2022年普通高等学校高中数学（理科）招生全国统一考试模拟试题（三） （广东卷）

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试摹拟试题(三)理科数学(必

修+选修II)

第I卷

注意事项：

1.答第।卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，惟独一项是符

合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那末球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4nR2

如果事件A、B相互独立，那末其中R表示球的半径

P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式

4

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那末V=—nR3

3

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

P(k)=Ckpk(1—p)n-k(k=0,1,2,...n)

nn

一.选择题

1.已知集合的=|，"・4一4。＜0旧.2“机则实数@的取值范围是()

A.(1,)B.(1,♦«)C.(-吗1)D.(0,1)

2.(理科)设定义域为R的函数f(x),g(x)都有反函数，且函数f(x+2)和gf(x—3)的

图象关于直线y=x对称，若g(3)=2022,则f(5)等于()

A.2022B.2022C.2022D.2022

（|y+x-1W0,

3.已知变量x,y满足约束条件（y-3x-lWO,则z=2x+y的最大值为（）

h-x+12O,

A.4B.2C.1D.-4

4.等差数列|a|的前n项和为S,若〈。的〉。，则下列结论不正确的是（）

n1111H

.A.B.-5|，<°C.S“>S|,D.

5.不等式|x-2-|x+R>a有解，则实数a的取值范围是（）

A^a>-4B、a共-4C、a共4D>a>4

6.上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每一个场馆至少1名，至多

2名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.180种D.270种

7.将函数y=3sin（2x+9）的图象匕按向量上,-1）平移得到图象F,若图象F,关于直线

b

X二一对称，则9的一个可能取值是

4

2.2"5"5"

A.--B.C.二—D.一

3366

8.在编ABC中，若AB」（AB-2AC）,ACJ（AC-2AB）,则编ABC的形状为

（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

9.设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在

东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是（）

A—Ro—Rc—R□—R

A.3B.3c,3D.3

4

10.已知点p在曲线y=—；上，a为曲线在点p处的切线的倾斜角，则a的取值范围是

ex+1

()

-••••«3”311

A.[0,—)B.[-,—)C.(-,——]D.[——)

442244

11.已知*+1/♦+1+2)+…+2)”,帆♦/等于()

A.9B.11C.-11D.12

12.过双曲线合yl=1（a>0,b>0）的左焦点F的直线I与双曲线的左支交于A、B两点，且以

32b2

线段AB为直径的圆被双曲线C的左准线截得的劣弧的弧度数为一，那末双曲线的离心率为

3

(B)\/3(02(D)述

3

第n卷

注意事项:

1.用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2.本卷共10小题，共90分。

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图，函数1的图象在点L处的切线方程是

y---2z/xf(-2)♦/(-2)

,且也是可导函数，则,

14.若在(X+3y2)n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系

数的和之比为512,那末3n展开式中的常数项等于。

X

%♦匕aI(a>6>0)

15.已知椭圆"h'的左、右焦点分别为F1.F2,若椭圆上存在一点P

则该椭圆的离心率e的取值范围是.

16.如图，在正四面体S—ABC中，E为SA的中点,F为编ABC的中心，则异面直线EF与AB

所成的角是_______________

三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.

(17)(本小题满分10分)

v2sin(x+_)

已知向量a=(sin2x,1).向量b=(_________土」)，函数f(x)=入(a.b—1)

2cosx

3几

(1)若x=［一下±0时，求函数f(x)的单调递减区间;

⑵当入=2时，写出由函数y=sin2x的图象变换到函数y=f(x)的图象的变换过程。

(18)(本小题满分12分)

已知数列｛a｝中，a=2,a=3,其前n项和S满足S+S=2S+1(n=N)；数

n12nn+2nn+1

列｛b｝中，b=a,b=4b+6(n=N*).

n11n+1n

(1)求数列｛a｝｛b｝的通项公式；

⑵设C=b+2+（—1）i入.2an（入为非零整数，n仁1N・），试确定入的值，使得对任意nCN-,

都有c>c成立.

n+1n

（19）（本小题满分12分）

已知直四棱柱ABCD—AECR的底面是菱形，且NDAB=60。，AD=AA『F为棱BBI的中

点，M为线段Aq的中点。

（1）求证：直线MF〃平面ABCD；

（2）求证:平面AFC主平面ACCA；

（3）求平面AFC5平面ABCD所成二面角的大小。

（20）（本小题满分12分）

在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场,

每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为」，甲胜

3

丙的概率为」，乙胜丙的概率为」；

43

（1）求甲队获第一位且丙队获第二名的概率；

⑵设在该次比赛中，甲队得分为飞，求飞的分布列和数学期望。

（21）（本小题满分12分）

,J的直线I过点

和椭圆C—+--=1(a>b>0)的

己知方向向量为V=

a2b2

右焦点，且椭圆的离心率为w.

0

（1）求椭圆C的方程；

（2）若已知点D（3,0）,点M,N是椭圆C上不重合的两点，且而=入示I,求实数入的

取值范围.

（22）（本小题满分12分）

己矢必幻^2.71828}

⑴求的单调区间;

⑵设”0逐⑴'若存在。04）使得％J跖）14去成的取值范围.

