2023-2024学年山西大学附中高一（上）第一次模块诊断数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西大学附中高一（上）第一次模块诊断数学试卷（10

月份）

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={x|-1<x<1},B={-1,0,2},则4nB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,1}D.{0}

a

2.命题3x0>0,以一5xo+6>0”的否定是（）

A.Vx<0,x2-5x+6<0B.Vx>0,x2—5x+6<0

C.3x0<R,XQ-5x0+6<0D.3x0>0,XQ-5x0+6<0

3.设M=2矶a-2）+7,N=（a-2）（a-3）,则M与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

4.设全集（7=7*,集合4={2,3,469},集合B={处久>4,xCN*},则图

中阴影部分所表示的集合是（）

A.{6,9}

B.{2,3}

C.{2,3,4}

D.{x|2<x<4}

5.荀子曰：“故不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中

的“积度步”是“至千里”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.已知a>b>c>0,则（）

A.2a<b+cB.a（b—c）>b（a—c）

r11D.（a-c）3>fb-

7.已知关于x的一元二次不等式/一（a+l）x+a<。的解中有且仅有“4个正整数，贝M的取值范围是（）

A.-3WaV—2B.-3<aW—2C.4VQ45D.4Ma<5

1A

8.已知汽>0,y>0且：+三=1,若x+y>血2+86恒成立，则实数m的取值范围是（）

xy

A.{m\m>B.{m\m<-3}

C.{m\m>1}D.{m\—9<m<1}

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知集合4={-1,2,3},B={x|-1<x<3},则下列结论错误的是()

A.=AB.4UB=BC.3cgBD.An(CRB)=0

10.在下列命题中，真命题有()

2

A.3x6/?,%2+x+3=0B.VxeQ,1x4-jx+1是有理数

C.3x,yGZ,使3x—2y=10D.VxGR,x3-x2+1<0

11.若（1+6=1（。>0*>0）,则下列结论正确的是（）

AS的最小值闿Bd+拄的最小值闿

C.\T~a+V"方的最大值为D.J：彳的最小值为:

a+2b2a+b3

12.已知不等式％2+QX+b>0（a>0）的解集是{x|xWd},则下列四个结论中正确的是（）

A.a2—4b

B.a2+^>4

b

C.若不等式#2+QX_b<o的解集为则％1%2>0

D.若不等式/+Q%+b<c的解集为（%i，%2），且|%i-不1=4，则c=4

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.设集合4={0,一研，B=[l,a-2t2a-2}f若力U8,则。=.

14.已知一1Wa+bW1,-1<a-b<1,求2a+3b的取值范围____.

15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单

位：似的变化关系为c=*，则经过八后池水中药品的浓度达到最大.

16.若不等式X2”X+2：<o对一切％GR都成立，则实数小的取值范围是.

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

已知集合4={x\x2—4x—12<0},B={x\a-1<x<3a+2}.

（1）当a=l时，求4U8,an（CRB）；

（2）若ZnB=8,求实数a的取值范围.

18.(本小题12.0分)

(1)已知10<x<^,求y=-2%)的最大值;

(2)已知％<3,求y=+2x的最大值.

19.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式c/+x+b<0的解集为{x|—1<x<g},关于x的不等式b/+x+c>0的解集为M,

关于x的不等式合+%<(^-a的解集为N,且满足MU(CRN)=R.

(1)求集合M;

(2)求实数a的取值范围.

20.(本小题12.0分)

如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为187n.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.

(1)若每个长方形区域的面积为24nl2,要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是

多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)若每个长方形区域的长为》n(x>2),宽为长的一半,每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10

元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】W："A=(x[-1<x<1),B={-1,0,2),

/IClB={x|-1<x<1}Cl{-1,0,2}={-1,0}.

故选：A.

直接利用交集运算的概念得答案.

本题考查交集及其运算，是基础题.

2.【答案】B

2

【解析】解：因为三沏>0,诏-5x0+6>0,所以其否定为以>0,x-5x+6<0.

故选：B.

由特称命题的否定的定义即可得出结果.

本题考查命题的否定，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：<M—N=2a(a-2)+7-(a-2)(a-3)

——2a之—4a+7-(a?—5a+6)

=a2+a+1

23

=++->o

(a4

M>N

故选：A.

作差化简M-N=a?+a+1,从而比较大小.

本题考查了作差法的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：因为全集(/='*,所以QB={x|xW4,xeN*}={l,2,3,4},

所以图中阴影部分表示An(CuB)={2,3,4}.

故选：C.

根据Nenn图表示的集合计算.

