2024年九年级数学下册第二章二次函数单元检测北师大版

Page1第二章二次函数得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，属于二次函数的是(C)A．y＝－2xB．y＝x2＋eq\f(1,x2)C．y＝(x＋3)2－9D．y＝eq\f(1,x2)＋12．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)3．将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为(B)A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x＋2)2－24．已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(D)A．－2B．－1C．0D．25．若抛物线y＝x2＋bx＋c过A(m，n)，B(m－4，n)两点，且与x轴只有一个公共点，则n的值为(A)A．4B．－4C．6D．166．若二次函数y＝ax2－4ax＋3(a为常数，且a＞0)的图象上有三点A(－2，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(D)A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y17．如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则关于x的不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(C)A．x＞－1B．x＜3C．－1＜x＜3D．x＜－3或x＞1eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))8．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，1)，若抛物线y＝x2＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是(C)A．－1≤c≤0B．－1≤c≤eq\f(1,2)C．－1≤c≤eq\f(9,16)D．0≤c≤eq\f(9,16)9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a＋3b＋c＝0；③b2－4ac＜8a；④5a＋b＋c＞0.其中正确结论的个数是(C)A．1B．2C．3D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从点A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N.设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是(B)ABCD二、填空题(每小题3分，共15分)11．已知一抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的表达式为__y＝eq\f(1,9)x2＋1__．12．将二次函数y＝ax2－8ax＋2的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后过点(5，2)，则m的值为__3__．13．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形状，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱MN的长度为__5.5__m.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))14．已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12（1≤x<3），,（x－5）2＋8（3≤x≤8）))的图象如图所示，若直线y＝kx－3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为__17__．15．如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝__eq\f(12,5)__．三、解答题(共75分)16．(6分)已知抛物线y＝－x2＋4x＋5.(1)指出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)若该抛物线上有两点A(－eq\r(2)，y1)，B(5，y2)，试比较y1与y2的大小．解：(1)∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴该抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2(2)∵2－(－eq\r(2))＞5－2，∴点A到抛物线的对称轴的距离比点B到抛物线的对称轴的距离更远．又∵抛物线的开口向下，∴y1＜y217．(6分)如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋3与该抛物线交于A，B两点．(1)求m的值；(2)求A，B两点的坐标．解：(1)∵抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，∴抛物线与x轴只有一个交点，∴(m＋3)2－4×9＝0，解得m＝3或m＝－9.又∵－eq\f(－（m＋3）,2)＞0，∴m＞－3，∴m＝3(2)由(1)可得抛物线的表达式为y＝x2－6x＋9，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－6x＋9，,y＝x＋3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9.))∴点A的坐标是(1，4)，点B的坐标是(6，9)18．(8分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3).(1)求b，c的值；(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝c，,－3＝－36－6b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－6，,c＝－3))(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，－4≤x≤0，∴当x＝－3时，y有最大值为6(3)①当－3≤m＜0时，当x＝0时，y最小值＝－3，当x＝m时，y最大值＝－m2－6m－3，∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，解得m＝－2或m＝－4(舍去)；②当m<－3时，当x＝－3时，y最大值＝6，∴y最小值＝2－6＝－4.当y＝－x2－6x－3＝－4时，解得x＝－3＋eq\r(10)(舍去)或x＝－3－eq\r(10)，∴m＝－3－eq\r(10).综上所述，m的值为－2或－3－eq\r(10)19．