2024届湖南省长沙雅礼中学高三下学期月考（七）数学试题及答案

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号､考场号座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.={,M}={6,8,N(M∪N)D.U}=}，则集合}=（1.已知全集U）(M∩N)A.M∪NM∩NB.C.U2.下列命题正确的是（）A.“mn”是“e<m<en”的充分不必要条件B.命题：x>x−1的否定是：∃x>xx−10005π2sinx+=−cosxC.x+2x+1D.y=(−)∪(−)上是减函数,1在z满足|z+|+|z−=8z3.若复数A.，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（）B.双曲线C.圆D.324.已知D是所在平面内一点，AD=AB+AC，则（）5532A.BD=BCB.BD=BC2332C.BD=BCD.BD=BC555.我们把由0和1组成的数列称为01数列，−0−1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{F=F=F=n+n1)中的奇数换成，偶数换成1可得到0−1数列{}，记数列anFn12n+2{}的前项和为，则的值为（）anSn100nA.32B.33C.34D.356.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）A.34πB.27πC.20πD.18πx22y22x2y22+=a>b>0)与双曲线−=m>n>0)F,F有共同的焦点127.已知椭圆，且在第一象限）abm2nπe,e∠FPF=e⋅e.则的最小值是（12内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为.若12123122332A.B.C.D.222cos40+=8.求值：（）sin80333A.3B.C.−3D.−3､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A.日认购量与日期正相关B.日成交量的中位数是26C.日成交量超过日平均成交量的有2天D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景丰富上两个不同的点，以()()为切点的切Ax,y,Bx,y2,B是抛物线C:x2=4y的性质产生了无穷的魅力设112线交于P点若弦过点()，则下列说法正确的有（F0,1）xx=4A.12x=21x−y−1=0，则A点处的切线方程为B.若C.存在点P，使得PA⋅PB>0D.面积的最小值为4()=(+)(−−)，则下列说法正确的有x1ex1fxx10.已知函数()有唯一零点fxΛ.()无最大值fxB.C.()在区间()上单调递增fxf(x)的一个极小值点D.x0为=､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团每个社团至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有__________､1种⋅(CC2CACB)+1=13.已知圆C:x12+(y−2)2=1与圆C2:(x−2)2+(y−2=4,B相交于两点，则11__________.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点P.（1AB3，则=sin∠=__________.（2AC:AB:BC6:5:4，则=PA+PB+PC的值为__________.､四解答题：本题共小题，共577分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代的标志ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命它渗透入类社会的方方面面让人类更高效地生活现对人的样本人群就广泛使用ChatGPT对服务业芳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT应合计用的广泛性减少增加广泛应用6010203070没广泛应用4060合计100130（1）根据小概率值α=0.01的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从服务业就业人数会减少的人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值.n(ad−bc)22χ=附：，其中n=a+b+c+d.(+)(+)(+)(+)abcdacbdα0.10.050.01α2.7063.8416.63516.（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面−⊥ABCD,PA=AB=BC=AD=CD,∠ABC=120.