2023-2024学年浙江省杭州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.设复数z满足z-(l+2i)=5,则z的虚部是()

A.2B.2iC.-2D.-2i

【正确答案】C

【分析】根据复数的除法运算求解.

,、55(1-2i),<

【详解】因为z.(l+2i)=5,所以z=^=(]+；)(]'=『”，

所以z的虚部是-2,

故选:C.

2.数列｛q｝满足％=1,勺=卫1(〃22),则为的值为()

an-\+1

1111

A.3-B.-45-D.6-

【正确答案】c

【分析】根据递推公式逐项计算可得出的值.

—W1a,1a,1a.1

【详解】由题意可得，=----=T,。3=—"7=7，4=-----«5=-----------；=-.

故选：C.

3.设x、yeR,向量a=(x,l,l),S=(l,y,l),c=(3,-6,3)-S-a1c-bile>则卜+闸=()

A.20B.2百C.4D.3

【正确答案】D

【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x、N的值，求出向量£+分的坐标，利用

空间向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为a_Lc,则a-c=3x-6+3=0，解得x=l,则“=(1,1,1),

因为物不，则!=｛，解得片-2,即5=(1,-2,1),

3—6

所以，£+3=(2,-1,2),因此,R++14+1+4=3.

故选：D.

4.对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000

台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为

［5,10）,［10,15）,［15,20）,［20,25）,［25,30］这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方

图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在［5,15）内的车辆台数为（）

I频率/组距

0.08

o25

.OS02

o15

.O

______L.

51015202530销售价格/万元

A.175B.375C.75D.550

【正确答案】B

【分析】根据频率分布直方图中各组频率和为1可求出。，从而可求出销售价格在［5,15）内

的频率，进而可求出销售价格在［5,15）内的车辆台数.

【详解】由频率分布直方图知，0.015x5+0.02x5+0.025x5+ax5+0.08x5=l,

所以a=0.06,

所以销售价格在［5,15）内的频率为（0.06+0.015）x5=0.375,

故销售价格在［5,15）内的车辆台数为0.375x1000=375.

故选：B

sin(a+rt)+cos(7t-a)

5.已知tana=—,则(兀、.(3兀、()

2cosla--l+sinlI

A.—B.—C.一3D.3

33

【正确答案】D

【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.

【详解】tana=—,cosaw0,

2

aI]

sin(a+7t)+cos(7t-a)_-sina-cosa_tana+1_2+l

(兀、.(3?t)sina-cosa1-tana,1

cosa——+sin----a

I2j[2)2

故选：D.

6.已知直线/：x+y+f=0,曲线C：y=J4-X2，贝丁，与C相切”是0=-20”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】首先得到曲线C所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时.，的值,

再将f代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.

【详解】对曲线C,两边同平方得/=4--,即》2+/=4,其中yzo,

其表示的图形是以（0,0）为圆心，半径为r=2的圆的上半部分，包括x轴上的点,

kl/=20或-2立，

当直线/与曲线C相切时，则有双=2,

显然由图形知f<0,则/=-2/，故充分性成立,

若/=-2/，则直线/的方程为x+j，-2五=0,此时圆心到直线的距离［=巴！1=2="，故

41

此时直线与C相切，故必要性成立.

则“/与C相切”是>=—20”的充分必要条件.

7.如图，在正三棱柱N8C-4AG中，44=3,AB=2,则异面直线48与8c所成角的

余弦值为（）

4G

A

7553

A.—C.D.

13l377

【正确答案】A

【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于48,然后构造三角形，运用异面直线夹角的定

义求解即可.

【详解】取4G的中点连接8G交8。于点E,连接。E,

则DE//&B且。£=348,则4史4为异面直线/田与与C所成的角或其补角.

易求48=耳。=旧，B\D=G则。E=耳石=巫，

DE2+BE2-BD2

所以cosZ.DEB={X

[2DEB、E

故选：A.

8.已知/-1,竽）,8卜，-券，尸（x。,％）为椭圆C：?+：=l上不同的三点，直线/：x=2,

直线PN交/于点/，直线PB交/于点N,若以鹤=$“八，则x°=（）

55L

A.0B.-C.-D.V3

43

【正确答案】B

（分析］根据三角形面积公式及24PB=ZMPN或ZAPB+4MPN=兀得

归/尸明=归训夕初|,再应用相交弦长公式列方程，即可求「.

