中考考前模拟检测-数学试卷-附答案解析

一、选择题1.﹣4的相反数()A. B.4 C.﹣4 D.±42.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列各式中,计算正确的是()A. B. C. D.4.如图是由5个相同正方体搭成的几何体,其左视图是()A. B.C. D.5.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD B.AD∥BC,∠A＝∠CC.AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD D.AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC6.在某次测试后,班里有两位同学议论他们小组的数学成绩,小明说：”我们组考87分的人最多”,小华说：”我们组7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分”．上面两位同学的话能反映出的统计量()A.众数和平均数 B.平均数和中位数 C.众数和中位数 D.众数和方差7.如图,AB是⊙O的直径,DB、DE分别切⊙O于点B、C,若∠ACE＝25°,则∠D的度数是()A.50° B.55° C.60° D.65°8.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,若y关于x的函数图象如图2所示,则y的最大值是()A.55 B.30 C.16 D.159.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,点D是AB的中点,点P是直线BC上一点,将△BDP沿DP所在的直线翻折后,点B落在B1处,若B1D⊥BC,则点P与点B之间的距离为()A1 B. C.1或3 D.或510.已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P,点Q是以M(0,﹣1)为圆心,MO为半径的圆上的一个动点,则线段PQ的最小值为()A. B. C. D.二、填空题11.分解因式：a3﹣4a＝_____．12.函数的自变量x的取值范围是_____．13.每到四月,许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞,人们不堪其扰,据测定,杨絮纤维的直径约为0.0000105m,该数值用科学记数法表示为_______m．14.圆锥的底面半径为14cm,母线长为21cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____度．15.一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示,则0＜mx+n≤﹣x+a的解集为___________．16.如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为．17.如图,四边形的项点都在坐标轴上,若与面积分别为和,若双曲线恰好经过的中点,则的值为__________．18.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为_____．三、解答题19.(1)计算：(2)化简：20.(1)解方程：(2)解不等式组：21.如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF．(1)求证：CF＝AD；(2)若CA＝CB,∠ACB＝90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由．22.某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级(1)班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查,并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种型号)．根据以上信息,解答下列问题：(1)该班共有多少名学生？(2)在条形统计图中,请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中,请计算185型校服所对应扇形圆心角的大小；(3)求该班学生所穿校服型号众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生,则估计需要准备多少套180型号的校服？23.三辆汽车经过某收费站下高速时,在2个收费通道A,B中,可随机选择其中的一个通过．(1)三辆汽车经过此收费站时,都选择A通道通过的概率是；(2)求三辆汽车经过此收费站时,至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．24.如图,四边形ABCD是菱形,请仅用无刻度的直尺按要求画图．(不写画法,保留作图痕迹)．(1)在图1中,画出∠A的平分线；(2)在图2中,AE⊥CD,过点C画出AD边上的高CF；(3)在图3中,AE⊥CD,过点C画出AB边上的高CG．25.如图,△ABC的点A,C在⊙O上,⊙O与AB相交于点D,连接CD,∠A＝30°,DC＝．(1)求圆心O到弦DC的距离；(2)若∠ACB+∠ADC＝180°,求证：BC是⊙O的切线．26.”扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系,如图所示.(1)求与之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.27.如图①,一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点,与x轴交于另一点C．(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；(2)如图②,若点P是直线AB上方的抛物线上一点,过点P作PD∥x轴交AB于点D,PE∥y轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；(3)如图③,若点M在抛物线的对称轴上,且∠AMB=∠ACB,求出所有满足条件的点M的坐标．28.如图,矩形ABCD中,AB＝6,AD＝8．动点E,F同时分别从点A,B出发,分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BD于点M,设运动的时间为t．(1)当点E在线段AD上时,用关于t的代数式表示DE,DM．(2)在整个运动过程中,①连结CM,当t为何值时,△CDM为等腰三角形．②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时,求t取值范围,并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．