2023-2024学年河北省沧州市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省沧州市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知=(3,α+bM-26)(α,6∈R)是直线/的方向向量，〃=(-1,2,1)是平面α的法

向量，若/〃。，则()

A.67=1B.b=1C.ɑ+/?=1D.a—b=1

2.已知数列｛α,,｝是等差数列，S,,是其前〃项和，2=3，=39,则SlO=O

A.160B.170C.180D.190

3.抛物线V=4χ的焦点为尸，点P(非原点)在抛物线上，且横坐标是纵坐标的0倍，

则附二O

A.4√2B.8C.9D.8√2

4.若4为圆G：/+V=1上的动点，8为圆。2+(y+盯=4上的动点，则|/同

的最大值是O

A.5B.6C.7D.8

,、32___________]

5.在公比不为1的等比数列｛为｝中,对任意〃∈N*，ʒ----------<

2%+l+an+22a“+2+°”+3

成等差数列，q=1,则数列｛4｝的前〃项和S,,=()

313f1ʌClC2

1D.3-------

22"2(3,')2,,^'3,,^l

2V24

6.双曲线x二-匕=1上任意一点到两条渐近线的距离之积为一,则双曲线的离心率e=()

a223

A.如B.逅C.夜

D.√3

22

7.直线/：x=《y-4)与曲线C：(|x|—iy+&-l)2=2交于48两点，若|/却=2,则

f的值有O

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.在长方体/8。。一43£。|中，AB=AD=IAAy=A,则平面截长方体的外接

球所得截面圆的面积为O

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数列｛q｝的前〃项和S'=3"-1,则下列结论正确的是（）

A.%=2B.数列｛α,,｝是等比数列且公比q=3

C.数列｛log./,,｝是等差数列D.数列｛bg3S,,｝是等差数列

10.在正四面体Z8C。中，E,尸是8C,力。的中点，平面NOE的法向量为5,则下列结论

正确的是O

A.瓦•函+瓦）=0B.EF//BD

C.而是平面Be尸的法向量D.BC//n

22

11.已知凡F分别为椭圆C:二+匕=1的左、右焦点，48是椭圆C上关于原点对称

42

的两点，且已知48是桶圆的顶点，过点/作ZE_LX轴，垂足为E,直线BE与椭圆C

的另一个交点为P，则O

A.四边形/五BF的周长为16B.亩+血的最小值为:（3+2五）

C.△力面积的最大值为近D.ABIAP

12.圆锥曲线的“外准圆”也叫“蒙日圆”，它是由法国数学家加斯帕尔•蒙日发现的.它

说的是：圆锥曲线上任意两条互相垂直的切线的交点在同一个圆上，这个圆就叫外准圆.其

中圆锥曲线的中心就是外准圆的圆心，而直线在高等数学中也称为半径为无穷大的圆.双曲

线E=I只有当α>b>0时才有外准圆，则下列结论正确的是O

a2b2

A.面积为S的圆的外准圆的面积是JiS

丫2V2

B.椭圆♦+*=l（4>b>0）的外准圆方程为/+「=/+/

,1

C.抛物线χ2=2"的外准圆是y=-万?

D.双曲线0―S=l(4>b>O)的外准圆方程为/+/=/一〃

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.焦点在X轴上的椭圆1+匕=1的长轴长为4√J,则其焦距为

14.已知Z(0,3),圆C的圆心为C(4,0),过点力到圆C的切线长是半径的2倍，则圆C

截直线y=x-3所得的弦长为.

o

15.在所有棱长均相等的斜三棱柱∕8C-44G,ZAtAB=ZAxAC=GO,M是的

中点，则异面直线与片。所成角的余弦值为.

C

16.在等差数列｛%｝中，α+α=0,%=-2,S”为数列｛∣/∣｝的前〃项和，T“=一,

6sn

则北的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分IO分)

已知aONB的顶点O(0,0),Ol边上的中线所在直线方程为x=2,08边上的高线为

X-y=3.

(1)求点A坐标；

(2)求40/3的外接圆方程.

18.(本小题满分12分)

已知等差数列｛αj满足3α,用—q=4(/7+1).

(1)求数列｛g｝的通项公式；

11

(2)设6“=,证明：I+b2τ----1-6<—.

4%2

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C:0+今=l(q>b>0)过点且离心率为，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线丁=%+加与曲线C交于M,N两点，。为原点，求aOΛ∕N面积的最大值.