【详解】由&“=S-则esin乙“分|尸H|P8|=]SinN"PN-|PN||PM，

由图知：当P位置变化时,NAPB=ZMPN或NAPB+ZMPN=n,故sinN4P8=sinNMPN,

所以|刃|尸8|=|尸圳「陷，而直线北、8尸斜率存在且不为0（%#±1）,

故四陷=6后收+1|・日牖•卜-1|,

|叫归闾=河石也-2|.6有榻-2|,

所以忖_"=&）-2）2,即片-l=x；-4%+4或1-x；=片-4%+4,

当x；-l=x；-4x0+4,化简得％=*

当1-x：=x；-4x0+4时，2x；-4x（）+3=0,显然A=16-20<0,无解.

所以x°=j

故选：B.

二、多选题

9.已知,月分别为直线的44方向向量（44不重合），晨跑分别为平面内夕的法向量（a,/?

不重合），则下列说法中，正确的是（）

A.v,//v2<=>/t±/2B.v,±v2<=>/,±/2

C.〃/也。a1。D.±«2a±/?

【正确答案】BD

【分析】利用直线的方向向量与平面法向量的含义逐一分析判断即可.

【详解】解：因为I，E分别为直线4，4的方向向量（4，，2不重合），

则7//EO/J4,故选项A错误;

则v,Iv2«>/j1/2,故选项B正确;

ULU

因为勺，々分别为平面a，£的法向量（a,夕不重合）,

则〃।//%oa//，故选项C错误;

则1/?2<=>a1/?,故选项D正确.

故选：BD.

10.设等差数列｛为｝的前〃项和为'，公差为已知〃4=12,514>0,S15<0,则下列结

论正确的是（）

24」、

A•%<A°B.<d<-3

7

C.S7=84D.设的前〃项和为。，则看>o时，〃的

最大值为27

【正确答案】BC

【分析】由已知求得％<0,%>0,解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求

和公式及其性质逐个选项判断正误即可.

【详解】VSt4>0,S15<0,14（4+/）=7（%+&）>0,二（。广忆⑸/。,

・・・%+%>0，4<°，，。7>。，A选项错误;

又・・・4=12,即q=12—3",

%+心=4+3d+4+44=24+7d>0

解得~<d<-3B选项正确;

%=%+4d=12+4d<0f

_7（%+%）

=7%=84,故C选项正确;

2

因为等差数列｛对｝的前”项和为S,,,所以5,=〃4+殁也d，即$=q+一d，

,SSn—\.（n—\—1d

由=L__!!।zL=a,+--d-\a,+^—d\=~,

nn-12I272

二数歹为等差数列，设,

InJn2

因为当“414时，S„>0,当”>15时，S„<0,

所以当〃414时，b„>0,当”>15时，bn<0,

所以&="-27=27%>0,%="^<28=14,+到=14（24+“，

74

因为-亍<d<-3,所以员可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确.

故选：BC.

11.已知圆£：（X+4/+/=病（1<机<9）与圆巴Jx-4）2+/=（10-加）2的一个交点为M,

动点M的轨迹是曲线C,则下列说法正确的是（）

A.曲线。的方程式二十』1=1

10036

B.曲线。的方程式广=1

259

1Q

C.过点耳且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为葭

D.曲线C上的点到直线x+y-6=0的最短距离为30-J万

【正确答案】BCD

【分析】根据椭圆的定义即可判断A,B选项，对C,求出直线x=-4与椭圆的交点，即可得

到弦长，对D,设与直线x+y-6=0平行的直线/:x+y+f=0,fw-6,求出直线/与椭圆

相切时的方程，再利用平行线之间的距离.

【详解】对A,B,由题意知,|阿|=叽此|=10-加,所以|岫|+此|=10>内引=8,

所以点〃的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a=10,2c=8,即a=5,c=4,

22

所以6=3,所以曲线C的方程为故A错误，B正确；

对C,过点耳，且垂直于x轴的直线为x=M,

它与曲线C相交于两点,4,：）14,-2，

所以弦长为2x：9=1S8，故C正确；

对D,设与直线x+y-6=0平行的直线/:x+y+/=O,，w-6,

"+/7

由，259，得34x?+50田+25』-225=0,

*+y+£=0

令/\=（50。2-4*34（25『-225）=0,解得/=±后，此时直线与椭圆相切，

易得，=g，此时切点到直线x+y-6=0的距离距离最短，直线/的方程为

x+y—y/34=0,

此时两平行线的距离为k6+产1=36-V17，

V2

故曲线C上的点到直线x+N-6=0的最短距离为372-717.故D正确.

故选：BCD.