答案与解析一、选择题1.﹣4的相反数()A. B.4 C.﹣4 D.±4【答案】B【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和为0,求出答案即可．【详解】解：∵-4+4=0∴-4的相反数是4故选：B【点睛】本题考查了相反数的定义和性质,互为相反数的两个数的和为0．2.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】A.是轴对称图形不是中心对称图形,正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形,错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形,错误；D.是轴对称图形也是中心对称图形,错误,故选A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形,正确地识别是解题的关键.3.下列各式中,计算正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【详解】解：A、与不是同类项,故不能合并,故选项A不合题意；B、,故选项B不合题意；C、,故选项C不符合题意；D、,故选项D符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则,熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体,其左视图是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的定义即可判断．【详解】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形,第二层左边有1个小正方形．故选A．【点睛】本题考查三视图,解题的关键是根据立体图的形状作出三视图,本题属于基础题型．5.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD B.AD∥BC,∠A＝∠CC.AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD D.AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC【答案】C【解析】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A,不能,只能判定为矩形；B,不能,只能判定为平行四边形；C,能；D,不能,只能判定为菱形．故选C．6.在某次测试后,班里有两位同学议论他们小组的数学成绩,小明说：”我们组考87分的人最多”,小华说：”我们组7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分”．上面两位同学的话能反映出的统计量()A.众数和平均数 B.平均数和中位数 C.众数和中位数 D.众数和方差【答案】C【解析】【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．【详解】解：一组数据中出现次数最多的数为众数,所以87分是众数；一组数据中最中间一个数或中间两个数的平均数是这组数据的中位数,所以小华说的87分是中位数故选：C．【点睛】本题主要考查统计量的选择,解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．7.如图,AB是⊙O的直径,DB、DE分别切⊙O于点B、C,若∠ACE＝25°,则∠D的度数是()A.50° B.55° C.60° D.65°【答案】A【解析】【分析】连接BC,由弦切角定理得∠ACE=∠ABC,再由切线的性质求得∠DBC,最后由切线长定理求得∠D的度数．【详解】解：连接BC,∵DB、DE分别切⊙O于点B、C,∴BD＝DC,∵∠ACE＝25°,∴∠ABC＝25°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°,∴∠D＝50°．故选A．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识,综合性强,难度较大．8.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,若y关于x的函数图象如图2所示,则y的最大值是()A.55 B.30 C.16 D.15【答案】D【解析】【分析】首先结合题意可得当点P运动到点C,D之间时,△ABP的面积不变,则可得当BC=5,CD=6,继而求得答案．【详解】解：动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,∵当点P运动到点C,D之间时,△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程,∴当5≤x≤11时,y不变,说明BC=5,AB=11-5=6,∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=6,由图像可知,当点P位于C、D之间时△ABP的面积最大,∴y最大为．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量,利用数形结合的思想解题,得到BC,CD的具体值．9.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,点D是AB的中点,点P是直线BC上一点,将△BDP沿DP所在的直线翻折后,点B落在B1处,若B1D⊥BC,则点P与点B之间的距离为()A.1 B. C.1或3 D.或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧,点B1在BC右侧两种情况讨论,由勾股定理可AB=5,由平行线分线段成比例可得,可求BE,DE的长,由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图,若点B1在BC左侧,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=∵点D是AB的中点,∴BD=BA=∵B1D⊥BC,∠C=90°∴B1D∥AC∴∴BE=EC=BC=2,DE=AC=∵折叠∴B1D=BD=,B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中,B1P2=B1E2+PE2,∴BP2=1+(2-BP)2,∴BP=如图,若点B1在BC右侧,∵B1E=DE+B1D=+,∴B1E=4在Rt△EB1P中,B1P2=B1E2+EP2,∴BP2=16+(BP-2)2,∴BP=5故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意折叠中的对应关系．