浙江省绍兴市2024届高三下学期4月适应性考试数学试卷含答案

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2024年4月）数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则（）A. B.3 C. D.52.已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.9 B.10 C.11 D.124.已知四边形是平行四边形，，，记，，则（）A. B.C. D.5.过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.8.已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳99.7福州99.8则（）A.4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B.4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值C.4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D.4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数10.已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（）A.数列是递增数列 B.数列是递减数列C.若数列是递增数列，则 D.若数列是递增数列，则11.已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数是___________.（用数字作答）13.已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是___________.14.已知函数，若，，，则实数的取值范围是__________.四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）如图，在三棱锥中，，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的平面角的正切值.16.（15分）盒中有标记数字1，2的小球各2个.（1）若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；（2）若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列及数学期望.17.（15分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围.18.（17分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.求的方程；（2）求的值；（3）设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.19.（17分）已知，集合.（1）求中最小的元素；（2）设，，且，求的值；（3）记，，若集合中的元素个数为，求.

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2024年4月）数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.C2.B3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.AD10.ACD11.BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.-8013.14.或四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）证明：在中，由余弦定理得，所以，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解法1：过点作交于点，因为平面平面，平面平面，所以平面.过点作交于点，连接，则，所以是二面角的平面角.由（1）知，，所以，又，所以，三角形是正三角形，所以，，.在直角三角形中，，所以.所以，二面角的平面角的正切值是2.解法2：以为原点，，所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，其中，由，得所以，，即，所以，，.设平面的法向量为，则取，则，，所以.又平面的法向量为，设二面角的大小为，因为为锐角，所以，所以，，所以，二面角的平面角的正切值为2.16.（本题满分15分）解：（1）设事件“取出的2个小球上的数字不同”，则.（2）的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有种，则.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有种，则.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有种，则.所以的分布列为012所以的数学期望.17.（本题满分15分）解：（1）设切线斜率为，因为，所以，又，所以，切线方程是.（2）①当时，因为，所以，所以.记，则，.因为当时，，所以在区间上单调递增，所以，，所以，在区间上单调递增，所以，，所以.②当时，，因为当时，，所以，所以在区间上单调递增.因为，，所以，存在，使得，所以，当时，，即在区间上单调递减，所以，不满足题意.综上可知，.18.（本题满分17分）解：（1）因为焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线的方程为.（2）设，，直线的方程为，由得，所以因为，，所以，.（3）设，，，则直线的斜率，所以直线的方程为，即.同理，直线方程为，直线方程为.因为直线经过，所以，解得，因为直线经过，所以，解得，所以，整理得.又因为直线的方程为，所以直线经过定点，所以，当时，点到直线距离取得最大值为.