12.如图，在平行四边形中，AB=\,AD=2,ZA=60°,瓦尸分别为"8,/。的中点，

沿EF将折起到的位置（H不在平面上），在折起过程中，下列说法不

正确的是（）

A.若“■是4。的中点，则8M7/平面HEF

B.存在某位置，使8OJ_/'C

7

C.当二面角力-火-8为直二面角时、三棱锥4-8QE外接球的表面积为Q乃

D.直线HC和平面/3C。所成的角的最大值为£TT

6

【正确答案】ABD

【分析】对于A,利用反证法，假设结论成立，再利用面面平行推出线面平行，得到矛盾,

故A错；对于B,同样采用反证法，假设结论成立，利用线线垂直推线面垂直，再结合空

间向量，能得到矛盾，故B错误；对于C,主要根据题目，判断得到该四面体各个面都是直

角三角形，根据外接球性质，即可知道球心位置，从而求解：对于D,利用线面角，可以判

断出当平面平面/8CO时，直线/'C和平面/8C。所成的角的最大，从而求出该角

的正切值，即可求解.

【详解】取£0中点。，连接“。、BQ.若A正确,BM“平面/'EF,且MQ为三角形4FD

中位线，则MQ///N,H尸u面则"。〃面/'尸£,

因为8/CMQ=M,BM,MQu平面MQB,

所以平面/08//平面HEE,

因为面MQ8n平面ABCD=08,面A'FEc平面ABCD=EF,

所以BQ//FE,显然，EF为三角形4BD中位线，EF//BD,矛盾，故假设不成立，A错误;

以/为坐标原点，为y轴正半轴，在平面中作与4。垂直方向为x轴正半轴，z

轴垂直平面/8C。，建立空间坐标系.

因为乙4=60",AE=-,AF=\,所以cosN/=，夕+"一一后尸=j_,

22AE-AF2

所以EF=①,所以4£+£产=/产，所以/ELEF,即4E_LEE,

2

又因为EF//BD,则

若B正确，则有8DJ.HC,因为瓦Z'Cu平面/EC,

所以8。工平面/'EC,

因为ECu平面/EC,则80,EC必定成立.

则根据题意,可得E件,：,()］、8伸,;,o］、C伴怖,o］、£>(0,2,0)丽=，手,1,0

\/\/\7\

EC=——,0,

I44J

则-8-。---石---。-3=-2?7+巴=3,即5OLEC不成立，故矛盾，所以B不成立；

88

当二面角为直二面角时，即平面HEF_L平面EBD.

根据上面可知HE_LEF,所以

又BDLEB,

因为N'EcE8=E,4'E,EBu平面4EB,所以8。2平面HE8,

因为/'8u平面4EB,所以

故四面体彳-8OE为所有面都是直角三角形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为彳。

中点K,即KB为外接球半径.

A，E=EB=g,BD=6由勾股定理可知=巫,则K8=巫，外接

224

7

球面积为4万=­n故C正确.

2

当平面平面45。时，直线HC和平面44C。所成的角的最大，记此时角为氏

由上图可知，在EBC中,NEBC=l2G,EB=g,BC=2,由余弦定理

f->l+22-EC2r—

cos120°=—----------可解得EC=-----.

2rx2cx-12

2

1

此时tan6>=%=-^=字.此时故D错.

ECV21216

F

故选：ABD

三、填空题

13.已知直线3x+2y-3=0和3x+皎+2=0互相平行，则它们之间的距离是.

【正确答案】名叵#*布

1313

【分析】首先利用直线平行求出优，在结合平行线之间的距离公式即可求解.

【详解】当机=0时,，直线为3x+2=0,显然不合题意，则/nwO,

33

因为3x+2y—3=0和3x+叼+2=0互相平行，所以得一一=一一,解得川=2.

2m

则直线3x+〃?y+2=On3x+2y+2=0.

则平行线直接的距离为垠n=率.

y/22+3213

故答案为.生叵

13

14.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，

边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之谖，肉好“若一谓之环”.一般

把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通

高2.5cm,内孔直径径8cm.外孔直径16cm,则该玉璧的体积为.

【正确答案】120兀cm,

【分析】分析出该几何体为大圆柱内部挖去一个小圆柱，根据圆柱体积公式进行求解.

【详解】由题意可得该几何体为大圆柱内部挖去一个小圆柱,

由圆柱体积公式可得：该玉璧的体积为兀（82-4a2.5=120h0?.