10.已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P,点Q是以M(0,﹣1)为圆心,MO为半径的圆上的一个动点,则线段PQ的最小值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解方程组得P点坐标为(3a﹣1,4a+2),则可确定点P为直线y＝x+上一动点,设直线y＝x+与坐标的交点为A、B,如图,则A(﹣,0),B(0,),利用勾股定理计算出AB＝,过M点作MP⊥直线AB于P,交⊙M于Q,此时线段PQ的值最小,证Rt△MBP∽Rt△ABO,利用相似比计算出MP＝,则PQ＝,即线段PQ的最小值为．【详解】解方程组得,∴P点坐标为(3a﹣1,4a+2),设x=3a﹣1,y=4a+2,∴y＝x+,即点P为直线y＝x+上一动点,设直线y＝x+与坐标的交点为A、B,如图,则A(﹣,0),B(0,),∴AB=过M点作MP⊥直线AB于P,交⊙M于Q,此时线段PQ值最小．∵∠MBP=∠ABO,∴Rt△MBP∽Rt△ABO,∴MP：OA=BM：AB,即MP：=：,∴MP=,∴PQ=﹣1=,即线段PQ的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．二、填空题11.分解因式：a3﹣4a＝_____．【答案】【解析】【分析】先提取公因式x,然后利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：a3﹣4a=a(a2﹣4)=故答案为：．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解,掌握平方差公式的结构是本题的解题关键．12.函数的自变量x的取值范围是_____．【答案】x≠1【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得,x-1≠0,解得x≠1．故答案为x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义,分母不为0．13.每到四月,许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞,人们不堪其扰,据测定,杨絮纤维的直径约为0.0000105m,该数值用科学记数法表示为_______m．【答案】1.05×10－5【解析】【分析】根据科学计数法的表示方法即可求解.【详解】0.0000105=1.05×10-5,故填1.05×10-5.【点睛】此题主要考查科学计数法的表示,解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.14.圆锥的底面半径为14cm,母线长为21cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____度．【答案】240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm,圆心角=弧长180母线长π计算.【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm,扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．【点睛】此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系,熟练掌握公式及关系是解题关键．15.一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示,则0＜mx+n≤﹣x+a的解集为___________．【答案】2＜x3【解析】【分析】要求,说明两个函数必须在轴上方,且在的上方,根据函数图象可以直接求解；【详解】由图可知：的解集为：；故答案是：.【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系,两个函数的大小关系可以从交点处分开分别观察,熟练掌握这一技巧是解决本题的关键.16.如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】试题分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°,然后求出DE,再根据阴影部分的面积=S扇形AEF-S△ADE列式计算即可得解．∵AB=2DA,AB=AE(扇形的半径),∴AE=2DA=2×2=4,∴∠AED=30°,∴∠DAE=90°-30°=60°,DE=,∴阴影部分的面积=S扇形AEF-S△ADE,==．考点：1.矩形的性质；2.扇形面积的计算．17.如图,四边形的项点都在坐标轴上,若与面积分别为和,若双曲线恰好经过的中点,则的值为__________．【答案】6【解析】【分析】根据AB//CD,得出△AOB与△OCD相似,利用△AOB与△OCD的面积分别为8和18,得：AO：OC=BO：OD=2：3,然后再利用同高三角形求得S△COB=12,设B、C的坐标分别为(a,0)、(0,b),E点坐标为(a,b)进行解答即可.【详解】解：∵AB//CD,∴△AOB∽△OCD,又∵△ABD与△ACD的面积分别为8和18,∴△ABD与△ACD的面积比为4：9,∴AO：OC=BO：OD=2：3∵S△AOB=8∴S△COB=12设B、C的坐标分别为(a,0)、(0,b),E点坐标为(a,b)则OB=|a|、OC=|b|∴|a|×|b|=12即|a|×|b|=24∴|a|×|b|=6又∵,点E在第三象限∴k=xy=a×b=6故答案6.【点睛】本题考查了反比例函数综合题应用,根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.18.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】根据菱形和平移的性质得出四边形A′B′CD是平行四边形,进而得出A′D＝B′C,根据最短路径问题的步骤求解即可得出答案．