（1）求证：平面PAC平面PBD；⊥2（2）若点M为的中点，线段上是否存在点N，使得直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.2PNPC若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分15分）T(0)，与y轴正半轴相交于两点M,N（点x如图，圆C与轴相切于点M在点N的下方），且=3.（1）求圆C的方程；x2y2+=1相交于,BAN,BN两点，连接，求证：（2）过点M任作一作直线与椭圆84∠ANM=∠BNM.18.（本小题满分17分）fx=x−ax−3x(a∈R).已知函数()2f(x)=a的一个极值点，求实数的值；（1x1是函数（2）若函数()有两个极值点x<x，其中，12fxx,x12a①求实数的取值范围；2ax+x>k+1②若不等式19.（本小题满分17分）恒成立，求实数k的取值范围.12对于无穷数列{}，若对任意，且m≠n，存在kN，使得c+c=c{}为Gc,n∈N*∈*c成立，则称n“nmnk数列”.（1）若数列{}的通项公式为b=2nn{}是否为G数列，并说明理由；bb，试判断数列n“”n（2）已知数列{}为等差数列，an①若{}是“数列”，Ga=a∈N，且a>a，求所有可能的取值；1a*an12*22②若对任意nN*，存在∈k∈N，使得a}为“Gn数列”.ak=S成立，求证：数列n雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学参考答案､､一二选择题题号答案1234567891011CAADBBCABDABDBCD}∩={}(∪N)={}(∩N)=6,10,12}2,12,，M∪N={,MN8,MMU1.C【解析】故选C.Uy=xm<n，可得0<m<n，2.A【解析】对于A中，由函数为单调递增函数，因为y=ex为单调递增函数，可得em<en，即充分性成立；又因为函数<en，可得mn<m,n时，此时0,n没意义，即必要性不成立，所以反之：由em，当en”的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题：x>x−1“mn”是“e<<mx>x>x−1的否定是：，故B不正确；0005π2π2C,sinx+=sinx+=cosx，故C不正确；对于对于Dx=2时y=0，当x=0时y=22<0，可得0<2，但，x+2x+1y=(−)∪(−)上不是减函数，故不正确；故选,1DA.所以函数在()()(−)，复数对应点，由题意复数满足|z||z=8，++−Px,y,F0,2,F2zz3.A【解析】设P12PF+PF=8=2a>FF=4=2cz即，可知复数满足椭圆的定义故选A.21123232224.D【解析】由AD=AB+AC，得AB+BD=AB+AC，得BD=−AB+AC，得555555=252−AB+AC)=BCD.（，故选5F=F=F=n+Fn1，所以5.B【解析】因为12n+2F=F=F=F=F=F=F=34,{}的前若干项为：a，所以数列3456789na=a=a=a=a=a=a=a=a=，则123156789a+a+a=a+a+a=a+a+a==1S=33×1+0=33.B.100，所以1234567896.B【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为R,r，2R=2r=3=42(4.5=5，+−2若当时，则圆台的母线长lπ×4.5+1.5×5=30π，()所以其侧面积为2R=2r=2=42(425，+−=若当时，则圆台的母线长lπ×4+1×5=25π()25π<S<30π所以其侧面积为，所以其侧面积满足S.B.【解析】设共同的焦点为(−c,0),(c,0)，设PFs,2=t，=7.C1s+t=2a,s−t=2ms=a+m,t=a−m由椭圆和双曲线的定义可得，解得，π∠=2=2+2−⋅⋅∠PFF中，12，可得12PF22PFPFFPF，在12112123即为()()2+m2，4c2=(a+m)2+(a−m)2−a+ma−m=a13ac2m2+2=4，+=4，即即有2e22c2e1133323+2e=e2由，可得e⋅e，当且仅当时，取得最小值，故选C.e2e22e2e221212118.A【解析】()()2cos120−80+2+sin80+2cos40+====3sin80sin80sin80sin80.故选A.9.BD【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A错；将成交量数据按大小顺序排13+8+32+16+26+38+166≈42.742.7的只有一列，中.