本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由已知设“积蹉步”为命题P,“至千里”为命题q,

“故不积珪步，无以至千里”，即''若「P,则「q”,

其逆否命题为“若q则P”，

反之不成立，

所以命题P是命题q的必要不充分条件，

故选：C.

根据充要条件的定义即可判断.

本题考查了充要条件的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：对于选项4

a>b>c>0,■■a+a>b+c,即2a>b+c,

故错误；

对于选项B,

当a=3,b=2,c=l时，a(b—c)<b(a—c),

故错误；

对于选项C,

■■■a>b>c>0,■■a—c>b—c>0,

a-cb—c

故错误；

对于选项D,

a>b>c>0,■,-a—c>b—c>0,

(a-c)3>(b—c)3，

故正确：

故选：D.

结合不等式的性质，可判断选项A,C,D；取a=3,b=2,c=l,可判断选项注

本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由/-(a+l)x+a<0,得(x—a)(x—1)W0,

因为关于x的一元二次不等式/一(a+l)x+aS0的解集中有且仅有4个正整数，

所以a>1,不等式的解为且4Wa<5,

故选：D.

先求解不等式，根据解集中正整数的个数确定a的取值范围.

本题考查了一元二次不等式的求解，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为x>0,、>0且：1+三4=1,

xy

所以x+y=(x+y)©+；)=5+?+与25+4=9,当且”?且;+；=1即x=3,y=6时取等号，

4yyj\ry人y

若K+y>m2+87n恒成立，贝ij9>m2+8m,

解得-9<m<1.

故选：D.

由已知不等式恒成立转化为求x+y的最小值，利用乘1法结合基本不等式可求.

本题主要考查了不等式的恒成立与最值关系的相互转化，乘1法在基本不等式应用条件配凑中的应用，属于

中档题.

9.【答案】ABCD

【解析】解：由4={-1,2,3},B={x|-1<x<3},

得4nB={-1,2}中A,A选项错误；

4u8={x|-lSxS3}彳B,B选项错误；

CRB={x<-1或x23},3€CRB,元素与集合间的关系为属于与不属于关系，无包含关系，C选项错误;

An(CRF)={3},故。错误.

故选：ABCD.

根据集合间的计算结果，及元素与集合的关系分别判断各选项.

本题主要考查集合的包含关系，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：由于％2+X+3=(X+}2+?>O,故A错误；

由于%为有理数，所以+1也为有理数，故3正确；

当久=70,y=lOOH't,3x-2y=10,故选项C正确；

当久=1时，x3-x2+1>0,故。错误.

故选：BC.

直接利用关系式的变换判定A和B,利用赋值法的应用判定C和。的正误.

本题考查的知识要点：关系式的变换，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及

思维能力，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由正实数a,b满足a+b=l,则附±(竽)2=：,当且仅当a=b=:时，等号成立，所以ab的

v2y42

最大值为右故A选项错误；

2

由a?+b2=(a+b)2-2ab>(a+fe)2-2x(2i^)2=%")=：，

当且仅当a=b=:时，等号成立，所以。2+及的最小值为全故B选项正确.

由(产+O=a+b+2y/~ab<2(a+b)=2，则广+y/~b<<2.

当且仅当a=b=3时，等号成立，所以，q+C的最大值为，故C选项正确；

由--\\=r(3a+3b)(,+、：八7)—JL[V(a+2b)+(2a+b)](J(2+2：；；+:>

a+2b2a+b3、八a+2b2a+b3'、，」'a+2b2a+配3、a+2b2a+〃

1ciQIa+2b2a+b、_4

3(2+2J两.通)=5，

当且仅当a=b=:时，等号成立，所以的最小值为£故。选项正确.

2a+2b2a+b3

故选：BCD.

对于4,利用基本不等式分析判断，对于B,由于a2+b2=(a+b)2-2ab,再结合基本不等式分析判断，

对于C,对，W+C平方后利用基本不等式分析判断，对于D,由』+』=J(3a+3b)(—x+』)=

7

Q+2b2a+o3、八a+2b2a+b

[[(a+2b)+(2a+匕)](。]2b+五g)化简后利用基本不等式判断.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,不等式/+Q%+b>0(a>0)的解集是{x|xHd},即方程%2+Q%+b=0有两个相等的根％=d,

必有4=a2—4h=0,即彦=4b,A正确；

对于B,由4的结论，a2=4b,则a?+今=M+白2%当且仅当M=2时等号成立，3正确；

对于C,若不等式/+Q%一力v0的解集为(%i，%2)，即方程/+ax-b=0的两个根为与、血，则有%1久2=

—b=—-7~<0»。错误；

4

对于D,若不等式%2+Q%+bVc的解集为。1，%2)，即方程+QX+b=C的两个根为%1、%2,

-2x222

若l%ix2\-4,则有(%i—x2)=(%]+2)—4X1X2=a—4(b—c)=a—4b+4c=16,解可得c=4,

D正确：

故选：ABD.