【详解】解：∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,∴AB＝CD＝1,∠ABD＝30°,∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',∴A′B′＝AB＝1,A′B′∥AB,∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAD＝120°,∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形,∴A′D＝B′C,∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值,∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上,∴作点D关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A′,则CE的长度即为A'C+B'C的最小值,∵∠A′AD＝∠ADB＝30°,AD＝1,∴∠ADE＝60°,DH＝EH＝AD＝,∴DE＝1,∴DE＝CD,∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°,∴∠E＝∠DCE＝30°,∴CE＝CD＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是菱形的性质以及最短路径问题,难度较大,需要熟练掌握相关基础知识．三、解答题19.(1)计算：(2)化简：【答案】(1)1；(2)【解析】【分析】(1)先将锐角三角形函数,零指数幂,二次根式进行化简,然后进行计算；(2)先用完全平方公式和平方差公式进行计算,然后合并同类项进行化简．【详解】解：(1)===1；(2)==．【点睛】本题考查实数的混合运算,锐角三角形函数值,整式的混合运算,掌握完全平方公式和平方差公式的结构正确计算是解题关键．20.(1)解方程：(2)解不等式组：【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)解分式方程,先将分式方程转化为整式方程,然后在计算求解,注意结果要进行检验；(2)解一元一次不等式组,先分别解每个不等式,然后求出不等式组的解集．【详解】(1)经检验,x=-2是原分式方程的解∴原方程的解为：；(2)解不等式①得：,解不等式②得：∴不等式组的解为：．【点睛】本题考查解分式方程,解一元一次不等式组,掌握计算步骤正确计算是本题的解题关键,注意分式方程要检验．21.如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF．(1)求证：CF＝AD；(2)若CA＝CB,∠ACB＝90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)正方形,理由见解析．【解析】【分析】(1)根据CF∥AB可得∠CFE＝∠DAE,∠FCE＝∠ADE,根据E为中点可得CE=DE,则△ECF和△DEA全等,从而得出答案；(2)根据AD=BD,则CF=BD,CF∥BD得出平行四边形,根据CD为AB边上的中线,CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形,根据CD为等腰直角△ABC斜边上的中线得出CD=BD,即得到正方形．【详解】解：(1)∵CF∥AB,∴∠CFE＝∠DAE,∠FCE＝∠ADE,∵E为CD的中点,∴CE＝DE,∴△ECF≌△DEA(AAS),∴CF＝AD,(2)四边形CDBF正方形,理由为：∵AD＝BD,∴CF＝BD；∵CF＝BD,CF∥BD,∴四边形CDBF为平行四边形,∵CA＝CB,CD为AB边上的中线,∴CD⊥AB,即∠BDC＝90°,∴四边形CDBF为矩形,∵等腰直角△ABC中,CD为斜边上的中线,∴CD＝AB,即CD＝BD,则四边形CDBF为正方形．【点睛】本题考查正方形的判定；三角形全等的应用．22.某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级(1)班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查,并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种型号)．根据以上信息,解答下列问题：(1)该班共有多少名学生？(2)在条形统计图中,请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中,请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；(3)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生,则估计需要准备多少套180型号的校服？【答案】(1)共有50名学生；(2)答案见解析；14.4°；(3)众数是165和170；中位数是170,200套．【解析】【分析】(1)利用总人数=165型的人数÷对应的百分比求解即可；(2)先求出175,185型的学生人数,再补全统计图即可,(3)利用众数,中位数的定义及2000乘180型号所占的百分比求解即可．【详解】解：(1)15÷30%=50(名),50×20%=10(名),答：该班共有50名学生,其中穿175型校服的学生有10名；(2)穿175型校服的学生有10名：50×20%＝10(名),185型的学生人数为：50-3-15-15-10-5=50-48=2(名),补全统计图如图所示；185型校服所对应的扇形圆心角为：×360°＝14.4°；(3)165型,170型学生最多,均为15人∴该班学生所穿校服型号的众数为165,170,将型号从小到大排列后,第25名和第26名同学均为170型∴中位数为170．2000(套)∴需要准备200套180型号的校服．【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小,便于比较．也考查了中位数、众数和样本估计总体．23.三辆汽车经过某收费站下高速时,在2个收费通道A,B中,可随机选择其中的一个通过．(1)三辆汽车经过此收费站时,都选择A通道通过的概率是；(2)求三辆汽车经过此收费站时,至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)用树状图分3次实验列举出所有情况,再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；(2)由(1)可知所有可能的结果数目,再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：(1)画树状图得：共8种情况,甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种,所以都选择A通道通过的概率为,故答案为；(2)∵共有8种等可能的情况,其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况,∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为．【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．24.如图,四边形ABCD是菱形,请仅用无刻度的直尺按要求画图．(不写画法,保留作图痕迹)．