20.(本小题满分12分)

已知数列｛α,,｝满足an+λ-all=2×3",4=3.

(1)证明：数列｛%｝是等比数列；

(2)求数列｛nan｝的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—4SC。中，△力尸。是正三角形，四边形Z8C。是梯形，AB//CD,

ADLAB^AB=AD=2,CD=3,E是/。的中点，PBVBC.

AB

(1)证明：尸E，平面/8C。；

(2)求平面/PB与平面P8C的夹角的余弦值.

22.(本小题满分12分)

已知圆M:(X+3)2+V=16,N(3,0),过点N的直线/与圆M交于/,B两点,过点N

作MA的平行线交直线MB于点P.

(1)求点尸的轨迹E的方程；

(2)若直线NP(不与X轴垂直)与轨迹E交于另一点°,。关于X轴的对称点为“，求证：

直线PH过定点.

数学答案

1.A解析：由已知而不=0，.∙.-3+2(α+b)+(α-2b)=0,解得α=l,故选A.

［命题意图］考查直线的方向向量、平面的法向量的定义以及用向量研究直线与平面的平行

垂直问题，数学素养方面主要考查数学运算与知识的迁移.

2.B解析：91=%］-勺=36,d=4,an-a2+4(n-2)=4∕ι-5,又α∣=-1,=35,

C10(a,+a,,),,工

ΛS=—~~^1=I70,故选B.

102

［命题意图］考查等差数列及其前〃项和的运算，数学素养方面主要考查基本技能与基本方

法.

3.C解析：由已知X=,代入「=4x中，得y=4λ∕∑,x=8,Λ∣PF∣=x+∙y=9,

故选C.

［命题意图］考查抛物线的定义与性质的灵活应用，数学思想方法主要考查方程思想.

4.D解析：圆Gd+y2=ι的圆心为G(0,0),半径为6=1；圆

G:(X—3P+Q+4『=4的圆心为G(3,-4)，半径为e=2,.∙.CG卜5.又N为圆G

上的动点，8为圆C2上的动点，；•的最大值是IGGl+6+G=5+1+2=8,故选D.

［命题意图］考查直线与圆的位置关系，数学素养方面考查动静转化和方程思想.

431

5B解析：由已知得----------=---------+-----------即

2a2a+a《“

°n÷.+,l+2,,,,+∖22+4+3

431

-------------F,消去2aιl+aιl+t,解得q=g

q(2q,+0,山2。,+%q2(2α,,+%+∣

1^F3

ST,故选B.

II142

［命题意图］考查等差中项、等比数列的性质与前〃项和的计算与应用，数学素养方面主要

考查综合能力与运算能力.

22

6.B解析：双曲线三r-2r=l(α>0,b>0)上的点P(X°,%)满足/其一/诉=//,

=MXO+%I〉：I"0一叫La2b24

点P到两条渐近线bx+ay^o的距离之积为

^yfa2+b2x4a2+b2-丁—3

Λe2=-,e=显,故选B.

22

［命题意图］考查双曲线的性质中的点在曲线上、渐近线、离心率、点到直线距离公式等知

识，数学素养方面考查灵活变形和数学运算.

7.C解析：曲线(国-1丫+3-1)2=2的图象如下图，直线/恒过点尸(0,4),图中

∖AB∖=∖QC∖=∖MN∖=2,故」的值有3个,故选C.

［命题意图］考查圆及其性质、圆方程的变形、直线过定点等，数学思想方法主要考查数形

结合思想和分类讨论思想.

8.C解析：以48,AD,441所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，则外

接球球心O为体对角线的中点,O(2,2,l),4(0,0,2),5(4,0,0),£>(0,4,0),可求得

平面43。的法向量为而=(1,1,2),丽=(—2,2,1),则点。到平面4乃。的距离

∖rn-Bθ∖瓜

J

d==FT=XI,又长方体外接球半径R=3,设截面圆半径为厂，所以

同3

r^=R2-d2=—,S=TrA=2S',故选C.

33

［命题意图］考查长方体的外接球直径与体对角线的关系、空间向量中点到平面的距离以及

截面圆的问题，数学素养方面考查空间想象能力以及综合能力等.

fl

9.ABC解析：q=R=3-1=2,A正确；当〃≥2时，5,,.1=3^'-l,二

%=S,,-Sj=2x3"T,〃=1也符合，B正确；根据等差数列的定义可知C正确，D不正

确.故选ABC.

