直线的距离公式，知CX（12修言「3|+12X2言2-31）=X（12喟「3|十包彗目），

为C、。两点到直线2x+y—3=0的距离di、d2之和的V5倍.

设CD的中点为E,E到直线2x+y—3=0的距离d3，

则d1+d2=2d3<2（|0E|+1）=2+捻，

|2xj+3%-3|+|2X2+3y2-3|的最大值为4X（2+捻）=6+2口，

dx+d2=2d3>2（一|0E|+捻）=-2+盘,

|2%+3乃-3|+|2上+3%-3|的最小值为，石X（-2+备）=6-2，石，故4正确，8错误；

同理可得C错误，。正确.

故选：AD.

设％=m,3y=m，C（mi，几1）,。（馆2,九2），。为坐标原点，则沆=（nii，%），0D=（m2,n2）»进一步得到C、

。两点均在圆加2+九2=4的圆上，KZCOD=120%|CD|=2<3,再根据点到直线的距离公式得到门x

（|2x1+3y1-3|+即2言2-31）的最大值与最小值可判断SB,同理可判断

本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属难题.

13.【答案】2

【解析】解：由题意得椭圆标准方程为产+4=1,

k

又其一个焦点坐标为（0,1）,故1=1,解得k=2.

故答案为：2.

化为标准方程可得1=1,求解即可.

本题考查椭圆的性质，属基础题.

14.【答案】（+3=1

【解析】【分析】

本题考查椭圆的方程和性质，考查列方程和解方程的运算能力，属于基础题.

22

求出椭圆会+5=1的焦点，即c=4,可设所求椭圆方程，由a,b,c的关系和点在椭圆上，得到a,b的

方程组，解出a,b,进而得到所求椭圆方程.

【解答】解：椭圆<+卷=1的焦点为（0,±4）,

则所求椭圆的c=4,

22

可设椭圆方程为马+马=l(a>b>0),

Qb

则有。2一/>2=16,①

再代入点亏)，得，

533

淳+岸=1,②

由①②解得，Q?=20,b2=4.

22

则所求椭圆方程为N+?=L

204

故答案为：卷+3=1，

204

15.【答案】与

2

【解析】解：设|&N|=3则根据题意可得IMF/=3t,

・•・根据椭圆的几何性质可得：

\NF2\=2a-t,\MF2\=2a—3t,

14

又|MN|=43cos乙MNF2=w，|F1F2|=4c,

.•・在△”%产?中，由余弦定理可得：

222

\MF2\=\MN\+\NF2\-2\MN\•\NF2\•cos乙MNF2,

，(2Q—3c)2=16t2+(2Q—t)?-8£(2Q—t)x—,

化简整理可得Q=33

又在aNFiF2中，由余弦定理可得：

2

|F/2/=INF/+|iVF2|-2|NF/­|iVF2|xcoszM/VF2,

...4c2=t24-(2a—t)2—2t(2a—t)x!又a=33

.・,4c2=t2+25t2-2tx4t=18t2,

又a=3£,

椭圆C的离心率为£=土=C.

Q3t2

故答案为：£2.

设|F[N|=t,则根据题意可得IMF/=3t,根据椭圆的几何性质可得：INF2I=2a-t,\MF2\=2a-3t,

又|MN|=4t,COSNMNF2=，I&F2I=4c,在^MNF2与4NaF2中，由余弦定理建立方程，可解得a=33

c=?t，从而可得椭圆C的离心率.

本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，方程思想，属中档题.

16.【答案】|

【解析】解：V丽•屈=(MO+oK)•(MO+OF2)

=MO2-OFf=\MO\2-c2>又|M0|6[b,a],

.•.丽・丽W[b2-c2,b2]，又丽・丽的取值范围为[2,3],

*｛：21;-2,...©2=1,=4,b2=3,

设N&MF2=。，。€(。，勺，

由正弦定理可得2n=篝=痣,所以n=^

2

又S“MF]F2~btan^=3tan^=1(2a4-2c)-m=3m,

所以m=tang,

因为。e(o,刍，可得7nn=>二=2.

32-23

故答案为:

由且丽•丽的取值范围为[2,3],可求出a,b,c,由正弦定理可得"=焉，再由焦点三角形的等面积法

可得m=tar4所以小九=上巴崂，求出。€(0申，即可得出答案.

本题考查了椭圆的性质，考查了三角形外接圆、内切圆的半径，属于难题.

17.【答案】解：(1)设尸&=巾，PF2=n,zF1PF2=0,

贝!j(2c)2=m2+n2-2mncos6^m+n=2a,

故4c2=(m+n)2—2mn—2mncos9=4a2—2mn(l+cos。)，

2

故rmi=12b0,故s=mnsinO=<•2b°•sind=htan"

l+cos022l+cos02

故椭圆焦点三角形面积公式为：S=h2tan^,

由题意得：b2tan^=3/3,解得：6=3,

O

又椭圆长轴是短轴的2倍，即2a=4b,Q=6,

•••椭圆的标准方程是：1+［=1;

369

(2)设PQo，y°),则装+4=1，

369

又椭圆焦点&(一34?,0)，尸2(3，石,0)，

-,

PF】=(-3V3—XQ,~yo),PF2=(3V3—XQ,yo)

4&PF2为钝角，

.•.丽•配=以一27+羽＜0，即回+光＜27,

•••以+9—学＜27，解得：-2门5＜26，

故P点横坐标的取值范围是(一24石,2，石).