(1)在图1中,画出∠A的平分线；(2)在图2中,AE⊥CD,过点C画出AD边上的高CF；(3)在图3中,AE⊥CD,过点C画出AB边上的高CG．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】(1)连接AC,根据菱形的性质可知AC就是∠A的平分线；(2)连接菱形ABCD的对角线BD,交AE于M,连接CM并延长交AB于F；(3)连接菱形ABCD对角线BD,AC交于点O,连接EO并延长,交AB于G,连接CG即可．【详解】解：(1)如图1所示；(2)如图2所示；(3)如图3所示；【点睛】考查作图—应用与设计作图,菱形的性质,掌握菱形的性质是解题的关键.25.如图,△ABC的点A,C在⊙O上,⊙O与AB相交于点D,连接CD,∠A＝30°,DC＝．(1)求圆心O到弦DC的距离；(2)若∠ACB+∠ADC＝180°,求证：BC是⊙O的切线．【答案】(1)；(2)详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,OC,过O作OE⊥OC于E,得到△OCD是等边三角形,求得OD=OC=CD=,解直角三角形即可得到结论；(2)由(1)得,△ODC是等边三角形,求得∠OCD=60°,根据相似三角形的性质得到∠A=∠BCD=30°,求得∠OCB=90°,于是得到BC是⊙O的切线．【详解】解：(1)连接OD,OC,过O作OE⊥OC于E,∵∠A＝30°,∴∠DOC＝60°,∵OD＝OC,CD＝,∴△OCD是等边三角形,∴OD＝OC＝CD＝,∵OE⊥DC,∴DE＝,∠DEO＝90°,∠DOE＝30°,∴OE＝DE＝,∴圆心O到弦DC的距离为：；(2)由(1)得,△ODC是等边三角形,∴∠OCD＝60°,∵∠ACB+∠ADC＝180°,∠CDB+∠ADC＝180°,∴∠ACB＝∠CDB,∵∠B＝∠B,∴△ACB∽△CDB,∴∠A＝∠BCD＝30°,∴∠OCB＝90°,∴BC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键．26.”扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系,如图所示.(1)求与之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【答案】(1)；(2)单价为46元时,利润最大为3840元.(3)单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；(2)根据利润=销售量×单件的利润,然后将(1)中的函数式代入其中,求出利润和销售单件之间的关系式,然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w与x的函数关系式,进而利用所获利润等于3600元时,对应x的值,根据增减性,求出x的取值范围．【详解】(1)由题意得：．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700,(2)由题意,得-10x+700≥240,解得x≤46,设利润为w=(x-30)•y=(x-30)(-10x+700),w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,∵-10＜0,∴x＜50时,w随x的增大而增大,∴x=46时,w大=-10(46-50)2+4000=3840,答：当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,最大利润是3840元；(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600,-10(x-50)2=-250,x-50=±5,x1=55,x2=45,如图所示,由图象得：当45≤x≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用,利用函数增减性得出最值是解题关键,能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．27.如图①,一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点,与x轴交于另一点C．(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；(2)如图②,若点P是直线AB上方的抛物线上一点,过点P作PD∥x轴交AB于点D,PE∥y轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；(3)如图③,若点M在抛物线的对称轴上,且∠AMB=∠ACB,求出所有满足条件的点M的坐标．【答案】(1)二次函数的关系式为y＝；C(1,0)；(2)当m＝2时,PD＋PE有最大值6；(3)点M的坐标为(,)或(,)．【解析】【分析】(1)先求出A、B的坐标,然后把A、B的坐标分别代入二次函数的解析式,解方程组即可得到结论；(2)先证明△PDE∽△OAB,得到PD＝2PE．设P(m,),则E(m,),PD＋PE＝3PE,然后配方即可得到结论．(3)分两种情况讨论：①当点M在在直线AB上方时,则点M在△ABC的外接圆上,如图1．求出圆心O1的坐标和半径,利用MO1=半径即可得到结论．②当点M在在直线AB下方时,作O1关于AB的对称点O2,如图2．求出点O2的坐标,算出DM的长,即可得到结论．【详解】解：(1)令y＝＝0,得：x＝4,∴A(4,0)．令x＝0,得：y＝－2,∴B(0,－2)．∵二次函数y＝的图像经过A、B两点,∴,解得：,∴二次函数的关系式为y＝．令y＝＝0,解得：x＝1或x＝4,∴C(1,0)．(2)∵PD∥x轴,PE∥y轴,∴∠PDE＝∠OAB,∠PED＝∠OBA,∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2,∴PD＝2PE．设P(m,),则E(m,)．∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．∵0＜m＜4,∴当m＝2时,PD＋PE有最大值6．(3)①当点M在在直线AB上方时,则点M在△ABC的外接圆上,如图1．∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上,设圆心O1的坐标为(,－t)．∴＝,解得：t＝2,∴圆心O1的坐标为(,－2),∴半径为．设M(,y)．∵MO1=,∴,解得：y=,∴点M的坐标为()．②当点M在在直线AB下方时,作O1关于AB的对称点O2,如图2．∵AO1＝O1B＝,∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴,∴∠O1BA＝∠OAB,∴∠O1AB＝∠OAB,O2在x轴上,∴点O2的坐标为(,0),∴O2D＝1,∴DM＝＝,∴点M的坐标为(,)．综上所