位数为，所以B对；日平均成交量为，超过7天，所以C错；月7日认购量的增量为276112164，成交量的增量为−=166−38=128，所以D对，故选BD.:y=+1，10.ABD【解析】对于A，由题意，设直线y=+yA(x,y),B(x,y)x−4−4=0，又2联立消去整理得：，x2=4y,1122x+x=4k,x⋅x=4则，所以A正确；121211y′=x，x2=4y.y=x2，则对于B，由抛物线4211412xy=x21Ax,x则过点A的切线斜率为，易知，即，，114121111y−x21=x(x−x)y=xx−x，即21则切线方程为：1114224x=21时，则过点A的切线方程为：x−y−1=0，所以B正确；若11212121对于C，由选项B可得：直线的斜率为x1，直线的斜率为x2，因为x⋅x=xx=1，121224所以BP，即PAPB0，所以错误；⊥⋅=C11y=xx−x22,PB的方程可得对于D，由选项B可知，过点B的切线方程为，联立直线22411(−)=−⋅=PFAB⊥=⋅，P2k,1,k,kPFkABS，所以PFk2AB=1+k2x−x=1+k2(x+x)2−4x⋅x=1+k216k2+16=41+k)，2121212PF=(2k−0)2+(1−2=4k2+4=21+k2，D3()k=0S正确ABD..则SABP=41+k2，当时，有最小值为2(−)=()=，即x=1和x=0是函数()=(+)(−−)的零x1ex1f1f0fx0x11.BCD【解析】由题可知点，A不正确；u(x)=ex−x−1，求导得u′(x)=ex−1>0ux()()2时，当x0时，令>，函数在上递增，当u(xe2−3>1，y=x+1在()上递增，值域为()，因此当时，()>+，所以()无最大值，x2fxx1fx而B正确；()(′=+)x−−，令()=(+)x2e2x−2gxx−，求导得x3ex−2，′()=(+)fxx2e2x2gxh(x)=(x+3)ex−2，则h′(x)=(x+4)e>0，x当x0时，令>即()′=()在()上递增，′()>′()=>gxg010′()=()()fxgx，则在上递增，()()fx上递增，即在上单调递增，C正确；gxhx′()>′()=fx()()f00fx，因此在2x+2x+22ϕ(x)=ex−ϕ′(x)=ex−x1,0ϕ′()(−)，显然函数在上递增，当−1<x<0时，，求导得(x+2)211ϕ′(−)=−<ϕ′()=120>0x∈(−0)，使得ϕ′(0)=0，则存在，0而e2x∈x,0()时，ϕ′(x)>ϕ(x)(x,0)0，函数x∈(0,0)时，ϕ(x)<ϕ(0)=0上单调递增，当，当在002x+2x+2x∈x,0)时，e(<fx′()=(+)x2e2x−2<0x−′()=f00x=0fx()为的x即当，则，又，因此0一个极小值点，D正确，故选BCD.､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.12.240【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有C25=10种分组方法，②将分好的44个社团参加志愿活动，有A44=24种情况，则有1024240种分配方案.×=()()，所以点C到113.2【解析】由题意可知两圆公共弦所在的直线方程为2xy1C0,2,C2,1−+=1212x−y+1=0d=,C2=5CC2AB⊥直线影为14.的距离为，又，所以向量CA1在向量CC方向上的投1215CC⋅CA=5×11()d==1⋅=CC⋅CA+CB=2，同理可得CCCB1，所以.1211，所以121551212347；【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知4AB3==2R=4，sin∠ACBsin∠ACB37即sin∠ACB=，由于∠ΛCB是锐角，故ACB=，∠44π⊥BC，故∠=−∠ACB，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP27所以sinPACACB∠=∠=.4连接并延长交于D，连接CP并延长交于E，连接并延长交AC于F，设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β，πππ则∠PAC=−β,∠PBA=−θ,∠PAB=−α，222=AC=6k,AB=5k,BC=4k，由于AC:AB:BC6:5:4，不妨假设(6k)2+k)2−(4k)234(4k)2+k)2−(6k)218由余弦定理知cosθ==,α==，2×6k×5k2×4k×5k(4k)2+(6k)2−k)29cosβ==，2×4k×6k16ππAD,CE,∠ECB+∠EBC=,∠PCD+∠CPD=如图所示，为的三条高，由于，22故∠EBCPCπ=∠CPD，则得∠APC=π−∠CPD=π−∠EBC=π−∠ABC，PAπACAC====2R=4sin∠APCsin∠ABC所以，sin−βsin−θ22PBπ2ABAB===2R=4sin∠APBsin∠ACB同理可得，sin−α31923PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=4×++.()=所以48164､四解答题：本题共小题，共577分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.H15.