2022年普通高等学校招生全国统一考试摹拟试题（三）

理科数学（必修+选修II）参考答案

第I卷（选择题，共60分）

三、解答题（本题共6小题，总分70分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）

17、(本小题满分io分)解：a.b=(sin2x,1).(题三±£2^4l)=sinx(sinx+cosx)+1

2cosx

13J?几3

=—(sin2x—cos2x)+_=2_sin(2x-_)+_

22242

几1

:f(x)=sin(2x—-)+-]

"几n"几

(1)x共一：一几共2x~-

44

当、入>0c时，由-n几4+c共几共4+几京得单调递减区间为［―3几石几魂

几几

同理，当人想。时，函数的单调递减区间为［一,一］

84

⑵当入=2,f（x）=<5sin（2x—1）+1,变换过程如下:

4

几几

1°将y=sin2x的图象向右平移一个单位可得函数y=sin（2x—一）的图象。

84

2。将所得函数图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标保持不变，可得函

数y=sin（2x—L）的图象。

4

3°再将所得图象向上平移一个单位，可得f（x）=6in（2x—2）+1的图象

4

18.（第⑴小题6分，第（2）小题6分）

⑴由已知，s—S—（S—S)=1

n+2n+1n+1n

:a—a=1(n>1)

n+2n+1

又a—a=12分

数A{a}是以

a=2为首项，公差为1的等差数列.

n1

a=n+13分

n

Xb+2=4(b+2)

n+1n

：｛b+2｝是以4为公比，4为首项的等比数列

n

：b=4n—26分

n

(2)va=n+1,:b=4n—2c=4+(—1)n入.2m，

要使c>(:恒成立，

C-C=4+1—4n+(―1)n入.2n+2—(—1)n-1入.2n+1>0

n+1n

恒成立，

.'.3.4—3人.(-1)i&+1>o恒成立，

(―1)1入想2n-1恒成立.

(i)当n为奇数时,即入想2n-1恒成立,

当且仅当n=1时，2L1有最小值为1,

入想110分

(门)当门为偶数时，即入>—2-1恒成立，当且仅当n=2时，一2n-i有最大值一2,

入>—211分

即一2想入想1,又人为非零整数，则入=-1.

综上所述，存在入=—1,使得对任意n=N*,都有c>c.12分

19、(本小题满分12分)解法一：

(1)延长CF工CB的延长线于点N,连接AN。因为F是BB1的中点，

所以F为QN的中点，B为CN的中点。。

又M是线段AQ的中点，故MF〃AN。

又MFf乙平面ABCD,AN坚平面ABCD»A|\

...MF〃平面ABCD。：wAt

⑵证明：连BD,由直四棱柱ABCD—A凡CR

可知AA_L平面ABCD,J运上14

又宣"二平面ABCD,Z.AjAlBD.,

四边形ABCD为菱形，，AC，BD。人弋工多考

又：ACnAA=A,AC,仁平面ACq/\。

...BDL平面Acq/\。

在四边形DANB中，DA〃BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形

故NA〃BD,...NA,平面ACCA，又因为NA仁平面AFJ

...平面AFQIACC：^

⑶由(2)知BDLACCA],1又AC仁ACC/i，

/.BDlACj,；.BD〃NA,AACjlNAo

又由BD_LAC可知NA±AC,

.♦.NCiAC就是平面AFQ与平面ABCD所成二面角的平面角或者补角。

CC1

在Rtz2\C,AC中，tunC'AC=—।———=,

1।CA.n

故NGAC=30。

平面AFQ与平面ABCD所成二面角的大小为30°或者150°

解法二：

设ACnBD=0,因为M、0分别为QA、CA的中点，所以，MO〃qC,

又由直四棱柱知Cf平面ABCD,所以MOJ_平面ABCD。

在棱形ABCD中，BD±AC,所以，OB、OC、OM两两垂直。

故可以。为原点，OB、OC、0M所在直线分别为X轴、y轴、Z轴如图建立空间直角坐

标系AI

若设|OB|=1,贝B(1,0,0),B[(1,0,2),_乌_C,

A(0,_瓜o),c(o,<3,o),J(o,'3,2)。

(1)由F、M分别为B空的中点可知：F(1,0,1),

MJo,o,1),所以MF=(1,o,o)=OB.

又RE与OB’不共线，所以，MF〃OB。

：MF亿平面ABCD,OB仁平面ABCD,

；.MF〃平面ABCDo

(2)OB=(1,0,0)为平面ACC/1的法向量。

设n(x,y,z)为平面AFC1的一个法向量

则nJAF,nJMF.

由不(1,^1),MT=(1,0,0),得(仪+、‘2y+z=°,

.lx=0

令y=l,得z=-\3,此时n(0,1,—v3)

由于n.OB=(0,1«3).(1,0,0)=0,所以，平面AFq_L平面AcqAj

(3)OM=(0,0,1)为平面ABCD的法向量，设平面AFq与平面ABCD所成的二面角

的大小为9,

则18s9|=|cos<OM*,n>|-1=|、31=—

|OM||n|1人22

所以9=30°或者150°。

即平面AFQ与平面ABCD所成二面角的大小为30°或者150°。

20.(本小题满分12分)解：(D设甲队获第一且丙队获第二为事件A,则

P(A)=一［」人(1—1)=」；

34318

(2)飞可能的取值为0,3,6；则

=1,11

甲两场皆输：POS=0)=(1——)A(1——)=—,

342

甲两场只胜一场：P(飞=3)=1人(~1)+1人(1=b=£

344312

甲两场皆胜：「(飞=6)=-\-=—

3412

:飞的分布列为

036

飞

P251

21212

E飞=04+3亡+6人」.Z

212124