2022-2023学年辽宁省本溪六校高二年级下册6月联考数学试卷【含答案】

2022—2023(下)六校高二6月联合考试

数学试题

考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|X2-2X<0},集合B={y|y=\[2~x]，则AUB=()

A.(0,+oo)B.[0,2)C.(-oo,2]D.[0,+oo)

2.下列各命题的否定为真命题的是()

A.VxeR,—NOB.3x仁R,2'>x~

4

C.3xGR,(-)X>logxD.VxG[0,-],sinx<x

t322

3.“x>2”是“2<i”的()

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要分件

4.已知函数f(x)=a'(a>0且awl),若f(-3)<f(4),则不等式f(x?-2x)4f(3)的

解集为()

A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-00,-1)U(3,+oo)D.[-1,0)U(0,2)U(2,3]

5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学

家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图

形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上,

点C在直径Z8上，且设/C=a,BC=h,则该图形可以完成

的无字证明为()

A.“>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab(a>0,b>0)

a+bla2+h",

C.>0,b>0)Dn.——<J---(a>0,6>0)

a+b

6.设a=logo_2。.3,b=log2().3,则()

A.aB.abC.aD.abB.abC.aD.abC.a+b<O<abD.ab<O<a+b

7.已知定义在R上的偶函数f(x)的图像是连续的，〃x+6)+〃x)=/(3),在

区间卜6,0]上是增函数，则下列结论正确的是()

A./(x)的一个周期为6

B./(x)在区间[12,18]上单调递增

C./(X)的图像关于直线x=12对称

D.〃x)在区间[-2022,2022]上共有100个零点

8.已知数列｛”“｝的各项均为正数，记数列｛%｝的前〃项和S,,且满足

则下列说法正确的是()

入,c111广

A.q=2B.%021.。2。22<1C.S“=nD.—+—+-.+—

a\a2an

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项

中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分

选对得2分。

4

9.已知函数f(x)=^^,则()

|x|-2

A.f(x)的定义域为｛X|XY±B.fB.f(x)的图像关于x=2对称

C.fD.f-5)=-6D.f(x)的值域是(-oo,-2)U(0,+oo)

10.已知f(x)是定义在R上的连续偶函数，g(x)是定义在R上的连续奇函数，且

f(x),g(x)在(-oo,0］单调递减，则()

A.fB.fl)<f(f(2)B.f(g(l)<f(g(2)

C.gC.gD.gl)<g(f(2)D.g(g(l)<g(g(2)

11.已知数列｛a“｝的前n项和为Sn,则下列说法正确的是()

A.若Sn=a”,贝haj是等差数列

B.若a尸2,an.1=2a,,+3,贝U｛a0+3｝是等比数歹ij

C.若｛a„｝是等差数列，则S„,S2-Sn,Ssn-S2n成等差数列

D.若｛aj是等比数列，则S„,S2n-Sn(S3“-S2n成等比数列

12.下列不等关系中成立的有()

A.7t>nsin"(nGN*)B.log、,,2>log?/3

D.e<eln3D.e>ln9

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分。

13.已知函数f(x)=lnx+-x2,则曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为

2

14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个

数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年

幼时，对1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基

于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算

法，现有函数〃x)=至7,设数列｛。,,｝满足

2+V2

a

n=/(°)+/(■卜…[cN*),,则an=.

15.已知m+4n=l,n>0,则J1I皿1的最小值为

n

2

16.若存在实数a,b(0<b<2),使得关于x的不等式3/4ax+bW2x2+2对x£(0,+oo)

恒成立，则b的最大值为

四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.(本题满分10分)

如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D,已知射线

AB,AC为湿地两边夹角为:的两条公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB,AC

上分别设立游客接送点E,F,且AE=AF=2■千米。若要求观景台D与两接送点所

成角NEDF与NBAC互补，且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E,F

之间建造两条观光线路DE和DF,求观光线路之和最长是多少千米，此时DA为

多少千米？

18.(本题满分12分)

已知定义在R上的两个函数f(x)和

g(x),f(X)为偶函数，g(x)为奇函数

且f(x)-g(x)=±

e

⑴求函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)若f(2x)>ag(x)-l对xG(ln3,+oo)恒成立,求实数a的取值范围.

19.(本题满分12分)

记数列｛a„｝的前n项和为T„,且a产1,an=Tn.1(n>2),

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵设m为整数，且对任意nGN*,求m的最小值.

a1也

20.(本题满分12分)

已知函数〃x)=gx2-alnx-；(aeR,"0).

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵若对任意的xe[l，+°°),都有/(x"0成立，求。的取值范围.

21.(本题满分12分)

已知数列｛&｝的各项均为正数，其前n项和S”满足一-工，nWN*.

S„+lanantl

(1)证明：数列｛aj是等比数列；

⑵若a产2,求数列｛上一｝的前n项和Tn.

S„,Sntl

22.(本题满分12分)

已知定义域均为R的两个函数g(x)=e',/z(x)=(x-a)3.