［命题意图］考查等比数列的通项公式、前〃项和、等差数列的定义、由前〃项和求通项以

及对数运算等，数学素养方面主要考查分析能力与辩证思维.

10.ACD解析：BClAE,3。，。石，人正确；8显然不正确；：/。_18/，力。，。9，

二∕Z)J.平面BCRC正确；同理Be_L平面/OE,D正确.故选ACD.

［命题意图］考查用向量证明平行与垂直问题，如何判定平面的法向量问题以及向量与普通

方法结合使用的问题，数学思想方法考查数形结合思想和辩证统一思想.

11.BCD解析：对于A,连接Z广，BF',AF,BF,则四边形NES9为平行四边形，；.

∖AF∖-∖-∖BF∖=Mq+M产I=2α=4,.∙.四边形AFBF'的周长为8,A错误；

且仅当6F=√∑∣∕可时，等号成立，B正确；'I,8是椭圆C上关于原点对称的两点,

±2

设直线/8的方程为y=kx(k≠0),得X=

√l+2⅛2

y-kx,

2≤

.∙.AABE的面积S一5年"卜小，—P/一i+2k-XTTbtIO

当且仅当4=±乎时，等号成立，C正确；对于D,设尸(优,〃)，Z(XOJ0)，8(-x0,-K)),

22

〃十九二〃一Jo

直线以的斜率为左",直线尸的斜率为七，则

882

W-X0W+xoW-xθ

22

丫2”2„_v1

又点尸和点4在椭圆C上，—+—1①，至+九=1②，①一②得=-易

4242m2-X12

NPAB=9。。,D正确.故选BCD.

［命题意图］考查椭圆的定义、直线与椭圆位置关系及与基本不等式结合求最值，数学素养

方面主要考查灵活变形和数学运算.

12.BCD解析：对于A,圆的两条互相垂直的切线交点到圆心的距离为及R,外准圆的面

积为2S,A不正确；对于B,过椭圆的长轴与短轴的端点作切线是垂直的，其交点到原点

的距离为JM+/，显然B正确：抛物线f=2勿两条互相垂直的切线交点在准线上，故

C正确；双曲线q-A=l(α>b>0)是关于V轴对称的，.∙.过y轴上一点作双曲线的两

ab"

条互相垂直的切线，其斜率为±1,设切线方程为V=±x+M,代入双曲线方程使△=(),

解得W?=/-/,故D正确.故选BCD.

［命题意图］考查数学文化、新定义的使用、圆锥曲线与圆的关系、直线与曲线的位置关系

中的相切等，数学思想方法主要考查无穷思想、特值思想.

222

13.6解析：由题意得2回=40，所以/=12,c=a-⅛=12-3=9.c=3,故焦

距2c∙=6.

［命题意图］考查椭圆的方程及几何性质，数学素养方面主要考查运算能力和推理能力等.

14.30解析：∖AC∖=5,设半径为R,(2Λ)2+A?=52,解得R=石，圆心到直线V=X-3

的距离〃=手，所以弦长为12JF=F=

［命题意图］考查圆的方程、圆的切线以及直线与圆的位置关系的应用，数学素养方面主要

考查综合能力与运算能力.

15.迈解析：如图，设棱长为2,则8M=√J,不难发现四边形BCG片是矩形，.∙.

6

5c=2√2

lBMBiC=

++BC)=BABJB+AMBjB+^BA-BC+AMBC2×2×—F1×2×(—l)+2χ2χ—1-

2v72

0=2.：.CGS(BM,B∖C∖=—-r=-.

∖''2√2×√36

B

［命题意图］考查空间向量的数量积、模、夹角以及立体几何中的垂直问题，数学素养方面

主要考查数形结合思想、运算思想、抽象推理等.

24ct,+5d+a,+Id=0,a.=-6,

16.——解析：由已知得《=><.*.a=π-l.当1≤〃≤7时,

94+4d=-~2n

当〃≥8时

n(n-l3]

S=一(++■,,+%)++■，,+%=42+△-------当1≤“≤7时，

n2

〃

S.J3—当〃=7时，(]).=上二-=3.当〃28时，7；,=-+--—,设

n2v,,7m,n2n22

/（χ）=^+∣-^.∙.∙/（x）在（0,痘）上单调递减，（病,+8）上单调递增.又

,—4291324

9<>/84<10'当"28时,只需比较《和I。,Tg=――+ɪ-ɪ=）

42+10_13=27V3>27>24>=24

10102210109v7mιn9

［命题意图］考查数列的绝对值求和及单调性比较大小，数学素养方面主要考查逻辑推理、

数学运算.