【解析】（）零假设为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.0130×(60×20−40×10)2χ2=≈6.603<6.635=0.01根据表中数据得，706010030×××所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为无关.0（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，60有有×5=3人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，10040×5=2ChatGPT不会在服务业中广泛应用，人认为100则X的可能取值为2,3，C13CC223C23CC123CC33351PX=1=又()=,PX=2=()=,PX=3=()=，351035510所以X的分布列为XP123331105310319()=×+×+×=EX123.所以10510516.【解析】（）设AC的中点为O，因为，所以=BO⊥AC，因为ADCD，所以=DO⊥AC，所以B,O,DBD⊥AC三点共线，所以，⊥ABCD,⊂ABCDBD⊥PA，所以，因为PA平面平面PA∩AC=,PA⊂PAC,AC⊂BD⊥因为平面平面PAC，所以平面PAC，⊂PBDPAC⊥平面PBD.因为平面.所以平面（2）解：以OC,所在的直线为轴和轴，xy过O点作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，z()()(则C3,0,0,P−3,0,2,B1,0)，31M−,−,1因为M为的中点，所以，22N2λ−3,0,2−2λ)(()PC01，所以PN=λ设，=2λ−31,,1−2λ所以，22由（）知BD平面⊥PAC，所以平面PAC的一个法向量为n=(0)，设直线MN与平面PAC所成角为θ，⋅n12sinθ=,n===则，n2.16λ2−10λ+22PNPC14382==.即当或时，直线MN与平面PAC所成角的正弦值为2r(r>，依题意知，圆心C的坐标为(r)，17.【解析】（）设圆C的半径为2325452因为=3，所以r=2+2=r=，所以，2252252圆C的方程为(x−2)2+y−=.45225（2x0代入方程(x2)y=−2+−=，解得，y=1或y=424即点()().M0,1,N0,4①当AB⊥x轴时，可知∠ANM=∠BNM=0；y=+1.x②当与轴不垂直时，可设直线的方程为y=+1+2ky得)x+4−6=02222.联立方程xy消去+=84()>0Δ=16k2+241+2k2恒成立.−4k−61+2kx2y2()()两点，则+==，=1于Ax,y,Bx,y12,122设直线交椭圆+11221+2k284−(+)3xx1−4y2−413−2−321x1−12k12kk+kN=+=+=212=+=0，所以2x2xx1+2k1+2k122112xx12所以∠ANM=∠BNM.综合①②知∠ANM=∠BNM.′()=+−−=−−()x=1是函数fx的一个极值点，fxx12ax3x2ax218.【解析】（），又f1∴′()=0−2a−2=∴a=1.，即1fxx2x2∴′()=+−()=+−′()=+>hxx2xhx20，，令xfxhx∴′()=()()f′)=0，在上单调递增，且∴()()上单调递减，在)fx在上单调递增，∴x=1是f(x)的极小值点时，实数的值为-1.a（2()fxx+1−2ax3x2ax2′=−=−−，由于f(x)=x−ax2−3xa∈R()有两个极值点x,x，12所以方程()()fx0在上有两个不同的根，即方程x−2ax−2=0′=有两个不同的正数根，的图象在()y2a上有两个不同交点，x−2()==gx转化为函数与函数x3−x3−x′()=gx′()=gx=0，解得x=e3令，令，x2x2′()<()′()>()gxgx单调递增，当xe3时，>gxgx单调递减，当0<x<e3时，()=，故作出()的图象如下：ge20gx且当xe2时，>()>gx112e2a∈a∈由图象可得：，即.3ex,xx−2ax−2=0的两个根，3②由（1）知：是121−x21−22+x−2ax=−2+x−2ax=02a=故，则，1122x1−xtt−1不妨设t=1∈()0,1，则tx2=x，则12+2−2x=0⇒x=+2，−222122ax+x>k+1故由可得，121−x2tttt−1x+x>k+1⇒tx+x>k+1⇒+2>k+1，−1222−2212ttt−1tt−1tt−t+1t−1t−1−t+k+2>k+1>k，化简得，t−1由于0t1，所以等价于<<tt−t+1−kt−1−t)<0对任意的0<t<1恒成立，Ft=tt−t+1−kt−1−t令()()，故Ft()<对任意的0<t<1恒成立，0ktk′()=−+Fttk则，1kt−k()=−+mttk′()=−=2mt设，则，tltt2t−k0mt′()=>mtFt()=′()FtF1Ft′()<′()=()（）当时，单调遥增，故单调递减，故单调递增，故t2()>()=，不满足，舍去；FtF10t−k1时，mt′()=<()=′()mtFt单调递减，故′()>′