【解析】(1)根据椭圆焦点三角形面积公式可构造方程求得b,由长短轴的倍数关系可求得a,从而得到椭圆

方程；

(2)设P(&,yo)，由N&PF2为钝角可得对.际＜0，由此构造不等式求得结果.

本题考查椭圆方程的求解，由向量夹角大小求解参数范围的问题，关键是能够将角为钝角转化为向量数量

积小于零的关系，从而构造不等式求得结果.

18.【答案】解：⑴联立匕十二:二%，可得，1和，2的交点4的坐标为(1,3),

1%—y1/一U

7

当％过点4时，Q—3+1—4a=0=a=—§,

此时不存在三角形满足题意，为满足题意，必有。彳-|,

当。平行或％，G平行时，因为k的斜率为一1，。的斜率为1，G的斜率为原

所以a=l或a=-1,此时也不存在三角形满足题意，为满足题意，必有aw±l,

综上所述，｛a|a彳一：且a丰+1］；

(2)直线/经过匕和％的交点4(1,3)，当3支轴时，［的方程为x=l,

点M(—1,2)至”的距离为2,符合题意，

当，与x轴不垂直时，设/的方程为y—3=k(x—1),即kx—y+3—k=0,

因为点M(—1,2)至“的距离为2,所以1=2=k=—4,

此时，的方程为3%+4y-15=0,

综上，直线［的方程为x=l或3x+4y-15=0.

【解析】(1)求得。与%的交点4的坐标，然后由直线片不过点4不与直线4,%平行，求得。的范围；

(2)考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值,

从而求出直线2的方程.

本题主要考查点到直线的距离公式，考查了方程思想，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为cos4+/~无讥4=土产，整理可得：ccosA+，~^csirh4=a+b,

由正弦定理可得：sinCcosA+y/~3sinCsinA=sinA+sinB,

在^ABC,sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以V3s出CsirM=sinA4-sinAcosC^三角形中，sinAW0,

所以，-cosC=1,即sin(C—*)=；，

在三角形中，可得=3

可得。=半

(2)由(1)可得S-BC=^absinC=早ba=4/3，

可得ab=16①

由余弦定理可得cosC=4+必-2,而c=4,

2ah

即工=必±以竺，可得炉+a2=32,②，

22x16J

由①②可得。2=b2=16,即b=Q=4.

【解析】(1)由正弦定理和辅助角公式整理可得sin(C-5=：,在三角形中，可得C角的大小；

(2)由(1)及面积可得a,b的关系，再由余弦定理可得a,b的值.

本题考查正余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：（1）证明：分别取4B中点N,连接MN,

则MN为A/IBC的中位线,

MN//AC,MN=^1AC=1,

又41G=1,AC“AG，

:.MN"AiG，MN=&G，

.,•四边形MM41cl为平行四边形，

:.A[N//C\M,又&NC平面q/VM,QMu平面

•••&N〃平面C;M力.

（2）以力为坐标原点，四，前，丽（正方向为x,y,z轴，建系如图,

则4(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),6(0,1,2),

•••温=(0,1,2)，BC=(-2,2,0)，AB=(2,0,0)，

设丽=4前(0<4<1)，贝I」丽=(一2尢2；1,0)，

.•.箱=超+两=(2-2/1,2儿0).

令平面GM4的法向量为记=(x,y,z),

则[扃-n=y+2z=0,

取五=(2九22-2,1-Q；

(AM-n=(2-2X)x+2Ay=0'

又易知平面aCCi4的一个法向量记=(1,0,0),

________|2A|__________口

J4a2+4(A-i)2+(i-a)26

解得；1=：或4=一1(舍),

•••BM=A|BM|=||BC|=浮,

JJ3

即BM的长为亨.

【解析】(1)取AB中点N,易证得四边形MN&q为平行四边形，得到&N〃CiM,由线面平行的判定可证得

结论；

(2)以4为坐标原点建立空间直角坐标系，设的=4就(0<4<1),根据面面角的向量求法可构造方程求

得4的值，由此可得结果.

本题考查线面平行的证明，向量法求解面面角问题，化归转化思想，方程思想，属中档题.

21.【答案】解：(1)设点P(x,y)为曲线上任意一点,

因为21P川=|PB|,4(0,1),8(0,4),

则2jN+(y—l)2=J+0—4)2,

化简得/+y2=4.

(2)由题意得C(-2,0),D(2,0),

设E(4,t)(t*0),则直线CE的方程为y=](x+2),

直线DE的方程为y=g(x