(9分)如图，在足够大的空地上，张叔叔利用直角墙角(两边足够长)和30m长的篱笆围成了一个中间隔开的矩形花园ABCD(图中虚线为篱笆)，设AB＝xm，矩形花园ABCD的面积为Sm2.(1)求S关于x的函数表达式；(2)求矩形花园ABCD面积的最大值．解：(1)S＝x(30－2x)＝－2x2＋30x(0＜x＜15)(2)∵S＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，∴当x＝7.5时，S最大值＝112.5，∴矩形花园ABCD面积的最大值为112.5m220．(10分)小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件的进价为6元，当销售单价定为8元/件时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：销售单价不能超过12元/件．设该纪念品的销售单价为x(元/件)，日销量为y(件)，日销售利润为W(元)．(1)求y与x的函数关系式；(2)求日销售利润W(元)与销售单价x(元/件)的函数关系式，当x为何值时日销售利润最大？并求出最大利润．解：(1)根据题意，得y＝200－10(x－8)＝－10x＋280(6≤x≤12)(2)根据题意，得W＝(x－6)y＝(x－6)(－10x＋280)＝－10x2＋340x－1680＝－10(x－17)2＋1210，而6≤x≤12，∴当x＝12时，W最大值＝960，∴当x＝12时日销售利润最大，最大利润为960元21．(10分)如图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似地看作抛物线y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2m，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28m，竖直距离为6m.(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10m，①求抛物线的函数表达式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围．解：(1)①将点O(0，0)代入y＝a(x－20)2＋10，得0＝(0－20)2a＋10，解得a＝－eq\f(1,40)，∴抛物线的函数表达式为y＝－eq\f(1,40)(x－20)2＋10(0≤x≤40)②石块能飞越防御墙，理由如下：当x＝30时，y＝－eq\f(1,40)×(30－20)2＋10＝7.5.∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙(2)将点O(0，0)代入y＝a(x－20)2＋k，得0＝(0－20)2a＋k，∴k＝－400a，∴抛物线的函数表达式为y＝a(x－20)2－400a.当抛物线经过点B(28，6)时，6＝(28－20)2a－400a，解得a＝－eq\f(1,56)；当抛物线经过点C(30，6)时，6＝(30－20)2a－400a，解得a＝－eq\f(1,50)，∴a的取值范围为－eq\f(1,50)≤a≤－eq\f(1,56)22．(12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C(0，3).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线位于直线y＝m(m为常数，且m≥0)下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．①当m＝0时，若直线y＝x＋n与图象W有三个交点，求n的值；②若直线y＝x与图象W有四个交点，求m的取值范围．解：(1)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝3，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4，,c＝3，)))∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3(2)抛物线y＝x2－4x＋3位于直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折后得到的图象所在的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x－3＋2m，①当m＝0时，若直线y＝x＋n与图象W有三个交点，存在如下2种情况：(i)直线y＝x＋n经过点A，即0＝1＋n，解得n＝－1；(ii)直线y＝x＋n与抛物线y＝－x2＋4x－3只有一个交点，即方程x＋n＝－x2＋4x－3，也即方程x2－3x＋n＋3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4(n＋3)＝0，∴n＝－eq\f(3,4).综上所述，n的值为－1或－eq\f(3,4)②联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x2－4x＋3，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5＋\r(13),2)，,y1＝\f(5＋\r(13),2)，)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(5－\r(13),2)，,y2＝\f(5－\r(13),2)，)))∴直线y＝x与抛物线y＝x2－4x＋3交于(eq\f(5－\r(13),2)，eq\f(5－\r(13),2))，(eq\f(5＋\r(13),2)，eq\f(5＋\r(13),2))两点．若直线y＝x与抛物线y＝－x2＋4x－3＋2m只有一个交点，即方程x＝－x2＋4x－3＋2m，也即方程x2－3x＋3－2m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4(3－2m)＝0，∴m＝eq\f(3,8)，∴若直线y＝x与图象W有四个交点，m的取值范围是eq\f(3,8)＜m＜eq\f(5－\r(13),2)23．(14分)如图，直线y＝x－3与坐标轴交于A，B两点，抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c经过点B，与直线y＝x－3交于点E(8，5)，且与x轴交于C，D两点．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；(3)点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝eq\f(1,4)x2－x－3(2)∵OA＝OB＝3，∴∠ABO＝45°.分如下两种情况讨论：如图，①当点M位于直线AB上方时，∠MBO＝∠MBE－∠ABO＝30°，∴易得直线BM的解析式为y＝－eq\r(3)x－3.联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－3，,y＝\f(1,4)x2－x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－4\r(3)，,y＝