(1)若函数/(x)=g(x)〃(x),且〃x)在x=-l处的切线与*轴平行，求。的值；

⑵若函数皿对=也曰，讨论函数机(x)的单调性和极值；

X

⑶设6是两个不相等的正数，且a+lnb=b+lna,证明:a+b+ln(ab)>2.

高二数学6月联考试题参考答案

一、单选题

12345678

DDABD13CB

二、多选题

9101112

ACBDABCABD

三、填空题

13141516

4x-2y-3=0n+132+刊

an=-T

2

四、解答题

17.解：在ADEF中，由余弦定理得EF=DE2+DF-2DE•DF•cosZEDF,

即DE2+DF2+ED•DF=12,...3分

即(DE+DF)-DE-DF=12,

因为DE・DF—(DE+DF)2,...6分

4

所以DE+DF«4,当且仅当DE=DF=2时取等,……8分

此时NAED=90",所以AD=4千米...10分

18.解:(l)：f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

:.f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=ex...3分

.xex+es,、e'-e'x公

..f(x)=---,g(x)='.....6分

乙乙

2x।-2x2x.-2xx_-x

(2)由(1)得f(2x)=J^,由f(2x)>ag(x)T得,

222

根据y=e=e"在R上单调递增，

故y>elr,~e111-3—=-x£(ln3,+8)令ex-ex=t,t>之

333

o

则原不等式等价于t2-at+4>0对te(°,+oo)恒成立……9分

3

a〈t4在tW(-,+oo)上恒成立t+-a<-,

t3t66

即a的取值范围是(-8,生］……12分

6

2

19.解：由题设可知a2=ai=l,当n»2时，antl=T„-1+a,=2a„,故a„=2"

a.=错误!……5分

(2)设Sn=^+…匚,则S|=l,当n22时S=l+2•2。+…+n•27

aia2di

Hn

故“n」+2•2'+...+n•2.

22

-S=-+(2H+22+...+22-")-n-2I-A2-1-2--n•2'-n....10分

2221-2'

4Q

整理可得S=7-(n+2)22-,故S„<7,又S=—>6,所以符合题设条件的

55

m的最小值为7.……12分

20.解：f(x)=x---^^(x>0)

XX

①当。<0时，/'(力=一>0恒成立，函数/(X)的递增区间为(0,+8).……3分

②当。>0时，令r(x)=0,解得或x=-V^.

(0,⑷

X布(后,+00)

/'(x)—0+

单调递减单调递增

所以函数〃x)的递增区间为递减区间为(。，五).……6分

(2)对任意的xe[l,+oo),使〃x)20恒成立，只需对任意的xe[l,+oo),/(x)n,n>0.

①当a"时，〃x)在U,E)上是增函数，所以只需/⑴20,

而/⑴=3-“lnl-g=0,所以"0满足题意；……8分

②当0<〃41时，0<Va<1,/(x)在□，+(»)上是增函数，

所以只需/⑴20,而/⑴=；-alnl-；=O,所以0<a41满足题意；...10分

③当.>1时，6>1,“X)在[1，后]上是减函数，[后+8)上是增函数，

所以只需/(C)“即可而/(6)<八1)=0,从而a>1不满足题意；

综上可知，实数〃的取值范围为(-8,0)U(0,1].……12分

21.(1)证明:因为七U-六…N*,所以‘田事①,……2分

当心时，3「比②，则①一②得一一考：资j因为

所以「乙―4分

整理得：即乎=+，所以数列｛%｝是等比数列;6分

%a“-i

(2)a尸2,0n=2-3"'$=37...8分

辽工J——L_)

10分

nn+1

Sn•Sntl23-l3-l

111111、1/1111

一(Z———+——...H--------)=—(――----x)=———•----

22883-13"+'-1223n+1-l423"'-1

22.解⑴因为〃x)=g(x)Mx),所以解力=用为-4,

所以/"(x)=e*(x-a)2+e，［2x-2a)-ex(x2-2ax+2x+a2-2a),

又/(x)在X=-1处的切线与x轴平行，

所以/'(—1)=0,

所以。"(1+2〃-2+a2-2a)=0,

所以1+20-2+丁-2。=0,

即/-1=0,

所以。=±1；....2分

⑵因为加(»=如二2

X

所以皿劝=巴的定义域为(-8,o)u(o,同，

M(x)=°fe,令加(切=0,得》=1,

当X变化时的关系如下表:

X(-8,0)0(0,1)1(l,+8)

M(x)—无意义—0+

m(x)无意义极小值/

所以加⑺在(-8,0),(0,1)上单调递减；在(1,+8)上单调递增.

所以加(X)的极小值为皿1)=1=1,为极大值；...4分

⑶证明：要证a+"ln(")>2,

只需证(。+1时)+(6+1>10)>2,根据a+lnb=b+lna,

只需证6+lna>l,又“，6是两个不相等的正数，不妨设a<b,

由。+Inb=6+\na得。一Ina=b-\nb,

两边取指数，e"'=ei'化简得：-=^,

ab

令p(%)=J,所以p(a)=p(b),....6分

P(x)==e-x),

x

根据⑵得机⑺在（-8,0）,（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增（如图所示）,

由于相⑺在（。，1）上单调递