根据题意，依次分析选项，综合可得答案.

本题考查命题真假的判断，涉及一元二次方程与一元二次不等式的综合应用，属于基础题.

13.【答案】1

【解析】解：因为4UB,

若a—2=0,解得a=2,此时4={0,—2},B=[1,0,2],不符合题意；

若2a—2=0,解得a=1,此时4={0,-1},B=[1,—1,0},符合题意；

综上所述：a=l.

故答案为：L

根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

本题考查利用集合之间的包含关系求参数，属于基础题.

14.【答案】[一3,3]

【解析】解：设2a+3b=4(a+b)+〃(a-b),

则的:;，

解得'=2J

故2a+3b=5(Q+b)——(a—b)f

由一1<a4-b<1,

故一|w|(a+b)s|,

由一14Q—b41,

故_"<-6)<I，

所以2a+3be[—3,3].

故答案为：[-3,3].

利用待定系数法设2。+36=；19+匕)+4(£1-8),得到方程组，解出入n，再根据不等式基本性质即可得

到答案.

本题考查了不等式的性质，属中档题.

15.【答案】2

„20t20_20_

【解析】解：。=/与=记三示|=5,当且仅当t=2时取等号.

因此经过2人后池水中药品的浓度达到最大.

故答案为：2.

利用基本不等式的性质即可得出.

本题考查了基本不等式的性质，属于基础题.

16.【答案】(一4,0]

【解析】解：X2—8%+20=(x—4)2+4>4>0.

mx2—mx-1<0>

当m=0时，mx2—mx—1=—1<0,不等式成立；

设、=771/-77^-1,当0时函数y为二次函数，y要恒小于0,抛物线开口向下且与x轴没有交点，即

要m<0且d<0,

得到：综上得到-4<m<0,

故答案为：(一4,0].

由分子恒大于0,得到分母恒小于0

mx2-mx-l=<0,当m=0时，不等式显然成立；当m片0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值

范围.两者取并集即可得到m的取值范围

17.【答案】解：(1)解不等式/一4x-12W0,得一2<x<6,即4={x|-2<x<6].

当a=1时，B={x|0<x<5},所以AUB={x|-2<x<6},

又CRB={x\x<0或x>5},所以4n(CRB)={x|-2<%<0或5<x<6).

(2)由(1)知，A={x\-2<x<6],由408=8,得BU4.

当a—IN3a+2,即aW—g时，B=0,满足BUA»因此a<一?；

当a—l<3a+2,即Q>-]时，B手

则2，解得一1<a<^,因此—1<a<

13a+2<633

则a<—|或—1<a<p所以实数a的取值范围(—8,—aU[―1,勺.

【解析】(1)当a=1时，求出集合B,并求出集合4利用并集的定义可求出集合4UB,利用补集和交集的

定义可求出集合ZCKCRB)；

(2)分析可知Bc4分B=0、B手。两种情况讨论，根据Bc4列出关于实数a的不等式(组)，综合可得出

实数a的取值范围.

本题考查集合的运算，由集合之间的关系确定参数的范围，属于基础题.

18.【答案】解：⑴由0<x<g,得1一2%>0,

则由基本不等式得'=；X2》(1一2%4(出产)2=2，当且仅当2x=l—2x,即x=时取等号,

所以当x=：时,y=1x(l-2x)取得最大值，.

(2)由x<3,得3-X>0,£>0,由基本不等式得2(3-x)+白12J2(3-％)•£=44，

当且仅当2(3-乃=c，即％=3-门时取等号，

故y=++2x=—[£+2(3-x)]+6<6-

所以当x=3-C时，、=提+2芯取得最大值6-4。.

【解析】(1)(2)利用配凑法，结合均值不等式求解即可.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为不等式。2+%+匕<0的解集为｛x|-l<x<：｝,

所以一1和3是方程cx2+x+b=0的解，且c>0,

-1+1=--

由根与系数的关系知,2c解得c=2^b=—1.

/«、1b'

(-1)X2=c

所以不等式b/+%+。>0可化为—/+%+2>0,解得—1<x<2,

所以该不等式的解集为M