17.解：（1）设4（。,6）,则。!的中点仁身在直线x=2上，."=4∙（2分）

点4在直线工一歹二3上，故。一6=3,6=1.・••点4的坐标为（4,1）.（5分）

（2）由题得直线OB的斜率为—1,方程为V=-X,则8（2,-2）,（7分）

N=0,

设圆的方程为χ2+y2+or+sy+77=o,代入O,4B三点得<2。-2£+尸+8=0,

4D+E+F+∖1=0,

211

解得。=—Μ，E=一,F=O,

711

.♦.△048的外接圆方程为/+/一MX-My=O.（io分）

［命题意图］考查直线方程的点斜式、高线及中线的定义，综合坐标关系求解点的坐标及外

接圆方程，数学素养方面主要考查知识的迁移.

18.解：⑴设数列｛%,｝的公差为d,%=%+（〃T）d,an+l=al+nd,

则3。〃+1-％=2nd+2ay+d=4〃+4,（3分）

，2d=4,2q+d=4,解得al=1,d=2,

数列｛为｝的通项公式为4=2〃-1.（6分）

]=ɪr_i______7

(2)(2/7-1)(2/?+1)^2{2n-Γ2/7+1)'*分)

LLLlLIIII1"∣If111八

/.b,+⅛,+∙∙∙+b=-1——+------+•--+-----------------=-1-1----------<—.（12分）

n"2（3352«-12n+l）2（2n+l）2

［命题意图］考查等差数列通项公式的灵活应用以及裂项相消等知识，数学思想方法主要考

查方程思想、恒等思想、化归思想等.

19.解：（1）由已知?+-V=I,且£=9_3=1一1=2,（2分）

222

a'b-aaa3

；・/=9'Z?2=3»

22

...椭圆C的标准方程为土+匕=L（4分）

93

（2）设Λ∕（x∣,凹），N（X2，8），将V=x+m代入曲线C中，整理得

4X2+6mx+3m2-9=0，

其中△=36/772—4x4x（3〃/一9）=—12τw2+144>0,即加2<12,

・,_ɜ3布一9ʌʌ

..X1+X2=—ɪ/27,X1X2=--------'（6分）

22-2（分）

∙*∙∖MN∖=^1+Zr）^（x1+x2）4X1X2j=Xy∣↑2-m>8

点。到直线MN的距离Q=号,

x2

二k0,w.v=∣∣≡μ=4J（12_也/<与×12<+m=乎,（10分）

当且仅当12—〃∕=W2,即加=±、同时，等号成立.（11分）

.♦.△OMN面积的最大值为上叵.（12分）

2

［命题意图］考查椭圆方程、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式求最值等，数学

思想方法主要考查特值思想和转化思想等.

n2l

20.解：（1）由已知得见—4_］=2x3"Ian_1—an_2=2×3f∙∙∙,a1-aλ=2×3,

∙^∙（aB一61）+（%-1一。"-2）+…+（%一卬）=2（3'+32+…+3"T）,（2分）

3（l-3n^'）

∙,∙an=3+2（3l+32+∙∙∙+3n^'）=3+2×3”，（4分）

1-3

∙.∙%L=3,.∙.数列｛《,｝是首项为3,公比为3的等比数列.（6分）

2n

(2)Tιι=l×3'+2×3+∙∙∙+π×3,

37；,=l×32+2×33+∙∙∙+rt×3n+',

：•-2T“=3'+32+-∙∙+3π-n×3,,+'=■ʌ-ɜ'-n×3,,+'=∣(3),-1)-w×3π+1>(1。分)

艮叱"I)了+3.⑴分)

［命题意图］考查累加法求通项以及等比数列求和、等比数列的定义、错位相减求和等，数

学思想方法主要考查运算思想和迭代思想.

21.解：(1)由已知BE=下,CE=M，5C=√5.ʌCE2=BE2+BC2，BClBE,

(2分)

又PB工BC,PBnBE=B,PB,BEU平面P8E,；.BC，平面P8E,BCVPE.(4

分)

「△刃。是正三角形，AE=DE,：.P