故答案为.120兀cm'

15.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S”，牝=5,$5=15,则数列］」一］的前100项和为

【正确答案】—

【详解】试题分析：依题意为=5,S$=15,易求得％="=1,所以勺=〃，从而

的前100项和为loo，则

4%〃(〃+1)n77+1

1100

+…+

100101loi-ToT

等差数列知识以及特殊数列求和的方法之一：拆项相消法.

16.已知点M（l,2）,点尸是双曲线左支上的动点，鸟为其右焦点，N是圆

。:（x+5）2+/=1的动点，则_|PN|的最小值为.

【正确答案】5-26##-25/?+5

【分析】根据双曲线定义有|尸阊-1尸0=6,则到-|g|,1PMs91+|。时，

：.\PM\-\PN\>\PF2\-2q-卬卜1=5-2下,则得到最小值.

【详解】因为双曲线的焦点为g（5.0）,

圆D的圆心。（-5,0）,恰好为双曲线的左焦点，

.-.|P^|-|PD|=6,四段=’”5）2+（2-0）2=275，

•■•|PA/|>|P^|-|A/^|=|P四-2行（当且仅当g三点共线时取等号），

忙叫4|9|+。乂|=归£»|+1（当且仅当。,N,P三点共线时取等号），

:.\PM\-\PN\>叫-2寻物/1=5-2瓦

|PM|-|PN|的最小值为5-2石.

故答案为.5-25/J

四、解答题

17.设等比数列｛4｝的前〃项和为S,,.

(1)若公比4=2,a,,=96,S,,=189,求〃;

(2)若S、：S2=3:2,求公比夕.

【正确答案】(1)6

(2)1或

【分析】(1)根据已知条件列方程，化简求得〃.

(2)根据已知条件列方程，化简求得“

nl

an=a}-2~=96

【详解】(1)依题意

s,=；2=%(2"T)=189

由于％W0,所以两式相除得=—,189-2/,_,=96(2〃

2"-11891)

189-21=192・2”7-96,3-2〃T=96,2〃T=32=25,止1=5,46.

/.、……q+4+%2即=1+g+q2=3

(2)依题导

6+%2%+%q1+q2

2q2-q-\=0,解得g=l或g=_；.

18.已知向量a=(sinx+cosx,2sinx),h=(sinx-cosx,-V3cosx)>记函数f(x)=ah(xeR).

(1)求/(x)的对称轴和单调递增区间；

(2)在锐角/8C中，角4B,C的对边为a,b,c,若/(/)=2,a=,求6+c的取值范

围.

【正确答案】⑴对称轴为x=9+然伏eZ),\-^+k7r,^+kAkeZ)

32L63

⑵(3,2万)

【分析】(1)根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得/(x)=2sin(2x-?J,从而可

求对称轴方程及单调递增区间;

(2)先求得力=?,再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得

6+c=27isin8+971,根据三角函数可求得范围.

6

【详解】(1)由题意/(x)=(sinx+cosx)•(sinx-cosx)+2sinx-VJcosx=-cos2x+V3sin2x

2sin(2x-j,

所以/(X)的对称轴为2x-S=W+k乃，即x=^+g/eZ),

6232

7/)7)77/77

单调递增区间满足+2左)<2x——<—+2左乃，解得+k7T<x<—+k7T,

26263

7V.TV-

所以单调递增区间为------卜kTT,一+K7T\K€Z).

63

ah

(2)由"4)=2得，J=所以—=2,

sinAsinBsinC

所以b+c=2sinB+2sinC=2sin5+2sin,+y2用ing+器

冗

0<B<-

2,口乃八乃

因为/8C为锐角三角形，故,得一<6<一,

247F62

0<C=------B<—

32

所以2百sin(8+t卜(3,2@,即6+c的取值范围为(3,2瓜

19.如图，点力(2,8),8(占,必)，CH，8)在抛物线V=2px上，且抛物线的焦点尸是ABC

的重心，〃为8c的中点.

(1)求抛物线的方程和点F的坐标；

(2)求点M的坐标及8c所在的直线方程.

【正确答案】⑴y:32x；尸(8,0)

(2)M(11,-4)；4x+y-40=0

【分析】⑴将42,8）代入/=21求得?值，得到点尸的坐标；

（2）设点用的坐标为（方,%）,根据万==2两即可求出线段8c中点M的坐标；

由必:二得kBC=-4，再求出直线BC所在直线的方程.

y2=32X2

【详解】（1）由点4（2,8）在抛物线歹2=2.上，有82=2px2,解得p=16.

所以抛物线方程为V=32x,焦点厂的坐标为（8,0）.

（2）由于尸是48C的重心，M是线段8C的中点，

所以万=2丽'，设点用的坐标为（x。,%）,

则而=（6,-8）,丽=（x0-8,九），

,6：2，。-8）,解得/=[],为=_4,所以点加的坐标为⑴,-4）,

由"IC”得（必+凹）（必-凹）=32（3-士），

[y2=32七

因为〃（11,-4）为为8c的中点，故乂+%=-8,

所以———=-4=kBC,

因此8c所在直线的方程为y-（-4）=-4（x-ll）,

即4x+y-40=0.

2，

20.已知数列｛《,｝的前〃项和为S.，4=3,（n-l）5„=«5„.l+»-H（n>2,neN）；

（1）证明：11｝为等差数列；

（2）求数列｛%｝的通项公式;

⑶令b,咤,求数列出｝的前〃项和Tn.

【正确答案】（1）见解析

⑵%=2〃+1

(3戊=5-蟹

【分析】（1）变型可得从而可得｛2｝为等差数列；

nn-\n

（2）由（1）进而求得，=〃2而〃,根据。，与S”的关系可得%=2〃+1：

（3）根据错位相减法即可求解.

【详解】（1）因为（〃—1）S“=〃S“T+〃2-〃（〃22）,

则有（"T）S”-〃S"一产，

两边同时除以"（〃一1）得：、一34=1,n>2,岳=%=3,

nn-\

所以数列｛2｝是以3为首项，1为公差的等差数列，

n

（2）由（1）得鼠=3+（〃一l）xl=〃+2,则S“二〃2+2〃，

n

当鹿22时，。〃=S〃-S〃_]=/+2〃一（〃-1）2-2（〃-1）=2〃+1,

q=l符合上述通项式,

故=2〃+1.

(3)b=%①，

n2〃2〃

,35792/7-12〃+»

7；'=2+F+F+F+"'+^r+^r@

1丁35792〃-12〃+1…

疗尹+f+/+尹+…+丫+尸②

万.〜曰1322222〃+1

①-②得：/二+5+牙+斤+…+亍2〃+i

%1F+32^2n+15加+5

2'+]2Z”

得7；=5一岁

21.如图，四棱锥尸-/8。中，底面/8CZ）是直角梯形，ZDAB=90°AD//BC,/。_1_侧

面以8,△必8是等边三角形，DA=AB=2,BC=-AD,E是线段的中点.

2

(1)求证：PELCD；

(2)求PC与平面POE所成角的正弦值.

3

【正确答案】(1)见解析；(2)-

(1)先证明/O_LEP，再证明又=/,推出尸E_L平面Z88,然后证

明PELCD；

(2)以£为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-肛z,推出丽=(2,1,0),EP=

(0,0,6)，PC=(1,-b-JI),设方=(x,y,z)为平面P£)E的一个法向量，由

n-ED-2x+y-0

可以求得力=(1,-2,0),设PC与平面PAE所成的角为仇利用

n-EP=V3z=0

,—।PC-M33

sine=C05<PC-«>=,最后得出PC与平面PDE所成角的正弦值为

1因同55

【详解】(1).."DJj则面以8,PEU平面：.AD±EP.

又；△弘B是等边三角形,£是线段45的中点，.,./8_L£P.

"."ADHAB^A,：.PEmABCD.

：。0：平面/3。。，C.PELCD.

(2)以E为原点，EA、EP分别为八z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则E(0,0,0),C(1,-1,0),D(2,1,0),P(0,0,6).

ED=(2,1,0),EP=(0,0,73)，PC-(1,-1>-y/3).

设万=(x,y,z)为平面PDE的一个法向量.

n-ED=2x+y=0

由《一r，令x=l,可得方=(1,-2,0)

n-EP-A/3Z=0

设PC与平面PDE所成的角为0,得

河万|=3

sind=^cos<PC-n>

3

所以尸C与平面PDE所成角的正弦值为

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空

间向量求线面角的正弦值，属于中档题目.

22.尸为圆4:(x+2)2+/=36上一动点，点8的坐标为(2,0),线段PB的垂直平分线交直

线4P于点。.

(1)求点。的轨迹方程C;

(2)在(1)中曲线C与x轴的两个交点分别为4和4,M,N为曲线C上异于4、4的两

点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点用关于原点。的对称点为S,若直线4s

与直线4N相交于点T,直线07与直线相交于点R,证明：在曲线C上存在定点E,

使得R2E的面积为定值，并求该定值.

【正确答案】(1)工+广=1

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(2)证明见解析